高考熱點題型與考點專練數(shù)學熱點4　統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析

熱點4統(tǒng)計與成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷獨立性檢驗與條件概率20————新高考Ⅱ卷——統(tǒng)計與概率19——【典例1】(13分)(規(guī)范解答)(2023·新高考Ⅱ卷)某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學指標有明顯差異,經(jīng)過大量調(diào)查,得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖:利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布,以事件發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率.(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);(2)設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值.【審題思維】(1)由第一個圖可先求出c,再根據(jù)第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即可求解;(2)根據(jù)題意確定分段點100,即可得出f(c)的解析式,再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可求解.【解析】(1)依題可知,題中第一個圖中第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%,所以95<c<100,所以(c95)×0.002=0.5%,解得c=97.5; ……3分q(c)=0.01×(10097.5)+5×0.002=0.035=3.5%.………………6分(2)當c∈[95,100]時,f(c)=p(c)+q(c)=(c95)×0.002+(100c)×0.01+5×0.002=0.008c+0.82≥0.02; ………………9分當c∈(100,105]時,f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c100)×0.012+(105c)×0.002=0.01c0.98>0.02,…………12分故f(c)=-0所以f(c)在區(qū)間95,105的最小值為0.02. ………………【題后反思】1.本題考查頻率分布直方圖、分段函數(shù)求最值,用頻率分布直方圖的幾何意義求出臨界值c是解題關(guān)鍵.2.頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)特點:(1)圖中縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率除以組距的結(jié)果,不要誤以為縱軸上的數(shù)據(jù)是各組的頻率,不要和條形圖混淆.(2)圖中每個小長方形的面積是該組的頻率,各小長方形的面積之和為1.【典例2】(2024·上海模擬)某航天公司研發(fā)了一種火箭推進器,為測試其性能,對推進器飛行距離與損壞零件數(shù)進行了統(tǒng)計,數(shù)據(jù)如表:飛行距離x(km)5663717990102110117損壞零件數(shù)y(個)617390105119136149163(1)建立y關(guān)于x的回歸模型=x+,根據(jù)所給數(shù)據(jù)及回歸模型,求經(jīng)驗回歸方程及相關(guān)系數(shù)r.(精確到0.1,精確到1,r精確到0.0001)(2)該公司進行了第二次測試,從所有同型號推進器中隨機抽取100臺進行等距離飛行測試,對其中60臺進行飛行前保養(yǎng),測試結(jié)束后,有20臺報廢,其中保養(yǎng)過的推進器占比30%,請根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)完成2×2列聯(lián)表,并根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,能否認為推進器是否報廢與保養(yǎng)有關(guān)?項目情況合計保養(yǎng)未保養(yǎng)報廢20未報廢合計60100附:χ2=n(ad-bc)2(a+bα0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828【審題思維】(1)利用最小二乘法求出,,即可得出經(jīng)驗回歸方程,再根據(jù)公式求出相關(guān)系數(shù)r;(2)根據(jù)題意可將2×2列聯(lián)表補充完整,根據(jù)公式求得χ2,再對照臨界值表即可得出結(jié)論.【解析】(1)x=56+63+71+79+90+102+110+1178y=61+73+90+105+119+136+149+1638又由∑i=18xiyi=82743,∑i=18xi2=62680,可得=則=yx=11256873512×86≈27,所以變量y=1.6x27,∑i=18xi28xr=∑i=18xiy(2)零假設(shè)為H0:是否報廢與是否保養(yǎng)無關(guān),由題意,報廢推進器中保養(yǎng)過的共20×30%=6(臺),未保養(yǎng)的推進器共206=14(臺),補充2×2列聯(lián)表如表:項目情況合計保養(yǎng)未保養(yǎng)報廢61420未報廢542680合計6040100則χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(即認為是否報廢與保養(yǎng)有關(guān),此推斷的錯誤概率不大于0.01.【題后反思】本題考查回歸模型與獨立性檢驗問題,解答時常見兩種錯誤:(1)用錯,,χ2的計算公式;(2)對相關(guān)系數(shù)r,χ2與對應的臨界值的大小關(guān)系的理解不透徹,不能得出正確的結(jié)論.1.★★☆☆☆(2024·榆林一模)某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認識,舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽,從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本,將100份樣本數(shù)據(jù)按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成6組,并整理得到如下頻率分布直方圖.(1)請通過頻率分布直方圖估計這100份樣本數(shù)據(jù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)該市決定表彰知識競賽成績排名前30%的市民,某市民知識競賽的成績是78,請估計該市民能否得到表彰.【解析】(1)100份樣本數(shù)據(jù)的平均值為x=(35×0.005+45×0.01+55×0.01+65×0.02+75×0.032+85×0.023)×10=68.3.(2)設(shè)知識競賽成績排名前30%的最低成績?yōu)閙,則0.023×10+(80m)×0.032=0.3,解得m=77.8125,因為78>77.8125,所以該市民能得到表彰.2.★★★☆☆(2024·銀川一模)濱海鹽堿地是我國鹽堿地的主要類型之一,如何利用更有效的方法改造這些寶貴的土地資源,成為擺在我們面前的世界級難題.對鹽堿地的治理方法,研究人員在長期的實踐中獲得了兩種成本差異不大,且能降低濱海鹽堿地30~60cm土壤層可溶性鹽含量的技術(shù),為了對比兩種技術(shù)治理鹽堿地的效果,科研人員在同一區(qū)域采集了12個土壤樣本,平均分成A、B兩組,測得A組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)x1=0.82,方差sx12=0.0293,B組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)x2=0.83,方差sx22=0.1697.用技術(shù)1對A組土壤進行可溶性鹽改良試驗,A組y10.660.680.690.710.720.74B組y20.460.480.490.490.510.54改良后A組、B組土壤可溶性鹽含量數(shù)據(jù)樣本平均數(shù)分別為y1和y2,樣本方差分別記為sy(1)求y1,y2,sy(2)應用技術(shù)1與技術(shù)2土壤可溶性鹽改良試驗后,土壤可溶性鹽含量是否有顯著降低?(若xiyi>2sxi2+syi26,【解析】(1)y1=16(0.66+0.68+0.69+0.71+0.72+0.74)=0sy12=16[(0.660.7)2+(0.680.7)2+(0.690.7)2+(0.710.7)2+(0.720.7)2+(0.740=0.0007,y2=16(0.46+0.48+0.49+0.49+0.51+0.54)=0sy22=16[(0.460.495)2+(0.480.495)2+(0.490.495)2+(0.490.495)2+(0.510(0.540.495)2]=0.000625,(2)當i=1時,|x1y1|2=0.0144,(2sx12因為0.0144<0.02,所以x1-y1<2sx12當i=2時,x2-y22≈0.1122,(2s因為0.1122<0.1136,所以x2-y所以應用技術(shù)2后,土壤可溶性鹽含量沒有顯著降低.故應用技術(shù)1和技術(shù)2后,土壤可溶性鹽含量沒有顯著降低.3.★★★☆☆(2024·重慶二模)某公司為了解年研發(fā)資金x(單位:億元)對年產(chǎn)值y(單位:億元)的影響,對公司近8年的年研發(fā)資金xi和年產(chǎn)值yi(i∈N,1≤i≤8)的數(shù)據(jù)對比分析中,選用了兩個回歸模型,并利用最小二乘法求得相應的y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程:①=13.05x48.4;②=0.76x2+.(1)求的值;(2)已知①中的殘差平方和S1≈3610,②中的殘差平方和S2≈658,請根據(jù)決定系數(shù)選擇擬合效果更好的經(jīng)驗回歸方程,并利用該經(jīng)驗回歸方程預測年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值.(計算結(jié)果保留兩位小數(shù))參考數(shù)據(jù):∑i=18xi=64,∑i=18yi參考公式:刻畫回歸模型擬合效果的決定系數(shù)R2=1.【解析】(1)根據(jù)題意,x=18∑i=18xi=18×64=8,y=18∑i=18yi=18×448=56,所以樣本中心點為(8,56),代入經(jīng)驗回歸方程=0.76x2+,得56=0.76×82+,解得=7.36(2)設(shè)經(jīng)驗回歸方程①的決定系數(shù)為R12,因為S則R12≈13設(shè)經(jīng)驗回歸方程②的決定系數(shù)為R22,因為S2≈658,則R22≈1658因為R12<R22,當x=20時,=0.76×202+7.36=311.36,所以年研發(fā)資金為20億元時的年產(chǎn)值為311.36億元.4.★★★☆☆(2024·邵陽三模)某市開展“安全隨我行”活動,交警部門在某個交通路口增設(shè)電子抓拍眼,并記錄了某月該路口連續(xù)10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數(shù)y與天數(shù)x的情況,對統(tǒng)計得到的樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,10)進行了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.xyY∑i=110xi∑∑i=110xi5.58.71.930138579.75表中Yi=lnyi,Y=110∑i(1)依據(jù)散點圖推斷=x+與=哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)依據(jù)(1)的結(jié)果和上表中的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程.(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關(guān)聯(lián)性,交警對該路口騎電動摩托車市民進行調(diào)查,得到如下列聯(lián)表:性別佩戴頭盔合計不佩戴佩戴女性81220男性14620合計221840依據(jù)α=0.10的獨立性檢驗,能否認為市民騎電動摩托車佩戴頭盔與性別有關(guān)聯(lián)?參考公式:=∑i=1nxiyi-nxy∑i=1nxi2-nx2α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)依據(jù)散點圖可以判斷,=更適合作為未佩戴頭盔人數(shù)y與天數(shù)x的回歸方程類型.(2)由Yi=lnyi,得