2025年高考數(shù)學(xué)考前沖刺（4）倒計(jì)時(shí)1-5天（原卷版）

第四輯平面向量（選填題）…………………01排列組合與二項(xiàng)式定理（選填題）…………………05事件與概率、分布列與統(tǒng)計(jì)綜合（選填題）………11復(fù)數(shù)（選填題）………………………20集合與常用邏輯用語(yǔ)（選填題）……………………24平面向量（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷35（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．1 D．2向量垂直的坐標(biāo)表示；平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示2024年新高考II卷35（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿(mǎn)足，且，則（

）A． B．C．D．1數(shù)量積的運(yùn)算律；已知數(shù)量積求模；垂直關(guān)系的向量表示2023年新高考I卷35（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A．B．C．D．平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示；向量垂直的坐標(biāo)表示；利用向量垂直求參數(shù)2023年新高考II卷135（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿(mǎn)足，，則．?dāng)?shù)量積的運(yùn)算律2022年新高考I卷35（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B．C． D．用基底表示向量2022年新高考II卷45（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C．5 D．6向量夾角的坐標(biāo)表示；平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示近三年新高考數(shù)學(xué)平面向量選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋向量垂直的坐標(biāo)表示（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、數(shù)量積運(yùn)算及向量垂直（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、向量線性運(yùn)算與垂直（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、數(shù)量積運(yùn)算律（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、用基底表示向量（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、向量夾角與線性運(yùn)算（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）。?題型：多為選擇題，分值5分，側(cè)重考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積、垂直關(guān)系及線性運(yùn)算，注重對(duì)向量基本概念和運(yùn)算規(guī)則的理解與應(yīng)用。2025年新高考平面向量選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值5分。?考查方向：延續(xù)對(duì)向量垂直、數(shù)量積、線性運(yùn)算的考查，可能強(qiáng)化坐標(biāo)運(yùn)算與幾何意義的結(jié)合，或涉及向量模長(zhǎng)、夾角的綜合計(jì)算，注重運(yùn)算能力與邏輯推理，如根據(jù)向量垂直或數(shù)量積求參數(shù)，或利用坐標(biāo)運(yùn)算解決向量關(guān)系問(wèn)題。向量的運(yùn)算兩點(diǎn)間的向量坐標(biāo)公式：，，終點(diǎn)坐標(biāo)始點(diǎn)坐標(biāo)向量的加減法，，向量的數(shù)乘運(yùn)算，則：向量的模，則的模相反向量已知，則；已知單位向量向量的數(shù)量積向量的夾角投影向量向量在上的投影向量為向量的平行關(guān)系向量的垂直關(guān)系向量模的運(yùn)算典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量滿(mǎn)足，且，則（

）A． B． C． D．1典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B．C． D．典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知向量，滿(mǎn)足，，則．典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）在中，點(diǎn)D在邊AB上，．記，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測(cè)·第一題】（福建省福州第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知，若，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測(cè)·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）已知向量，若反向共線，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．3 C．3或 D．或7【名校預(yù)測(cè)·第三題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)試題）已知，，若與的夾角是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【名校預(yù)測(cè)·第四題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）若向量在向量上的投影向量為，且，則（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測(cè)·第五題】（重慶市巴蜀中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二診數(shù)學(xué)試題）已知向量都是單位向量，且向量滿(mǎn)足向量的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．3【名師押題·第一題】已知向量，，若，則的值為．【名師押題·第二題】已知單位向量，滿(mǎn)足，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【名師押題·第三題】已知平面向量，，，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2【名師押題·第四題】在直角梯形中，，，，是的中點(diǎn)，若，則（

）.A．1 B． C． D．【名師押題·第五題】在等邊中，，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N滿(mǎn)足，則（

）A． B． C． D．【名師押題·第六題】已知平面向量，若，則（

）A． B． C． D．排列組合與二項(xiàng)式定理（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考II卷145（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．全排列問(wèn)題；寫(xiě)出基本事件2023年新高考I卷135（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理；實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2023年新高考II卷35（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種B．種C．種D．種分步乘法計(jì)數(shù)原理及簡(jiǎn)單應(yīng)用；實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題；抽樣比、樣本總量、各層總數(shù)、總體容量的計(jì)算2022年新高考I卷135（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．兩個(gè)二項(xiàng)式乘積展開(kāi)式的系數(shù)問(wèn)題2022年新高考II卷55（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種C．36種 D．48種元素（位置）有限制的排列問(wèn)題；相鄰問(wèn)題的排列問(wèn)題近三年新高考數(shù)學(xué)排列組合與二項(xiàng)式定理選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋排列問(wèn)題（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷方格表選方格）、分類(lèi)加法計(jì)數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、分層抽樣組合計(jì)數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷）、二項(xiàng)式展開(kāi)式系數(shù)（2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、相鄰排列問(wèn)題（2022年新課標(biāo)Ⅱ卷），側(cè)重計(jì)數(shù)原理與公式應(yīng)用。?題型：均為選填題，分值5分，注重實(shí)際情境中的計(jì)數(shù)與二項(xiàng)式定理簡(jiǎn)單計(jì)算。2025年新高考排列組合與二項(xiàng)式定理選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為選填題，分值5分。?考查方向：延續(xù)排列組合實(shí)際應(yīng)用（如分組、排隊(duì)），二項(xiàng)式定理求特定項(xiàng)系數(shù)，或與概率等簡(jiǎn)單結(jié)合，強(qiáng)化計(jì)數(shù)原理（分類(lèi)、分步）及公式運(yùn)用，考查分析與計(jì)算能力。1.分類(lèi)計(jì)數(shù)原理（加法原理）.2.分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.3.排列數(shù)公式==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定.4.組合數(shù)公式===(∈N*，，且).5.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系.6．單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列.（1）“在位”與“不在位”①某（特）元必在某位有種；②某（特）元不在某位有（補(bǔ)集思想）（著眼位置）（著眼元素）種.（2）緊貼與插空（即相鄰與不相鄰）①定位緊貼：個(gè)元在固定位的排列有種.②浮動(dòng)緊貼：個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有種.注：此類(lèi)問(wèn)題常用捆綁法；③插空：兩組元素分別有k、h個(gè)（），把它們合在一起來(lái)作全排列，k個(gè)的一組互不能挨近的所有排列數(shù)有種.（3）兩組元素各相同的插空個(gè)大球個(gè)小球排成一列，小球必分開(kāi)，問(wèn)有多少種排法？當(dāng)時(shí)，無(wú)解；當(dāng)時(shí)，有種排法.（4）兩組相同元素的排列：兩組元素有m個(gè)和n個(gè)，各組元素分別相同的排列數(shù)為.7．分配問(wèn)題（1）(平均分組有歸屬問(wèn)題)將相異的、個(gè)物件等分給個(gè)人，各得件，其分配方法數(shù)共有.（2）(平均分組無(wú)歸屬問(wèn)題)將相異的·個(gè)物體等分為無(wú)記號(hào)或無(wú)順序的堆，其分配方法數(shù)共有.8.二項(xiàng)式定理;二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．典例2（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門(mén)體育類(lèi)選修課和4門(mén)藝術(shù)類(lèi)選修課，學(xué)生需從這8門(mén)課中選修2門(mén)或3門(mén)課，并且每類(lèi)選修課至少選修1門(mén)，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．典例3（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種典例4（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【名校預(yù)測(cè)·第一題】（黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題）若在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為80，則．（用數(shù)字作答）【名校預(yù)測(cè)·第二題】（山東省泰安第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（

）A．24 B．6 C． D．【名校預(yù)測(cè)·第三題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第一次模擬試卷）2024年4月26日，神舟十九號(hào)與神舟十八號(hào)航天員順利會(huì)師中國(guó)空間站，激發(fā)了全國(guó)人民的民族自豪感和愛(ài)國(guó)熱情.齊聚“天宮”的6名宇航員分別是“70后”蔡旭哲、“80后”葉光富、李聰、李廣蘇，“90后”宋令東、王浩澤.為記錄這一歷史時(shí)刻，大家準(zhǔn)備拍一張“全家?！?假設(shè)6人站成一排，兩位指令長(zhǎng)蔡旭哲和葉光富必須站中間，其他兩位“80后”彼此不相鄰，兩位“90后”彼此不相鄰，則不同的站法共有（

）A．16種 B．32種 C．48種 D．64種【名校預(yù)測(cè)·第四題】（遼寧省本溪市高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）中國(guó)有十二生肖，又叫十二屬相，每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）的一種，現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè)，甲、乙、丙三位同學(xué)依次選一個(gè)作為禮物，甲同學(xué)喜歡牛、馬和羊，乙同學(xué)喜歡牛、兔、狗和羊，丙同學(xué)哪個(gè)吉祥物都喜歡，則讓三位同學(xué)選取的禮物都滿(mǎn)意的選擇方法共有種（用數(shù)字作答）【名校預(yù)測(cè)·第五題】（河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三調(diào)研數(shù)學(xué)試卷）現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，以下說(shuō)法正確的是（

）A．每人都安排一項(xiàng)工作的不同方法數(shù)為54B．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，則不同的方法數(shù)為C．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排一人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為D．每人都安排一項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少有一人參加，甲、乙不會(huì)開(kāi)車(chē)但能從事其他三項(xiàng)工作，丙、丁、戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是【名師押題·第一題】將兩個(gè)1，兩個(gè)3，一個(gè)5排成一行，則不同的排法種數(shù)為.（用數(shù)字作答）【名師押題·第二題】若二項(xiàng)式展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為160，則．【名師押題·第三題】已知的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為60，則實(shí)數(shù)的值為.【名師押題·第四題】一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)出發(fā)，每秒末必須等可能向右、或向左、或向上、或向下跳一個(gè)單位長(zhǎng)度，則此質(zhì)點(diǎn)在第10秒末到達(dá)點(diǎn)的跳法共有種．（用數(shù)字作答）【名師押題·第五題】甲、乙等5名志愿者參加2025年文化和旅游發(fā)展大會(huì)的、、、四項(xiàng)服務(wù)工作，要求每名志愿者只能參加1項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作至少安排1人，且甲不參加項(xiàng)工作，乙必須參加項(xiàng)工作，則不同的安排方法數(shù)有（

）A．36種 B．42種 C．54種 D．72種【名師押題·第六題】為拓展學(xué)生數(shù)學(xué)視野，鼓勵(lì)學(xué)生多讀數(shù)學(xué)書(shū)，學(xué)校舉辦了“數(shù)學(xué)圖書(shū)在哪”的抽獎(jiǎng)活動(dòng).如圖，在一個(gè)5×5的方格表中，按如下規(guī)則放置了一些圖書(shū)，小方格中的數(shù)字表示與其有公共頂點(diǎn)的小方格的圖書(shū)的總本數(shù)，且有數(shù)字的小方格上沒(méi)有圖書(shū)，其余方格內(nèi)無(wú)限制，且每一個(gè)方格只能放1本圖書(shū).則所有可能的圖書(shū)排列方式總數(shù)為（

）A．160 B．192 C．224 D．256事件與概率、分布列與統(tǒng)計(jì)綜合（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷96（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）B．C．D．指定區(qū)間的概率；正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用2024年新高考I卷145（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.求離散型隨機(jī)變量的均值；均值的性質(zhì)；計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率2024年新高考II卷45（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間計(jì)算幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)；計(jì)算幾個(gè)數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差；計(jì)算幾個(gè)數(shù)的中位數(shù)2023年新高考I卷95（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差計(jì)算幾個(gè)數(shù)的中位數(shù)；計(jì)算幾個(gè)數(shù)的平均數(shù)；計(jì)算幾個(gè)數(shù)據(jù)的極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差2023年新高考II卷125（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率利用互斥事件的概率公式求概率；獨(dú)立事件的乘法公式；獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問(wèn)題2022年新高考I卷55（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A．B． C．D．計(jì)算古典概型問(wèn)題的概率；實(shí)際問(wèn)題中的組合計(jì)數(shù)問(wèn)題2022年新高考II卷135（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則．指定區(qū)間的概率近三年新高考數(shù)學(xué)事件與概率、分布列與統(tǒng)計(jì)綜合選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋正態(tài)分布實(shí)際應(yīng)用（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、古典概型概率計(jì)算（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、統(tǒng)計(jì)量分析（均值、方差、極差、中位數(shù)，如2024年新課標(biāo)Ⅱ卷、2023年新課標(biāo)Ⅰ卷）、獨(dú)立事件概率（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷），注重實(shí)際情境與概念結(jié)合。?題型：以選擇題為主，分值5-6分，側(cè)重考查概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用及基本計(jì)算能力。2025年新高考事件與概率、分布列與統(tǒng)計(jì)綜合選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題或填空題，分值5-6分。?考查方向：延續(xù)正態(tài)分布、古典概型、統(tǒng)計(jì)量計(jì)算的考查，可能結(jié)合分布列簡(jiǎn)單問(wèn)題，強(qiáng)化實(shí)際應(yīng)用（如生活場(chǎng)景中的概率計(jì)算、統(tǒng)計(jì)量分析），注重對(duì)概念的理解與運(yùn)算準(zhǔn)確性，如根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析數(shù)據(jù)特征，或利用概率公式解決實(shí)際問(wèn)題。等可能性事件的概率.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)．個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率P(A·B)=P(A)·P(B).個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率7.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)（1）;（2）.8.數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)（1）.（2）若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.10.方差11.標(biāo)準(zhǔn)差=.12.方差的性質(zhì)(1)；(2）若～，則.(3)若服從幾何分布,且，則.13.方差與期望的關(guān)系.14.正態(tài)分布密度函數(shù)，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.15.對(duì)于，取值小于x的概率..條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱(chēng)為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類(lèi)似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡(jiǎn)全概率公式一般地，設(shè)A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)＞0，i＝1，2，…，n，則對(duì)任意的事件B?Ω，BΩ＝B(A1＋A2＋…＋An)＝BA1＋BA2＋…＋BAn，有P(B)＝，此公式為全概率公式.（1）計(jì)算條件概率除了應(yīng)用公式P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)外，還可以利用縮減公式法，即P(B|A)＝eq\f(n（AB）,n（A）)，其中n(A)為事件A包含的樣本點(diǎn)數(shù)，n(AB)為事件AB包含的樣本點(diǎn)數(shù).（2）全概率公式為概率論中的重要公式，它將對(duì)一個(gè)復(fù)雜事件A的概率的求解問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為了在不同情況下發(fā)生的簡(jiǎn)單事件的概率的求和問(wèn)題.貝葉斯公式一般地,設(shè)是一組兩兩互斥的事件,有且,則對(duì)任意的事件有數(shù)字樣本特征眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麨槠鏀?shù)個(gè)，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個(gè)，中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)：，反映樣本的平均水平方差：反映樣本的波動(dòng)程度，穩(wěn)定程度和離散程度；越大，樣本波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動(dòng)越小，越穩(wěn)定；標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣極差：等于樣本的最大值最小值典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）隨著“一帶一路”國(guó)際合作的深入，某茶葉種植區(qū)多措并舉推動(dòng)茶葉出口.為了解推動(dòng)出口后的畝收入（單位：萬(wàn)元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動(dòng)出口后畝收入的樣本均值，樣本方差，已知該種植區(qū)以往的畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)推動(dòng)出口后的畝收入服從正態(tài)分布，則（

）（若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，）A． B．C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字2，4，6，8，兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用）.則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為.典例3（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間典例4（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）有一組樣本數(shù)據(jù)，其中是最小值，是最大值，則（

）A．的平均數(shù)等于的平均數(shù)B．的中位數(shù)等于的中位數(shù)C．的標(biāo)準(zhǔn)差不小于的標(biāo)準(zhǔn)差D．的極差不大于的極差典例5（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立．發(fā)送0時(shí)，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為，收到1的概率為.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A．采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為B．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為C．采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為D．當(dāng)時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【名校預(yù)測(cè)·第一題】（025屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測(cè)試數(shù)學(xué)試題）語(yǔ)文老師要從10篇課文中隨抽3篇不同的課文讓同學(xué)背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能及格．某位同學(xué)只能背誦其中的6篇，則他能及格的概率是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測(cè)·第二題】（浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題）（多選）體育教育既能培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)鍛煉身體的習(xí)慣，又能培養(yǎng)學(xué)生開(kāi)拓進(jìn)取、不畏艱難的堅(jiān)強(qiáng)性格.杭州學(xué)軍中學(xué)西溪校區(qū)高三學(xué)生參加體育測(cè)試，其中理科班女生的成績(jī)與文科班女生的成績(jī)均服從正態(tài)分布，且，則（

）A． B．C． D．【名校預(yù)測(cè)·第三題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）（多選）樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差是，極差為，則下列判斷正確的是（

）A．若，則的平均數(shù)為B．若，則的方差為0C．若的極差是，則D．若，則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是【名校預(yù)測(cè)·第四題】（廣東省深圳市高級(jí)中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試題）依次拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，表示事件“第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為2”，表示事件“第一次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，表示事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為6”，表示事件“兩次拋擲骰子的點(diǎn)數(shù)之和為7”，則（

）A．與為對(duì)立事件 B．與為相互獨(dú)立事件C．與為相互獨(dú)立事件 D．與為互斥事件【名校預(yù)測(cè)·第五題】（湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)數(shù)學(xué)試題）一只口袋裝有形狀、大小完全相同的3只小球，其中紅球、黃球、黑球各1只．現(xiàn)從口袋中先后有放回地取球2n次，且每次取1只球，X表示2n次取球中取到紅球的次數(shù)，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，,則X的數(shù)學(xué)期望為（用n表示），Y的數(shù)學(xué)期望為（用n表示）．【名師押題·第一題】某市高三年級(jí)男生的體重（單位：kg）近似服從正態(tài)分布．若，則．【名師押題·第二題】已知互不相等的數(shù)據(jù)，，，，，，的平均數(shù)為，方差為，數(shù)據(jù)，，，，，的方差為，則（

）A． B．C． D．與的大小關(guān)系無(wú)法判斷【名師押題·第三題】某校食堂為打造菜品，特舉辦菜品評(píng)選活動(dòng).已知評(píng)委團(tuán)由家長(zhǎng)代表，學(xué)生代表和教工代表組成，人數(shù)比為，現(xiàn)由評(píng)委團(tuán)對(duì)1號(hào)菜品和2號(hào)菜品進(jìn)行投票（每人只能投一票且必須投一票）.若投票結(jié)果顯示，家長(zhǎng)代表和學(xué)生代表中均有的人投票給1號(hào)菜品，教工代表中有的人投票給2號(hào)菜品，那么，從1號(hào)菜品的投票人中任選1人，他是學(xué)生代表的概率為（

）A． B． C． D．【名師押題·第四題】有6張卡片，正面分別寫(xiě)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，且背面均寫(xiě)有數(shù)字7.先把這些卡片正面朝上排成一排.規(guī)定一次試驗(yàn)：擲一顆均勻的骰子一次，若點(diǎn)數(shù)為，則將向上數(shù)字為的卡片翻面并放置原處；若沒(méi)有向上數(shù)字為的卡片，則卡片不作翻動(dòng).進(jìn)行上述試驗(yàn)3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件下，骰子恰有一次點(diǎn)數(shù)為2的概率為（

）A． B． C． D．【名師押題·第五題】為備戰(zhàn)乒乓球賽，某體校甲?乙兩名主力進(jìn)行訓(xùn)練，規(guī)則如下：兩人每輪分別與老師打2局，當(dāng)兩人獲勝局?jǐn)?shù)不少于3局時(shí)，則認(rèn)為此輪訓(xùn)練過(guò)關(guān)；否則不過(guò)關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿(mǎn)足，每局之間相互獨(dú)立.記甲、乙在輪訓(xùn)練中訓(xùn)練過(guò)關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來(lái)看，甲?乙兩人訓(xùn)練的輪數(shù)至少為（

）A．28 B．24 C．32 D．27【名師押題·第六題】人工智能（ArtificialIntelligence），英文縮寫(xiě)為．是新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)變革的重要驅(qū)動(dòng)力量，是研究、開(kāi)發(fā)用于模擬、延伸和擴(kuò)展人的智能的理論、方法、技術(shù)及應(yīng)用系統(tǒng)的一門(mén)新的科學(xué)．某商場(chǎng)在有獎(jiǎng)銷(xiāo)售的抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)時(shí)，采用技術(shù)生成獎(jiǎng)券碼：在每次抽獎(jiǎng)時(shí)，顧客連續(xù)點(diǎn)擊按鍵5次，每次點(diǎn)擊隨機(jī)生成數(shù)字0或1或2，點(diǎn)擊結(jié)束后，生成的5個(gè)數(shù)字之和即為獎(jiǎng)券碼．并規(guī)定：如果獎(jiǎng)券碼為0，則獲一等獎(jiǎng)；如果獎(jiǎng)券碼為3的正整數(shù)倍，則獲二等獎(jiǎng)，其它情況不獲獎(jiǎng)．已知顧客甲參加了一次抽獎(jiǎng)，則他獲二等獎(jiǎng)的概率為．復(fù)數(shù)（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷25（2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C． D．復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算；復(fù)數(shù)的乘方2024年新高考II卷15（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1C． D．2求復(fù)數(shù)的模2023年新高考I卷25（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B．C．0 D．1共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算2023年新高考II卷15（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限在各象限內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的特征；復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算2022年新高考I卷25（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B．C．1 D．2共軛復(fù)數(shù)的概念及計(jì)算2022年新高考II卷25（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）（

）A． B．C． D．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算近三年新高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋復(fù)數(shù)除法、乘方運(yùn)算（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷）、求模（2024年新課標(biāo)Ⅱ卷）、共軛復(fù)數(shù)計(jì)算（2023年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷）、復(fù)數(shù)乘法及象限位置（2023年新課標(biāo)Ⅱ卷、2022年新課標(biāo)Ⅱ卷），側(cè)重復(fù)數(shù)基本運(yùn)算與概念。?題型：均為選擇題，分值5分，注重對(duì)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則（乘、除）、共軛復(fù)數(shù)、模及幾何意義（象限）的考查。2025年新高考復(fù)數(shù)選填題高考預(yù)測(cè)?題型與分值：預(yù)計(jì)為選擇題，分值5分。?考查方向：延續(xù)對(duì)復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)、模的考查，可能結(jié)合復(fù)數(shù)方程或幾何意義（如對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限），強(qiáng)化對(duì)復(fù)數(shù)基本概念和運(yùn)算法則的掌握，考查運(yùn)算準(zhǔn)確性與概念理解。虛數(shù)單位：，規(guī)定虛數(shù)單位的周期復(fù)數(shù)的代數(shù)形式：Z=，叫實(shí)部，叫虛部復(fù)數(shù)的分類(lèi)復(fù)數(shù)相等：若共軛復(fù)數(shù)：若兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；，復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)復(fù)數(shù)的模：，則；典例1（2024·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C． D．典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知，則（

）A． B． C．0 D．1典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）若，則（

）A． B． C．1 D．2【名校預(yù)測(cè)·第一題】（貴州省貴陽(yáng)市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)試卷）復(fù)數(shù)的虛部是（

）A． B． C． D．【名校預(yù)測(cè)·第二題】（黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第一次模擬試卷）復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【名校預(yù)測(cè)·第三題】（遼寧省本溪市高級(jí)中學(xué)2025屆高三下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題）已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（

）A． B．2 C． D．1【名校預(yù)測(cè)·第四題】（黑龍江省哈爾濱第三中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期第二次模擬數(shù)學(xué)試題）復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)（

）A． B．1 C． D．【名校預(yù)測(cè)·第五題】（河北省石家莊市第一中學(xué)2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知，且，為虛數(shù)單位，則的最大值是．【名師押題·第一題】若，則（

）A． B． C． D．2【名師押題·第二題】已知是虛數(shù)單位，，則（

）A． B． C．0 D．3【名師押題·第三題】若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則z的虛部是（

）A． B． C． D．【名師押題·第四題】復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中i為虛數(shù)單位，則對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【名師押題·第五題】已知z是方程的一個(gè)復(fù)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．【名師押題·第六題】已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位）則的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4集合與常用邏輯用語(yǔ)（選填題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷15（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算；由冪函數(shù)的單調(diào)性解不等式2024年新高考II卷25（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題B．和q都是真命題C．p和都是真命題D．和都是真命題全稱(chēng)量詞命題的否定及其真假判斷；存在量詞命題的否定及其真假判斷；判斷命題的真假2023年新高考I卷15（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算；解不含參數(shù)的一元二次不等式2023年新高考I卷75（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，設(shè)甲：為等差數(shù)列；乙：為等差數(shù)列，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件充要條件的證明；判斷等差數(shù)列；由遞推關(guān)系證明數(shù)列是等差數(shù)列；求等差數(shù)列前n項(xiàng)和2023年新高考II卷25（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）設(shè)集合，，若，則（

）．A．2 B．1C． D．根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)2022年新高考I卷15（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）若集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算2022年新高考II卷15（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．交集的概念及運(yùn)算；公式法解絕對(duì)值不等式近三年新高考數(shù)學(xué)集合與常用邏輯用語(yǔ)選填題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)：涵蓋集合的交集運(yùn)算（2024年新課標(biāo)Ⅰ卷、2023年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅰ卷、2022年新課標(biāo)Ⅱ卷）、由集合包含關(guān)系求參數(shù)（2023年新課標(biāo)Ⅱ