專題04 一次函數(shù)-2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考點大串講（人教版）

第第頁專題04一次函數(shù)（考點清單，5考點梳理+8題型解讀）清單01變量與函數(shù)1.常量、變量：在一個變化過程中,數(shù)值發(fā)生變化的量叫做變量；數(shù)值始終不變的量叫做常量。2、函數(shù)的概念：一般的，在一個變化過程中,如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就說x是自變量，y是x的函數(shù)．3.函數(shù)有三種表示形式：（1）列表法（2）圖像法（3）解析式法清單02一次函數(shù)的定義一般地，形如y=kx(k為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù).其中k叫做比例系數(shù)。一般地，形如y=kx+b(k,b為常數(shù)，且k≠0)的函數(shù)叫做一次函數(shù).當(dāng)b=0時,y=kx+b即為y=kx,所以正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特例.清單03一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)1.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1)圖象:正比例函數(shù)y=kx(k是常數(shù)，k≠0))的圖象是經(jīng)過原點的一條直線，我們稱它為直線y=kx。(2)性質(zhì):當(dāng)k>0時,直線y=kx經(jīng)過第一，三象限，從左向右上升，即隨著x的增大y也增大；當(dāng)k<0時,直線y=kx經(jīng)過二,四象限，從左向右下降，即隨著x的增大y反而減小。2.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)一次函數(shù)[y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0]概念如果y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0），那么y叫x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時，一次函數(shù)y=kx（k≠0）也叫正比例函數(shù).圖像一條直線性質(zhì)k＞0時，y隨x的增大(或減小)而增大(或減小)；k＜0時，y隨x的增大(或減小)而減小(或增大).直線y=kx+b（k≠0）的位置與k、b符號之間的關(guān)系.（1）k>0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、三象限；（2）k>0，b＜0圖像經(jīng)過一、三、四象限；（3）k>0，b＝0圖像經(jīng)過一、三象限；（4）k＜0，b＞0圖像經(jīng)過一、二、四象限；（5）k＜0，b＜0圖像經(jīng)過二、三、四象限；（6）k＜0，b＝0圖像經(jīng)過二、四象限。一次函數(shù)表達(dá)式的確定求一次函數(shù)y=kx+b（k、b是常數(shù)，k≠0）時，需要由兩個點來確定；求正比例函數(shù)y=kx（k≠0）時，只需一個點即可.清單04一次函數(shù)的圖象與方程、不等式1.一次函數(shù)與一元一次方程x為何值時函數(shù)y=ax+b的值為0．從“數(shù)”的角度看，求ax+b=0(a,b是常數(shù)，a≠0)的解，從“形”的角度看，求直線y=ax+b與x軸交點的橫坐標(biāo)2.一次函數(shù)與二元一次方程1）每個二元一次方程組都對應(yīng)兩個一次函數(shù)，于是也對應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時兩個函數(shù)的值相等，以及這時的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點的坐標(biāo).2）兩個一次函數(shù)圖象的交點與二元一次方程組的解的聯(lián)系是：在同一直角坐標(biāo)系中，兩個一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)就是相應(yīng)的二元一次方程組的解，反之也成立.3）當(dāng)二元一次方程組無解時，相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在坐標(biāo)系中的直線就沒有交點，則兩個一次函數(shù)的直線平行.反過來，當(dāng)兩個一次函數(shù)直線平行時，相應(yīng)的二元一次方程組就無解.4）當(dāng)二元一次方程組有無數(shù)解時，則相應(yīng)的兩個一次函數(shù)在坐標(biāo)系中重合，反之也成立.3.一次函數(shù)與一元一次不等式解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．從“數(shù)”的角度看，x為何值時函數(shù)y=ax+b的值大于0．解不等式ax+b＞0(a，b是常數(shù)，a≠0)．從“形”的角度看，求直線y=ax+b在x軸上方的部分（射線）所對應(yīng)的的橫坐標(biāo)的取值范圍．清單05一次函數(shù)的實際應(yīng)用1、分段函數(shù)問題分段函數(shù)是在不同區(qū)間有不同對應(yīng)方式的函數(shù)，要特別注意自變量取值范圍的劃分，既要科學(xué)合理，又要符合實際．2、函數(shù)的多變量問題解決含有多變量問題時，可以分析這些變量的關(guān)系，選取其中一個變量作為自變量，然后根據(jù)問題的條件尋求可以反映實際問題的函數(shù)．3、概括整合（1）簡單的一次函數(shù)問題：①建立函數(shù)模型的方法；②分段函數(shù)思想的應(yīng)用．（2）理清題意是采用分段函數(shù)解決問題的關(guān)鍵．【考點題型一】變量與函數(shù)（）【例1-1】（23-24八年級下·甘肅隴南·期末）圓的半徑為r，面積S與r的關(guān)系式為，下列判斷正確的是（

）A．r是因變量 B．π是常量 C．S是自變量 D．S，π，r都是變量【答案】B【分析】本題主要考查函數(shù)中常量與變量的概念，掌握其概念是解題的關(guān)鍵．根據(jù)常量（不會發(fā)生變化的量）與變量（會發(fā)生變化的量）的定義即可求解．【詳解】解：A、是自變量，故A選項錯誤，不符合題意；B、是常量，故B選項正確，符合題意；C、是因變量，故C選項錯誤，不符合題意；D、是常量，故D選項錯誤，不符合題意；故選：B．【例1-2】（23-24八年級下·全國·期末）下列說法正確的是（

）A．變量，滿足，則是的函數(shù)B．變量，滿足，則是的函數(shù)C．變量，滿足，則是的函數(shù)D．在中，是常量，，是自變量，是的函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的定義解答即可．本題考查對函數(shù)概念的理解，認(rèn)識變量和常量．【詳解】解：與不是唯一的值對應(yīng)，故選項錯誤；B．當(dāng)取一值時，有唯一的值與之對應(yīng)，故選項正確；C．與不是唯一的值對應(yīng)，故選項錯誤；D．在中，、是常量，是自變量，是的函數(shù)，故選項錯誤．故選B．【例1-3】（23-24八年級下·云南紅河·期末）在函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（

）A． B．且 C． D．且【答案】D【分析】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍的求解，根據(jù)分式有意義的條件，二次根式被開方數(shù)非負(fù)性質(zhì)，解一元一次不等式組，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：且，解得：且，故選：D．【例1-4】（23-24八年級下·河北承德·期末）一艘輪船在同一航線上往返于甲、乙兩地．已知輪船在靜水中的速度為，水流速度為．輪船先從甲地順?biāo)叫械揭业?，在乙地停留一段時間后，又從乙地逆水航行返回到甲地．設(shè)輪船從甲地出發(fā)后所用時間為，航行的路程為，則與的函數(shù)圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由航行，休息，航行可得此函數(shù)圖象將分三個階段，逐段進(jìn)行分析即可得答案．本題考查了實際問題的函數(shù)圖象，解決本題的關(guān)鍵是抓住相同路程用時不同得到相應(yīng)的函數(shù)圖象．【詳解】解：第一個階段，逆水航行，用時較多；第二個階段，在乙地停留一段時間，隨著時間的增長，路程不再變化，函數(shù)圖象將與x軸平行；第三個階段，順?biāo)叫?，所走的路程繼續(xù)增加，相對于第一個階段，用時較少，故選：C．【變式1-1】（23-24八年級下·河南安陽·期末）如圖所示是加油站某時刻加油機上的數(shù)據(jù)顯示牌．在金額、數(shù)量、單價三個量中，下列說法正確的是（

）A．金額、單價是變量，數(shù)量是常量B．?dāng)?shù)量、單價是變量，金額是常量C．金額、數(shù)量是變量，單價是常量D．金額、數(shù)量、單價都是變量【答案】C【分析】本題主要考查了常量與變量的定義，汽油的單價是不會變的，因此是常量，而金額會隨著數(shù)量的變化而變化，因此金額和數(shù)量是變量．【詳解】解：∵在一個變化過程中，數(shù)值始終不變的量是常量，∴金額、數(shù)量是變量，單價是常量．故選：C．【變式1-2】（新定義）（22-23八年級下·四川宜賓·期末）對于實數(shù)、，定義一種運算“”為：，在函數(shù)的圖象上的點是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了新定義，函數(shù)圖象上的點與圖象的關(guān)系，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義求得，分別計算驗證即可．【詳解】解：由題意得，，A、時，，故不在圖象上，故本選項不符合題意；B、時，，故不在圖象上，故本選項不符合題意；C、時，，故不在圖象上，故本選項不符合題意；D、時，，故在圖象上，故本選項符合題意，故選：D．【變式1-3】（23-24八年級下·湖南岳陽·期末）函數(shù)，對于自變量取的每一個值，因變量的對應(yīng)值稱為函數(shù)值，記作：，已知，則．【答案】【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式，求函數(shù)值，讀懂題意是解題的關(guān)鍵．由可求得的值，從而得到，進(jìn)而即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：【變式1-4】（23-24八年級下·陜西安康·期末）等腰三角形周長為，底邊長為，腰長為，(1)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求x的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】主要考查建立函數(shù)的模型解決實際問題的能力．要讀懂題意并根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式．解題的關(guān)鍵是要分析題意根據(jù)實際意義求解，并會根據(jù)實際意義求函數(shù)值和自變量的取值范圍．（1）根據(jù)等腰三角形周長公式即可求得y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）利用三角形邊長為正數(shù)和三邊關(guān)系求自變量的范圍；【詳解】（1）解：根據(jù)三角形周長公式可知：，∴．（2）解：∵，，，∴，，解得：．【考點題型二】函數(shù)圖象（）【例2-1】（23-24八年級下·云南紅河·期末）下列圖象中，不能表示函數(shù)的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查函數(shù)的基本概念，函數(shù)的定義要求定義域中任意一個自變量，都存在唯一確定的函數(shù)值與之對應(yīng)．【詳解】解：A、圖象能表示函數(shù)，故不符合題意；B、圖象能表示函數(shù)，故不符合題意；C、圖象能表示函數(shù)，故不符合題意；D、一個自變量x對應(yīng)兩個函數(shù)值y，這與函數(shù)的概念矛盾，故圖象不能表示函數(shù)，符合題意；故選：D．【例2-2】（24-25八年級上·浙江金華·期末）【情境】跑步是一種簡單而強大的有氧運動，被廣泛認(rèn)為是最佳的鍛煉方式．周末小明從家出發(fā)跑步去健身主題公園，中途休息一段時間，到達(dá)健身公園后又再次休息，之后跑步返回家中，已知小明兩次休息時間相同且跑步速度始終不變．小明離開家的路程S與時間t的關(guān)系（部分?jǐn)?shù)據(jù)）如圖所示．【問題】小明每次休息的時間為（

）A．8分鐘 B．10分鐘 C．12分鐘 D．14分鐘【答案】B【分析】本題考查了函數(shù)的圖象．先求出跑步速度，再求出跑步返回家中所用的時間，根據(jù)兩次休息時間相同且跑步速度始終不變，即可求解．【詳解】解：由題意，小明跑步速度為（米/分鐘），跑步返回家中所用的時間為（分鐘），∴小明每次休息的時間為（分鐘），故選：B．【例2-3】（23-24七年級下·廣東深圳·期中）如圖，在長方形中，，，對角線，動點P從點C出發(fā)，沿運動．設(shè)點P的運動路程為，BCP的面積為．若y與x的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，則圖中（）A． B．1 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查用圖象表示變量的關(guān)系．根據(jù)題意，先求出當(dāng)點在上運動時的面積即的值，再根據(jù)點沿運動到時的路程來求的值即可．【詳解】解：當(dāng)點在上運動時，由圖知，點沿運動到時，路程為．∴．故選：C．【例2-4】（23-24八年級下·河北滄州·期末）某書定價8元，如果一次購買10本以上，超過10本部分打八折，那么付款金額y與購書數(shù)量x之間的函數(shù)關(guān)系如何，同學(xué)們對此展開了討論：（1）小明說：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為；（2）小剛說：y與x之間的函數(shù)關(guān)系為；（3）小聰說：y與x之間的函數(shù)關(guān)系在時，；在時，；（4）小斌說：我認(rèn)為用下面的列表法也能表示它們之間的關(guān)系；購買量/本1234…9101112…付款金額/元8162432…728086.492.8…（5）小志補充說：如圖所示的圖象也能表示它們之間的關(guān)系．其中，表示函數(shù)關(guān)系正確的個數(shù)有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查函數(shù)的表示方式以及用函數(shù)關(guān)系式表示兩個量之間的關(guān)系，根據(jù)題意可知關(guān)系應(yīng)該分為兩部分，購買10本及10本以下、購買10本以上2部分分析求解．【詳解】解：∵定價8元，一次購買10本以上，超過10本部分打八折，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系在時，；在時，；∴（1）（2）說法錯誤，（3）說法正確；由（4）中表格可以得到，購買10本及10本以下單價為8元，購買10本以上，超過部分打八折，∴表達(dá)兩個量之間的關(guān)系，（5）中的函數(shù)圖象是一個分段函數(shù)，可以表達(dá)這兩個量之間的關(guān)系，綜上，表示函數(shù)關(guān)系正確的個數(shù)有（3）（4）（5），共3個，故選：C．【例2-5】（22-23八年級下·江蘇泰州·期末）小明根據(jù)函數(shù)學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，參照研究函數(shù)的過程與方法，對于函數(shù)的圖像和性質(zhì)進(jìn)行探究．

(1)列表：下表列出了y與x的幾組對應(yīng)值，請寫出m，n的值：m=________，n=________；x…-4-3-2-11234……m-2n2…描點：在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量x的取值為橫坐標(biāo)，以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出相應(yīng)的點，如圖所示：(2)請把y軸左邊各點和右邊各點，分別用光滑的曲線順次連接起來；(3)觀察圖形并分析表格，解決下列問題：①自變量x的取值范圍是__________；②函數(shù)圖象關(guān)于點___________中心對稱；③求證：當(dāng)時，y隨x的增大而增大．【答案】(1)，(2)見詳解(3)①②③見詳解【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式即可求解；（2）用光滑的曲線順次連接起來，即可求解；（3）①由得，分母不為，即可求解；②由表格可得第一、三象限的點的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，即可求解；③設(shè)，可得，，可求，，，，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，；故答案：，．（2）解：如圖，用光滑的曲線順次連接起來，

（3）①解：由得自變量x的取值范圍是，故答案：；②解：由表格得：與，與，與，，第一、三象限的點的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，函數(shù)圖像關(guān)于點中心對稱，故答案：．③證明：設(shè)，，，，，，，，，，，故當(dāng)時，y隨x的增大而增大．【點睛】本題考查了通過作函數(shù)圖象，通過圖象來研究函數(shù)性質(zhì)：自變量取值范圍、對稱性、增減性，掌握函數(shù)增減性的證明方法是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（24-25八年級上·浙江紹興·期末）如圖，在等腰三角形中，，點D為中點，連結(jié)，若，，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是（

） B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了函數(shù)的圖象、等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)．根據(jù)題意，先得出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再結(jié)合x的取值范圍進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：因為，所以，即，所以．因為，所以，觀察四個選項，D選項符合題意．故選：D．【變式2-2】（24-25八年級上·安徽合肥·期末）甲、乙兩人在筆直的湖邊公路上同起點、同終點、同方向勻速步行米，先到終點的人原地休息．已知甲先出發(fā)分鐘，在整個步行過程中，甲、乙兩人的距離（米）與甲出發(fā)的時間（分）之間的關(guān)系如圖所示，下列說法錯誤的是（

）A．甲、乙兩人之間的最遠(yuǎn)距離是米B．乙追上甲后，再走米才到達(dá)終點C．乙用分鐘追上甲D．甲到終點時，乙已經(jīng)在終點處休息了分鐘【答案】A【分析】本題考查了函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是理解題意，利用數(shù)形結(jié)合思想獲取所求問題需要的條件．根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以逐個判斷結(jié)論是否正確即可解答．【詳解】解：由圖象可知，甲出發(fā)分鐘后乙追上甲，則乙用了（分鐘）追上甲，故原選項正確，不符合題意；根據(jù)圖象，甲步行分鐘走了米，甲步行的速度為（米分鐘），乙的速度為（米分鐘），則乙走完全程的時間為（分鐘），乙追上甲剩下的路程為：（米），∴乙追上甲后，再走米才到達(dá)終點，故選項正確，不符合題意；當(dāng)乙到達(dá)終點時，甲步行了（米），甲離終點還有（米），故甲乙兩人之間的最遠(yuǎn)距離是米，故錯誤，符合題意；∵甲步行了米，∴甲離終點還有（分），∴甲到終點時，乙已經(jīng)在終點處休息了分鐘，故正確，不符合題意，故選：．【變式2-3】（23-24八年級下·廣西河池·期末）如圖，在如圖1矩形中，動點P從B點出發(fā)，沿，，運動至點A停止，設(shè)P點運動的路程為x，的面積y，且x與y的關(guān)系如圖2所示，則矩形的面積是．【答案】20【分析】點P從點B運動到點C的過程中，y與x的關(guān)系是一個一次函數(shù)，運動路程為4時，面積發(fā)生了變化，說明的長為4；當(dāng)點P在上運動時，的面積保持不變，就是矩形面積的一半，并且動路程由4到9，說明的長為5；根據(jù)上述求出的矩形的邊長，求出矩形的面積.本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，在解題時要能根據(jù)函數(shù)的圖象求出、的長度是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：結(jié)合圖形可以知道，P點在上，的面積為y增大，當(dāng)x在4-9之間時的面積不變，得出，，∴矩形的面積為：．故答案為：20．【變式2-4】（22-23八年級下·湖南湘西·期末）閱讀下面材料：小明想探究函數(shù)的性質(zhì)，他借助計算器求出了y與x的幾組對應(yīng)值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)圖象：小聰看了一眼就說：“你畫的圖象肯定是錯誤的．”請回答：小聰判斷的理由是．寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：．x…123…y…2.831.73001.732.83…【答案】因為函數(shù)值不可能為負(fù)，所以在x軸下方不會有圖象當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大（答案不唯一）【分析】此題考查函數(shù)的表示方法：表格法和圖象法，還考查了函數(shù)的性質(zhì)：利用表格中x與y的對應(yīng)值確定函數(shù)圖象的位置及函數(shù)的性質(zhì)，正確理解表格中自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，分析其變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵.根據(jù)表格函數(shù)值沒有負(fù)數(shù)解答，根據(jù)表格的x與y的值得到增減性.【詳解】解：由表格可知：∵函數(shù)值不可能為負(fù)，∴在x軸下方不會有圖象，性質(zhì)：當(dāng)時，y隨x的增大而減??；當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故答案為：因為函數(shù)值不可能為負(fù)，所以在x軸下方不會有圖象；當(dāng)時，y隨x的增大而減?。划?dāng)時，y隨x的增大而增大；【變式2-5】（22-23八年級下·山西大同·期末）閱讀與思考下面是小李同學(xué)的一篇日記，請仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．在物理活動課上，我們“博學(xué)”小組的同學(xué)，進(jìn)行了“彈簧的長度與外力的變化關(guān)系”的探究活動．第一步：實驗測量多次改變砝碼的質(zhì)量x（克），測量彈簧的長度y（厘米），其中．第二步：整理數(shù)據(jù)砝碼的質(zhì)量x（克）050100150200250彈簧的長度y（厘米）23455.57第三步：畫函數(shù)y關(guān)于x的圖象在數(shù)據(jù)分析時，我發(fā)現(xiàn)有一個彈簧的長度是錯誤的，重新測量后，證明了我的猜想正確，并修改了表中這個數(shù)據(jù)．任務(wù)：(1)表格中錯誤的數(shù)據(jù)是_________，y與x的函數(shù)表達(dá)式為_________；(2)在平面直角坐標(biāo)系中，畫出y與x的函數(shù)圖象；(3)當(dāng)彈簧的長度為4.5厘米時，懸掛砝碼的質(zhì)量是多少克，并在圖象上描出這個點．【答案】(1)5.5；(2)見解析(3)125克，描點見解析【分析】（1）根據(jù)表格中砝碼的質(zhì)量與彈簧的長度變化規(guī)律解答即可；（2）用描點法畫出圖象即可；（3）令，代入解析式求出x，再在圖象上描點即可．【詳解】（1）由表格可知，砝碼每增加50千克，彈簧的長度增加1厘米，∴砝碼為200克時，彈簧的長度為6厘米，函數(shù)解析式為．故答案為：5.5；；（2）如圖，

（3）當(dāng)時，答：當(dāng)彈簧的長度為4.5厘米時，懸掛砝碼的質(zhì)量是125克點P即為所求的點．【點睛】本題考查了變量之間的函數(shù)關(guān)系，描點法畫函數(shù)圖象，以及求自變量的值，求出函數(shù)解析式是解答本題的關(guān)鍵．【考點題型一】正比例函數(shù)（）【例3-1】（24-25八年級上·貴州貴陽·期末）下列函數(shù)關(guān)系式中，y是x的正比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是正比例函數(shù)的定義，一般地，形如（k是常數(shù)，）的函數(shù)叫做正比例函數(shù)．根據(jù)正比例函數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：A、，不是正比例函數(shù)，不符合題意；B、，不是正比例函數(shù)，不符合題意；C、，是正比例函數(shù)，符合題意；D、，不是正比例函數(shù)，不符合題意．故選：C．【例3-2】（23-24八年級下·廣西河池·期末）下列各點中，在正比例函數(shù)的圖象上的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將各選項所給點的橫坐標(biāo)代入中求出縱坐標(biāo)，看與所給點的縱坐標(biāo)是否相等，如果相等，則該點在函數(shù)的圖象上，若不相等，則該點不在函數(shù)的圖象上．本題主要考查了正比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，凡是滿足函數(shù)關(guān)系式的點都在該函數(shù)圖象上，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、∵當(dāng)時，，∴此點不在正比例函數(shù)圖象上，故A本選項錯誤；B、∵當(dāng)時，，∴此點在正比例函數(shù)圖象上，故本選項正確；C、∵當(dāng)時，，∴此點不在正比例函數(shù)圖象上，故本選項錯誤；D、∵當(dāng)時，，∴此點不在正比例函數(shù)圖象上，故本選項錯誤．故選B．【例3-3】（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）已知正比例函數(shù)．(1)點在它的圖象上，求這個函數(shù)的表達(dá)式．(2)在（1）的結(jié)論下，若的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了正比例函數(shù)圖象的增減性，圖象上點的坐標(biāo)特征，求函數(shù)關(guān)系式，解題關(guān)鍵是理解正比例函數(shù)的增減性．（1）把點代入中，即可求解的值；（2）分別計算出自變量為和所對應(yīng)的函數(shù)值，然后根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍．【詳解】（1）解：把點代入得：，解得：，這個函數(shù)的表達(dá)式為：；（2）解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，，隨的增大而減小，的取值范圍：．【變式3-1】（23-24八年級下·云南昭通·期末）已知的圖像經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】本題考查正比例函數(shù)的圖像，把點代入解析式，求解即可．【詳解】解：把點代入，得：，∴；故選A．【變式3-2】（23-24八年級下·四川宜賓·期末）在探究“重力的大小與質(zhì)量的關(guān)系”實驗中，下列選項能反映物體重力G與質(zhì)量m的函數(shù)關(guān)系大致圖象是（

）

B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查了正比例函數(shù)．由題意得到重力G與質(zhì)量m是正比例函數(shù)關(guān)系，即可判斷．【詳解】解：由題意得重力G與質(zhì)量m的函數(shù)關(guān)系是正比例函數(shù)關(guān)系，且圖象過原點，故選項A符合題意，故選：A．【變式3-3】（24-25八年級上·內(nèi)蒙古包頭·期末）若點和點在同一個正比例函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了正比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，比較函數(shù)值的大小，將點代入解析式，根據(jù)，即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意得，，，，即，故選項B，C，D錯誤，，，選項A正確；故選：A．【變式3-4】（23-24八年級下·廣西河池·期末）若y關(guān)于x的函數(shù)是正比例函數(shù)，則．【答案】0【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義即可得解．一般地，對于兩個變量x、y，若x、y之間的關(guān)系式可以表示成（其中k、b為常數(shù)，且）的形式，那么稱y是x的一次函數(shù)，特別的，當(dāng)時，稱y是x的正比例函數(shù).題中告訴我們是正比例函數(shù)，所以，即．熟練掌握正比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵y關(guān)于x的函數(shù)是正比例函數(shù)，∴,故答案為：0．【變式3-5】（24-25八年級上·陜西西安·期末）已知點，在正比例函數(shù)的圖象上，若，則．（填“”或“”）【答案】【分析】本題考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)時，圖象經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大，當(dāng)時，圖象經(jīng)過第二、四象限，y隨x的增大而增減?。鶕?jù)正比例函數(shù)，y隨x的增大而增減小即可求解．【詳解】解：∵，∴隨著的增大而減小，∵，∴，故答案為：．【考點題型四】一次函數(shù)（）【例4-1】（23-24八年級下·河南商丘·期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)的是（

）①；②；③；④．A．①② B．②③ C．①④ D．①③【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義對各選項進(jìn)行逐一分析即可．本題考查的是一次函數(shù)的定義，即一般地，形如，、是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．【詳解】解：①是一次函數(shù)，故本選項正確；②不是一次函數(shù)，故本選項錯誤；③是一次函數(shù)，故本選項正確；④不是一次函數(shù)，故本選項錯誤；故選：D．【例4-2】（23-24八年級下·安徽宣城·期末）兩個一次函數(shù)與，它們在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；觀察題中所給選項，根據(jù)圖象逐項判斷m、n的正負(fù)，如果通過兩個一次函數(shù)圖象所判斷的m、n的正負(fù)一致，即為正確選項；【詳解】解：A、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；B、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論一致，故本選項正確，符合題意；C、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；D、由的圖象可知，，即；由的圖象可知，，，兩結(jié)論相矛盾，故本選項錯誤，不符合題意；故選：B．【例4-3】（23-24八年級下·全國·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：交軸于點，交軸于點，點，，在直線上，點，，，在軸的正半軸上，若，，，，依次均為等腰直角三角形，直角頂點都在軸上，則第個等腰直角三角形頂點的橫坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題考查規(guī)律型：點的坐標(biāo)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識．先求出、、的坐標(biāo)，探究規(guī)律后，即可根據(jù)規(guī)律解決問題．【詳解】解：對于直線：，令，則；令，則；∴，∴，，，∴，，，，，，∴的橫坐標(biāo)為．故答案為：．【例4-4】（24-25八年級上·江蘇南京·期末）一次函數(shù)，與的圖像如圖所示，，，的大小關(guān)系是．（用“”連接）【答案】【分析】本題考查一次函數(shù)以及正比例函數(shù)圖象與性質(zhì)；首先根據(jù)直線經(jīng)過的象限判斷k的符號，再根據(jù)直線的平緩趨勢判斷k的絕對值的大小，最后判斷三個系數(shù)的大?。驹斀狻拷猓河芍本€經(jīng)過的象限，知：，∵根據(jù)直線越陡，越大，∴，∴，故答案為：．【例4-5】（23-24八年級下·廣西河池·期末）已知直線與直線平行，且將該直線向下平移5個單位后得到直線，則．【答案】25【分析】利用一次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“上加下減”和兩直線相互平行時的值相同，得出即可．此題主要考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，兩條直線相交或平行問題以及一次函數(shù)圖象與幾何變換，若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線與直線平行，∴，∵將直線向下平移5個單位后得到直線，將直線向下平移5個單位后得到直線，∴，，∴，∴．故答案為：25．【例4-6】（23-24八年級下·安徽淮南·期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點．求該一次函數(shù)的表達(dá)式．【答案】【分析】本題主要考求一次函數(shù)的解析式．利用待定系數(shù)法解答，即可求解．【詳解】解：一次函數(shù)的圖象經(jīng)過，兩點，，解得，該一次函數(shù)的表達(dá)式為．【例4-7】（新定義）（23-24八年級下·全國·期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于點和點當(dāng)時，，當(dāng)時，則稱點N為點M的變換點．例如：點變換點的坐標(biāo)是，點變換點的坐標(biāo)是．(1)則點的變換點的坐標(biāo)是；(2)已知點M在函數(shù)的圖象上，點M的變換點N的縱坐標(biāo)為5，求點M的坐標(biāo)．(3)已知點M在函數(shù)的圖象上，其變換點N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3)k的取值范圍為【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象，由函數(shù)值求自變量，點坐標(biāo)等知識．理解題意，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）由，可得進(jìn)而可求結(jié)果；（2）設(shè)，當(dāng)時，，可求，進(jìn)而可得，則；當(dāng)時，，可求，進(jìn)而可得，則；（3）由題意知，上的點的變換點的圖象如圖所示，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，可求，當(dāng)時，，可求，由變換點N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，數(shù)形結(jié)合作答即可．【詳解】（1）解：∵，∴∴點的變換點的坐標(biāo)是；故答案為：；（2）解：設(shè)，當(dāng)時，，解得，，∴，∴；當(dāng)時，解得，，∴，∴；綜上，點M的坐標(biāo)為或；（3）解：由題意知，上的點的變換點的圖象如圖所示，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，∴，當(dāng)時，，解得，，當(dāng)時，，解得，，∵變換點N的縱坐標(biāo)的取值范圍是，∴由圖象可知，，∴k的取值范圍為．【變式4-1】（22-23八年級下·河南洛陽·期末）已知直線，不論取什么值，該直線必定經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，把一次函數(shù)解析式變形為，則可得到當(dāng)時，，則直線過定點，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵直線解析式為，∴當(dāng)，即時，，∴直線過定點，∴不論取什么值，該直線必定經(jīng)過第四象限，故選：D．【變式4-2】（23-24八年級下·廣東汕頭·期末）下列函數(shù)中，是一次函數(shù)有（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一次函數(shù)的定義．形如的函數(shù)叫做一次函數(shù)，根據(jù)定義，逐項判斷即可．【詳解】解：A.是二次函數(shù)，此項不符合題意；B.是常數(shù)函數(shù)，此項不符合題意；C.是一次函數(shù)，此項符合題意；D.是反比例函數(shù)，此項不符合題意．故選：C．【變式4-3】（23-24八年級下·安徽淮南·期末）將直線向下平移3個單位后恰好經(jīng)過點，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)圖象的平移，熟知一次函數(shù)圖象平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．先求出平移后的直線解析式，再根據(jù)平移后的直線經(jīng)過點，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得平移后的直線解析式為，∵平移后的直線經(jīng)過點，∴，∴，故答案為：．【變式4-4】（23-24八年級下·內(nèi)蒙古赤峰·期中）已知是關(guān)于的一次函數(shù)，則．【答案】【分析】此題考查了一次函數(shù)的定義．根據(jù)一次函數(shù)的定義得出，代入代數(shù)式求解即可．形如的函數(shù)為一次函數(shù)．【詳解】解：函數(shù)是關(guān)于x的一次函數(shù)則，解得∴，故答案為：．【變式4-5】（23-24八年級下·全國·期末）正方形按如圖的方式放置，點和點分別在直線和y軸上，則點的坐標(biāo)是，點的坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形，設(shè)直線與y軸的交點為D，求出，，易證，得到，的橫坐標(biāo)為，同理的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，進(jìn)而得到，再由正方形的性質(zhì)得出，即可得解．【詳解】解：如圖，設(shè)直線與y軸的交點為D，則，，又∵，，，，∴，，，的橫坐標(biāo)為，同理的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，，∵都是正方形，∴的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，故答案為：，．【變式4-6】（23-24八年級下·云南紅河·期末）如果點、點在直線上，那么（填“”或“”）．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，熟練掌握一次函數(shù)增減性是關(guān)鍵．根據(jù)隨增大而減小判斷即可．【詳解】解：∵直線中，故隨的增大而減小，∵∴故答案為：．【變式4-7】（23-24八年級下·全國·期末）已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過點與點，則當(dāng)y的值增加1時，x的值將．【答案】增加【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，求自變量的變化，先利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式為，則可得到，據(jù)此可得答案．【詳解】解：把、代入中得：，∴，∴一次函數(shù)解析式為，∴，∴當(dāng)y的值增加1時，x的值將增加，故答案為：增加．【變式4-8】（新定義）（23-24八年級下·廣東江門·期末）已知分別是的三條邊長，為斜邊長，，我們把關(guān)于的形如的一次函數(shù)稱為“勾股一次函數(shù)”，若點在“勾股一次函數(shù)”圖象上，且的面積為9，則的值為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的變形運用，掌握以上知識的綜合運用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得，根據(jù)勾股定理可得，，根據(jù)完全平方公式的變形運算即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意，點在“勾股一次函數(shù)”的圖象上，∴，即，∴，∵是直角的三邊，為斜邊，∴，，∴，∵，∴，解得，（負(fù)值舍去），故答案為：．【變式4-9】（22-23八年級下·河南洛陽·期末）關(guān)于函數(shù)，給出下列結(jié)論：①當(dāng)時，此函數(shù)是一次函數(shù)；②無論取什么值，函數(shù)圖象必經(jīng)過點；③若圖象經(jīng)過第二、三、四象限，則的取值范圍是；④若函數(shù)圖象與軸的交點始終在正半軸，則的取值范圍是．其中正確的說法是．（只填序號）【答案】①②③【分析】本題考查根據(jù)交點坐標(biāo)確定解析式字母系數(shù)的取值及分類討論思想的運用，一般地，先求出交點坐標(biāo)，再把坐標(biāo)滿足的條件轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的方程或是不等式（組）進(jìn)而解決問題．①當(dāng)時，函數(shù)是一次函數(shù)；②，當(dāng)時，，過函數(shù)過點，即可求解；③函數(shù)經(jīng)過二，三，四象限，可得，從而可以求得k的取值范圍；④當(dāng)時，，與x軸無交點；當(dāng)時，函數(shù)圖象與x軸的交點始終在正半軸，即，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時，函數(shù)是一次函數(shù)；故①符合題意；②，當(dāng)時，，過函數(shù)過點，故②符合題意；③函數(shù)經(jīng)過二，三，四象限，則，解得：，故③符合題意；④當(dāng)，即時，，與x軸無交點；當(dāng)，即時，令，則，∴函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)為，∵函數(shù)圖象與x軸的交點始終在正半軸，即，由除法的意義可得：或，解得：，故④不符合題；故答案為：①②③．【變式4-10】（22-23八年級下·山東聊城·期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點在坐標(biāo)原點，頂點，分別在軸，軸上，，兩點坐標(biāo)分別為，，線段在邊上移動，保持，當(dāng)四邊形的周長最小時，點的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】在矩形邊上截取，可證四邊形是平行四邊形，可得，由對稱性可得，則四邊形的周長，由和是定值，則當(dāng)有最小值時，四邊形的周長有最小值，即當(dāng)點，點，點共線時，有最小值，利用待定系數(shù)法可求解析式，即可求解．【詳解】解：在矩形邊上截取，作點關(guān)于軸的對稱點，連接交于點，如圖所示：

，，四邊形是平行四邊形，，點與點關(guān)于軸對稱，，點坐標(biāo)為，四邊形的周長，四邊形的周長，和是定值，當(dāng)有最小值時，四邊形的周長有最小值，當(dāng)點、、三點共線時，有最小值，點，，，即點，設(shè)直線的解析式為，將、代入得，解得，直線的解析式為，當(dāng)時，，點，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱最短路線問題，坐標(biāo)與圖形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)等知識，確定點的位置是解題的關(guān)鍵．【變式4-11】（新定義）（24-25八年級上·浙江杭州·期末）定義：若，滿足，（為常數(shù)），則稱點為“好點”．（1）若是“好點”，則；（2）在的范圍內(nèi)，若直線上存在“好點”，則的取值范圍為．【答案】【分析】本題考查了新定義，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系等知識，本題綜合性強，有一定難度．（1）根據(jù)題意得出，消去t即可得到；（2）根據(jù)題意得出，消去t得，由-在，得出．【詳解】（1）∵是“好點”，∴，消去t得到，故答案為：；（2）∵在的范圍內(nèi)，若直線上存在“好點”，∴，消去t得：，∵，∴，故答案為：．【變式4-12】（22-23八年級下·重慶北碚·期末）如圖1，正方形的邊長為4，點E從點A出發(fā)，沿A→B→C運動到點C后停止．連接．設(shè)點E的運動路程為x，的面積為y．

(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；(2)在圖2中畫出（1）中函數(shù)的圖象；(3)觀察函數(shù)圖象，寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】（1）分點E在邊上和點E在邊上兩種情況，根據(jù)三角形的面積公式解答即可；（2）先確定圖象上的兩點，再結(jié)合自變量的范圍即可畫出一次函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)一次函數(shù)的增減性或?qū)ΨQ性或最值解答即可．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，∴．當(dāng)時，如圖，，∴．

綜上所述，．（2）解：函數(shù)圖象如圖所示．

（3）解：①當(dāng)時，y隨x的增大而增大；當(dāng)時，y隨x的增大而減小．②該函數(shù)圖象是軸對稱圖形，它的對稱軸為直線．③該函數(shù)在自變量的取值范圍內(nèi)有最大值，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值8．【點睛】本題考查了一次函數(shù)和幾何的結(jié)合，正確分類、熟練掌握一次函數(shù)的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．【考點題型五】一次函數(shù)與方程、不等式（）【例5-1】（23-24八年級下·廣東廣州·期末）若是方程的解，則直線的圖象與x軸交點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，關(guān)鍵是掌握方程的解就是一次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)值．根據(jù)一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系：由于任何一元一次方程都可以轉(zhuǎn)化為（，為常數(shù)，）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個一次函數(shù)的值為時，求相應(yīng)的自變量的值，從圖象上看，這相當(dāng)于已知直線確定它與軸交點的橫坐標(biāo)即可得答案．【詳解】解：一元一次方程的解是，當(dāng)時，，故直線的圖像與x軸的交點坐標(biāo)是．故選：A．【例5-2】（23-24八年級下·廣東揭陽·期末）如圖所示，一次函數(shù)（k，b是常數(shù)，）與正比例函數(shù)（m是常數(shù)，）的圖象相交于點，下列判斷錯誤的是（

）

A．關(guān)于x的方程的解是B．關(guān)于x的不等式的解集是C．當(dāng)時，函數(shù)的值比函數(shù)的值大D．關(guān)于x，y的方程組的解是【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程(組)，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的性質(zhì)．方程組的解就是使方程組中兩個方程同時成立的一對未知數(shù)的值，而這一對未知數(shù)的值也同時滿足兩個相應(yīng)的一次函數(shù)式，因此方程組的解就是兩個相應(yīng)的一次函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)．根據(jù)條件結(jié)合圖象對各選項進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)是常數(shù)與正比例函數(shù)是常數(shù)，的圖象相交于點，A．關(guān)于的方程，的解是，選項A判斷正確，不符合題意；B．關(guān)于的不等式的解集是，選項B判斷錯誤，符合題意；C．當(dāng)時，函數(shù)的值比函數(shù)的值大，選項C判斷正確，不符合題意；D．關(guān)于的方程組的解是，選項D判斷正確，不符合題意．故選：B．【例5-3】（23-24八年級下·全國·期末）已知一次函數(shù)（為正整數(shù)）的函數(shù)隨的增大而減小，當(dāng)時，的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，以及一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點，先根據(jù)一次函數(shù)的增減性和為正整數(shù)求出的值，然后求出與軸的交點即可，掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一次函數(shù)（為正整數(shù)）的函數(shù)隨的增大而減小，∴，∴，∵為正整數(shù)，∴，∴，當(dāng)時，，∴，∵隨的增大而減小，∴當(dāng)時，的取值范圍為，故選：．【例5-4】（24-25八年級下·全國·期末）已知直線與直線相交于點，則關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是．【答案】【分析】本題考查二元一次方程組與一次函數(shù)，根據(jù)兩條直線的交點的坐標(biāo)即為由兩條直線的解析式組成的二元一次方程組的解，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把，代入，得：，解得：，∴，∵直線與直線相交于點，∴關(guān)于x，y的二元一次方程組的解是；故答案為：．【例5-5】（23-24八年級下·廣東江門·期末）如圖，直線與x軸交于點，則關(guān)于x的不等式的解集為．【答案】【分析】本題考查了一次函數(shù)與軸的交點問題，根據(jù)直線與x軸交于點并結(jié)合圖象即可得解，采用數(shù)形結(jié)合的思想是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線與x軸交于點，∴由圖象可得，關(guān)于x的不等式的解集為，故答案為：．【例5-6】（23-24八年級下·湖北武漢·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x，y軸于點B，C，直線（k為任意實數(shù)）與直線交于點A．現(xiàn)有如下結(jié)論：①對于直線在時，；②直線與x軸所夾銳角總等于；③，若直線與y軸交點為為等腰直角三角形，的長為2或4；④關(guān)于x，y的二元一次方程組一定有一組解的．其中正確的結(jié)論序號為．【答案】②③④【分析】利用一次函數(shù)的增減性即可判斷①；由即可判斷②；分兩組情況討論求得的值即可判斷③；根據(jù)A的橫坐標(biāo)即可判斷④．【詳解】解：①∵直線中，∴隨x的增大而增大，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，故①錯誤；②∵當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴直線與x軸所夾銳角總等于，故②正確；③∵時，，∴，當(dāng)時，∵為等腰直角三角形，∴；當(dāng)時，∵為等腰直角三角形，∴；∴的長為2或4，故③正確；④由③可知，直線與直線的交點A橫坐標(biāo)為2，∴關(guān)于x，y的二元一次方程組一定有一組解的，故④正確．故答案為：②③④．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與二元一次方程組，一次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等，求得A點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【例5-7】（23-24八年級下·河南南陽·期末）請根據(jù)學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”時積累的經(jīng)驗和方法研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，并解決問題．(1)填空：①當(dāng)時，_____；②當(dāng)時，_____；③當(dāng)時，_____；(2)在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；(3)觀察函數(shù)圖象，寫出關(guān)于這個函數(shù)的兩條結(jié)論；(4)進(jìn)一步探究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：若關(guān)于的方程無解，則的取值范圍是_____．【答案】(1)；，；(2)見解析(3)①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；②當(dāng)時，有最小值．（答案不唯一）；(4)【分析】此題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與方程的關(guān)系，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．（1）直接利用絕對值的性質(zhì)進(jìn)而化簡得出答案；（2）直接利用（1）中所求得出函數(shù)圖象；（3）根據(jù)圖象即可求得；（4）直接利用函數(shù)圖象得出答案．【詳解】（1）解：①當(dāng)時，；②當(dāng)時，；③當(dāng)時，；故答案為：；，；（2）函數(shù)的圖象，如圖所示：（3）由圖象可知：①函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱；②當(dāng)時，有最小值．（答案不唯一）；（4）若關(guān)于的方程無解，則函數(shù)圖象與直線沒有交點，則的取值范圍是．故答案為：．【變式5-1】（23-24八年級下·全國·期末）如圖，若一次函數(shù)的圖象經(jīng)過、兩點．則方程的解為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了一次函數(shù)與一元一次方程，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵．直接利用圖象得出答案即可．【詳解】解：如圖所示：不等式的解為：．故選：A．【變式5-2】（23-24八年級下·廣西河池·期末）已知一次函數(shù)與的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：①；②；③關(guān)于x的方程的解為；④當(dāng)時，其中正確的結(jié)論有（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】利用一次函數(shù)的性質(zhì)對①②進(jìn)行判斷；利用兩直線的交點的橫坐標(biāo)為3可對③進(jìn)行判斷；利用兩直線的位置關(guān)系對④進(jìn)行判斷．本題考查了一次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及一次函數(shù)與與一元一次不等式組的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)圖象的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵直線經(jīng)過第一、二、四象限，∴，，所以①正確；∵直線與y軸的交點在x軸下方，∴，所以②錯誤；∵當(dāng)時，，∴關(guān)于x的方程的解為，所以③正確；∵當(dāng)，直線在直線的下方，∴時，．所以④錯誤．故答案為：C．【變式5-3】（24-25八年級下·全國·期末）如圖，一次函數(shù)與的圖象相交于點，則關(guān)于的方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了一次函數(shù)與一元一次方程，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先將點代入一次函數(shù)可得，從而可得點的坐標(biāo)為，再將點代入一次函數(shù)可得，由此即可得．【詳解】解：由題意，將點代入一次函數(shù)得：，解得，∴點的坐標(biāo)為，∵點在一次函數(shù)的圖象上，∴，∴關(guān)于的方程的解是，故選：A．【變式5-4】（22-23八年級下·陜西商洛·期末）如圖，直線與直線相交于點，則方程組的解是．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)與二元一次方程(組)，熟知一次函數(shù)與二元一次方程組之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．先求出點P的坐標(biāo)，再根據(jù)二元一次方程組與一次函數(shù)之間的關(guān)系即可解決問題．【詳解】解∶將代入得，．解得．點P的坐標(biāo)為．方程組的解可看成函數(shù)與函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，此方程組的解為【變式5-5】（23-24八年級下·湖北武漢·期末）直線（k、b是常數(shù)，）經(jīng)過兩點，其中，下列四個結(jié)論：①方程的解在和0之間；②關(guān)于x的不等式的解集為；③；④關(guān)于x的不等式的解集為時，．其中正確的結(jié)論有．（只需填寫序號）【答案】①②④【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)與一元一次方程，畫出圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．根據(jù)圖象可對①②③進(jìn)行判斷；把，代入，得，解得：，則不等式化為，即可得，再根據(jù)不等式的解集為，可得，求解，即可對④進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖，直線、是常數(shù)，經(jīng)過、兩點，其中，直線與軸的交點橫坐標(biāo)在和0之間，故①正確；由圖象可得關(guān)于x的不等式的解集為，故②正確；由圖象可知：的圖象比的圖象平緩，∴，故③錯誤；把，代入，得，解得：，不等式化為，∵的解集為∴∴，故④正確．故答案為：①②④．【變式5-6】（23-24八年級下·安徽淮南·期末）如圖，已知直線分別與，軸交于點，，與直線相交于點．(1)求和的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)，(2)【分析】本題考查了兩直線交點，一次函數(shù)解析式．（1）將代入，可求，即，將代入，可求，然后作答即可；（2）根據(jù)函數(shù)圖象及交點坐標(biāo)即可解答．【詳解】（1）解：將點代入，得，解得：，，將點的坐標(biāo)代入，得，解得：；（2）解：由圖象可知，當(dāng)時，，不等式的解集為．【變式5-7】（23-24八年級下·廣西河池·期末）綜合與實踐同學(xué)，還記得學(xué)習(xí)研究一次函數(shù)的路徑嗎？請結(jié)合一次函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗探究函數(shù)的圖象．(1)列表：x…012…y…3mn3…表格中_____________，_____________；(2)在下面的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；

(3)觀察（2）中所畫函數(shù)的圖象，寫出關(guān)于該函數(shù)的兩條結(jié)論．結(jié)論1：_____________；結(jié)論2：_____________；(4)寫出關(guān)于的方程的解，并簡單說明此方程的解是如何得到的．【答案】(1)1；1(2)見解析(3)函數(shù)有最小值，最小值為；函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱(4)，理由見解析【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握畫一次函數(shù)圖像的方法，理解一次函數(shù)交點坐標(biāo)的意義是解題的關(guān)鍵．（1）分別把和代入函數(shù)解析式，即可求解；（2）根據(jù)表格選取點，點作射線，選取點，點作射線，即可解答；（3）觀察（2）中的函數(shù)圖象，從最小值，對稱性，增減性等方面總結(jié)即可；（4）畫出函數(shù)和的圖象，由兩個函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)即可求解．【詳解】（1）解：；故答案為：1；1（2）解：如圖，

（3）解：根據(jù)題意得：結(jié)論1：函數(shù)有最小值，最小值為；結(jié)論21：函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱；（4）解：方程的解為：，理由如下：畫出函數(shù)和的圖象，如圖所示：

函數(shù)和的圖象交點坐標(biāo)分別為，∴關(guān)于的方程的解為：．【考點題型六】一次函數(shù)的應(yīng)用（）【例6-1】（23-24八年級下·安徽宣城·期末）某樂隊舉行專場音樂會，為學(xué)校師生提供了兩種優(yōu)惠方案，教師票每張100元，學(xué)生票每張50元．方案一：購買一張教師票贈送1張學(xué)生票；方案二：按總價的付款．新星學(xué)校有4名教師與名學(xué)生購票聽音樂會，若付款總金額為（元）．(1)分別寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；(2)至少有多少名學(xué)生參加時，選擇方案二的購票方案比方案一便宜？【答案】(1)方案一中與的函數(shù)關(guān)系式為，方案二中與的函數(shù)關(guān)系式為(2)至少有13名學(xué)生參加時，選擇方案二的購票方案比方案一便宜【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確理解兩種優(yōu)惠方案是解題關(guān)鍵．（1）方案一：根據(jù)付款總金額4名教師的費用名學(xué)生的費用即可得；方案二：根據(jù)付款總金額（4名教師的費用名學(xué)生的費用）即可得；（2）結(jié)合（1）的答案，根據(jù)選擇方案二的購票方案比方案一便宜建立一元一次不等式，解不等式求出的最小正整數(shù)解即可得．【詳解】（1）解：由題意得：方案一：，方案二：，答：方案一中與的函數(shù)關(guān)系式為，方案二中與的函數(shù)關(guān)系式為．（2）解：由題意得：，解得，∵為正整數(shù)，∴的最小值為13，答：至少有13名學(xué)生參加時，選擇方案二的購票方案比方案一便宜．【例6-2】（23-24八年級下·新疆昌吉·期末）某商場籌集資金萬元，一次性購進(jìn)空調(diào)、彩電共臺．根據(jù)市場需要，這些空調(diào)、彩電可以全部銷售，全部銷售后利潤不少于萬元，其中空調(diào)、彩電的進(jìn)價和售價見表格．空調(diào)彩電進(jìn)價(元/臺)售價(元/臺)設(shè)商場計劃購進(jìn)空調(diào)x臺，空調(diào)和彩電全部銷售后商場獲得的利潤為y元．(1)試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)商場有哪幾種進(jìn)貨方案可供選擇？(3)最大利潤為多少？【答案】(1)(2)商場有三種方案可供選擇：方案：購空調(diào)臺，購彩電臺；方案：購空調(diào)臺，購彩電臺；方案：購空調(diào)臺，購彩電臺(3)最大利潤是元【分析】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用；（1）根據(jù)利潤等于售價減去進(jìn)價再乘以數(shù)量，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；（2）根據(jù)題意列出不等式組，求得整數(shù)解，進(jìn)而即可求解；（3）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)商場計劃購進(jìn)空調(diào)臺，則計劃購進(jìn)彩電臺，由題意，得；（2）依題意，有解得為整數(shù)，，，即商場有三種方案可供選擇：方案：購空調(diào)臺，購彩電臺；

方案：購空調(diào)臺，購彩電臺；方案：購空調(diào)臺，購彩電臺（3），，隨的增大而增大，

即當(dāng)時，有最大值，最大元．故選擇方案：購空調(diào)臺，購彩電臺時，商場獲利最大，最大利潤是元【例6-3】（24-25八年級上·四川成都·期末）我國新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升．王師傅駕駛一輛純電動汽車從一高速公路入口駛?cè)霑r，該車的剩余電量是千瓦時，行駛了千米后，從另一高速公路出口駛出．已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量（千瓦時）與行駛路程（千米）之間的關(guān)系如圖所示．(1)求與之間的函數(shù)表達(dá)式；(2)若這輛車從高速路入口駛?cè)霑r，剩余電量為千瓦時，請問王師傅能在不充電的情況下行駛千米路程到達(dá)高速公路出口嗎？并說明理由．【答案】(1)(2)能，理由見解析【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法解答即可；（2）求出每千米消耗的電量，計算出行駛千米消耗的電量并與比較大小即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)與之間的函數(shù)表達(dá)式為，將點和分別代入，得，解得，∴，又∵，與之間的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：王師傅能在不充電的情況下行駛千米路程到達(dá)高速公路出口．理由如下：∵該電動汽車每千米消耗的電量為（千瓦），∴該電動汽車從高速路入口行駛360千米消耗的電量為（千瓦），∵，王師傅能在不充電的情況下行駛千米路程到達(dá)高速公路出口．【例6-4】（24-25八年級下·全國·期中）為了加強公民的節(jié)水意識，某市制定了如下用水收費標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月用水不超過10立方米時，水價為每立方米2.2元；超過10立方米時，超過部分按每立方米2.5元收費．(1)若某戶某月用水8立方米，應(yīng)交水費多少元？若用水14立方米呢？(2)寫出每戶每月應(yīng)交水費y（元）與用水量x（立方米）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)自來水公司到琪琪家收水費，爸爸、媽媽不在家，琪琪自己手里有30元的零花錢，他最多能交多少立方米的水費？（水量x為整數(shù)）【答案】(1)17.6元；32元(2)(3)最多能交13立方米【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運算、一次函數(shù)的應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意列式計算即可得解；（2）根據(jù)題意，分兩種情況：當(dāng)時，，當(dāng)時，，分別求解即可；（3）令，求解即可．【詳解】（1）解：∵某戶某月用水8立方米，小于立方米，∴用水8立方米，應(yīng)交水費（元）；∵用水14立方米，大于立方米，∴用水14立方米，應(yīng)交水費（元）；（2）解：由題意可得：當(dāng)時，，當(dāng)時，，故；（3）解：∵，∴令，解得：，∵水量x為整數(shù)，∴最多能交13立方米．【變式6-1】（22-23八年級下·全國·期末）為了響應(yīng)“足球進(jìn)校園”的號召，更好地開展足球運動，某學(xué)校計劃購買一批足球，已知購買4個A品牌足球和3個B品牌足球共需440元；購買2個A品牌足球和1個B品牌足球共需180元．(1)求A，B兩種品牌足球的單價；(2)若學(xué)校準(zhǔn)備購買A，B兩種品牌的足球共60個，且B品牌足球數(shù)不少于A品牌足球數(shù)的2倍，設(shè)購買兩種品牌足球所需總費用為y元，A品牌足球x個，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種購買方案，使所需總費用最低，并求出最低總費用．【答案】(1)A品牌足球單價為50元，B品牌足球單價為80元(2)，y取得最小值4200元，此時A品牌足球購買了20個，B品牌足球購買了40個【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式，一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，列二元一次方程組即可；（2）根據(jù)題意，得一元一次不等式，解不等式，表示出總費用y，根據(jù)一次函數(shù)的增減性計算y最小值即可．【詳解】（1）解：設(shè)A，B兩種品牌足球的單價分別為a元，b元，根據(jù)題意，得，解得：，∴A品牌足球單價為50元，B品牌足球單價為80元．（2）解：根據(jù)題意可知，B品牌足球個，∵B品牌足球不少于a品牌數(shù)的2倍，∴，∴，∴，∵，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時，y最小，此時．綜上，，y取得最小值4200元，此時A品牌足球購買了20個，B品牌足球購買了40個．【變式6-2】（23-24八年級下·云南紅河·期末）文化賦能鄉(xiāng)村振興，某縣以文明實踐引領(lǐng)鄉(xiāng)村治理，在群眾聚集地打造文化墻，以文化人、以文惠民、以文興城，該縣現(xiàn)欲購買、兩種繪畫工具用于打造文化手繪墻．已知每件種工具的單價比每件種工具便宜元，用元購買種工具的數(shù)量和用元購買種工具的數(shù)量相同．(1)求、兩種工具的單價各是多少元．(2)該縣計劃購買、兩種工具共件，且種工具的數(shù)量不大于種工具數(shù)量的倍，請你幫忙設(shè)計出最省錢的購買方案，并求出最低購買費用．【答案】(1)種工具的單價是元，則種工具的單價是元(2)最省錢的購買方案是購進(jìn)種工具件，購進(jìn)種工具件，最低購買費用為元．【分析】本題考查分式方程和一元一次不等式的實際應(yīng)用，利用一次函數(shù)的增減性求最值，讀懂題意，列方程和不等式是解決問題的關(guān)鍵．（1）設(shè)種工具的單價是元，則種工具的單價是元，根據(jù)題意，列分式方程，解方程即可；（2）根據(jù)題意，列一元一次不等式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)種工具的單價是元，則種工具的單價是元，根據(jù)題意得，解得：經(jīng)檢驗，是原方程的解且符合題意，則種工具的單價是：元，答：種工具的單價是元，則種工具的單價是元（2）解：設(shè)夠買種工具件，則購買種工具件，根據(jù)題意得，解得：，設(shè)購買費用為元，根據(jù)題意得，∵∴隨的增大而減小,∴時，取的最小值，此時元，購進(jìn)種工具件，答：最省錢的購買方案是購進(jìn)種工具件，購進(jìn)種工具件，最低購買費用為元．【變式6-3】（24-25八年級上·浙江·期末）一輛大客車和一輛小轎車沿同一公路同時從甲地出發(fā)去乙地，圖中折線和線段分別表示小轎車和大客車離開甲地的路程與時間的關(guān)系，其中小轎車往返的速度相同．請結(jié)合圖象解答下列問題：(1)分別求出小轎車和大客車速度；(2)點為與的交點，試求點的坐標(biāo)，并說明點所表示的實際意義；(3)求出發(fā)后經(jīng)過多少小時兩車相距？【答案】(1)小轎車的速度為，大客車的速度為(2)點的坐標(biāo)為，點實際意義是：兩車出發(fā)小時后相遇，此時距離甲地(3)小時或小時或小時【分析】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，（1）根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，可以計算出小轎車和大客車的速度；（2）先確定與所在直線的解析式，再聯(lián)立方程組求解即可確定兩車出發(fā)多少小時兩車相遇，兩車相遇時，距離甲地的路程；（3）分三種情況求解即可；解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．【詳解】（1）解：由圖象可知：小轎車的速度為：，大客車的速度為：，∴小轎車的速度為，大客車的速度為；（2）由圖像可知：，，，∵小轎車往返的速度相同，∴，設(shè)的解析式為，過點，，∴，解得：，∴的解析式為，設(shè)的解析式為，過點，∴，解得：，∴的解析式為，聯(lián)立方程組，得：，解得：，∴點的坐標(biāo)為，點實際意義是：兩車出發(fā)小時后相遇，此時距離甲地；（3）設(shè)的解析式為，過點，∴，解得：，∴的解析式為，當(dāng)時，得：，解得：；當(dāng)時，則，得：，此時，兩車相距超過；當(dāng)時，得：，解得：或；綜上所述，出發(fā)后經(jīng)過小時或小時或小時兩車相距．【變式6-4】（24-25八年級上·安徽六安·階段練習(xí)）某市為了節(jié)約用水，采用分段收費標(biāo)準(zhǔn)．設(shè)居民每月應(yīng)交水費為y（元），用水量為x（立方米）．用水量（立方米）收費（元）不超過10立方米每立方米2元超過10立方米超過的部分每立方米3元(1)寫出每月用水量不超過10立方米和超過10立方米時，水費與用水量之間的關(guān)系式；(2)若某戶居民某月用水量為7立方米，則應(yīng)交水費多少元？(3)若某戶居民某月交水費26元，則該戶居民用水多少立方米？【答案】(1)(2)應(yīng)交水費14元(3)該戶居民用水12立方米【分析】本題考查一次函數(shù)的實際應(yīng)用，讀懂題意，正確的列出函數(shù)關(guān)系式，是解題的關(guān)鍵：（1）根據(jù)收費方式，分2種情況，列出函數(shù)關(guān)系式即可；（2）將代入對應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行求解即可；（3）令，求出對應(yīng)的自變量的值即可．【詳解】（1）解：由題意，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴；（2）當(dāng)時，（元）；答：應(yīng)交水費14元；（3）∵，∴，∴當(dāng)時，，解得：；答：該戶居民用水12立方米．【考點題型七】一次函數(shù)與面積問題（）【例7】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，已知直線交軸于點，交軸于點，直線交軸于點，與直線相交于點．(1)求的值與求直線的解析式；(2)根據(jù)圖像，直接寫出關(guān)于的不等式的解集；(3)求四邊形的面積．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】本題主要考查了求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與幾何綜合，一次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系，正確根據(jù)待定系數(shù)法求出對應(yīng)的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．（1）把點坐標(biāo)代入中求得的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線的解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象找到當(dāng)一次函數(shù)圖象在直線圖象上方時，自變量的取值范圍即可得到答案；（3）得出點、的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)四邊形的面積解答即可．【詳解】（1）解：∵直線與直線相交于點．∴，解得；∴，把點，代入可得，解得：，∴直線的解析式為：；（2）解：由圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象在直線圖象上方時，自變量的取值范圍為，∴不等式的解集是；（3）解：把代入得：，∴，把代入得：，解得，∴，∵，∴，∵∴四邊形的面積．【變式7-1】（22-23八年級下·河北唐山·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點，直線與y軸相交于C點，與線段交于P點

(1)求的面積；(2)若點A和點B在直線的兩側(cè)，求k的取值范圍；(3)若P點將線段分成兩部分，直接寫出k的值．【答案】(1)6(2)(3)或【分析】（1）延長線段交y軸于點D，則軸，求出，利用三角形的面積公式求解即可；（2）先求出直線的斜率，即可求出的取值范圍；（3）分兩種情況：或求解.【詳解】（1）解：，∴軸，延長線段交y軸于點D，軸，∵，，∴

（2）解：設(shè)直線的解析式為，，解得，∴直線的解析式為設(shè)直線的解析式為，，解得，∴直線的解析式為∵點和點在直線的兩側(cè)，∴；（3）解：當(dāng)，，點的坐標(biāo)為，將點代入，得，解得，，當(dāng)，，點的坐標(biāo)為，將點代入，得，解得，，綜上所述，或【點睛】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)交點問題，正確理解一次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（23-24八年級下·吉林長春·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象交x軸于點A、交y軸于點B，函數(shù)（m為常數(shù)）的圖象為直線，交x軸于點C、交y軸于點D，直線與直線相交于點P．(1)點A的坐標(biāo)為__________，點B的坐標(biāo)為_________．(2)當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．(3)當(dāng)點P位于第四象限時，求m的取值范圍．(4)連結(jié)，，當(dāng)?shù)拿娣e是面積的2倍時，直接寫出m的值．【答案】(1)，(2)點P的坐標(biāo)為(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)，得到當(dāng)時，；當(dāng)時，，即可得到與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)；（2）時，得到方程，解到，再求出對應(yīng)y值即得；（3）求出點P在點和時的m值，即得；（4）求出，根據(jù)，，，即可求得m值．【詳解】（1）在中，當(dāng)時，；當(dāng)時，，；∴，；故答案為：，，（2）當(dāng)時，有，，解得，，∴，∴點P的坐標(biāo)為；（3）當(dāng)P點在時，代入，得；當(dāng)P點在時，代入，得；∴當(dāng)P點在第四象限時；（4）或．理由：當(dāng)時，，解得，∴，∴．∵，，，∴，得；或，得．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)綜合．熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與一元一次方程的關(guān)系，一次函數(shù)與不等式的關(guān)系，三角形的面積公式，分類討論，是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（24-25八年級上·河北保定·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過點，，與軸交于點，直線．(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；(2)若，將直線沿軸向上平移個單位長度，當(dāng)平移后的直線經(jīng)過點時，求的值；(3)無論的值怎樣變化，直線都過定點________；若當(dāng)從開始逐漸增大時，函數(shù)的值比直線對應(yīng)函數(shù)的值先到達(dá)，求的取值范圍；(4)已知直線（直線上所有點的橫坐標(biāo)都為），若直線（且）直線與直線圍成的三角形的面積是，直接寫出的值．【答案】(1)(2)(3)

(4)或【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求解；（2）先求出點的坐標(biāo)，再根據(jù)平移過程寫出平移后的直線解析式，最后把點坐標(biāo)代入即可求解；（3）根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特征即可求解；根據(jù)“函數(shù)的值比直線對應(yīng)函數(shù)的值先到達(dá)”列出一元一次不等式，解出的范圍即可求解；（4）如圖所示，根據(jù)題意表示出三條直線的交點坐標(biāo)，再表示出三條直線圍成的三角形的面積，令其等于，解絕對值方程即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線的函數(shù)表達(dá)式為，直線經(jīng)過點，，，解得：，直線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，，直線的函數(shù)表達(dá)式為，將直線沿軸向上平移個單位長度，平移后的直線的函數(shù)表達(dá)式為，平移后的直線經(jīng)過點，將代入中，得，解得：；（3）解：無論的值怎樣變化，直線都過定點，故答案為：；當(dāng)時，，解得：，將代入中，得，函數(shù)的值比直線對應(yīng)函數(shù)的值先到達(dá)，，解得：；（4）解：由，解得：，即直線與直線交于點，如圖所示，把分別代入、得、，即直線分別與、交于點、，如圖所示，則，作于，則，則，又，，解得：或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的平移規(guī)律、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一次函數(shù)的性質(zhì)、兩直線的交點與二元一次方程組的解的關(guān)系、解一元一次不等式等知識點，熟練掌握以上知識是解答本題的關(guān)鍵．【考點題型八】一次函數(shù)的動態(tài)問題（）【例8-1】（24-25八年級上·山東煙臺·期末）如圖，直線與軸，軸分別交于，兩點，且．(1)求的值；(2)點是直線上的一個動點，當(dāng)?shù)拿娣e是時，求點的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，且點在第一象限，軸上是否存在一點，使是等腰三角形？若存在，請直接寫出滿足條件的所有點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)點的坐標(biāo)為或(3)，，，．【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積公式，等腰三角形的性質(zhì)．（1）確定出點的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式中即可求出；（2）利用三角形的面積求出求出點坐標(biāo)；（3）設(shè)出點，表示出，，計算出，分三種情況討論計算即可得出點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：，，點在直線上，，；（2）由（1）知，，直線解析式為，點是第一象限內(nèi)的直線上的一個動點，，，解得或，故點的坐標(biāo)為或；（3）軸上存在一點，使等腰三角形；理由如下：在①的條件下，且點在第一象限，點的坐標(biāo)為，設(shè)點，∴，，①當(dāng)時，∴，∴，∴，②當(dāng)時，∴，∴舍去)或，∴，③當(dāng)時，∴，∴，∴綜上所述，滿足條件的所有點的坐標(biāo)為，，，．【例8-2】（24-25八年級上·山東棗莊·期末）如圖，直線與軸、軸分別交于點和點是上的一點，若將沿折疊，點恰好落在軸上的點處．求：(1)求、兩點坐標(biāo)；(2)求坐標(biāo)；(3)在軸上找一點，使得以點、、為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出所有點的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)(3)或或或【分析】本題考查一次函數(shù)、勾股定理于折疊、等腰三角形的定義等知識點，將圖形與數(shù)學(xué)知識相結(jié)合是解題的關(guān)鍵．（1）令可求得A點坐標(biāo)；令，得B點坐標(biāo)；（2）由勾股定理可得線段，由折疊的性質(zhì)可知，，進(jìn)而得到，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得m值，即可確定點M坐標(biāo)；（3）由勾股定理可得，然后分三種情況分別畫出圖形并運用等腰三角形的定義和勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：，令，則；，則；，；（2）解：，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得，；（3）解：由（2）知，，；以點M為圓心，長為半徑畫圓交x軸于一點P，此時，；；以點為圓心，長為半徑畫圓交x軸于一點P，此時，或，或；如圖：作線段的垂直平分線交x軸于一點P，此時，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，解得，；綜合上述，點P的坐標(biāo)為或或或．【例8-3】（24-25八年級上·江蘇鹽城·期末）【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，在等腰直角三角形中，，，直線l經(jīng)過點C，過點A作直線l，垂足為點D．過B作，垂足為點E，易證，我們稱這種全等模型為“k型全等”．（不需要證明）【遷移應(yīng)用】已知：直線的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．（1）如圖2．當(dāng)時，在第一象限構(gòu)造等腰直角，，則點E的坐標(biāo)為______；（2）如圖3，當(dāng)點A在x軸負(fù)半軸上運動時，在y軸左側(cè)過點B作，并且，連接，試問的面積是否為定值？若是請求出這個定值，若不是請說明理由；【拓展提高】（3）如圖4，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，直線與y軸交于點N，與x軸交于點Q，將直線繞N點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得的直線交x軸于點M．求直線的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；（2）的面積是定值，詳見解析；（3）【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形，一次函數(shù)與幾何的綜合應(yīng)用，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握“k型全等”是解題的關(guān)鍵：（1）過點作軸，證明，即可得出結(jié)果；（2）過點Q作軸，垂足為點H，證明，得到，求出點坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式進(jìn)行計算即可；（3）過點Q作交于點G，過點G作軸，垂足為點H，證明，求出點坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．【詳解】解：（1）過點作軸，則：，∵等腰直角，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，∴，∴，∴；（2）的面積是定值．理由如下：過點Q作軸，垂足為點H，，，，，，，在和中，，，．當(dāng)時，，∴，．，的面積是定值，定值為；（3）過點Q作交于點G，過點G作軸，垂足為點H．．，，．在中，由題意，，．．在和中，，，．由題意知，直線與y軸交