實驗八 離散LTI系統(tǒng)

實驗八離散LTI系統(tǒng)§8.1MATLAB函數(shù)conv基本題1．已知如下有限長序列用解析法計算。答：==x[n]+x[n-1]+x[n-2]+x[n-3]+x[n-4]+x[n-5]=123456543212．利用conv計算的非零樣本值，并將這些樣本存入向量y中。第一步應(yīng)定義包含在區(qū)間內(nèi)的樣本的向量x，同時應(yīng)構(gòu)造向量ny，ny(i)包含存在向量y中的的n個元素樣本的序號，也即。例如ny(1)應(yīng)包含。利用stem(ny,y)畫出所得結(jié)果。代碼：X=[111111];>>ny=[0:10];>>Y=conv(X,X);>>stem(ny,Y);>>YY=12345654321圖形：分析：X的長度為6，Y的長度為11，Y=123456543213．已知如下有限長序列先用解析法計算。然后用conv計算y，用stem畫出這一結(jié)果。如果將看作一個LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，是該系統(tǒng)的輸入，是該系統(tǒng)的輸出。代碼：>>X=[111111];>>H=[012345];>>Y=conv(X,H);>>ny=[0:10];>>stem(ny,Y);>>YY=0136101515141295圖形：分析：X的長度為6，H的長度為6，則Y的長度為11，Y=01361015151412954．將與在3中導(dǎo)出的信號比較，結(jié)果怎樣？答：==h[n+5]+h[n+4]+h[n+3]+h[n+2]+h[n+1]+h[n]=[0136101515141295]與3結(jié)果比較，雖然序列相同，但是時域不同，Y2比Y早5各單位發(fā)生。5．利用conv計算，利用stem畫出。代碼：X=[111111];H=[012345];Y2=conv(X,H);ny=[-5:5];>>stem(ny,Y);圖形：分析：相對上一小題，Y2是在Y的基礎(chǔ)上向左平移五個單位?！?.2MATLAB函數(shù)filter基本題求解由差分方程表征的系統(tǒng)，當輸入信號時，在區(qū)間內(nèi)的響應(yīng)。代碼：b=[01];>>a=[1-0.8];>>b=[02];>>x=[1234];>>y=filter(b,a,x);>>y結(jié)果：y=02.00005.600010.4800已知和，利用filter求。并與conv計算結(jié)果相比較。解：=h[n]+h[n-1]+h[n-2]+h[n-3]+h[n-4]+h[n-5].。利用filter求代碼：>>a=[1];>>b=[111111];>>h=[012345];>>y=filter(b,a,h)結(jié)果：y=01361015利用conv求代碼：>>x=[111111];>>h=[012345];>>y=conv(x,h)結(jié)果：y=0136101515141295分析：兩種方法的結(jié)果大致相同，只是用filter求得的y與x的長度一樣，而用conv求得的y與兩個卷積信號的長度和一樣?？紤]沖激響應(yīng)，利用filter計算，并用stem畫出所得結(jié)果。=h[n+5]+h[n+4]+h[n+3]+h[n+2]+h[n+1]+h[n]。代碼：>>a=[1];b=[111111];h=[012345];y=filter(h,a,b);>>ny=[-5:0];>>stem(ny,y);圖形：分析：只是上題的向左平移5個單位。§8.3離散時間LTI系統(tǒng)的性質(zhì)基本題1．已知信號定義代表區(qū)間內(nèi)的的MATLAB向量x1，以及代表在區(qū)間內(nèi)的和的MATLAB向量h1和h2。同時，定義nx1和nx2為這些信號合適的標號向量。利用stem畫出這些信號并作適當標注。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];h2=[0254-1];nx2=[0:4];nx1=[0:9];subplot(3,1,1);stem(nx1,x1);title('x1=[1111100000]');subplot(3,1,2);stem(nx2,h1);title('h1=[1-1301]');subplot(3,1,3);stem(nx2,h2);title('h2=[0254-1]');圖形：2．交換律意味著具有單位沖激響應(yīng)的LTI系統(tǒng)，在輸入為時所得到輸出與單位沖激響應(yīng)為，在輸入為時所得的輸出是一樣的，利用conv以及x1和h1驗證這一性質(zhì)。conv的輸出是與卷積次序無關(guān)嗎？代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];ny=[0:13];y1=conv(x1,h1)y2=conv(h1,x1)subplot(2,1,1);stem(ny,y1);title('x1*h1');subplot(2,1,2);stem(ny,y2);title('h1*x1');圖形:結(jié)論：conv的輸出是與卷積次序無關(guān)。卷積具有分配律性質(zhì)，這意味著，兩個并聯(lián)系統(tǒng)的輸出與單位沖激響應(yīng)是該并聯(lián)系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)之和的系統(tǒng)的輸出是相同的。利用x1，h1和h2驗證分配率性質(zhì)。當輸入為時，用單位沖激響應(yīng)為和計算LTI系統(tǒng)的輸出的和。將結(jié)果與輸入為，單位沖激響應(yīng)為的LTI系統(tǒng)的輸出進行比較。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];h2=[0254-1];ny=[0:13];y1=conv(x1,h1)+conv(x1,h2);y2=conv(x1,h1+h2);subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);圖形：分析：由生成的圖形可以得知輸出不變，所以卷積具有分配律性質(zhì)。卷積具有結(jié)合律性質(zhì)，這意味著用LTI系統(tǒng)的級聯(lián)處理一個信號所得的結(jié)果等效于一個系統(tǒng)來處理，該系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)應(yīng)是全部級聯(lián)系統(tǒng)中單個沖激響應(yīng)的卷積。用x1，h1和h2驗證結(jié)合律性質(zhì)。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];h2=[0254-1];ny=[0:17];y1=conv(conv(x1,h1),h2);y2=conv(x1,conv(h1,h2));subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);圖形：分析：生成的圖形一致，可以得出結(jié)論卷積具有結(jié)合律性質(zhì)。中等題假定系統(tǒng)有單位沖激響應(yīng)為和，這里是一個整數(shù)，令和是這兩個系統(tǒng)當輸入為時的輸出。利用交換律性質(zhì)證明：如果每個系統(tǒng)的輸入與單位沖激響應(yīng)互換的話，輸出是相同的。并基于時不變性質(zhì)證明。利用MATLAB確認當，輸入為。代碼：x1=[1111100000];h1=[1-1301];%系統(tǒng)一he1=h1;ny=[0:13];y1=conv(x1,he1);y2=conv(he1,x1);subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);figure;%系統(tǒng)二he2=h1;%向右時移兩個單位ny=[2:15];y1=conv(x1,he2);y2=conv(he2,x1);subplot(2,1,1);stem(ny,y1);subplot(2,1,2);stem(ny,y2);生成圖：分析：可以看得出，如果每個系統(tǒng)的輸入與單位沖激響應(yīng)互換的話，輸出是相同的與?！?.4線性和時不變性目的在本練習中將更加熟悉系統(tǒng)的線性和時不變的性質(zhì)?；绢}考慮如下3個系統(tǒng)：系統(tǒng)1：系統(tǒng)2：系統(tǒng)3：其中是每個系統(tǒng)的輸入，，和是相應(yīng)的輸出?？紤]3個輸入，和。對系統(tǒng)1，將對這3個輸入的響應(yīng)存入w1,w2和w3中，向量w1,w2和w3僅需包含在區(qū)間內(nèi)的值。利用subplot和stem在一張圖上畫出w1,w2，w3和w1＋2×w2代表的4種函數(shù)的圖。對系統(tǒng)2和3也作出類似的圖。代碼：系統(tǒng)1：%系統(tǒng)一w1=[1-1-1000];w2=[01-1-100];w3=[11-3-200];n=[0:5];subplot(2,2,1);stem(n,w1);title('w1');subplot(2,2,2);stem(n,w2);title('w2');subplot(2,2,3);stem(n,w3);title('w3');subplot(2,2,4);stem(n,w1+2*w2);title('w1+2*w2');圖形：系統(tǒng)2：代碼：%系統(tǒng)2w1=[cos(1)00000];w2=[0cos(1)0000];w3=[cos(1)cos(2)0000];n=[0:5];subplot(2,2,1);stem(n,w1);title('w1');subplot(2,2,2);stem(n,w2);title('w2');subplot(2,2,3);stem(n,w3);title('w3');subplot(2,2,4);stem(n,w1+2*w2);title('w1+2*w2');圖形：系統(tǒng)三：代碼：%系統(tǒng)3w1=[000000];w2=[010000];w3=[020000];n=[0:5];subplot(2,2,1);stem(n,w1);title('w1');subplot(2,2,2);stem(n,w2);title('w2');subplot(2,2,3);stem(n,w3);title('w3');subplot(2,2,4);stem(n,w1+2*w2);title('w1+2*w2');圖形：陳述一下是否每個系統(tǒng)都是線性的。若是線性的，說明理由；若不是，利用1中畫出的各信號給出一個反例。答：系統(tǒng)1和系統(tǒng)2是線性的，因為滿足疊加性和均勻性，系統(tǒng)3是非線性的。概述一下是否每個系統(tǒng)都是時不變的。若是，說明理由；若不是，利用1中畫出的各信號給出一個反例。答：系統(tǒng)1和系統(tǒng)2都是時不變的，系統(tǒng)3是時變的。中等題在這個練習中，要求用單位沖激響應(yīng)計算一個LTI系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。有下列先行差分方程定義的兩個因果系統(tǒng)：系統(tǒng)1：系統(tǒng)2：這里每個系統(tǒng)都滿足初始松弛條件。定義和是系統(tǒng)1和系統(tǒng)2的單位沖激響應(yīng)。在區(qū)間內(nèi)計算和，并將它們存入h1和h2中，利用stem畫出每個響應(yīng)。代碼：圖形：對每個系統(tǒng)，計算在區(qū)間內(nèi)的單位階躍響應(yīng)，并將它們存入s1和s2中，利用stem畫出每個響應(yīng)。代碼：圖形：從實際的角度看，和在都為零。因此h1和h2包含了每個系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)的全部信息。定義和，其中是單位階躍函數(shù)。利用conv計算在區(qū)間內(nèi)的和，并將結(jié)果存入z1和z2中。首先須定義一個含有適當區(qū)間上的的向量，然后選取由conv(h1,u)和conv(h2,u)產(chǎn)生的一段代表在區(qū)間上的樣本。因為已經(jīng)將兩個無限長序列截斷了，所以只有conv輸出的一部分含有真是的序列值。代碼：圖形：§8.5非因果有限沖激響應(yīng)濾波器在本練習中將學習如何實現(xiàn)單位沖激響應(yīng)具有有限個非零樣本的一類因果LTI系統(tǒng)。這些LTI系統(tǒng)的輸入和輸出是由下列差分方程所關(guān)聯(lián)：(8.3)基本題求輸入輸出滿足(8.3)式的LTI系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。如果系統(tǒng)不是因果的，對N1的值應(yīng)該怎樣？代碼：圖形：假設(shè)一LTI系統(tǒng)其單位沖激響應(yīng)僅在內(nèi)為非零，將它與一個僅在內(nèi)為非零的信號卷積，該系統(tǒng)的輸出也一定是有限長的，設(shè)其非零區(qū)間為。求用N1到N4來表示N5和N6。答：N1+N3=N5,,N2+N4=N63．令為如下有限長信號為一非因果系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)定義MATLAB向量x和h代表這些信號，用stem畫出這些信號。代碼：圖形：4．利用conv和在上面定義的向量計算LTI系統(tǒng)的輸出。定義向量y代表這個輸出。利用stem畫出這個輸出。代碼：圖形：§8.6離散時間卷積目的學習求解離散卷積和。相關(guān)知識離散卷積的表達式可以形象化地看作是：將序列地時間軸反轉(zhuǎn)并將它移位個樣本，然后將移位后地乘以并在軸上將所得到的乘積序列相加。信號可以看成是由延時和加權(quán)脈沖的線性疊加所構(gòu)成，因為一個LTI系統(tǒng)能用它對單個脈沖的響應(yīng)來表示，那么一個LTI系統(tǒng)的輸出就應(yīng)該相應(yīng)于系統(tǒng)對構(gòu)成的每一個延時和加權(quán)脈沖的響應(yīng)的疊加。在數(shù)學上，這個結(jié)果就是卷積和?；绢}因為MATLAB函數(shù)conv沒有保持卷積序列的時間序號之間的關(guān)系，所以還不得不要做額外的事以確定conv結(jié)果的正確序號。對序列和，構(gòu)成向量h和x，定義并計算y=conv(h,x)，對y確定合適的時間序號，并將這組時間序號存入向量ny中，利用stem(ny,y)畫出。代碼：圖形：考慮兩個有限長序列和用MATLAB向量h和x表示，其相應(yīng)的時間序號由nh=[a:b]和nx=[c:d]給出。調(diào)用y=conv(h,x)將會在向量y中得到的正確序列值，但是必須要確定對應(yīng)的一組時間標號向量ny。為了幫助構(gòu)造向量ny，現(xiàn)考慮序列和，用解析法求卷積。根據(jù)所得結(jié)果，確定利用a，b，c和d表示的ny應(yīng)該是什么。為了驗證結(jié)果，證實當時，的長度是M+N-1。答：ny=a+c：b+d；因為當時，ny=0：M+N-2；因此的長度是M+N-13．考慮由下式給出的輸入和單位沖激響應(yīng)如果想用conv計算，就必須處理和的無限長問題。將的的值存入向量x，將的的值存入向量h中，再將調(diào)用函數(shù)conv(h,x)的結(jié)果存入向量y中。因為已經(jīng)將和截斷了，要論證conv的輸出只有一部分是真實的。試標明在輸出中哪些值是真實的，哪些值不是真實的。求參數(shù)的值，以使得nx=[a:b]和nh=[c:d]，并由2的答案構(gòu)成y的正確時間序號。利用stem畫出并指出中哪些值是真實的，哪些值不真實。代碼如下：functionx=heaviside3(n);k=length(n);forj=1:k;ifn(j)>-1;x(j)=1;elsex(j)=0;end;end;n1=0:24;n2=0:14;x=(1/2).^n.*heaviside3(n-2);h=heaviside3(n2+2);y=conv(x,h)stem(0:38,y);結(jié)果分析：輸出之中，前面15個是真實的，后面的都不真實，a=2，b=26，c=-2，d=12，圖中中前面15個是真實的，后面的都不真實中等題對于這些練習將研究一種稱之為塊卷積的方法，這一方法經(jīng)常用于音樂或語音處理系統(tǒng)的數(shù)字濾波器的事實實現(xiàn)中，因為這是希望有較短的處理延時。這一方法特別在用一個相對較短的濾波器處理一個很長的輸入序列時最為有用。將輸入序列分成一些很短的段，其中每一段都能用相當少的延時單獨進行處理。卷積的線性特性能保證所有各段的輸出疊加就等于整個序列與濾波器單位沖激響應(yīng)的卷積。例如：假設(shè)有限長單位沖激響應(yīng)的濾波器僅在內(nèi)為非零，輸入序列的長度比P大很多?，F(xiàn)將分成長度為L的一些段，式中，且對于和，直接利用conv計算內(nèi)的，并用stem畫出。代碼：圖形：5．設(shè)，現(xiàn)將分成兩個序列。計算和，這里和分別是的前50個和后50個樣本。輸出的形式給出。求出合適的值并注意和都是長度為。當和相加在一起時，一般一定有一個兩者都不為零的區(qū)域。正是這個原因，這種塊卷積的方法稱為重疊相加法。用這種方法計算，并畫出內(nèi)的，所得結(jié)果與4求得的一樣嗎？代碼：n=0:99;h=(0.9).^n.*(heaviside3(n)-heaviside3(n-10));n1=0:49;x0=cos(n1.^2).*sin(2*pi.*n1./5);n2=50:99;x1=cos(n2.^2).*sin(2*pi.*n2./5);y0=conv(x0,h);y1=conv(x1,h);y=zeros(1,199);forj=1:109;ifj<50;y(j)=y0(j);elseifj<59;y(j)=y0(j)+y1(j-49);elsey(j)=y1(j-49);end;end;a=length(y);stem(0:a-1,y);axis([0100-23]);圖形：結(jié)果分析：k的值為50；所得結(jié)果與4求得的一樣深入題6．寫出一個MATLAB函數(shù)來完成重疊相加的快卷積。這個函數(shù)應(yīng)當以單位沖激響應(yīng)h，數(shù)據(jù)向量x和分段長度作為輸入，而且該函數(shù)應(yīng)容許數(shù)據(jù)向量x是任意長，分段長度L是比濾波器長度大的任意整數(shù)。函數(shù)的第一行應(yīng)讀出functiony=oafilt(h,x,L)利用這個函數(shù)做5，并用這個結(jié)果與利用conv直接卷積所得結(jié)果進行比較，從而證實這個函數(shù)運行無誤。答：functiony=oafilt(h,x,L);m=length(x);k=ceil(m/L);forj=1:k;if(j-1)*k<m+1;§8.7通過逆濾波器的回聲消除目的這個練習要研究從一段語音信號的記錄中消除回聲的問題。相關(guān)知識著手這個練習之前，需要裝入語音文件lineuo.mat。如果這個文件已經(jīng)在你的MATLABPATH的某個地方，就鍵入>>loadlineup.mat將數(shù)據(jù)裝進MATLAB中去。一旦數(shù)據(jù)裝入MATLAB，語音波形就存入變量y中。因為這段語音是用采樣率8192Hz錄制的，所以鍵入>>sound(y,8192)就能聽到語音，應(yīng)該聽到詞組“l(fā)ineup”并有回聲。由向量y表示的具有形式為(2.4)其中是未被污染的語音信號，它被延時N個樣本且在幅度上減小倍后又反過來加到上去。這對于像從一面墻那樣的吸收反射回來的信號所形成的回聲來說，是一個合理的模型。本練習都用回聲的眼是指N=1000，回聲衰減?；绢}本練習用線性濾波消除回聲。因為回聲可用(2.4)式的線性系統(tǒng)表示，試求并畫出(2.4)式回聲系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，并將它在內(nèi)的值存入向量he中。代碼：2．考慮由下面差分方程描述的回聲消除系統(tǒng)(2.5)式中是輸入，式回聲消除的輸出。根據(jù)導(dǎo)出關(guān)聯(lián)和的總差分方程證明，(2.5)式確實是(2.4)式的逆。對于總差分方程，是一個真實的解嗎？答：是中等題3．(2.5)式的回聲消除系統(tǒng)其單位沖激響應(yīng)是無限長的。假設(shè)N=1000，，利用filter，在輸入為單位脈沖（由d=[1zeros(14000)]給出）時計算系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，并利用這4001個單位沖激響應(yīng)的樣本近似值存入her中。代碼：x=zeros(1,1001);x(1)=1;x(1001)=0.5;a=x