大專題55個(gè)視角秒懂三角函數(shù)章節(jié)的前世今生

專題一任意角

知識(shí)點(diǎn)1任意角的概念

1.任意角

定義角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成圖形.

構(gòu)成要素始邊、頂點(diǎn)、終邊

常用大寫字母A,B,C等表示臘字母a，尸，7等表示；特別的，當(dāng)角作為變

表示

量時(shí)，常用字母X表示.

2.角的分類

分類定義

正角按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做正角

負(fù)角按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫做負(fù)角

零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)形成的角叫做零角

知識(shí)點(diǎn)2象限角與非象限角

1.象限角

當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，則角的終邊（除端點(diǎn)外）在

第幾象限，就稱這個(gè)角為第幾象眼角.

2.象限角的集合表示

象限角集合表示

第一象限角{x|h360°<a<h3600+90°,A：￡Z}

第二象限角{x|h360°+90°vav&-3600+1800#wZ}

第三象限角

“伙?360°+180°vav匕360°+270°tkeZ}

第四象限角{x|h360°+270°vavh360°+360°小￡Z}

3.非象限角

當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊與工軸的非負(fù)半軸重合，如果角的終邊落在坐標(biāo)

軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限.

4.非象限角的集合表示

角的終邊位置集合表示

如

X軸的非負(fù)半軸a="36C&ez}

X軸的非正半軸如夕=2x364+18(TM￡Z}

X軸上Ml/7=2xl8(y,Aez}

y軸非負(fù)半軸加|￡="36(T+90rwz}

)，軸非正半軸%力=Sx360T-9(T#ez}

y軸上缶1/7=2x180。+90Fez}

知識(shí)點(diǎn)3終邊相同的角

一般地，所有與角a終邊相同的角，連同角a在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合

S=｛/7|/7=a+b36(TMwZ｝,即任一與角。終邊相同角，都可表示成。與整個(gè)

周角的和.

命題角度1象限角與集合間的基本關(guān)系

例題1設(shè)4=｛小于90°的角｝,3=｛第一象限角｝,則AG5等于()

A.｛銳角)(小于90°的角｝

C.｛第一象限角｝D.｛a伙?3600<a<^360°+90°(fcGZ,kWO)｝

【分析】先求出A=｛銳角和負(fù)角1,B=｛a%?360°<a<^360°+90°,k￡Z),由此利用交

集的定義給求出APB.

【解析】???△=｛小于90°的角｝=｛銳角和負(fù)角｝,

8=｛第一象限角｝=｛a汝?360°VaV2?360°+90°,依Z｝,

?"05=坪?3600<a<^360°+90°(AGZ,2W0)｝，選￡>.

【小結(jié)】考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意任意角的概念的合理運(yùn)用.

變式1已知A=｛第一象限角｝,8=｛銳角｝,C=｛小于90°的角｝,那么4、B、C關(guān)系是

()

A.AClC=CB.BQCC.BUA=CD.A=B=C

【分析】分別判斷，A,8,。的范圍即可求出

【解析】???A=｛第一象限角｝=0360°,90°+H360°),KZ；8=｛銳角｝=(0,90°),

C=｛小于90°的角｝=(-8,90°)

選艮

【小結(jié)】本題考查了任意角的概念和角的范圍，屬于基礎(chǔ)題.

變式2設(shè)4=｛刖6為銳角｝,8=｛0|8為小于90°的角｝,C=｛6|e為第一象限的角｝,。=

｛0|0為小于90°的正角｝,則下列等式中成立的是()

A.A=BB.B=CC.A=CD.A=D

【分析】根據(jù)A=｛8|8為銳角｝=[。|0°<0<90°),。=｛刖。為小于90°的正角｝=｛。|0°

V9V90。｝,可得結(jié)論.

【解析】根據(jù)A=｛0|。為銳角｝=〔劃0°<9<90°),為小于90°的正角｝=｛。|0°

<0<90°｝,

可得A=O.選。.

【小結(jié)】本題考查象限角和任意角，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，比較基礎(chǔ).

變式3設(shè)”=｛。|。=2?90°，蛇Z｝U｛a|a=2?1800+45°，依Z｝,N=｛a|a=A?45°，依Z｝,

則()

A.MQNB.M=NC.M=ND.MHN=0

【分析】討論改為偶數(shù)和Z為奇數(shù)時(shí)，結(jié)合N的表示，從而確定N與M的關(guān)系.

【解析】???N=｛a|a=k?45°,依Z),

???當(dāng))為偶數(shù),即攵=2〃時(shí)，尤Z,a=W5°=2〃?45°=〃?90°,

,當(dāng)女為奇數(shù)，即攵=2〃+1時(shí)，尤Z,a=2?45°=(2〃+1)*45°=〃?90°+45°,

又知=｛。|(1=妙90°,A：eZ｝U｛a|a=^180°+45°,kEZ],

:?M6.選A.

【小結(jié)】本題主要考查了集合之間的關(guān)系與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

命題角度2求終邊相同的角

例題2下列各角中與225°角終邊相同的是（）

A.585°B.315°C.135°D.45°

【分析】寫出與225。終邊相同的角，取攵值得答案.

【解析】與225°終邊相同的角為a=225°+妙360°,依Z,

取比=1,得a=585°,???585°與225。終邊相同.

選A.

【小結(jié)】本題考查終邊相同角的表示法，是基礎(chǔ)題.

變式4下列各組角中，終邊相同的角是（）

A.-3980,1042°B.-398°,142°

C.-398°,38°D.142°,10420

【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義，化?398°和1042°為a+A?360°,依Z的形式，再判

斷即可.

【解析】由題意，-398°=322°-2X360°,

1042°=322°+2X360°,

這四個(gè)角中，終邊相同的角是-398°和1042°.

選A.

【小結(jié)】本題考查了終邊相同角的概念與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

變式5與-457。角終邊相同角的集合是（）

A.{a|a=&?360°+457°,keZ}B.{a|a=2?360°+97°,依Z}

C.{a[a=4?360°+263°,依Z}D.{a|a=A?360°-263°,AGZ}

【分析】終邊相同的角相差了360°的整數(shù)倍，又263°與-457°終邊相同.

【解析】終邊相同的角相差了360°的整數(shù)倍，

設(shè)與?457°角的終邊相同的角是a,則a=-457°+攵?360°,依Z,

又263°與-457°終邊相同，???{a|a=263°+A?360°,又Z},

選C.

【小結(jié)】本題考查終邊相同的角的概念及終邊相同的角的表示形式.

變式6在0。?360°范圍內(nèi)，與-853°18,終邊相同的角為（）

A.136°18'B.136°42'C.226°18'D.226°42'

【分析】直接由-853°18'=-3X360°+226°42'得答案.

【解析】由-853°18'=-3X360°+226°42',

可得，在0°?360°范圍內(nèi)，與-853°18'終邊相同的角為226°42',

選D.

【小結(jié)】本題考查終邊相同的角的表示法，是基礎(chǔ)題.

命題角度3已知Q終邊所在象限求2a,py

例題3已知a為銳角，則2a為（）

4第一象限角B.第二象限角

C.第一或第二象限角D小于180°的角

【分析】寫出a的范圍，直接求出2a的范圍，即可得到選項(xiàng).

【解析】a為銳角，所以aw（0°,90°）,則2aW（0°,180°）,選。.

【小結(jié)】本題考查象限角與軸線角，基本知識(shí)的考查，送分題.

變式7若a是第二象限的角，則里的終邊所在位置不可能是（）

3

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).笫象限

【分析】寫出第二象限的角的集合，得到烏的范圍，分別取女值得答案.

3

【解析】是第二象限角，

，90°+A?360°<a<180°+k?360°,keZ.則30°+攵?1200<—<60°+依120°，依Z.

3

當(dāng)％=0時(shí)，30°<A<6O°,a為第一象限角；

3

當(dāng)4=1時(shí)，150°<—<180°,a為第二象限角；

3

當(dāng)2=2時(shí)，270°<—<300°,a為第四象限角.

3

由上可知，工的終邊所在位置不可能是第三象限角.選C.

3

【小結(jié)】本題考查象限角及軸線角，考查終邊相同角的集合，是基礎(chǔ)題.

變式8已知a為第二象限角，則4所在的象限是（）

2

A.第一或第二象限B.第二或第三象限

C第一或第三象限D(zhuǎn).第二或第四象限

【分析】用不等式表示第二象限角a,再利用不等式的性質(zhì)求出△滿足的不等式，從而確

2

定角上的終邊在的象限.

2

【解析】是第二象限角，

，火?360°+90°VaV4?3600+180°,kWZ,

則攵?180°+45°<—<^180°+90°,kWZ,

2

令&=2〃，

有〃?360°+45°<—<^360°+90°,〃6Z；在一象限；

2

k=2n+\,nGz,

有〃?3600+225°<—</i-360o+270°,〃6Z；在三象限；選C.

2

【小結(jié)】本題考查象限角的表示方法，不等式性質(zhì)的應(yīng)用，通過角滿足的不等式，判斷角的

終邊所在的象限

變式9如果a是第三象限角，則一名是（）

2

4.第一象限角B.第一或第二象限角

C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角

【分析】由a是第三象限角，得到180°+H360°<a<270°+攵?360’,長Z,從而能求出

-3的取值范圍，由此能求出-3所在象限.

22

【解析】Ya是第三象限角，

A18O0+2?3600<a<270°+A?360°,kwZ,

：.-135°-^180°<--<-90°-A*180°,

2

是第一或第三象限角.選c.

【小結(jié)】本題考查角所在象限的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意第三象限角的取

值范圍的合理運(yùn)用.

命題角度4終邊對(duì)稱的角的表示法

例題4若角a=m?360°+60°,0=如360°+120°,（m,始Z）,則角a與p的終邊的

位置關(guān)系是（）

A.重合B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

C.關(guān)于X軸對(duì)稱D.關(guān)于），軸對(duì)稱

【分析】結(jié)合角的終邊相同的定義進(jìn)行判斷即可.

【解析】a的終邊和60°的終邊相同，p的終邊與120°終邊相同，

VI8O0-1200=60°，

???角a與B的終邊的位置關(guān)系是關(guān)于），軸對(duì)稱，

選。.

【小結(jié)】本題主要考查角的終邊位置關(guān)系的判斷，結(jié)合角的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

變式10若角a的終邊與45°角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則。=.

【分析】角a的終邊與45°角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得a=2?360°+225°,（KZ）.

【解析】???角a的終邊與45°角的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

???a=H360°+225°,（/cGZ）.

故答案為：a=A?360°+225°,（^GZ）.

【小結(jié)】本題考查了終邊相同的角，屬于基礎(chǔ)題.

變式11若角a和0的終邊關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱，且a=?60°,則角0的集合是.

【分析】求出0日00,360°）時(shí)角p的終邊與角a的終邊關(guān)于直線），=-%對(duì)稱的值，

再根據(jù)終邊相同的角寫出角p的取值集合.

【解析】若BIO。，360°），則由角a=-60°,

且角B的終邊與角a的終邊關(guān)于直線），=-%對(duì)稱，可得6=330°,

所以當(dāng)BeR時(shí)，角B的取值集合是｛0|。=330°+小360°,kez].

故答案為：｛郵=330°+h360°,kEZ].

【小結(jié)】本題主要考查了終邊相同的角的定義和表示方法，是基礎(chǔ)題.

變式12已知a=-30°,若a與0的終邊關(guān)于直線x-y=0對(duì)稱，則0=

若a與B的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則0=；

若a與B的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則3=.

【分析】由題意畫出圖形，然后利用終邊相同角的表示法得答案.

【解析】如圖,

設(shè)。=?300所在終邊為OA,則關(guān)于直線x?y=0對(duì)稱的角0的終邊為。8,

終邊在03上的最小正角為120°,故0=120°+&?3600,蛇Z：

關(guān)于y軸對(duì)稱角0終邊為OC,終邊在OC上最小正角為210。，故0=210。+公360°,&€Z；

關(guān)于x軸對(duì)稱角0終邊為0力,終邊在0。上的最小正角為30°,故B=30°+H360°,&€Z.

【小結(jié)】本題考查終邊相同角的表示法，數(shù)形結(jié)合使問題更加直觀，是基礎(chǔ)題.

命題角度5已知終邊求角

例題5已知a=-1910°.

(1)把角a寫成的依360°(&WZ,00^p<360°)的形式，指出它是第幾象限的角；

(2)求出6的值，使。與a的終邊相同，且-720°C0<O°.

【分析】(1)利用終邊相同的假的表示方法，把角a寫成B+k?360°(AWZ,00<p<360°)

的形式，然后指出它是第幾象限的角；

(2)利用終邊相同的角的表示方法，通過上的取值，求出8,且-720°<6<0°.

【解析】(1)V-1910°=-6X360°+250°,180°<250°<270°,

，把角a寫成0+4?360°awZ,0"W0V36O。)的形式為：?1910°=-6X360°+250°,

它是第三象限的角.

(2)???e與a的終邊相同，，令0=令360°+250°,kWZ,

k=-1,k=-2滿足題意，得到0=710°,-470°.

【小結(jié)】本題考查終邊相同角的表示方法，基本知識(shí)的考查.

變式13若角a的終邊落在直線x+_y=O上，求在［-360°,360°］內(nèi)的所有滿足條件的角a.

【分析】求出角a的終邊相同的隹，然后求解在［-360。，360°］內(nèi)的所有滿足條件的角a.

【解析】角a的終邊落在直線x+y=0上，則直線的傾斜角為：45°,

角a的終邊的集合為：｛a|a=H180°+45°,keZ］.

當(dāng)女=-2時(shí)，a=-315°,k=-l時(shí)，a=-135°,

攵=0時(shí)，a=45°,攵=1時(shí)，a=225°,

在［-360°,360°］內(nèi)的所有滿足條件的角a：-315°,135°,45°,225°.

【小結(jié)】本題考查終邊相同角的表示，考查計(jì)算能力.

變式14已知角a=45°；

(1)在區(qū)問［-720°,0°］內(nèi)找出所有與角a有相同終邊的向仇

(2)集合M=卜|%=與、180。+45。,&臼，N=｛x［x=：xl8(T+45。,女囚那么兩集合的

關(guān)系是什么？

【分析】(1)所有與角a有相同終邊的角可表示為45°+&X360。1依Z),列出不等式

解出整數(shù)即得所求的角.

(2)先化簡兩個(gè)集合，分整數(shù)女是奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況進(jìn)行討論，從而確定兩個(gè)集合關(guān)系.

【解析】(1)由題意知：0=45°+2X360°(keZ),

則令-720°W45°+2X360°W0°,

得?765°WAX360°<?45°,

解得嗡<k<4，

JbUJbU

從而2=?2或2=?1,

代回p=-675?；騪=-315°.

(2)因?yàn)?=(小=(2&+I)X45°,依Z｝表終邊落在四個(gè)象限的平分線上的角的集合；

而集合N=｛x|x=(k+I)X45°,底Z｝表示終邊落在坐標(biāo)軸或四個(gè)象限平分線上角的集合，

從而：MEN.

【小結(jié)】(1)從終邊相同的角的表示入手分析問題，先表示出所有與角a有相同終邊的角，

然后列出一個(gè)關(guān)于々的不等式，找出相應(yīng)的整數(shù)鼠代回求出所求解?；(2)可對(duì)整數(shù)2的

奇、偶數(shù)情況展開討論.

變式15已知a、0都是銳角，且a+0的終邊與-280°角的終邊相同，a-0的終邊與670。

角的終邊相同，求Na、NB的大小.

【分析】按照終邊相同角的表示方法將a+仇a-B表示出來，然后解出a、由a、。都

是銳角得到所求.

【解析】因?yàn)閍+0的終邊與?280°角的終邊相同，a-0的終邊與670°角的終邊相同，

所以a+0=-280°+360°k；

a-0=670°+360°k；kWZ；

兩式相加,2a=390°+720°&=360°+30°+720°&=30°+720°k；

a=l5°+360°k；

因?yàn)閍,0是銳角，所以a=15°；

p=65°.

【小結(jié)】本題考查了終邊相同角的表示，利用方程組的思想求兩角，屬于基礎(chǔ)題.

命題角度6已知角終邊的區(qū)域確定角

例題6寫出角的終邊在陰影中的角的集合.

【解析】圖1：角的集合為｛a|30°+&X360。WaW120。+依3析°,蛇Z｝；

圖2：角的集合為｛a|-210°+妙360°WaW300+H360°,依Z｝；

圖3：角的集合為｛a|-45°+A?360°WaW300+23600,依Z｝；

圖4：角的集合為｛a|60°+#?360°WaW120°+上?360°,keZ｝U｛a|2400+H360°Wa近300°

+妙360°,keZ].

【小結(jié)】本題考查了象限角的表示方法、終邊相同的角的集合性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算

能力，屬于中檔題.

變式16如圖所示；

（1）分別寫出終邊落在OA,0B位置上的角的集合；

（2）寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.

【分析】（1）直接由終邊相同角的表示法寫出終邊落在04,（）8位置上的角的集合；

（2）結(jié)合（1）中寫出的終邊落在04,0B位置上的角的集合，利用不等式表示出終邊落在

陰影部分（包括邊界）的角的集合.

【解析】⑴如圖，終邊落在。4上的角的集合為｛a|a=150°+k?360°,依Z｝.

終邊落在OB上的角的集合為｛a|Q=-45°+女?360°,keZ｝；

（2）如圖，終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合為｛。|-45°+妙360°W0W15O°+k

?360°,依Z｝.

【小結(jié)】本題考查象限角和軸線角，考查了終邊相同角的概念，是基礎(chǔ)題.

變式17用集合表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸非負(fù)半軸，終邊落在陰影部分內(nèi)的角（不

含邊界）

【分析】直接利用所給角，表示角的范圍即可.

【解析】圖1所表示的角的集合：｛a|集360°-30°VaV2?3600+75°,kGZ].

圖2終邊落在陰影部分的角的集合.｛（xK?360°-135°<a<^360°+135°,我€Z｝

【小結(jié)】本題考查角的表示方法，是基礎(chǔ)題.

變式18已知角上的終邊落在圖示陰影部分區(qū)域，寫出角x組成的集合.

【分析】直接利用所給角，表示角的范圍即可.

【解析】圖（1）所表示的角的集合：｛砒?360°735°WaW妙360c+⑶。，依Z｝.

圖2終邊落在陰影部分的角的集合｛a|%?1800+30°WaWH180°+609,kEZ

【小結(jié)】本題考查角的表示方法，是基礎(chǔ)題.

專題二弧度制

知識(shí)點(diǎn)1弧度制的概念

I.角度制

規(guī)定周角的心為1度的角，這種用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制.

360

2.弧度制的定義

把長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角，用符號(hào)憶"表示，讀作弧度，這

種用弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制.

3.弧度制與角度制的區(qū)別與聯(lián)系

區(qū)別（1）單位不同，弧度制以“弧度”為單位，角度制以“度”為單位；（2）定義不同.

聯(lián)系不管以“弧度”還是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與圓的半徑大小無關(guān)定值.

知識(shí)點(diǎn)2角度與弧度之間的互化

1.角度制與弧度制的換算

角度化弧度?---------------------?弧度化角度

360°=2nrad---------------------------------------?2^rad=360°

180O-nrad?----------------------------------------?nrad=180°

10=三0.01745陽d?----------------------?1rad=(—)?57°18

180n

2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)表

度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°

nnnn2萬3乃5”3%

弧度0n

不TTT~4~TTIn

知識(shí)點(diǎn)3扇形的弧長與面積公式

設(shè)扇形的半徑為一弧長為/，。（0＜。＜2外或“。為其圓心角，則弧長公式與扇形面積

類別/度量單位角度制弧度制

.nnr

扇形的弧長/=-----l=ctr

180

2

C?,12

扇形的面積0=------S=-/r=-a/

36022

知識(shí)點(diǎn)4弧度制下的結(jié)論

I.終邊對(duì)稱的角的表示

（1）若a與夕的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+萬=2mz）.

（2）若a與0的終邊關(guān)于〉，軸對(duì)稱，則a+戶=（2攵+1）］（《GZ）.

（3）若a與夕的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a/=（2A+l）乃伏GZ）.

（4）若a與夕的終邊在一條直線上，則a-/7=M（AeZ）.

2.終邊相同的角的表示

B=a+2kMkwZ）,前后單位要一致.

3.象限角的表示

（1）第一象限角的集合：

（2）第二象限角的集合：卜,乃+^<2<224+小Aez）.

（1）第三象限角的集合：卜|2*汗+”<0<2氏+耳，Aez}.

（1）第四象限角的集合：卜卜;r+當(dāng)<a<24%+2萬，〃GZ）.

4.軸線角的表示

（1）終邊在x軸的非負(fù)半軸上的角的集合為：{a|a=2A%,AwZ}.

（2）終邊在x軸的非正半軸上的角的集合為：［a|a=2Jbr+;r,AwZ}.

（3）終邊在x軸上的角的集合為：{a|a=AmKeZ）.

（4）終邊在.v軸的非負(fù)半軸上的角的集合為：{<7k=22乃+3.keZ}.

（5）終邊在）,軸的非正半軸上的角的集合為：.0=25-］,AeZ}.

（6）終邊在）,軸上的角的集合為：苗口二左乃+^,AGZ}.

（7）終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為：{/&=9，keZ}.

命題角度7任意角與弧度制相關(guān)概念

例題7下列選項(xiàng)中，錯(cuò)誤的是（）

4“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位

B.一度的角是周角的上，一弧度的角是周角的

3602乃

C.根據(jù)弧度的定義，180度一定等于乃弧度

D.不論是用角度制還是弧度制度量角，它們與圓的半徑長短有關(guān)

【分析】直接利用弧度制與角度制的定義，判斷即可.

【解析】“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，判斷正確；一度的角是周角的

上，一弧度的角是周角的，-,滿足兩種角的度量定義，正確；

3602笈

根據(jù)弧度的定義，180度一定等于IT弧度，滿足兩種角的度量關(guān)系，正確；

不論是用角度制還是弧度制度量角，它們與圓的半徑長短有關(guān)，不正確；

選￡）.

【小結(jié)】本題考行角度制與弧度制的關(guān)系，基本知識(shí)的考查.

變式19下列命題中，真命題的是（）

41弧度是一度的圓心角所對(duì)的弧

k1弧度是長度為半徑的弧

C.1弧度是一度的弧與一度的角之和

D.\弧度是長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角的大小

【分析】根據(jù)弧度的定義與應(yīng)用，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷即可.

【解析】根據(jù)弧度的定義知：長度等于半徑長的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角.

選。.

【小結(jié)】本題考查了弧度的定義與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目.

變式20下列說法正確的是()

A.三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角

B.第一象限的角是銳角

C.第二象限的角比第一象限的角大

D.角a是第四象限角，則2%r-&<a<2A/(kwz)

2

【分析】對(duì)4個(gè)結(jié)論分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論.

【解析】對(duì)于4,三角形的內(nèi)角可以是90°,不正確；

對(duì)于8,-330°是第一象限的角，不是銳角，不正確；

對(duì)于C,390°是第一象限的角，120°是第二象限的角，不正確；

對(duì)于D,角a是第四象限角，則兼江-巳<av2M■(Aez),正確.

2

選O.

【小結(jié)】本題考查象限角的定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，比較基礎(chǔ).

變式21下列表示中不正確的是()

A.終邊在x軸上角的集合是{a|a=A乃，keZ}

B.終邊在)，軸上角的集合是{a|a=]+A肛&eZ}

C.終邊在坐標(biāo)軸上角的集合是{a|a=嗚,AeZ}

D.終邊在直線y=x上角的集合是{a|a=K+2hr,&€Z}

4

【分析】根據(jù)終邊相同的角的定義逐一判斷得答案.

【解析】對(duì)于A,終邊在x軸上角的集合是{a|a=E,Z6Z},故A正確；

對(duì)于5,終邊在y軸上的角的集合是{m=。+始，AwZ},故3正確；

對(duì)于C,終邊在x軸上角集合為{a|a=E,kez),終邊在軸上角集合{a|a=0+匕T,依Z},

乙

故合在一起即為{a|a=E,始Z}U{a|a=%+Kr,^eZ}={a|a=^,依Z},故C正確;

22

對(duì)于D,終邊在直線y=-x上的角的集合是{a|a=&L+Kr,依Z},故。不正確.

4

?..表述不正確的是：。.

【小結(jié)】本題考查命題的真假的判斷，角的定義以及終邊相同的角的判斷，是基礎(chǔ)題.

命題角度8角度與弧度的互化

例題8將下列弧度轉(zhuǎn)化為角度：角度化為弧度：

(1)—=：(2)—=；(3)一工萬=.

12612

(4)36°=rad；(5)-105°=rad.

【分析】直接由n=180°進(jìn)行角度制與弧度制的互化得答案.

【解析】Vir=180°,

13兀13X1800=390°；制-二磊X180°=-75°；

.?運(yùn)66JL乙乙

。九兀

36。=36X——7

1805一105。二-105X訪二九

【小結(jié)】本題考查角度制與弧度制的互化，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

變式22角度制與弧度制的互化：210°=

【分析】直接由180°=TT換算得答案.

【解析】1180°=ir,

“工1理工

180兀

冗兀

則210°=2IOX_7

-1806"

^=4X180°=-4500?

【小結(jié)】本題考查角度制與弧度制的互化，是基礎(chǔ)題.

變式23工弧度=度；75。=弧度；1弧度=度(精確到小數(shù)點(diǎn)后一位)

3

【分析】直接利用角度與弧度互億求解即可.

【解析】Vir=180°,

:,---弧度=60",

3

75°=/弧度，1弧度=(儂)。=57.3°

12n

故答案為：60：旦L；57.3.

12

【小結(jié)】本題考查角度與弧度的互化，基本知識(shí)的考查.

變式24弧度與角度的換算:

360°=rad；兀rad

1°=rad?0.01745raJ

\rad=°?57.30°=57.18*.

【分析】根據(jù)角度和弧度的轉(zhuǎn)化公式計(jì)算即可.

【解析】360°=2nrad；180°=nrad

1°=-^-〃以-0.01745md

180

\rad=^-Q-57.30°=57.18'.

n

【小結(jié)】本題考查角度與弧度的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題.

命題角度9鐘表中的弧度制計(jì)算

例題9時(shí)鐘走過了40分鐘，時(shí)針?biāo)D(zhuǎn)過的弧度數(shù)是—.

【分析】利用鐘表表盤的特征解答.時(shí)針每分鐘走0.5°,即時(shí)針每分鐘走過的弧度數(shù)是」L,

180

即可計(jì)算得解.

【解析】時(shí)針每分鐘走0.5°,分針經(jīng)過40分鐘，那么它轉(zhuǎn)過的角度是0.5°X40=20°.

所以，經(jīng)過40分鐘，時(shí)針轉(zhuǎn)過的侑的弧度數(shù)匹.

9

【小結(jié)】本題考查鐘表時(shí)針與分針的夾角.在鐘表問題中，常利用時(shí)針與分針轉(zhuǎn)動(dòng)的度數(shù)關(guān)

系：分針每轉(zhuǎn)動(dòng)1。時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（工）°；兩個(gè)相鄰數(shù)字間的夾角為30°,每個(gè)小格夾角為

12

6°,并且利用起點(diǎn)時(shí)間時(shí)針和分針的位置關(guān)系建立角的圖形.

變式25若分針走過2小時(shí)30分，則分針轉(zhuǎn)過的角是.

【分析】根據(jù)分針走過2小時(shí)30分，是2.5周角，結(jié)合分針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過的角是負(fù)

角，求出即可.

【解析】分針走過2小時(shí)30分，是2.5周角，

角度數(shù)是2.5X360°=900°；

又分針是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)過的角是-900°.

【小結(jié)】本題考查了角度制的推廣與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

變式26將時(shí)鐘的分針撥快30加〃，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度為.

【分析】撥快30m加，是按照順時(shí)針方向，得到的角是負(fù)角，

把鐘表撥快30加〃，時(shí)針走過30度的心&,由此求出結(jié)果.

60

【解析】分針撥快30〃”〃，是按照順時(shí)針方向，得到的角是一負(fù)角，

把鐘表撥快30加〃，時(shí)針走過30度的竺?，工時(shí)針走過的弧度數(shù)是?毀X?L=?匹，

6060612

【小結(jié)】本題考查弧度制的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是理解角的符號(hào)和角度的大小，是基礎(chǔ)題.

變式27在1時(shí)15分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻淖钚≌鞘腔《?

【分析】根據(jù)分針和時(shí)針每分鐘旋轉(zhuǎn)的度數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.

【解析】每一小時(shí)時(shí)針旋轉(zhuǎn)的弧度是嬰=?,

12b

從12點(diǎn)開始，在1時(shí)15分時(shí)，時(shí)針對(duì)應(yīng)的弧度為三+工乂工=旦匕，

66424

分針是在15分，也就是90°,工弧度，則兩者相差2L-旦1=衛(wèi)1,

222424

【小結(jié)】本題考查弧度制的應(yīng)用，根據(jù)分針和時(shí)針旋轉(zhuǎn)的角度進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

命題角度10利用弧度制表示終邊相同的角

例題10在區(qū)間［-4%，-2劃上，與角主終邊相同的角為一.

6

【分析】利用終邊相同角的概念即可求解.

【解析】因?yàn)?4冗二邛匕€［-4H,-2兀］，所以與角口終邊相同的角為」

【小結(jié)】本題考查任意角的基本概念，屬于基礎(chǔ)題.

變式28已知。=1690。，。￡（一2凡0）,若角。與a的終邊相同，則6=

【分析】根據(jù)終邊相同角的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可.

【解析】a=1690°=360°X4+250°=360°X5-110°,

即a與-110°的終邊相同，即8=-3LTT,

18

【小結(jié)】本題主要考查終邊相同隹的應(yīng)用，結(jié)合終邊相同角的定義以及角度和弧度的轉(zhuǎn)化關(guān)

系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.

變式29把-495。表示成2七r+夕伏wZ）的形式，且使|6|最小，則。=.

【分析】-495°=-135°-360°,它終邊與735°的終邊相同，故使舊|最小的8為包匕.

4

【解析】-495°=-135°-360°,它的終邊與-135°的終邊相同，在第三象限內(nèi)，

-135°角的弧度為且L,

4

【小結(jié)】本題考查終邊相同的角的表示形式，角度與弧度的轉(zhuǎn)化.

變式30若角6的終邊與包的終邊相同，則［0,2劃內(nèi)與且終邊相同的角的集合為

53

【分析】由已知寫出與角。的終邊相同的角的集合，分別取2=0,I，2得答案.

【解析】角9的終邊與也的終邊相同，

5

火皿|J：oA—-*ZA+nr+9--兀-,--8---2-k-兀-+;-3-兀-,kgEL,

5335

馬/八83兀

當(dāng)％=0；—=——；

35

當(dāng)-1；且=坨；

315

當(dāng)y2；A=292L

315

???則在［0,2n）內(nèi)的終邊與且的終邊相同的角為：｛221,比L29兀?

3515~L5~'

【小結(jié)】本題考查了終邊相同角的集合的求法，是基礎(chǔ)的會(huì)考題型.

命題角度11利用弧度制表示終邊對(duì)稱的角

例題11已知角aw［0,2幻，且3a與。終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角。的取值集合為.

【分析】3a與a角的終邊關(guān)于），釉對(duì)稱，得到ga+a=2L+E,（KZ）,得出a集合.

22

【解析】,.,3（1與a角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，

..3a+a.=2￡+E,（依Z）,即4a=ir+2E,ae）,

22

解得+7,依z.故答案為：｛a|（1=吁+?（&&）｝

【小結(jié)】本題考查終邊相同的角的表示方法，a,3a角的終邊關(guān)于），軸對(duì)稱，推出阻若

=—+Jtir,kez）是解題的關(guān)鍵.

2

變式31角a,￡的終邊關(guān)于x+y=O對(duì)稱，且a=-g，P=.

【分析】a,p的終邊關(guān)于x+y=O對(duì)稱，且a二號(hào)，求出B最大負(fù)角，然后寫出P即可.

【解析】因?yàn)榻莂,B的終邊關(guān)于x+y=O對(duì)稱，且a二衛(wèi)，所以6的最大負(fù)角為Y，

36

TT

所以B=2k兀k€Z.

6

【小結(jié)】本題考查象限角終邊相同的角的表示方法，考查計(jì)算能力.

變式32若角a的終邊與角工的終邊關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱，且。€(-4名-2乃)，則二=_____

6

【分析】由題意可得。=匹+2丘，A€Z,給&取值可得.

3

【解析】??.角a的終邊與匹的終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱，

6

，角a的終邊在工-的終邊上，，a=三+2E,kEZ.

33

又???尤(-411,-2n),，a=?豆工,一旦L,

33

【小結(jié)】本題考查終邊相同的角，屬基礎(chǔ)題.

變式33已知a、Pe(0,2^),且a與夕關(guān)于x軸對(duì)稱，則a+/7=

【分析】根據(jù)角的對(duì)稱性，討論a的取值范圍，即可得到結(jié)論.

【解析】?；a、pe(0,2n),a與B關(guān)于x軸對(duì)稱，.??a=W?,則°=3一,貝I］。+0=如,

22

若a—a,貝ijR—n,貝ija+p_2K,

若a=-^-,則則a+B=2m

乙乙

若0<a<-^-,則0=-a+2ir,即a+p=2n,

2

若H"VaVn,則0=-a+2n,即a+B=2ir,

2

若ir<a<-^^-,則0=-a+2n,即a+B=2n,

2

若3兀-VaV27T,則0=-a+2ir,即a+B=2ir,

2

綜上a+p=27T,

【小結(jié)】本題考查象限角的計(jì)算，根據(jù)角的對(duì)稱性進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵.比較基礎(chǔ).

命題角度12弧長公式的應(yīng)用

例題12在扇形中，如果圓心角所對(duì)弧長等于半徑，那么這個(gè)圓心角的弧度數(shù)為

【分析】直接利用弧長公式求解.

【解析】設(shè)扇形的半徑為八弧長為/,則r=/,

再設(shè)圓心角的弧度數(shù)為仇

由弧長公式可得：/=Y0.則9=^=1.

r

故答案為：1.

【小結(jié)】本題考查弧長公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題.

變式34已知半徑為z■的扇形，它的周長等于弧所在半圓的弧長，則易形的圓心角的弧度數(shù)

為—.

【分析】設(shè)出扇形的圓心角，利用弧長公式得到弧長，代入題中條件，求出圓心角的弧度數(shù).

【解析】設(shè)扇形的圓心角是Brad,因?yàn)樯刃蔚幕￠L是，a

所以扇形的周長是2葉用.

依題意得2什r0=nr,

解得0=u-2.

故答案為：TT-2.

【小結(jié)】本題考查了扇形的圓心角，弧長公式以及扇形的面積公式的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

變式35已知200。的圓心角所對(duì)的弧長等于50a%則該圓的半徑為

【分析】先將角度化為弧度，再根據(jù)弧長公式即可即可.

【解析】圓心角200°=200X」L=」2n,

1809

???弧長為50=以4U*,

9

即該圓的半徑長更。兒

7T

故答案為：生.

71

【小結(jié)】本題考查了角度和弧度的互化以及弧長公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

變式36已知圓中一段弧的長正好等于該圓的外切正三角形的邊長，那么這段弧所對(duì)的圓心

角的弧度數(shù)為.

【分析】如圖所示，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑r=1.在△BO。中，些=80=—嗎

2tan30

即可得出.

【解析】如圖所示,

設(shè)△ABC的內(nèi)切圓與邊BC相切于點(diǎn)。，其圓心為。點(diǎn)，半徑r=l.

連接08,則08平分NABC,???/08。=30°.

在△B。。中，弟=80=—理==與，解得8C=2加.

2tan3073

~3~

???圓中一段弧長正好等于該圓的外切正三角形的邊長，

工這段弧所對(duì)的圓心角的弧度數(shù)為2立.

【小結(jié)】本題考查了三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的

邊角關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

命題角度13扇形面積公式的應(yīng)用

例題13已知扇形的圓心角為工，弧長為生，則該扇形的面積為.

33

【分析】利用扇形的圓心角和弧長可求出扇形的半徑，再求扇形的面積.

【解析】???扇形的圓心角a為?，弧長/為衛(wèi)匕，

33

???扇形的半徑廠=!=2，

??.扇形的面積S==/r=3X2x4=2(L.

2233

【小結(jié)】本題考查扇形的面積、弧長公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ).