指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)含答案

指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.指數(shù)函數(shù)概念

一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?

2.指數(shù)函數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時，.奇偶性非奇非偶單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的

變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，逐漸增大；在第二象限內(nèi)，從逆時針方向看圖象，逐漸減小.有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)：①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1.對數(shù)函數(shù)定義:一般地，函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域.

2.對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)圖象定義域值域過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)，即當(dāng)時，.單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)函數(shù)值的

變化情況變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內(nèi)，從順時針方向看圖象，逐漸減小.(2)對數(shù)的性質(zhì)：①零與負(fù)數(shù)沒有對數(shù)②③(3)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)其中a>0,a≠0,M>0,N>0(4)對數(shù)換底公式：例1．已知函數(shù)f(x)＝4＋ax－1的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．【答案】(1,5)【解析】令x－1＝0，即x＝1，則f(1)＝5.∴圖象恒過定點(diǎn)P(1,5)．例2．若函數(shù)y＝lg(3－4x＋x2)的定義域?yàn)镸.當(dāng)x∈M時，求f(x)＝2x＋2－3×4x的最值及相應(yīng)的x的值．【答案】當(dāng)x＝log2eq\f(2,3)時，f(x)取到最大值為eq\f(4,3)，無最小值【解析】y＝lg(3－4x＋x2)，∴3－4x＋x2>0，解得x<1或x>3.∴M＝{x|x<1，或x>3}．f(x)＝2x＋2－3×4x＝4×2x－3×(2x)2.令2x＝t，∵x<1或x>3，∴t>8或0<t<2.∴y＝4t－3t2＝－3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋eq\f(4,3)(t>8或0<t<2)．由二次函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)0<t<2時，f(t)∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－4，\f(4,3)))，當(dāng)t>8時，f(t)∈(－∞，－160)，∴當(dāng)2x＝t＝eq\f(2,3)，即x＝log2eq\f(2,3)時，f(x)max＝eq\f(4,3).綜上可知，當(dāng)x＝log2eq\f(2,3)時，f(x)取到最大值為eq\f(4,3)，無最小值．練習(xí)1.比較下列各題中兩個值的大小，用“>”“<”“=”填空1、（1）； （2）；（3）； （4）.2、（1）； （2）；（3）； （4）；3、（1）； （2）【答案】1、（1）<；（2）<；（3）>；（4）<；2、（1）<；（2）>；（3）>；（4）<；3、（1）>；（2）>【解析】1、同底不同指（真）——單調(diào)性法（1）由于底數(shù)，所以指數(shù)函數(shù)在上是增函數(shù).（2）所以指數(shù)函數(shù)在上是減函數(shù).（3）函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，且（4）函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，且2、同指（真）不同底——圖像法由圖像可知（1）（2）（3）（4）.3、既不同底也不同指（真）——搭橋“0，-1，1”（1）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得（2）練習(xí)2.若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是（） A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1【答案】B【解析】，畫圖象可知－1≤m<0.練習(xí)3．設(shè)2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝________.【答案】eq\r(10)【解析】由2a＝5b＝m，得a＝log2m，b＝log5m，又eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，即eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝2，∴eq\f(1,lgm)＝2，即m＝eq\r(10).練習(xí)4．設(shè)a>0且a≠1，函數(shù)y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值．【答案】a＝eq\f(1,3)或a＝3【解析】令t＝ax(a>0且a≠1)，則原函數(shù)化為y＝(t＋1)2－2(t>0)．①當(dāng)0<a<1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))，此時f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a，\f(1,a)))上為增函數(shù)．所以f(t)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2－2＝14.所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋1))2＝16，即a＝－eq\f(1,5)或a＝eq\f(1,3).又因?yàn)閍>0，所以a＝eq\f(1,3).②當(dāng)a>1時，x∈[－1,1]，t＝ax∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))，此時f(t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，a))上是增函數(shù)．所以f(t)max＝f(a)＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．綜上得a＝eq\f(1,3)或a＝3.例3.設(shè)，則（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，可知函數(shù)都是減函數(shù)，因此，且.綜上可知，，正確選項(xiàng)是B練習(xí)1.設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】將看作一個整體，因?yàn)椋杂忠驗(yàn)?，所以只需比較與的大小即可因?yàn)椋约淳毩?xí)2設(shè)均為正數(shù)，且，，則（）A． B．C． D．【答案】A【解析】分別為兩兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，在同一坐標(biāo)系下分別畫出三個方程中包含的函數(shù)圖象，比較各個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可，如圖得到答案選A練習(xí)3．設(shè)a＝logeq\f(1,2)，b＝logeq\f(2,3)，c＝log3eq\f(4,3)，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．a(chǎn)<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a【答案】B【解析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知c＝log3eq\f(4,3)＝logeq\f(3,4)，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知logeq\f(3,4)<logeq\f(2,3)<logeq\f(1,2)，即c<b<a.練習(xí)4．，，，則(c )．A．B．C．D．【答案】C【解析】c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))log30.3＝5－log30.3＝5log3eq\f(10,3)，log23.4＞log22＝1，log43.6＜log44＝1，log3eq\f(10,3)＞log33＝1，又log23.4＞log2eq\f(10,3)＞log3eq\f(10,3)，∴l(xiāng)og23.4＞log3eq\f(10,3)＞log43.6又∵y＝5x是增函數(shù)，∴a＞c＞b.練習(xí)5．不等式log0.3(2x－1)<log0.3(－x＋5)的解集為________．【答案】C【解析】∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(log2a)＝f(logeq\f(1,2)a)，又∵f(log2a)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)a))≤2f(1)，∴f(log2a)≤f(1)，即|log2a|≤1，解之得eq\f(1,2)≤a≤2.練習(xí)6.化簡：（1）；（2）；【解析】（1）原式；（2）原式；（3）．設(shè)a，b，c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，則下列等式中恒成立的是（）A．logab·logcb＝logca B．logab·logca＝logcbC．loga(bc)＝logab·logac D．loga(b＋c)＝logab＋logac【答案】B【解析】利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可知C，D是錯誤的．再利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)logab·logcb≠logca.又因?yàn)閘ogab·logca＝eq\f(lgb,lga)×eq\f(lga,lgc)＝eq\f(lgb,lgc)＝logcb，故選B.例6.設(shè)函數(shù)f(x)定義在實(shí)數(shù)集上，f(2－x)＝f(x)，且當(dāng)x≥1時，f(x)＝lnx，則有（）A．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<f(2) D．f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))【答案】C【解析】由f(2－x)＝f(x)得f(1－x)＝f(x＋1)，即函數(shù)f(x)的對稱軸為x＝1，結(jié)合圖象可知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<f(0)＝f(2)．練習(xí)1．（2013·天津卷7）已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增．若實(shí)數(shù)a滿足f(log2a)＋f(logeq\f(1,2)a)≤2f(1)，則a的取值范圍是（）A．[1，2] B．(0，eq\f(1,2)] C．[eq\f(1,2)，2] D．(0，2]【答案】C【解析】∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(log2a)＝f(logeq\f(1,2)a)，又∵f(log2a)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log\f(1,2)a))≤2f(1)，∴f(log2a)≤f(1)，即|log2a|≤1，解之得eq\f(1,2)≤a≤2.練習(xí)2．（2012·北京高考）已知函數(shù)f(x)＝lgx．若f(ab)＝1，則f(a2)＋f(b2)＝________.【答案】2【解析】∵f(x)＝lgx，f(ab)＝1.∴l(xiāng)g(ab)＝1.∴f(a2)＋f(b2)＝lga2＋lgb2＝2lga＋2lgb＝2lg(ab)＝2.練習(xí)3．已知函數(shù)f(x)＝lgeq\f(1－x,1＋x)，若f(a)＝b，則f(－a)等于（）答案】C【解析】易知f(x)的定義域?yàn)?－1,1)，則f(－x)＝lgeq\f(1＋x,1－x)＝－lgeq\f(1－x,1＋x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)．∴f(－a)＝－f(a)＝－b.A．eq\f(1,b) B．－eq\f(1,b) C．－b D．b練習(xí)4．函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)在[2,4]上的最大值與最小值的差是1，則a的值為______．【答案】2或eq\f(1,2)【解析】(1)當(dāng)a>1時，函數(shù)y＝logax在[2,4]上是增函數(shù)，所以loga4－loga2＝1，即logaeq\f(4,2)＝1，所以a＝2.(2)當(dāng)0<a<1時，函數(shù)y＝logax在[2,4]上是減函數(shù)，所以loga2－loga4＝1，即logaeq\f(2,4)＝1，所以a＝eq\f(1,2).由(1)(2)知a＝2或a＝eq\f(1,2).例7．對于函數(shù)f(x)＝log(x2－2ax＋3)，解答下列問題：(1)若f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)在(－∞，1]內(nèi)為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)－eq\r(3)<a<eq\r(3)；(2)[1,2)【解析】設(shè)u＝g(x)＝x2－2ax＋3＝(x－a)2＋3－a2.(1)∵u>0對x∈R恒成立．∴umin＝3－a2>0，∴－eq\r(3)<a<eq\r(3)(或由x2－2ax＋3>0的解為R，得Δ＝4a2－12<0，求出－eq\r(3)<a<eq\r(3)．(2)命題等價于在上為減函數(shù)，且對恒成立?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,g1>0))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥1，,a＜2.))即所求a的取值范圍是[1,2)．例8．若不等式x2－logax<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)恒成立，則a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1))【解析】∵不等式x2－logax<0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)恒成立，∴0<a<1，且eq\f(1,4)<logaeq\f(1,2).∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a>\f(1,2)，))解得eq\f(1,16)<a<1.練習(xí)1．已知a>0且a≠1，f(x)＝x2－ax，當(dāng)x∈(－1,1)時，均有f(x)<eq\f(1,2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(0，eq\f(1,2)]∪[2，＋∞) B．[eq\f(1,4)，1)∪(1,4]C．[eq\f(1,2)，1)∪(1,2] D．(0，eq\f(1,4))∪[4，＋∞)練習(xí)2．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x>7.))若數(shù)列{an}滿足an＝f(n)(n∈N*)，且{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．[eq\f(9,4)，3) B．(eq\f(9,4)，3)C．(2,3) D．(1,3)作業(yè)1、已知，那么用表示是（）A、B、C、D、2、，則的值為（）A、B、4C、1D3、已知，且等于（）A、B、C、D、4、如果方程的兩根是，則的值是（）A、B、C、35D、5、已知，那么等于（）A、B、C、D、6、函數(shù)的圖像關(guān)于（）A、軸對稱B、軸對稱C、原點(diǎn)對稱D、直線對稱7、函數(shù)的定義域是（）A、B、C、D、8、函數(shù)的值域是（）A、