第9章 整式乘法與因式分解（壓軸題+易錯題專練）（解析版）

第9章整式乘法與因式分解（壓軸題+易錯題專練）目錄TOC\o"1-3"\h\u【考點一已知多項式乘積不含某項求字母的值】 1【考點二單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積】 3【考點三通過對完全平方公式變形求值】 6【考點四求完全平方式中的字母系數(shù)】 8【考點五整式乘法中新定義型運(yùn)算問題】 10【考點六平方差公式與幾何圖形】 14【考點七完全平方公式與幾何圖形】 18【考點八十字相乘法因式分解】 21【考點九分組分解法因式分解】 26【考點十因式分解的應(yīng)用】 31【考點一已知多項式乘積不含某項求字母的值】例題：（2023上·山東濟(jì)寧·七年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的多項式不含項和項，則當(dāng)時，這個多項式的值為．【答案】【分析】本題考查了多項式中不含某項的條件，求多項式的值；由多項式中不含某項的條件可得，求出、的值，化簡出多項式，再代入求值即可；理解“多項式中不含某一項就是使得這一項的系數(shù)為零”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：多項式不含項和項，，解得：，原多項式為，當(dāng)時，原式；故答案：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如果的乘積中不含項，則m=．【答案】【分析】本題主要考查多項式與多項式的乘法，先根據(jù)多項式的乘法法則展開，再根據(jù)題意二次項的系數(shù)等于0列式求解即可．【詳解】∵乘積中不含項，∴，解得，故答案為：．2．（2023上·湖北·八年級?？贾軠y）已知關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4．求：(1)系數(shù)與的值；(2)二項式與的積．【答案】(1)系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；(2)【分析】本題考查了多項式乘多項式．（1）先計算，得，再根據(jù)關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4，得到關(guān)于與的方程，解方程即可得到答案；（2）把與的值代入，計算即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，關(guān)于的一次二項式與的積不含二次項，一次項的系數(shù)是4，，解得：，系數(shù)的值為，系數(shù)的值為；（2）解：由（1）得：系數(shù)的值為，系數(shù)的值為，二項式與的積為：．【考點二單項式乘多項式、多項式乘多項式與圖形面積】例題：（2023上·上海青浦·七年級統(tǒng)考期末）如圖，兩個相連的正方形的邊長分別是a、b.完成下面兩題（如果含有，請在結(jié)果中保留的形式）．

(1)用含a、b的式子表示陰影部分的面積；(2)當(dāng)，時，求陰影部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了列代數(shù)式，涉及到正方形、圓的面積公式，正確表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．（1）陰影部分的面積梯形的面積三角形的面積正方形的面積扇形的面積；（2）當(dāng)，時，代入（1）中代數(shù)式計算即可．【詳解】（1）解：陰影部分的面積為：；（2）當(dāng)，時，原式．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進(jìn)行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？【答案】(1)計劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應(yīng)投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項式乘多項式，以及整式的混合運(yùn)算-化簡求值，弄清楚題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）計劃種植草坪的面積等于2個矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項式乘多項式法則，平方差公式和完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價=單價×數(shù)量計算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價格為30元/，應(yīng)投入的資金元．2．（2023上·江西上饒·七年級統(tǒng)考期中）如圖，一個長方形運(yùn)動場被分隔成，，，，，共個區(qū)，區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形．

(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個長方形運(yùn)動場的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個長方形運(yùn)動場的面積．【答案】(1)右上方區(qū)長方形場地的周長為：，左下角區(qū)長方形場地的周長為：(2)整個長方形運(yùn)動場的周長為：(3)整個長方形運(yùn)動場的面積為【分析】本題主要考查整式的混合運(yùn)算與圖形周長、面積的計算，掌握整式的混合運(yùn)算，代入求值是解題的關(guān)鍵．（1）區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形，圖形結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)長方形的周長的計算方法，整式的加減運(yùn)算進(jìn)行化簡即可求解；（3）根據(jù)長方形的面積的計算方法列式，代入，計算即可．【詳解】（1）解：區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形，∴區(qū)長方形場地的長為：，寬為：，∴右上方區(qū)長方形場地的周長為：，左下角區(qū)長方形場地的周長為：．（2）解：由（1）可知，區(qū)長方形場地的長為：，寬為，∴整個長方形運(yùn)動場的長為：，寬為：，∴整個長方形運(yùn)動場的周長為：．（3）解：整個長方形運(yùn)動場的長為：，寬為：，∴整個長方形運(yùn)動場的面積為：，當(dāng)，時，原式，∴整個長方形運(yùn)動場的面積為．【考點三通過對完全平方公式變形求值】例題：（2023上·河南南陽·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，求下列各式的值．(1)(2)【答案】(1)25(2)17【分析】（1）直接求出的平方；（2）用（1）式減去求解；【詳解】（1）解：；（2）；【點睛】本題考查了完全平方公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式，以及公式的轉(zhuǎn)換．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）閱讀理解：已知，，求的值．解：∵，∴，即，∵，∴，參考上述過程解答：(1)若，．①___________；②求的值；(2)已知，，求的值．【答案】(1)①5；②1(2)1【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟記公式的形式，掌握整體思想是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)即可求解；②根據(jù)即可求解；（2）根據(jù)求出即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴，即，∵，∴故答案為：5②（2）解：∵，，∴∵2．（2024上·甘肅定西·八年級統(tǒng)考期末）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設(shè)，，則，所以請仿照上例解決下面的問題：(1)問題發(fā)現(xiàn)：若x滿足，求：的值．(2)若，求：的值．【答案】(1)21(2)【分析】本題考查了利用完全平方公式變形求值，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)，則，再利用完全平方公式變形求值即可得；（2）設(shè)，則，再利用完全平方公式變形求值即可得．【詳解】（1）解：設(shè)，則，所以．（2）解：設(shè)，則，所以．【考點四求完全平方式中的字母系數(shù)】例題：（2023上·寧夏吳忠·八年級?？计谀┤绻且粋€完全平方式，那么k的值是．【答案】【分析】本題考查完全平方公式，兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個完全平方式．注意積的2倍的符號，避免漏解．這里首末兩項是x和5這兩個數(shù)的平方，那么中間一項為加上或減去x和5的積的2倍，故．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·四川內(nèi)江·八年級四川省內(nèi)江市第一中學(xué)?？计谥校┮阎峭耆椒绞?，為常數(shù)，則的值為(

)A．或 B．或 C．或 D．【答案】C【分析】此題考查了完全平方式，利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出的值．【詳解】解：∵是完全平方式，∴，解得：或，故選：C．2．（2024上·河南駐馬店·八年級統(tǒng)考期末）若是x的完全平方式，則【答案】9【分析】本題考查了完全平方式，先根據(jù)已知平方項和乘積二倍項確定出這兩個數(shù)，再根據(jù)完全平方公式求解即可，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，故答案為：9．3．（2023上·全國·八年級期末）若多項式的結(jié)果是一個多項式的平方，則單項式．【答案】或【分析】本題考查完全平方公式；分當(dāng)M為中間項時，當(dāng)為中間項時，兩種情況根據(jù)完全平方式的特點進(jìn)行求解即可．【詳解】解：當(dāng)M為中間項時，則，∴；當(dāng)為中間項時，則，∴；綜上所述，或，故答案為：或．【考點五整式乘法中新定義型運(yùn)算問題】例題：（2023上·江西南昌·八年級校考期中）閱讀下列材料：規(guī)定一種新運(yùn)算：．例如：，按照這種運(yùn)算的規(guī)定，請解答下列問題：(1)當(dāng)，求的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查定義新運(yùn)算，解一元一次方程，非負(fù)性．（1）根據(jù)題中給出的例子列出方程，再計算即可；（2）根據(jù)題中給出的例子列出方程，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出的值，然后再計算即可．掌握新運(yùn)算的法則，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，∴∴∴，∴（2）∵∴∴∴，∴，∴，又∵，∴，解得：，∴．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·湖南株洲·七年級株洲二中校考期末）閱讀下列材料，回答問題：材料一：我們定義一種新運(yùn)算：我們把形如這樣的式子叫作“行列式”，行列式的運(yùn)算方式是：．例如：；；．材料二：在探究的時候，我們不妨利用多項式和多項式的乘法將其打開：，我們把這個公式叫作“差的完全立方公式”．按同樣的方法我得出“和的完全立方公式”為：．這兩個公式常運(yùn)用在因式分解和簡便運(yùn)算等過程中．(1)計算：______；______．(2)已知，，求的值．(3)已知，，，求的值．【答案】(1)13，(2)18(3)【分析】（1）根據(jù)材料一直接計算，再根據(jù)材料二中公式變形即可；（2）將變形為，代入計算即可；（3）根據(jù)已知得到，再將所求式子利用新定義和公式變形，得到，再整體代入計算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：；；（2）∵，，∴；（3）∵，，，∴，，∴．【點睛】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值，新定義運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是讀懂材料所提供的新運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用給出的差的完全立方公式與和的完全立方公式進(jìn)行變形．2．（2023上·北京海淀·八年級北京交通大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個式子的某一部分通過恒等變形化為完全平方式或幾個完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來解決一些問題．例如，把二次三項式進(jìn)行配方．解：我們定義：一個整數(shù)能表示成（a，b是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因為．再如，（x，y是整數(shù)），所以M也是“完美數(shù)”．(1)解決問題：請你再寫一個小于16的“完美數(shù)”______；并判斷40是否為“完美數(shù)”______；(2)若二次三項式（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），則的值為______；(3)探究問題：已知（x，y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，則符合條件的k值為______；拓展結(jié)論：已知實數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)10，是(2)2(3)13，4【分析】（1）由題意知，，，然后作答即可；（2）由題意知，，由（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），可得，，然后代值求解即可；（3），由S為“完美數(shù)”，可得，解得，；由，可得，然后作答即可．【詳解】（1）解：由題意知，，，故答案為：10，是；（2）解：由題意知，，∵（x是整數(shù)）是“完美數(shù)”，可配方成（m，n為常數(shù)），∴，，∴，故答案為：2；（3）解：，∵S為“完美數(shù)”，∴，解得，，故答案為：13；∵，∴，∴當(dāng)時，最小，最小值為4．【點睛】本題考查了完全平方公式，代數(shù)式求值等知識．解題的關(guān)鍵在于理解題意并熟練掌握完全平方公式．【考點六平方差公式與幾何圖形】例題：（2023上·吉林·八年級統(tǒng)考期末）探究活動：（1）如圖1是邊長分別為a、b的正方形，可以求出陰影部分的面積是．（寫成兩數(shù)平方差的形式）（2）如圖2，若將圖1中陰影部分裁剪下來，重新拼成一個長方形，面積是．（寫成多項式乘積的形式）（3）比較圖1、圖2陰影部分的面積，可以得到等式：．知識應(yīng)用：①計算：；②計算【答案】探究活動：（1）；（2）；（3）；知識應(yīng)用：①；②【分析】本題主要考查了平方差公式的幾何背景以及靈活應(yīng)用，表示出圖形陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．（1）大正方形的面積與小正方形的面積的差就是陰影部分的面積；（2）利用矩形的面積公式即可求解；（3）根據(jù)（1）（2）表示的陰影部分面積相等即可解答；知識應(yīng)用：①利用平方差公式即可求解；②把化為，再利用公式即可求解．【詳解】解：探究活動：（1）（2）（3）（等號左右順序可互換）；知識應(yīng)用：①；②；【變式訓(xùn)練】1．（2022上·湖南衡陽·八年級衡陽市外國語學(xué)校校考階段練習(xí)）實踐與探索：如圖1，在邊長為的大正方形里挖去一個邊長為的小正方形，再把圖1中的剩余部分（陰影部分）拼成一個長方形（如圖2所示）．(1)上述操作能驗證的等式是：______（請選擇正確的一個）A．B．C．(2)請應(yīng)用這個等式完成下列各題：①已知，則______．②計算：．【答案】(1)A(2)①4②【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算．（1）觀察圖形，利用拼接前后的面積關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）①利用平方差公式解答即可；②將1看成，利用平方差公式解答即可．【詳解】（1）圖1的面積為，圖2的面積為：，由于拼接前后的面積相等，∴，∴上述操作能驗證的等式是A，故答案為：A；（2）①∵，∴，∴，故答案為：4；②∵，∴2．（2023上·河南南陽·八年級統(tǒng)考期中）我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”．請你利用數(shù)形結(jié)合的思想解決以下數(shù)學(xué)問題．從邊長為a的正方形減掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．

(1)通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證的一個等式是．(2)若，，求的值．(3)計算的值是．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查平方差公式與圖形面積．（1）利用兩種方法求出圖形面積即可；（2）利用（1）中結(jié)論進(jìn)行求解即可；（3）利用（1）中結(jié)論，裂項相乘即可．解題的關(guān)鍵是得到．【詳解】（1）解：由圖1，陰影部分的面積為，由圖2，長方形的面積為；∴；故答案為：．（2）∵，，且，∴．（3）原式．【考點七完全平方公式與幾何圖形】例題：現(xiàn)有長與寬分別為、的小長方形若干個，用兩個這樣的小長方形，拼成如圖1的圖形，用四個相同的小長方形拼成圖2的圖形，請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：(1)根據(jù)圖中條件，請寫出圖1和圖2所驗證的關(guān)于、的關(guān)系式：（用、的代數(shù)式表示出來）；圖1表示：；圖2表示：；根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(2)若，，則；；(3)如圖3，點是線段上的一點，以，為邊向兩邊作正方形，設(shè)，兩正方形的面積和，求圖中陰影部分面積．【詳解】（1）解：圖1中，由圖可知，，由題意得，，即，故答案為：．圖2中，由圖可知，，，由題圖可知，，即，故答案為：．（2）解：，，，，∴．故答案為：16；12．（3）解：由題意得，，，，，，，∴．即圖中陰影部分的面積為．【變式訓(xùn)練】1．將完全平方公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很多的數(shù)學(xué)問題，例如：若，，求的值．解：因為，所以，即．又因為，所以．根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：(1)若，，則；(2)若，，求的值；(3)兩個正方形如圖擺放，面積和為34，，則圖中陰影部分面積和為．【詳解】（1）解：，，即，又，，，故答案為：12；（2）解：∵，，；（3）解：設(shè)正方形的邊長為m、的邊長為n，，，，即，，，，，，解得：m=5,n=3，．故答案為：5．2．如圖①，正方形是由兩個長為a、寬為b的長方形和兩個邊長分別為a、b的正方形拼成的．(1)利用正方形面積的不同表示方法，直接寫出、、之間的關(guān)系式，這個關(guān)系式是；(2)若m滿足，請利用（1）中的數(shù)量關(guān)系，求的值；(3)若將正方形的邊、分別與圖①中的、重疊，如圖②所示，已知，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體數(shù)值）．【詳解】（1）（2）設(shè)，，則，，由已知得：，∴，∴，

∴（3）設(shè)正方形的邊長為x，則，，∵∴∵∴【考點八十字相乘法因式分解】例題：（2023春·安徽阜陽·七年級?？茧A段練習(xí)）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式；．第一步：二次項系數(shù)2可以寫成，常數(shù)項可以寫成或；第二步：如下圖，畫“×”號，將1、2寫在“×”號左邊，將、3或1、寫在“×”號的右邊，共有如下圖的四種情形：

第三步：驗算“交叉相乘兩個積的和”是否等于一次項的系數(shù)：①的系數(shù)為；②的系數(shù)為；③的系數(shù)為；④的系數(shù)為．顯然，第②個“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)，因此有：．像這樣，通過十字交叉線幫助，把二次三項式分解因式的方法，叫做十字相乘法．問題：(1)分解因式：；①完善下圖中“×”號右邊的數(shù)使得；“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)；

②分解因式：_______；(2)分解因式：．①完善橫線上的數(shù)字；

②分解因式：________．【答案】(1)①見解析；②(2)①見解析；②【分析】（1）（2）①根據(jù)“交叉相乘兩個積的和”等于一次項系數(shù)填寫橫線上的數(shù)；②根據(jù)所填數(shù)字，仿照材料分解即可．【詳解】（1）解：①

；②；（2）①

；②．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，解題的關(guān)鍵是讀懂材料，理解十字相乘法的計算方法．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·廣西北?！て吣昙壗y(tǒng)考期中）閱讀理解：用“十字相乘法”因式分解例如：求：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解；（2）根據(jù)題干中解題過程，對二次項系數(shù)、常數(shù)項分別分解，交叉相乘再相加，湊成一次項系數(shù)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，∴（2）解：如圖，∴．【點睛】本題考查十字相乘法因式分解，掌握分解的步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·廣西梧州·七年級統(tǒng)考期中）閱讀理解題在因式分解中有一種常用的方法叫十字相乘法，可以用一元二次式的因式分解，這個方法其實就是運(yùn)用乘法公式運(yùn)算來進(jìn)行因式分解，基本式子為：，例如：分解因式，，，按此排列：

交叉相乘，乘積相加等于，得到，這就是十字相乘法．利用上述方法解決下列問題：(1)分解因式：；(2)先分解因式，再求值：，其中．【答案】(1)(2)，45【分析】（1）根據(jù)十字相乘法進(jìn)行因式分解即可；（2）先運(yùn)用式子相乘法進(jìn)行因式分解，再代入求解．【詳解】（1）解：；（2）當(dāng)時，原式．【點睛】本題考查了因式分解，熟練掌握十字相乘法進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·湖南岳陽·七年級統(tǒng)考期末）閱讀理解：用“十字相乘法”分解因式的方法（如圖）．第一步：二次項；第二步：常數(shù)項，畫“十字圖”驗算“交叉相乘之和”；

第三步：發(fā)現(xiàn)第③個“交叉相乘之和”的結(jié)果等于一次項．即．像這樣，通過畫“十字圖”，把二次三項式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．運(yùn)用結(jié)論：(1)將多項式進(jìn)行因式分解，可以表示為_______________；(2)若可分解為兩個一次因式的積，請畫好“十字圖”，并求整數(shù)的所有可能值．【答案】(1)(2)圖見解析，，，，16【分析】（1）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可；（2）根據(jù)“十字相乘法”的步驟分解因式即可．【詳解】（1）解：，常數(shù)項，，，故答案為：；（2）解：，常數(shù)項，畫“十字圖”如下：

，，，16．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，理解十字相乘法是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·陜西榆林·八年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料：將一個形如的二次三項式因式分解時，如果能滿足且，則可以把因式分解成．例如：（1）；（2）．根據(jù)材料，把下列式子進(jìn)行因式分解．(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根據(jù)進(jìn)行解答即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查了十字相乘法分解因式，運(yùn)用十字相乘法分解因式時，要意觀察，嘗試，并體會它實質(zhì)是二項式乘法的逆過程，注意分解因式一定要徹底．【考點九分組分解法因式分解】例題：（2023春·陜西西安·八年級高新一中?？计谀读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版》關(guān)于運(yùn)算能力的解釋為：運(yùn)算能力主要是指根據(jù)法則和運(yùn)算律進(jìn)行正確運(yùn)算的能力，因此，我們面對沒有學(xué)過的數(shù)學(xué)題時，方法可以創(chuàng)新，但在創(chuàng)新中要遵循法則和運(yùn)算律，才能正確解答，下面介紹一種分解因式的新方法——拆項補(bǔ)項法：把多項式的某一項拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項（或幾項），使原式適合于已學(xué)過的方法進(jìn)行分解．例題：用拆項補(bǔ)項法分解因式．解：添加兩項．原式請你結(jié)合自己的思考和理解完成下列各題：(1)分解因式：；(2)分解因式；(3)分解因式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)例題用拆項補(bǔ)項法分解因；（2）根據(jù)例題用拆項補(bǔ)項法分解因；（3）根據(jù)例題用拆項補(bǔ)項法分解因；【詳解】（1）解：；（2）（3）【點睛】本題考查了因式分解，理解題意，正確的增項是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·江蘇泰州·七年級靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）將一個多項式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是因式分解中的分組分解法，一般的分組分解法有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法“3+3”分法等．如“2+2”分法：請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)分解因式：．【答案】(1)）；(2)；(3)．【分析】利用分組分解法、公式法進(jìn)行因式分解．【詳解】（1）解：=；（2）解：；（3）解：．【點睛】本題考查的是分組分解法因式分解，掌握分組分解法、公式法的一般步驟是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東青島·八年級統(tǒng)考期末）【問題提出】：分解因式：（1）

（2）【問題探究】：某數(shù)學(xué)“探究學(xué)習(xí)”小組對以上因式分解題目進(jìn)行了如下探究：探究1：分解因式：（1）分析：甲發(fā)現(xiàn)該多項式前兩項有公因式，后兩項有公因式，分別把它們提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：另：乙發(fā)現(xiàn)該多項式的第二項和第四項含有公因式，第一項和第三項含有公因式，把，提出來，剩下的是相同因式，可以繼續(xù)用提公因式法分解．解：探究2：分解因式：（2）分析：甲發(fā)現(xiàn)先將看作一組應(yīng)用平方差公式，其余兩項看作一組，提出公因式6，則可繼續(xù)再提出因式，從而達(dá)到分解因式的目的．解：【方法總結(jié)】：對不能直接使用提取公因式法，公式法進(jìn)行分解因式的多項式，我們可把被分解的多項式分成若干組，分別按“基本方法”即提取公因式法和公式法進(jìn)行分解，然后，再從總體上按“基本方法”繼續(xù)進(jìn)行分解，直到分解出最后結(jié)果．這種分解因式的方法叫做分組分解法：【學(xué)以致用】：嘗試運(yùn)用分組分解法解答下列問題；（1）分解因式：；（2）分解因式：；【拓展提升】：（3）分解因式：．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）把前面兩個和后面兩個分別組成兩組，提公因式后再利用平方差公式繼續(xù)分解；（2）把前面三個和后面一個組成兩組，利用公式分解即可；（3）把15分解成，再把前面三個和后面一個組成兩組，利用公式分解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）．【點睛】解答本題的關(guān)鍵是注意用分組分解法時，一定要考慮分組后能否提取公因式，運(yùn)用公式．【考點十因式分解的應(yīng)用】例題：（2023秋·廣東深圳·九年級?？奸_學(xué)考試）小強(qiáng)是一位密碼編譯愛好者，在他的密碼手冊中，有這樣一條