【2025年新高考備考】數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第04講 基本不等式及其應(yīng)用（十八大題型）（講義）（解析版）VIP

第04講基本不等式及其應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航 202知識(shí)導(dǎo)圖·思維引航 303考點(diǎn)突破·題型探究 4知識(shí)點(diǎn)1：基本不等式 4解題方法總結(jié) 4題型一：基本不等式及其應(yīng)用 5題型二：直接法求最值 8題型三：常規(guī)湊配法求最值 9題型四：化為單變量法 11題型五：雙換元求最值 12題型六：“1”的代換求最值 15題型七：齊次化求最值 17題型八：利用基本不等式證明不等式 20題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題 22題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值 25題型十一：三角換元法 28題型十二：多次運(yùn)用基本不等式 32題型十三：待定系數(shù)法 35題型十四：多元均值不等式 36題型十五：萬能K法 38題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題 41題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題 43題型十八：整體配湊法 4504真題練習(xí)·命題洞見 4705課本典例·高考素材 5006易錯(cuò)分析·答題模板 52易錯(cuò)點(diǎn)：忽視基本不等式應(yīng)用條件 52答題模板：利用基本不等式求最值（和定或積定） 52

考點(diǎn)要求考題統(tǒng)計(jì)考情分析（1）了解基本不等式的推導(dǎo)過程．（2）會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問題．（3）理解基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用．2022年II卷第12題，5分2021年乙卷第8題，5分2020年天津卷第14題，5分高考對(duì)基本不等式的考查比較穩(wěn)定，考查內(nèi)容、頻率、題型難度均變化不大，應(yīng)適當(dāng)關(guān)注利用基本不等式大小判斷、求最值和求取值范圍的問題．復(fù)習(xí)目標(biāo)：1、掌握基本不等式的內(nèi)容．2、會(huì)用基本不等式解決?？嫉淖畲笾祷蜃钚≈祮栴}．3、會(huì)用基本不等式解決實(shí)際問題．

知識(shí)點(diǎn)1：基本不等式如果，那么，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．其中，叫作的算術(shù)平均數(shù)，叫作的幾何平均數(shù)．即正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．基本不等式1：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)；基本不等式2：若，則（或），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正數(shù)，“二定”指求最值時(shí)和或積為定值，“三相等”指滿足等號(hào)成立的條件．（2）連續(xù)使用不等式要注意取得一致．解題方法總結(jié)1、幾個(gè)重要的不等式（1）（2）基本不等式：如果，則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“”）．特例：（同號(hào)）．（3）其他變形：①（溝通兩和與兩平方和的不等關(guān)系式）②（溝通兩積與兩平方和的不等關(guān)系式）③（溝通兩積與兩和的不等關(guān)系式）④重要不等式：即調(diào)和平均值幾何平均值算數(shù)平均值平方平均值（注意等號(hào)成立的條件）．2、均值定理已知．（1）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即“和為定值，積有最大值”．（2）如果（定值），則（當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取“=”）．即積為定值，和有最小值”．3、常見求最值模型模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.題型一：基本不等式及其應(yīng)用【典例1-1】下列不等式證明過程正確的是（

）A．若，則B．若x＞0，y＞0，則C．若x＜0，則D．若x＜0，則【答案】D【解析】∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴A錯(cuò)誤；∵可能為負(fù)數(shù)，如時(shí)，，∴B錯(cuò)誤；∵，如時(shí)，，∴C錯(cuò)誤；∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，∴D正確．故選：D．【典例1-2】（2024·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點(diǎn)O為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D為斜邊AB上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，在中，，所以，即，故選：C【方法技巧】熟記基本不等式成立的條件，合理選擇基本不等式的形式解題，要注意對(duì)不等式等號(hào)是否成立進(jìn)行驗(yàn)證．【變式1-1】下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，的最小值是C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，的最小值為1【答案】C【解析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故C正確，對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤，故選：C【變式1-2】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項(xiàng)不恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】x，y都是正數(shù)，由基本不等式，，，，這三個(gè)不等式都是當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而題中，因此等號(hào)都取不到，所以ABC三個(gè)不等式恒成立；中當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，如即可取等號(hào)，D中不等式不恒成立．故選：D．【變式1-3】給出下面四個(gè)推導(dǎo)過程：①∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴；②∵x，y為正實(shí)數(shù)，∴；③∵，，∴；④∵，，∴．其中正確的推導(dǎo)為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】D【解析】根據(jù)基本不等式的條件判斷，①，∴，因此正確；②時(shí)，若，則，不等式錯(cuò)誤；③時(shí)，不等式錯(cuò)誤；④，則，，因此不等式正確，從而不等式正確．故選：D．題型二：直接法求最值【典例2-1】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為．【答案】【解析】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào).故答案：.【典例2-2】（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）的最小值為.【答案】9【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.故答案為：9【方法技巧】直接利用基本不等式求解，注意取等條件．【變式2-1】（2024·上海崇明·二模）已知正實(shí)數(shù)a、b滿足，則的最小值等于．【答案】4【解析】，當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，則的最小值為4．故答案為：4．【變式2-2】（2024·天津南開·一模）已知實(shí)數(shù)，則的最小值為.【答案】【解析】∵，，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故答案為：.題型三：常規(guī)湊配法求最值【典例3-1】函數(shù)的最大值是（

）A．2 B． C． D．【答案】C【解析】由題意，函數(shù)又由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，所以即函數(shù)的最大值是.故選：C.【典例3-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知，且，則的最小值為，此時(shí)．【答案】12或1【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，故的最小值為12，此時(shí)滿足，解方程得或，故或1.故答案為：12；或1【方法技巧】1、通過添項(xiàng)、拆項(xiàng)、變系數(shù)等方法湊成和為定值或積為定值的形式．2、注意驗(yàn)證取得條件．【變式3-1】若，則的最小值為.【答案】0【解析】由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：0【變式3-2】函數(shù)（）的最小值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：【變式3-3】（2024·高三·天津河北·期末）已知，則的最小值為.【答案】/【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：.題型四：化為單變量法【典例4-1】（2024·高三·上海·競(jìng)賽）若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是.【答案】9【解析】解析一:，則，等號(hào)成立時(shí).所以的最小值是9.解析二:，則，等號(hào)成立時(shí)所以的最小值是9.故答案為：9.【典例4-2】（2024·天津河?xùn)|·一模）若，則的最小值為．【答案】4【解析】由，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故最小值為4，故答案為：4【方法技巧】化為單變量法就是對(duì)應(yīng)不等式中的兩元問題，用一個(gè)參數(shù)表示另一個(gè)參數(shù)，再利用基本不等式進(jìn)行求解．解題過程中要注意“一正，二定，三相等”這三個(gè)條件缺一不可！【變式4-1】（2024·陜西西安·三模）已知，，則的最小值為．【答案】/【解析】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：．【變式4-2】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是．【答案】/【解析】由可得：，將其代入，則有：，因，故有：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)，取得最小值.故答案為：.題型五：雙換元求最值【典例5-1】設(shè)為正實(shí)數(shù)，且，則的最小值為.【答案】【解析】∵,令，∴，∴，∴又∵∴；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得最小值，∴的最小值為.故答案為：【典例5-2】（2024·江蘇南京·三模）若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【解析】已知條件可化為，故可設(shè)，從而目標(biāo)代數(shù)式可化為，利用基本不等式可求其最大值.由，得，設(shè)，其中.則，從而，記，則，不妨設(shè)，則,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最大值為.故答案為：.【方法技巧】若題目中含是求兩個(gè)分式的最值問題，對(duì)于這類問題最常用的方法就是雙換元，分布運(yùn)用兩個(gè)分式的分母為兩個(gè)參數(shù)，轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)參數(shù)的不等關(guān)系．1、代換變量，統(tǒng)一變量再處理．2、注意驗(yàn)證取得條件．【變式5-1】若非零實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為.【答案】【解析】令，，則，所以，因?yàn)?，所?所以，所以，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故取得最大值.故答案為：.【變式5-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，則的取值范圍是．【答案】【解析】設(shè)，，得到，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，即，又因?yàn)?，解得，，滿足．，，令，則，令，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；令，得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，．故答案為：.題型六：“1”的代換求最值【典例6-1】已知，，且，則的最小值為．【答案】16【解析】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即當(dāng)時(shí)，取得最小值為16.故答案為：16.【典例6-2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知實(shí)數(shù)，且，則的最小值是．【答案】24【解析】因?yàn)?，且，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，故答案為：【方法技巧】1的代換就是指湊出1，使不等式通過變形出來后達(dá)到運(yùn)用基本不等式的條件，即積為定值，湊的過程中要特別注意等價(jià)變形．1、根據(jù)條件，湊出“1”，利用乘“1”法．2、注意驗(yàn)證取得條件．【變式6-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值是．【答案】/．【解析】由，得，因?yàn)?，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值是．故答案為：．【變式6-2】（2024·河南·三模）在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：.【變式6-3】（2024·陜西咸陽·一模）已知，且，則的最小值為．【答案】/【解析】由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：題型七：齊次化求最值【典例7-1】已知，，，則（

）A．S的最大值是 B．S的最大值是C．S的最大值是 D．S的最大值是【答案】B【解析】∵，令，∵，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故，可得，又∵在上單調(diào)遞增，則，∴，即S的最大值是.故選：B.【典例7-2】已知正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】【解析】任意的正實(shí)數(shù)，，，滿足，所以，由于，為正實(shí)數(shù)，故由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上，的最小值為16．故答案為：16．【方法技巧】齊次化就是含有多元的問題，通過分子、分母同時(shí)除以得到一個(gè)整體，然后轉(zhuǎn)化為運(yùn)用基本不等式進(jìn)行求解．【變式7-1】（四川省成都市第七中學(xué)2024屆高三三診模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷）設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋?，可得，設(shè)，只需要小于等于右邊的最小值即可，則，令，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，即的最大值為．故選：A．【變式7-2】已知，，，則的最小值是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】，，，即有且，將代入得，令，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值，即的最小值是.故選：D.題型八：利用基本不等式證明不等式【典例8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．【解析】（1）由，且可得，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故．【典例8-2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)的最小值是.(1)求的值；(2)若，，且，證明：.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；綜上所述，函數(shù)的最小值是2，即.（2）要證，即證，即證，因?yàn)?，，且，故只需證，由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故命題得證.【方法技巧】類似于基本不等式的結(jié)構(gòu)的不等式的證明可以利用基本不等式去組合、分解、運(yùn)算獲得證明．【變式8-1】（2024·高三·陜西西安·期中）已知，且.(1)求的最大值與最小值；(2)證明：.【解析】（1）因，由均值不等式，.則，注意到函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.得.即時(shí)，有最小值；時(shí)，有最大值；（2）由均值不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).又由（1），，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).注意到前后取等條件不一致，則.【變式8-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已均為正數(shù)，且，證明：(1)；(2)．【解析】（1）證明：由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．即，則原式成立；（2）證明：．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).【變式8-3】（1）設(shè)且．證明：；（2）已知為正數(shù)，且滿足．證明：【解析】（1）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，，都不為，則，所以.（2）因?yàn)閍，b，c為正數(shù)，，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即題型九：利用基本不等式解決實(shí)際問題【典例9-1】（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)，時(shí)，.這個(gè)基本不等式可以推廣為當(dāng)x，時(shí)，，其中且，.考慮取等號(hào)的條件，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，.用這個(gè)式子估計(jì)可以這樣操作：，則.用這樣的方法，可得的近似值為（

）A．3.033 B．3.035 C．3.037 D．3.039【答案】C【解析】依題意，，則.故選：C【典例9-2】（2024·云南楚雄·模擬預(yù)測(cè)）足球是一項(xiàng)深受人們喜愛的體育運(yùn)動(dòng).如圖，現(xiàn)有一個(gè)11人制的標(biāo)準(zhǔn)足球場(chǎng)，其底線寬，球門寬，且球門位于底線的中間，在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線上的點(diǎn)處起腳射門，當(dāng)最大時(shí)，點(diǎn)離底線的距離約為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，，所以；記可得；，當(dāng)取最大時(shí)，取最大即可，易知，此時(shí)取到最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，將代入可得.故選：C【方法技巧】1、理解題意，設(shè)出變量，建立函數(shù)模型，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最值問題．2、注意定義域，驗(yàn)證取得條件．3、注意實(shí)際問題隱藏的條件，比如整數(shù)，單位換算等．【變式9-1】（2024·湖南·一模）某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)大型聯(lián)合收割機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年（今年）的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺(tái)收割機(jī)報(bào)廢，則這臺(tái)收割機(jī)的使用年限是（

）A．6年 B．7年 C．8年 D．9年【答案】B【解析】設(shè)第年的維修保養(yǎng)費(fèi)為萬元，數(shù)列的前項(xiàng)和為，該機(jī)的年平均耗費(fèi)為，據(jù)題意，數(shù)列是首項(xiàng)為12，公差為4的等差數(shù)列.則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值38.所以這臺(tái)冰激凌機(jī)的使用年限是7年.故選:.【變式9-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價(jià)格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價(jià)分別為m元和n元，甲、乙兩人購(gòu)買該商品的方式不同，甲每周購(gòu)買100元的該商品，乙每周購(gòu)買20件該商品，若甲、乙兩次購(gòu)買平均單價(jià)分別為，則（

）A． B． C． D．的大小無法確定【答案】B【解析】由題意得，，因?yàn)椋?，，即，故選：B【變式9-3】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預(yù)約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時(shí)可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠(yuǎn)處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45【答案】A【解析】如圖，設(shè)觀賞者的眼睛在點(diǎn)處，油畫的上沿在點(diǎn)處，下沿在點(diǎn)處，點(diǎn)在線段延長(zhǎng)線上，且保持與點(diǎn)在同一水平線上，則即觀賞時(shí)的視角.依題意，不妨設(shè)，則，在中，由余弦定理，，因，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，由可得，則，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故得，即最大視角為，此時(shí)觀賞者距離油畫的直線距離為.故選：A.題型十：與a+b、平方和、ab有關(guān)問題的最值【典例10-1】（多選題）（2024·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】解析：對(duì)于A和B，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，若，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，所以，由及，可知，則當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，故D正確．故選：BD．【典例10-2】（多選題）（2024·高三·海南·期末）已知，且，則（

）A． B．或C． D．或【答案】BD【解析】對(duì)于A，，因?yàn)?，，令，得，解得或，即或，?dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，解得或，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由選項(xiàng)B知，或，所以或，則或，故D正確.故選：BD.【方法技巧】利用基本不等式變形求解【變式10-1】（多選題）若，，，則下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，A正確；對(duì)于B，，，，又，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，C正確；對(duì)于D，，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，D正確，故選：ACD【變式10-2】（多選題）已知正數(shù)滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以不恒成立，故錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)榍遥?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故正確；對(duì)于D：由C可知錯(cuò)誤；故選：BC.題型十一：三角換元法【典例11-1】（多選題）若x，y滿足，則（

）.A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)椋≧），由可變形為，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故A正確，B錯(cuò)誤；由可變形為，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確；因?yàn)樽冃慰傻茫O(shè)，所以，因此，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，取到最大值2，故C錯(cuò)誤.故選：AD.【典例11-2】已知非負(fù)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為.【答案】【解析】由，得，用換元法，令，，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值，即可求得答案.由題意得：，令，，又，為非負(fù)實(shí)數(shù)，，，，即，解得，.故（其中），，即，，即又在上單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，故當(dāng)，時(shí)，取得最大值，最大值為.故答案為：【變式11-1】已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為.【答案】【解析】由條件知令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：【方法技巧】出現(xiàn)平方和結(jié)構(gòu)（）形式，引入三角函數(shù)表示和.【變式11-2】已知，滿足，則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】采用三角代換的方式化簡(jiǎn)原式，然后利用換元法以及二次函數(shù)的值域求解最值，注意等號(hào)成立的條件.令，，，，因?yàn)?，所以，可得，所以所以，?dāng)且僅當(dāng)，，，時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為，故選：A【變式11-3】（2024屆廣東省惠州市大亞灣區(qū)普通高中畢業(yè)年級(jí)聯(lián)合模擬考試（一）數(shù)學(xué)試卷）已知為函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【答案】【解析】設(shè)，原點(diǎn)，則，；所以，即，如圖所示，所以當(dāng)直線與函數(shù)在軸右側(cè)相切時(shí)，取到最大值，即取得最大值；聯(lián)立直線與函數(shù)可得，所以，解得（舍去）；此時(shí)，所以，即的最大值為.故答案為：【變式11-4】（2024·高三·重慶·開學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為；的取值范圍為．【答案】1【解析】由題意，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即的最大值為1；由題意，因?yàn)椋栽O(shè)，所以，所以，所以，令，，所以，又，所以，所以.故答案為：1；.題型十二：多次運(yùn)用基本不等式【典例12-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，且，則的最小值為．【答案】64【解析】法一：因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為64．法二：因?yàn)椋?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．所以的最小值為64．故答案為：64.【典例12-2】已知正實(shí)數(shù)、、滿足，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由可得出，利用不等式的性質(zhì)結(jié)合基本不等式可求得的最小值.，，，由于、、均為正數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：C.【方法技巧】多次運(yùn)用不等式求最值，取到最值時(shí)要注意的是每次取等的條件是否一致.【變式12-1】（2024·天津·一模）已知，則的最小值為.【答案】4【解析】化簡(jiǎn)原式為，兩次運(yùn)用基本不等式可得結(jié)果.，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，所以，的最小值為4，故答案為：4.【變式12-2】對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為.【答案】【解析】任意的正實(shí)數(shù)，滿足，由于為正實(shí)數(shù)，故由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上，的最小值為.故答案為：題型十三：待定系數(shù)法【典例13-1】（2024·高三·河北邢臺(tái)·期末）設(shè)，若，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．4【答案】D【解析】設(shè)，，令，解得，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立．故選：D.【典例13-2】已知實(shí)數(shù)，，滿足，則的最大值為【答案】【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以，令，解得或（舍去），因此，即，?dāng)且時(shí)取等號(hào)，故的最大值為.故答案為：【方法技巧】出現(xiàn)結(jié)構(gòu)形式，通常用待定系數(shù)法.【變式13-1】已知x，y，z為正實(shí)數(shù)，則的最大值為A．1 B．2 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以的最大值為，選C.【變式13-2】為正整數(shù)，求的最小值為.【答案】4【解析】由題意知，引入?yún)?shù)k，使之滿足,當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，故的最小值為4.故答案為：4.題型十四：多元均值不等式【典例14-1】已知，則的最小值為.【答案】【解析】依題意，，則，且，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：【典例14-2】函數(shù)的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】D【解析】設(shè)，則，，因?yàn)椋蓪?duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，所以.故選：D.【方法技巧】，為正數(shù).【變式14-1】已知xyz+y+z=12，則的最大值為.【答案】3【解析】由已知條件有，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，y=z=4時(shí)取得最大值3.故答案為：3．【變式14-2】設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為.【答案】6【解析】由三元均值不等式，可得

①.

②當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，①中等號(hào)成立；當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，②中等號(hào)成立.①+②，得.又已知，故，整理得.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，的最小值為6.題型十五：萬能K法【典例15-1】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為.【答案】【解析】根據(jù)題意可得：，即，設(shè)，則：，，，，，解得或，又，，化簡(jiǎn)得，①當(dāng)時(shí)，不等式不成立；②當(dāng)時(shí)，，即，，又恒成立，可得，的取值范圍為.故答案為：.【典例15-2】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，所以的最大值為.故選：B.【方法技巧】利用一元二次方程有實(shí)數(shù)根時(shí).【變式15-1】若正數(shù)，，滿足，則的最大值是.【答案】【解析】把式子看作是關(guān)于的方程，則問題等價(jià)于關(guān)于的方程有解，則，即，則問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式有解，則，化簡(jiǎn)得，所以，此時(shí)，，符合條件.故答案為：【變式15-2】已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．的最大值是 B．的最大值是C．的最大值是 D．的最大值是【答案】A【解析】對(duì)于C，由，整理得，，可以看作關(guān)于的一元二次方程，所以，即，可以看作關(guān)于的一元二次不等式，所以，解得，當(dāng)時(shí)，，，所以x的最大值是，故C正確；對(duì)于B，由，即，即，令，，，則，即，即，由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，所以即，即，所以，即，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，對(duì)于D，所以的最大值是，故B正確；由，即，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值是，故D正確；對(duì)于A，取，，，則，而，又，而，所以，故A錯(cuò)誤.故選：A.題型十六：與基本不等式有關(guān)的恒(能)成立問題【典例16-1】已知，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，且，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又因?yàn)楹愠闪?，所以，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D【典例16-2】已知，，且，若不等式恒成立，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范圍是，故選：B.【方法技巧】，使得，等價(jià)于，，使得，等價(jià)于【變式16-1】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的不等式對(duì)任意恒成立，則正實(shí)數(shù)的取值集合為．【答案】【解析】∵，則，原題意等價(jià)于對(duì)任意恒成立，由，，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得等號(hào)，∴，解得．故正實(shí)數(shù)的取值集合為.故答案為：．【變式16-2】（2024·山西晉中·二模）若對(duì)任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，只需滿足，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：題型十七：基本不等式與其他知識(shí)交匯的最值問題【典例17-1】（2024·上海楊浦·一模）已知（、為正整數(shù)）對(duì)任意實(shí)數(shù)都成立，若，則的最小值為.【答案】【解析】,=,因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，的最小值為，故答案為：.【典例17-2】（2024·四川南充·二模）在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊．已知．則的最大值為【答案】/【解析】因?yàn)?，所以由正弦定理可?由余弦定理，得，整理得.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，又，所以，即.故答案為：.【方法技巧】基本不等式經(jīng)常與解三角形、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識(shí)匯合求最值.【變式17-1】（2024·寧夏銀川·二模）已知，P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的最大值為.【答案】【解析】由已知可得為橢圓的焦點(diǎn)，根據(jù)橢圓定義知，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：.【變式17-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正三棱錐滿足，則該三棱錐側(cè)面積的最大值為．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)為的外心，為的中點(diǎn)，連接，設(shè)，．因幾何體為正三棱錐，則平面，O為重心，則．注意到，，則，所以，所以．又中，有，所以．記三棱錐的側(cè)面積為，在中，，又，，則.故，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以該三棱錐側(cè)面積的最大值為．故答案為：.題型十八：整體配湊法【典例18-1】（2024·遼寧葫蘆島·二模）若，則的最小值是（

）A． B．1C．2 D．【答案】C【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值2.故選：C【典例18-2】（2024·山東濰坊·二模）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，即，所以，即，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以，因此，故的最大值為，此時(shí)，故選：B.【方法技巧】整體配湊法原理是把目標(biāo)當(dāng)作一個(gè)整體，然后利用基本不等式求最值.【變式18-1】（2024·高三·湖北·開學(xué)考試）已知正數(shù)滿足，則的最大值是.【答案】【解析】設(shè)，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，解得，即的最大值，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故答案為：【變式18-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在解決問題“已知正實(shí)數(shù)滿足，求的取值范圍”時(shí)，可通過重新組合，利用基本不等式構(gòu)造關(guān)于的不等式，通過解不等式求范圍．具體解答如下：由，得，即，解得的取值范圍是．請(qǐng)參考上述方法，求解以下問題：已知正實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，得，即，解得的取值范圍是．故答案為：．【變?8-3】已知為正實(shí)數(shù)且，則的取值范圍為.【答案】[2，4]【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，而，于是得，從而得，整理得，解得，顯然當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最小值2，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值4，所以的取值范圍為[2，4].故答案為：[2，4]1．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】［方法一］：（指對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)）由可得，而，所以，即，所以.又，所以，即，所以.綜上，.［方法二］：【最優(yōu)解】（構(gòu)造函數(shù)）由，可得．根據(jù)的形式構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，由知.在上單調(diào)遞增，所以，即，又因?yàn)?，所?故選：A.【點(diǎn)評(píng)】法一：通過基本不等式和換底公式以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較，方法直接常用，屬于通性通法；法二：利用的形式構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān)系，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．2．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】法1：由基本不等式有，同理，，故，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.3．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）下列函數(shù)中最小值為4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；對(duì)于B，因?yàn)?，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；對(duì)于D，，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，，D不符合題意．故選：C．1．（1）已知，求