指數(shù)函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)總結(jié)

指數(shù)函數(shù)一般地，函數(shù)（＞0且≠1）叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)镽.提問(wèn)：在下列的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（＞1，且）小結(jié)：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義來(lái)判斷說(shuō)明：因?yàn)椋?，是任意一個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R.只有滿足的形式才能稱為指數(shù)函數(shù)，.指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1），圖象特征函數(shù)性質(zhì)＞10＜＜1＞10＜＜1向軸正負(fù)方向無(wú)限延伸函數(shù)的定義域?yàn)镽圖象關(guān)于原點(diǎn)和軸不對(duì)稱非奇非偶函數(shù)函數(shù)圖象都在軸上方函數(shù)的值域?yàn)镽+函數(shù)圖象都過(guò)定點(diǎn)（0，1）=1自左向右，圖象逐漸上升自左向右，圖象逐漸下降增函數(shù)減函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1在第一象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1＞0，＞1＞0，＜1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都小于1在第二象限內(nèi)的圖象縱坐標(biāo)都大于1＜0，＜1＜0，＞1利用函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象還可以看出：（1）在（＞0且≠1）值域是（2）若（3）對(duì)于指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1），總有（4）當(dāng)＞1時(shí)，若＜，則＜；例題：例1：已知指數(shù)函數(shù)（＞0且≠1）的圖象過(guò)點(diǎn)（3，π），求1、函數(shù)2、當(dāng)例1：（P66例7）比較下列各題中的個(gè)值的大?。?）1.72.5與1.73(2)與(3)1.70.3與0.93.1解法：（1）由函數(shù)的單調(diào)性考慮因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在R上是增函數(shù)，且2.5＜3，所以，（3）由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，因此，在這兩個(gè)數(shù)值間找到1，把這兩數(shù)值分別與1比較大小，進(jìn)而比較1.70.3與0.93.1的大小.思考：1、已知按大小順序排列.2.比較（＞0且≠0）.1、求下列函數(shù)的定義域和值域（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、下列函數(shù)中，值域?yàn)榈暮瘮?shù)是（）已知，求的最小值與最大值。4、如果函數(shù)在上的最大值為14，求實(shí)數(shù)的值。5、設(shè)，解關(guān)于的不等式。對(duì)數(shù)的概念一般地，若，那么數(shù)叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).舉例：如：，讀作2是以4為底，16的對(duì)數(shù).，則，讀作是以4為底2的對(duì)數(shù).2、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化在對(duì)數(shù)的概念中，要注意：（1）底數(shù)的限制＞0，且≠1（2）指數(shù)式對(duì)數(shù)式冪底數(shù)←→對(duì)數(shù)底數(shù)指數(shù)←→對(duì)數(shù)冪←N→真數(shù)例題：例1將下列指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式，對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式.（1）54=645（2）（3）（4）（5）（6）兩類對(duì)數(shù)①以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，常記為.②以無(wú)理數(shù)e=2.71828…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，常記為.以后解題時(shí)，在沒(méi)有指出對(duì)數(shù)的底的情況下，都是指常用對(duì)數(shù)，如100的對(duì)數(shù)等于2，即.求下列各式中x的值（1）（2）（3）（4）分析：將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求出x.解：（1）（2）（3）（4）所以對(duì)數(shù)的定義及對(duì)數(shù)恒等式（＞0，且≠1，N＞0），指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).如：于是由對(duì)數(shù)的定義得到即：同底對(duì)數(shù)相加，底數(shù)不變，真數(shù)相乘如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：（1）（2）（3）證明：（3）即當(dāng)=0時(shí)，顯然成立.例題：1.判斷下列式子是否正確，＞0且≠1，＞0且≠1，＞0，＞，則有（1）（2）（3）（4）例2：用，，表示出（1）（2）小題，并求出（3）、（4）小題的值.（1）（2）（3）（4）（1）（2）=（3）（4）你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？＞0，且≠1，＞0，且≠1，＞0設(shè)且即：所以：小結(jié)：以上這個(gè)式子換底公式，換的底C只要滿足C＞0且C≠1就行了，除此之外，對(duì)C再也沒(méi)有什么特定的要求.表1指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)定義域值域圖象性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)1、化簡(jiǎn)［］的結(jié)果為（）A．5B．C．－D．－52、將化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為（）A．B．C．D．3、化簡(jiǎn)(a,b為正數(shù))的結(jié)果是（） A． B．a(chǎn)b C． D．a(chǎn)2b4、化簡(jiǎn)，結(jié)果是（）A、B、C、D、5、=__________．6、=__________．7、=__________。8、=__________。9、=__________。已知求的值。1、一批設(shè)備價(jià)值萬(wàn)元，由于使用磨損，每年比上一年價(jià)值降低，則年后這批設(shè)備的價(jià)值為（）A、B、C、D、2、若，則。3、若，則等于（）A、B、C、D、1、若函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，則一定有（） A． B． C． D．2、方程2|x|+x=2的實(shí)根的個(gè)數(shù)為_______________3、直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是________。4、函數(shù)在R上是減函數(shù)，則的取值范圍是（）A、B、C、D、5、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值總是大于1，則的取值范圍是_____________。6、若，則下列不等式中成立的是（）7、當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象只可能是 （）求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0).解當(dāng)k＞0時(shí)，(－∞，+∞)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)k＜0時(shí)，(－∞，+∞)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.2.反比例函數(shù)y=(k≠0).解當(dāng)k＞0時(shí)，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)k＜0時(shí)，(－∞，0)和(0，+∞)都是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0).解當(dāng)a＞0時(shí)(－∞，－)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，(－，+∞)是它的單調(diào)增區(qū)間；當(dāng)a＜0時(shí)(－∞，－)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，(－，+∞)是它的單調(diào)減區(qū)間；4.指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，a≠1).解當(dāng)a＞1時(shí)，(－∞，+∞)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，(－∞，+∞)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.5.對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，a≠1).解當(dāng)a＞1時(shí)，(0，+∞)是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，(0，+∞)是它的單調(diào)減區(qū)間.已知函數(shù)y=f［g(x)］.若u=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，其值域?yàn)?c，d)，又函數(shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).(本引理中的開區(qū)間也可以是閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間.)證明在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1,x2，使a＜x1＜x2＜b.因?yàn)閡=g(x)在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù)，所以g(x1)＜g(x2),記u1=g(x1),u2=g(x2)即u1＜u2,且u1,u2∈(c,d).因?yàn)楹瘮?shù)y=f(u)在區(qū)間(c,d)上是增函數(shù)，所以f(u1)＜f(u2),即f［g(x1)］＜f［f(x2)］，故函數(shù)y=f［g(x)］在區(qū)間(a,b)上是增函數(shù).例1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=log4(x2－4x+3)解設(shè)y=log4u,u=x2－4x+3.由{u＞0,u=x2－4x+3，解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)閤＜1或x＞3.例2求下列復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=log(2x－x2)解設(shè)y=logu,u=2x－x2.由u＞0u=2x－x2解得原復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)?＜x＜2.由于y=log13u在定義域(0，+∞)內(nèi)是減函數(shù)，所以，原復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與二次函數(shù)u=2x－x2的單調(diào)性正好相反.（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的值域判斷下列函數(shù)的奇偶性①；②；③；④。函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：1、若均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)2、若為增（減）函數(shù)，則為減（增）函數(shù)3、若與的單調(diào)性相同，則是增函數(shù)；若與的單調(diào)性不同，則是減函數(shù)。4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：1、如果一個(gè)奇函數(shù)在處有定義，則，如果一個(gè)函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則（反之不成立）2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。4、兩個(gè)函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。函數(shù)的奇偶性問(wèn)題1、如果函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，則=_________2、函數(shù)是（）A、奇函數(shù)B、偶函數(shù)C、既奇又偶函數(shù)D、非奇非偶函數(shù)3、若函數(shù)是奇函數(shù)，則=_________4、若函數(shù)是奇函數(shù)，則=_________5、是偶函數(shù)，且不恒等于零，則()A、是奇函數(shù)B、可能是奇函數(shù)，也可能是偶函數(shù)C、是偶函數(shù)D、不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)6、設(shè)函數(shù),求證:不論為何實(shí)數(shù)總為增函數(shù);確定的值,使為奇函數(shù)及此時(shí)的值域.7、已知函數(shù),(1)判斷函數(shù)的奇偶性；(2)求該函數(shù)的值域；(3)證明是上的增函數(shù)。必修一檢測(cè)1、已知全集，集合，，則等于()A.｛0，4｝ B.｛3，4｝C.｛1，2｝ D.2、設(shè)集合，，則等于（）A.｛0｝ B.｛0，5｝C.｛0，1，5｝ D.｛0，－1，－5｝3、計(jì)算：＝（）A12B10C8D64、函數(shù)圖象一定過(guò)點(diǎn)()A（0,1）B（0,3）C（1,0）D（3,0）5、“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來(lái)，睡了一覺(jué)，當(dāng)它醒來(lái)時(shí)，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點(diǎn)了，于是急忙追趕，但為時(shí)已晚，烏龜還是先到達(dá)了終點(diǎn)…用S1、S2分別表示烏龜和兔子所行的路程，t為時(shí)間，則與故事情節(jié)相吻合是（）6、函數(shù)的定義域是（）A{x｜x＞0}B{x｜x≥1}C{x｜x≤1}D{x｜0＜x≤1}7、把函數(shù)的圖象向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，所得函數(shù)的解析式應(yīng)為（）ABCD8、設(shè)，則()Af(x)與g(x)都是奇函數(shù)Bf(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)Cf(x)與g(x)都是偶函數(shù)Df(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)9、使得函數(shù)有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是()A(0，1)B(1，