專題02 勾股定理-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點(diǎn)大串講（人教版）

八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期·期末復(fù)習(xí)大串講專題02勾股定理（3考點(diǎn)+2專項突破+4易錯）人教版01020403目

錄易錯易混題型剖析考點(diǎn)透視押題預(yù)測三大?？键c(diǎn)：知識梳理+針對訓(xùn)練二大專項突破(利用勾股定理解決折疊+最短路徑問題）

四大易錯易混經(jīng)典例題+針對訓(xùn)練精選3道期末真題對應(yīng)考點(diǎn)練

直角正整知識結(jié)構(gòu)如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2=c2.ACBbac即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.幾何語言：在Rt△ABC中，∠C=90°，∴a2+b2=c2.知識梳理知識點(diǎn)一：勾股定理趙爽弦圖S大正方形=c2=(b-a)2+4×

ab化簡結(jié)果，得c2=a2+b2.數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想特殊到一般的思想轉(zhuǎn)化思想分類討論思想知識點(diǎn)二：勾股定理的證明重新組合S左=a2+b2+4×

abS右=c2+4×

ab∵S左=S右∴a2+b2=c2知識點(diǎn)三：畢達(dá)哥拉斯：利用拼接圖形的面積法題設(shè)：Rt△ABC≌Rt△CDE易證：△ACE為直角三角形，四邊形ABDE為梯形S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE即(a+b)(a+b)=×2×ab+c2化簡得：a2+b2=c2知識點(diǎn)四：加菲爾德：梯形面積法知識點(diǎn)五：達(dá)芬奇證明方法：勾股定理題設(shè)：一個三角形是直角三角形.結(jié)論：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(a2+b2=c2)勾股定理的逆定理題設(shè)：一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2.結(jié)論：這個三角形是直角三角形.若兩個命題的題設(shè)、結(jié)論正好相反，則這兩個命題叫做互逆命題.知識點(diǎn)六：互逆命題題設(shè)：一個三角形是直角三角形.結(jié)論：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.(a2+b2=c2)題設(shè)：一個三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2.結(jié)論：這個三角形是直角三角形.如果把其中一個叫原命題，那么另一個叫做它的逆命題.如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理.考點(diǎn)1

勾股定理

B

針對訓(xùn)練

D

C

C

BA.18

B.10

C.36

D.40

BA.1.5

B.2

C.3

D.4

考點(diǎn)2

勾股定理的逆定理7.[2024·

重慶銅梁區(qū)期中]

下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是(

)

D

8.在單位長度為1的正方形網(wǎng)格中，下面的三角形是直角三角形的是(

)

CA.

B.

C.

D.

9.下面三個定理中，存在逆定理的有(

)

①角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②全等三角形的對應(yīng)角相等；③內(nèi)錯角相等，兩直線平行.CA.0個

B.1個

C.2個

D.3個

30

考點(diǎn)3

勾股定理及其逆定理的實際應(yīng)用

CA.8

B.10

C.12

D.13

101

利用勾股定理解決折疊問題

專項突破一題型一

一次折疊問題（第1題）

CA.6

B.8

C.12

D.14（第2題）

B

（2）陰影部分的面積.

題型二

兩次折疊問題

利用勾股定理解決最短路徑問題

專項突破二圖例基本策略模型一________________圖例基本策略模型二利用“垂線段最短”確定最短路徑；構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解類型一

平面圖形中的最短路徑問題

C

B

BA.4

B.5

C.6

D.7

5

類型二

幾何體中的最短路徑問題圖例基本策略圓柱__________________________________________將立體圖形展開成平面圖形，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最短路徑；構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解注意：長方體不同的展開方法構(gòu)造的直角三角形的各邊長不同，因此要先分類討論再計算比較圖例基本策略長方體___________________________________________________將立體圖形展開成平面圖形，利用“兩點(diǎn)之間，線段最短”確定最短路徑；構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解注意：長方體不同的展開方法構(gòu)造的直角三角形的各邊長不同，因此要先分類討論再計算比較階梯____________________________________________________________________________續(xù)表

D

A

73

類型三

利用數(shù)形結(jié)合解決最短路徑問題

【問題解決】

【思維拓展】

【探索創(chuàng)新】

易錯點(diǎn)1.審題不到位，受思維定式的干擾【例1】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則(

)A.∠A為直角B.∠B為直角C.∠C為直角D.△ABC不是直角三角形易混易錯錯解：C.錯解分析：常見的直角三角形表示中，一般將直角標(biāo)注為∠C，因此容易思維定式選擇∠C為直角，加之對本題所給條件的分析不縝密，導(dǎo)致錯誤.該題中的條件應(yīng)轉(zhuǎn)化為a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，再根據(jù)勾股定理進(jìn)行判斷，較長邊對應(yīng)的角是直角.正解：A.【針對訓(xùn)練】填空：(1)在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，則斜邊BC長為

；

(2)在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，則第三邊長為

.

10

BC易錯點(diǎn)3.方向角問題中方向不明確時，結(jié)果沒有進(jìn)行分類【例3】如圖D17－1－1，某港口O位于東西海岸線上，甲、乙兩艘漁船同時離開港口O，各自沿一固定方向航行，甲船沿北偏東30°方向以每小時16nmile的速度航行，乙船沿某方向以每小時12nmile的速度航行，2h后，甲船到達(dá)點(diǎn)A處，兩艘船相距40nmile，問乙船沿哪個方向航行？圖D17－1－1錯解：如圖D17－1－2，假設(shè)2h后乙船到達(dá)點(diǎn)B處.由題意，得OA＝16×2＝32(nmile)，OB＝12×2＝24(nmile).∵OA2＋OB2＝322＋242＝1600，AB2＝402＝1600，∴OA2＋OB2＝AB2.∴△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.∵甲船沿北偏東30°方向航行，∴90°－30°＝60°.∴乙船沿北偏西60°方向航行.圖D17－1－2錯解分析：該解題過程錯在只討論了其中一種情況，導(dǎo)致漏解，這題沒有給出航行方向，乙船可能沿北偏西的某個方向航行，也可能沿南偏東的某個方向航行，需要自己畫圖分類討論.由題意，得OA＝16×2＝32(nmile)，OB＝12×2＝24(nmile).∵OA2＋OB2＝322＋242＝1600，AB2＝402＝1600，∴OA2＋OB2＝AB2.∴△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°.∵甲船沿北偏東30°方向航行，∴90°－30°＝60°.∴乙船沿北偏西60°或南偏東60°方向航行.正解：如圖D17－1－3，假設(shè)2h后乙船到達(dá)點(diǎn)B處.圖D17－1－3【針對訓(xùn)練】某港口A位于東西海岸線上，甲、乙兩船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小時航行45nmile，乙船每小時航行60nmile，它們離開港口1.2h后分別位于點(diǎn)B，C處，且相距90nmile.若甲船沿南偏西25°方向航行，問乙船沿哪個方向航行？解：如答圖D17－1－1.由題意，得AB＝45×1.2＝54(n

mile)，AC＝60×1.2＝72(n

mile).∵AB2＋AC2＝542＋722＝8

100，BC2＝902＝8

100.∴AB2＋AC2＝BC2.∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°.∵甲船沿南偏西25°方向航行，∴90°－25°＝65°.∴乙船沿南偏東65°或北偏西65°方向航行.答圖D17－1－