2024屆遼寧省朝陽(yáng)市普通高中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2024屆遼寧省朝陽(yáng)市普通高中數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.函數(shù)戶2園sin2x的圖象可能是

2.已知拋物線。：產(chǎn)=4/“(〃>0)的焦點(diǎn)為尸，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線分別交于4、8兩點(diǎn)，與)'軸的正半軸交于

點(diǎn)S,與準(zhǔn)線/交于點(diǎn)了，且|E4|=2|AS|,則品=()

27

A.-B.2C.-D.3

52

3.如圖，矩形ABC。中，AB=\tBC=&，￡是4。的中點(diǎn)，將△ABE1沿BE折起至一ABE，記二面角4一座一。

的平面角為直線AE與平面〃COE所成的角為￡,與8c所成的角為有如下兩個(gè)命題：①對(duì)滿足題意的

任意的A的位置，a+k②對(duì)滿足題意的任意的A的位置，a+/，貝人)

C.命題①成立，命題②不成立D.命題①不成立，命題②成立

|log3(x+l)|,xe(-l,8)

4.已知“文）=，4若/［（加一1）/（司］-2W0在定義域上恒成立，則用的取值范圍是（）

--,xe[8,+o>)

lx-6

A.(0,4-0?)B.[1,2)C.[l,+oo)D.(0,1)

5萬(wàn)）

5.已知函數(shù)/(x)=Asin(69x+0)（其中A>0,G>0,乃）的圖象關(guān)于點(diǎn)M—成中心對(duì)稱(chēng)，且與

11/

與，則對(duì)于下列判斷:

點(diǎn)M相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為N-3,

①直線4=5是函數(shù)/（X）圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸;

②點(diǎn)0是函數(shù)/（五）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心;

③函數(shù)y=1與y=wxW二fJ的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為74.

其中正確的判斷是（）

A.??B.①③C.②③D.①②?

6.設(shè)a=logoo80?04,=log030.2,。=（）.3°%則。、b、c的大小關(guān)系為（）

A.c>b>aB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

7.設(shè)a力￡（1,4w）,貝”是“1強(qiáng)/<1”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

8.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足。3=3q+2%,則公比4=（）

A.1B.2C.3D.4

9.某市政府決定派遣8名干部（5男3女）分成兩個(gè)小組，到該市甲、乙兩個(gè)縣去檢查扶貧工作，若要求每組至少3人,

且女干部不能單獨(dú)成組，則不同的派遣方案共有（）種

A.240B.320C.180D.120

/、［log,（1-x）x<0/、

f

10.定義在R上的函數(shù)/（“滿足x>o則〃2。19）=（）

A.-1B.0C.1D.2

11.已知雙曲線提―今=1（。>0/>0）的左、右頂點(diǎn)分別是雙曲線的右焦點(diǎn)廠為（2,0）,點(diǎn)尸在過(guò)尸且垂

直于刀軸的直線/上，當(dāng)AABP的外接圓面積達(dá)到最小時(shí)，點(diǎn)尸恰好在雙曲線上，則該雙曲線的方程為（）

■21B.fI

22

44

12.已知2“=3〃=6,則。，〃不可能滿足的關(guān)系是（）

A.a+b=abB.a+b>4C.(a-l)2+(/?-l)2<2D,a2+b2>S

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.不等式at+l+/依對(duì)于定義域內(nèi)的任意x恒成立，則。的取值范圍為.

14.曲線/（x）=L+ln，在點(diǎn)（1,/。））處的切線方程是.

XX

15.已知集合/4={-1,0,2},8={工|工=2〃-1,〃￡2},則AB=.

16.在（與+?）〃的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為1024,則展開(kāi)式常數(shù)項(xiàng)的值等于

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱錐夕-4NC。中，底面A3CO是直角梯形且A力〃8C,AB1BC,AB=BC=2AD=2f

側(cè)面為等邊三角形，且平面平面468.

（1）求平面與平面PDC所成的銳二面角的大??；

（2）若CQ=4CP（晦收I）,且直線4Q與平面POC所成角為?，求義的值.

18.（12分）設(shè)函數(shù)/（工）=|戈+2|一|21一2|.

（1）解不等式之2x7；

（2）記f（x）的最大值為M,若實(shí)數(shù)。、b、。滿足a+〃+c=M,求證：J7V+廬芯+J7VN30?

19.（12分）已知橢圓C：￡+==1（?>〃>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A、4,上、下頂點(diǎn)分別為名，Blt”為其

右焦點(diǎn)，44?4尸=1,且該橢圓的離心率為g；

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)過(guò)點(diǎn)A作斜率為上的直線/交橢圓。于X軸上方的點(diǎn)P，交直線x=4于點(diǎn)Q,直線與橢圓c的另一個(gè)交

點(diǎn)為G,直線0G與直線AQ交于點(diǎn)，.若人尸二%4〃，求力取值范圍.

20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)

度單位.已知直線1的參數(shù)方程為廠(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=4sin(。+9).

[y=l+j3/3

(1)求直線I的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；

(2)若直線I與曲線C交于M,N兩點(diǎn)，求AMON的面積.

21.(12分)為迎接2022年冬奧會(huì),北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核.記

X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定X285為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了

30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖：

(I)從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

(II)從圖中考核成績(jī)滿足XE[80,89]的學(xué)生中任取2人，求至少有一人考核優(yōu)秀的概率；

(x—85、

(m)記尸(aVXWb)表示學(xué)生的考核成績(jī)?cè)趨^(qū)間[4句的概率，根據(jù)以往培訓(xùn)數(shù)據(jù)，規(guī)定當(dāng)夕――<120.5時(shí)

培訓(xùn)有效.請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，判斷此次中學(xué)生冰雪培訓(xùn)活動(dòng)是否有效，并說(shuō)明理由.

22.(10分)在世界讀書(shū)日期間，某地區(qū)調(diào)查組對(duì)居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個(gè)容量為200的樣本，其中城

鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.

(1)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？

城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)

經(jīng)常閱讀10030

不經(jīng)常反讀

合計(jì)200

（2）調(diào)查組從該樣本的城饃居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動(dòng)，若活動(dòng)主辦方從這7位居民中隨

機(jī)選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.

2n(ad-bc)2

附：K=-------------------------,其中〃=a+b+c+d?

(4+/，)(c+d)(“+c)S+d)

p(K2困0.100.050.0250.0100.0050.001

“02.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解題分析】

分析:先研究函數(shù)的奇偶性，再研究函數(shù)在《通）上的符號(hào)，即可判斷選擇.

詳解：令/'（X）=2"sin2x,

因?yàn)楣/?,/（-1）=2卜'%訪2（-1）=一2飛"]21=一/。），所以/（x）=2"sin2x為奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B;

因?yàn)樨＃r(shí)，/（x）＜0,所以排除選項(xiàng)C,選D.

點(diǎn)睛：有關(guān)函數(shù)圖象的識(shí)別問(wèn)題的常見(jiàn)題型及解題思路：（1）由函數(shù)的定義域，判斷圖象的左、右位置，由函數(shù)的值

域，判斷圖象的上、下位置；（2）由函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）由函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性;

（4）由函數(shù)的周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).

2、B

【解題分析】

過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,與）'軸交于點(diǎn)N,由|FX|二2|AS|和拋物線的定義可求得|TS|,利用拋物線的性

112,,

質(zhì)府|+西=]可構(gòu)造方程求得|M|,進(jìn)而求得結(jié)果.

【題目詳解】

過(guò)點(diǎn)A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M,AM與）'軸交于點(diǎn)N,

由拋物線解析式知：尸（P，。），準(zhǔn)線方程為了二一〃.

照=2網(wǎng)溜《?.?網(wǎng)=押|哆...|必拉

由拋物線定義知：|4F|二MM===.小月=2〃，

.?.網(wǎng)=S/|=2〃.

1121311,

由拋物線性質(zhì)由+網(wǎng)=7=萬(wàn)得：布+網(wǎng)=｝，解得：網(wǎng)=4〃，

.西L包=2

.?西一）一.

故選：B.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查拋物線定義與幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是熟練掌握拋物線的定義和焦半徑所滿足的等式.

3、A

【解題分析】

作出二面角a的補(bǔ)角、線面角夕、線線角/的補(bǔ)角，由此判斷出兩個(gè)命題的正確性.

【題目詳解】

①如圖所示，過(guò)A作40_L平面38E,垂足為。，連接。石，作0MJ.8E,連接AM.

由圖可知乙4'"。=不一a，ZAEO=/3<ZAMO=7r-af所以a+/7W〃，所以①正確.

②由于BC//DE,所以AE與所成角/二4一NAZO?N4MO=;r-a,所以。+/￡乃，所以②正確.

綜上所述，①②都正確.

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了折疊問(wèn)題、空間角、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

4、C

【解題分析】

QQ

先解不等式可得出工之一§,求出函數(shù)y=的值域，由題意可知，不等式(〃2-1)/(1)2一§在定義

域上恒成立，可得出關(guān)于機(jī)的不等式，即可解得實(shí)數(shù)〃?的取值范圍.

【題目詳解】

|log3(x+l)|,x€(-l,8)

??,/(%)>4，先解不等式式(x)?2.

--,xe[8,+oo)

lx-6

①當(dāng)一l〈xv8時(shí)，由/(x)="og3(x+l)|42,得—2Wlog3(x+l)W2,解得一此時(shí)一3Vx<8；

4

②當(dāng)無(wú)之8時(shí)，由/(刈=——<2,得工28.

所以，不等式/(x)<2的解集為］工大之一［>.

下面來(lái)求函數(shù))，=/("的值域.

當(dāng)一1〈工<8時(shí)，0<x+l<9,則log3(x+l)<2,此時(shí)/(/)=|k)g3(x+l)|20；

4

當(dāng)工28時(shí)，x-6>2,此時(shí)/(x)=——e(0,2.

j—6

綜上所述，函數(shù))，=/")的值域?yàn)椋?,+8),

由于/［(6-I)/(Y)］-2<。在定義域上恒成立，

Q

則不等式(〃Ll)/(x)2-g在定義域上恒成立，所以，加—120,解得機(jī)2/?

因此，實(shí)數(shù)〃7的取值范圍是［1,+8).

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考杳利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時(shí)也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考杳分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于中

等題.

5、C

【解題分析】

分析：根據(jù)最低點(diǎn)，判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為

〃x）=3sin2x+-,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.

\oJ

詳解：因?yàn)橹ㄖ?0

為對(duì)稱(chēng)中心，且最低點(diǎn)為N

\1~/

所以A=3,且T=4x=71

由也生上2

T71

所以/（.r）=3sin（2x+0）,將N-,-3帶入得

I37

兀

（D=一,

所以/(x)=3sin1X+-

6

由此可得①錯(cuò)誤，②正確，③當(dāng)—皆時(shí)，0工2工+2工62，所以與y=l有6個(gè)交點(diǎn)，設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)

依次為不工2,不，％毛，工6，則%+七十七十七+七+/=7不，所以③正確

所以選C

點(diǎn)睛：本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式，通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

6、D

【解題分析】

因?yàn)椤?log0080.04=2log0080.2=log^—0.2>k）g^^1=0,b=log030.2>log031=0,

所以‘二1。802而成，!=1。8020?3且）'=1。802X在（°，+8）上單調(diào)遞減，且血充<（）.3

ab

所以,>?，所以人>a,

ab

又因?yàn)閍=bg如麗0,2>log而獲Jo.08=1,c=0.3'""<0.3°=1>所以。>。，

所以〃>4>C.

故選：D.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對(duì)數(shù)的大小，難度一般,除了可以直接利用單調(diào)性比較大小，還可以根據(jù)中間

值“0,1”比較大小.

7、C

【解題分析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行判斷即可.

【題目詳解】

?：a,be(1,+cc),

a>Anlogab<lf

log/!力<1*>力，

：-a>b是Ioga/><1的充分必要條件，

故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，根據(jù)不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵.

8、C

【解題分析】

由正項(xiàng)等比數(shù)列滿足%=34+2%,即4/=3q+2。小又4工0,即q2-2q-3=0,運(yùn)算即可得解.

【題目詳解】

解：因?yàn)?2%，所以。臼’=3。［十2〃u，又〃尸0,所以爐-2q-3=0,

又q>0,解得9=3.

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎(chǔ)題.

9、C

【解題分析】

在所有兩組至少都是3人的分組中減去3名女干部單獨(dú)成一組的情況，再將這兩組分配，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得

出結(jié)果.

【題目詳解】

兩組至少都是3人，則分組中兩組的人數(shù)分別為3、5或4、4,

又因?yàn)?名女干部不能單獨(dú)成一組，則不同的派遣方案種數(shù)為

故選：C.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查排列組合的綜合問(wèn)題，涉及分組分配問(wèn)題，考查計(jì)算能力，屬于中等題.

10、C

【解題分析】

推導(dǎo)出/（2019）=/（403x5+4）=/（4）=〃T）=k）g22,由此能求出“2019）的值.

【題目詳解】

..log,（1-x）x<0

???定義在R上的函數(shù)滿足/"）=［廣、，

J（X—JIX>U

???

/（2019）=/（403x5+4）=/（4）=/（-l）=log22=1,故選C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查函數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用，屬于中檔題.

11、A

【解題分析】

點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（2,〃2）（機(jī)>0）,UinZAPB=km（ZAPF-ABPF）,展開(kāi)利用均值不等式得到最值，將點(diǎn)代入雙曲線

計(jì)算得到答案.

【題目詳解】

不妨設(shè)點(diǎn)夕的坐標(biāo)為（2,加）（〃2>0）,由于|4回為定值，由正弦定理可知當(dāng)sinNAPB取得最大值時(shí)，AA尸8的外接

圓面積取得最小值，也等價(jià)于tanNAP6取得最大值，

因?yàn)閠anNA尸產(chǎn)=2—,tan/BP尸二二

2+〃2-a

2+。2—。

m+—2

mmin

當(dāng)且僅當(dāng)團(tuán)=匕（〃?>0）,即當(dāng)機(jī)=力時(shí)，等號(hào)成立,

此時(shí)NAP8最大，此時(shí)A心的外接圓面積取最小值,

點(diǎn)2的坐標(biāo)為(2力)，代入￡一《二1可得〃=④，〃=必二7=

a~b~

所以雙曲線的方程為E-f=1.

22

故選：A

【題目點(diǎn)撥】

本題考直了求雙曲線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

12>C

【解題分析】

根據(jù)2“=3"=6即可得出。=1+1。823,/?=1+log52,根據(jù)Iog23」og32=l,log32+log32>2,即可判斷出結(jié)

果.

【題目詳解】

???2"=y=6;

:.a=log26=1+log,3,b=log36=1+log32；

A<7+Z?=2+log,3+log32>4,ab=2+log23+log32>4,故A,8正確;

2222

(tz-1)4-(Z?-1)=(log23)+(log32)>21og231og32=2,故C錯(cuò)誤；

22

v這+)2=2+2(log23+Iog32)+(10g23)+(10g32)

>2+4^1og231og32+21og231og32=8,故D正確

故C.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，以及基本不等式：面和不等式/十A?22〃人的應(yīng)用，

屬于中檔題

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、(-co,l]

【解題分析】

根據(jù)題意，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為史二蛆匚只對(duì)于(0,+a)內(nèi)的任意工恒成立，令

X

—/nr—1^Ai-hiA_11

:.g(x)=XemX=-------四」，則只需在定義域內(nèi)〃Wg(xMn即可，利用放縮法,)+1，得出

XX

et+,nA>x+lnx+l?化簡(jiǎn)后得出8(“的，即可得出。的取值范圍.

【題目詳解】

解：已知av+1+Inx<正,對(duì)于定義域(0,+8)內(nèi)的任意x恒成立，

即。0xc-對(duì)于(0,+8)內(nèi)的任意x恒成立，

x

令g(x)二野上竺二1,則只需在定義域內(nèi)。Wg("由即可，

X

/、xex-lnx-\(?lnx-InA-1^'+lnr-lnx-1

二.g(x)=----------=-------------=------------，

XXX

x

-e>x+\t當(dāng)尤=0時(shí)取等號(hào)，

由e'Nx+l可知，ex+inx>x+lnx+b當(dāng)x+lnx=0時(shí)取等號(hào)，

/、—Inx—1、3E+Inx+1—Inx—1

二.g(x)=----------->----------------=1，

XX

當(dāng)x+lnx=0有解時(shí)，

令〃(x)=x+lnx(x>0),貝|］力'(%)=1+，>0,

X

力在(o,+8)上單調(diào)遞增,

又??/7(g)=g-l<0,/?(1)=1>0,

.,.丸w(0,4o。)使得/7(不)=0，

二屋山加=1，

貝!J。41,

所以。的取值范圍為

故答案為：(-8』］.

【題目點(diǎn)撥】

本題考杳利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，解決恒成立問(wèn)題求參數(shù)值，涉及分熟參數(shù)法和放縮法，考杳轉(zhuǎn)化能力和計(jì)

算能力.

14、2x-y-3=0

【解題分析】

利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可.

【題目詳解】

由已知,f\x）=---9所以/（1）二一2,又=

XX

所以切線方程為,y-l=-2U-1）,即2x+），-3=0.

故答案為：21+），-3=。

【題目點(diǎn)撥】

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的基本計(jì)算能力，要注意在某點(diǎn)處的切線與過(guò)某點(diǎn)的切線的區(qū)別，是一道容易題.

15、{-1}

【解題分析】

由3={1卜=2〃-1,"￡2}可得集合8是奇數(shù)集，由此可以得出結(jié)果.

【題目詳解】

解：因?yàn)?={X|X=2〃-1,〃￡Z}

所以集合8中的元素為奇數(shù)，

所以A13={—1}.

【題目點(diǎn)撥】

本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.

16、15

【解題分析】

利用展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)的和得n=5,再利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求得展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).

【題目詳解】

因?yàn)椋ň晔澹┑亩?xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和為4n=1024,n=5,

故（卷+?）的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)「+kC?3，rjz。,令5-10=0，解得口4,可得常數(shù)項(xiàng)為T(mén)s=C'?3=15,故填15.

【題目點(diǎn)撥】

本題主要考查了二項(xiàng)式定埋的應(yīng)用、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

713土百

17、(1)一；(2)

4—

【解題分析】

(1)分別取CD的中點(diǎn)為O,E,易得QP,OE,08兩兩垂直，以O(shè)EOB,O尸所在直線為不，Vz軸建立空

間直角坐標(biāo)系，易得4。=(1,0,0)為平面QA5的法向量，只需求出平面POC的法向量為〃，再利用

cos夕=|cos<nAD>|=①竺1計(jì)算即可;

InIIA。|

(2)求出BQ,利用|cos<〃,8Q>|=sinq計(jì)算即可.

【題目詳解】

(1)分別取A3,CQ的中點(diǎn)為O,E,連結(jié)尸O,EO.

因?yàn)锳O〃8C',所以O(shè)七〃3c.

因?yàn)锳8_L8C,所以45_LO￡

因?yàn)閭?cè)面Q4/為等邊三角形,

所以A8J_OP

又因?yàn)槠矫鍼ABJ_平面ABCD,

平面P4Bc平面A8CQ=A3,OPu平面

所以O(shè)P_L平面ABCD,

所以。P,OE,04兩兩垂直.

以。為空間坐標(biāo)系的原點(diǎn)，分別以QEOB，OP所在直線為?心)'，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)锳B=BC=2AD=2,則0(0,0,。),4(0,-1,0),B(0,l,0),C(2,1,0),D(1,T,O),P(0,0,揚(yáng),

DC=(l,2,0),PC=(2』,-G).

n/9C=0x+2y=0

設(shè)平面PDC的法向量為n=(x,y,z),則,即J

nPC=()2x+y->/3z=0

取y=l,則X=—2,Z=—G，所以;?=(一2,1,-6).

又AO=(1,0,0)為平面Q鉆的法向量，設(shè)平面與平面PQC所成的銳二面角的大小為。，則

\n-AD\2

cos0=|cos<n-AD>|=.亞

I"II401卜2)2+/+(_a2_2，

所以平面與平面PDC所成的銳二面角的大小為三.

(2)由(1)得，平面2力。的法向量為〃=(-2,1,-6),PC=(2J-⑺)，

所以成BQ=BC+ACP=(-22+2,-A,&)(0翌收1).

又直線BQ與平面PDC所成角為y,

所以|cos<〃,8Q>f=sinq，即￡，

3\n||BQ\2

144—4—A—3A|y/3

J(-2)“+F+(SyXy/(-22+2)2+(一。)2+(x/5/l)22

化筒得6片—62+1=0,所以4二匹也，符合題意.

6

【題目點(diǎn)撥】

本題考查利用向量坐標(biāo)法求面面角、線面角，涉及到面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，做好此類(lèi)題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確寫(xiě)出點(diǎn)的

坐標(biāo)，是一道中檔題.

18>(1)(-co,-3]u-1,|

(2)證明見(jiàn)解析

【解題分析】

(1)采用零點(diǎn)分段法：x<—2、-2<x<l.A>1,由此求解出不等式的解集；

(2)先根據(jù)絕對(duì)值不等式的幾何意義求解出M的值，然后利用基本不等式及其變形完成證明.

【題目詳解】

(1)當(dāng)工<一2時(shí)，不等式為一上一2+2n一232為一1,解得工<一3

當(dāng)—時(shí)，不等式為x+2+2x—2\2x—1,解得一IWxWl

當(dāng)x>l時(shí)，不等式為x+2—2x+2N2x—l,解得

3

，原不等式的解集為(-8,一引。-1,1

(2)/(X)=|-V+2|-|2X-2|=|A：4-2|-|X-1|-|X-1|<|U+2)-(X-1)|-|X-1|=3-|X-1|<3

[(x+2)(x-1)>0

當(dāng)且僅當(dāng)?八即彳=1時(shí)取等號(hào)，

[x-1=0

??/(x)max=3，，a+Z?+c=3

???。2+622時(shí)，???2(/+〃)之(。+〃)2,

：^a2+b2>—(a+b)(當(dāng)且僅當(dāng)。=8時(shí)取“二”)

2

同理可得】從+。22*s+c),y/c2+a2>^(c+a)

2

\la2+Z?2+A/Z?+C2+y]c2+CT>\il(a+b+c)

工序抵十后3戶屋3拉(當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=l時(shí)取“二”)

【題目點(diǎn)撥】

本題考杳絕對(duì)值不等式的解法以及利用基本不等式證明不等式，難度一般.(1)常見(jiàn)的絕對(duì)值不等式解法：零點(diǎn)分段

法、圖象法、幾何意義法；(2)利用基本不等式完成證明時(shí)，注意說(shuō)明取等號(hào)的條件.

19、(I)工+工=]；(n)AG(^,3).

433

【解題分析】

(I)由題意可得用4，8尸的坐標(biāo)，結(jié)合橢圓離心率，&A?4"=I及隱含條件列式求得。，〃的值，則橢圓方程

可求；(口)設(shè)直線4。：)，=女。+2),求得。的坐標(biāo)，再設(shè)直線&。：y=34工-2),求出點(diǎn)G的坐標(biāo)，寫(xiě)出OG的

方程，聯(lián)立OG與4。，可求出”的坐標(biāo)，由4夕=義4〃，可得義關(guān)于A的函數(shù)式，由單調(diào)性可得義取值范圍.

【題目詳解】

(I)4(一。,0),)(0>),F(c,0),

。A=(—〃,—/?),B[F=(c,—b),

由4A?4尸=1,得從一比=1,又一=大，，=從+。2,

a2

解得：a=2,b=>/3,c'=l.

.??橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為工+工=1；

43

(II)設(shè)直線4Q：y=Z(x+2)(Z>0),則與直線x=4的交點(diǎn)。(4,6攵),

又4(2,0),.?.設(shè)直線&O:y=3Z(x-2),

y=3k(x-2)

聯(lián)立二+匚1，消y可得(1+12A2)x2-48k%+48消-4=0.

43

解得°(2魯4k2■-272k、

1+12A:2)，

y=k(x+2)

得(

聯(lián)立22p6-8k12"

143

直線0G：尸3］，

-6k

k12公_尸,解得〃(慈J,靛^,

聯(lián)立

y=k(x+2)

A}P=AA]Ht

(xp+2typ)=X{xH+2,ylt),

，

1力12&2+512^+9—414

X=--=-----r=-----;-----=3-----；---,

)%3+4公4k2+34r+3

4

函數(shù)f(〃)=3--2—在(0,+OO)上單調(diào)遞增，

4K+3

2=/(K)G(1,3).

【題目點(diǎn)撥】

本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解學(xué)

握水平和分析推理計(jì)算能力.

20、(1)直線/的普通方程為6x+y—4=0.曲線。的直角坐標(biāo)方程是圓：(工一百)2+。-1)2=4.(2)4

【解題分析】

(1)將直線/參數(shù)方程中的/消去，即可得直線,的普通方程，對(duì)曲線C的極坐標(biāo)方程兩邊同時(shí)乘以0,利用

r7>2

p~二廠+?

,psin<9=.y可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；

pcost?=X

(2)求出點(diǎn)。到直線的距離，再求出.MN的弦長(zhǎng)，從而得出AMOA’的面積.

【題目詳解】

X=y/3-t--------(11

解：⑴由題意有1廠’，

y=1+yj3t------(2)

(/)xJJ+(2)得，

&+尸4,

直線/的普通方程為由x+『一4=0.

因?yàn)?+%

所以〃=2s加0+2cosO,

兩邊同時(shí)乘以。得,

p2=2psin〃+25/3pcos〃,

p~0=x0+y)

因?yàn)椤sin0=y,

pcosO=x

所以x2+y2=2y+2百X,即（X—J5）2+&-1）2=4,

，曲線C的直角坐標(biāo)方程是圓：（X—G）2+（J—1尸=4.

“Y一2

（2）V原點(diǎn)O到直線/的距離~J網(wǎng)2+]2~

直線/過(guò)圓C的圓心（G，I）,

/.|MV|=2r=4,

所以△朋ON的面積S=L|MN|xd=4.

2

【題目點(diǎn)撥】