2024屆廣東省佛山市普通高中數(shù)學(xué)高二年級上冊期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆廣東省佛山市普通高中數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題

注意事項

1.考生要認真填寫考場號和座位序號。

2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)/(力=廿與g(x)=x+l,則它們的圖象交點個數(shù)為()

A.OB.1

C.2D.不確定

2.橢圓V+2./=4的焦點坐標為()

A.(V2,0),(-V2,0)B.(0,V2),(0-V2)

C.(V6,0),(-76,0)(0.-^)

3.已知拋物線C：V=4x的焦點為E,A為C上一點且在第一象限，以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交C的準線于M,

N兩點，且A,F,M三點共線，則|人目=()

A.2B.4

C.6D.8

4.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=l-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

5.已知。且4+/7+c=0,則下列不等式恒成立的是

A.t/2<b2<c2B.ab?<cb2

C.ac<beD.ab<ac

6.如圖，已知二面角「-/一/平面角的大小為?，其棱/上有A、3兩點，AC.8。分別在這個二面角的兩個半

平面內(nèi)，且都與垂直,已知A/=l,AC=BD=2f則。=()

a

A

5\yi

A.5B.13

C.75D.V13

7.如圖，在三棱錐A—BCD中，OAOB,。。兩兩垂直，且DB=DC=2,點￡為8。中點，若直線AE與8所

成的角為60。，則三棱錐A-AC。的體積等于()

8.12018江西撫州市高三八校聯(lián)考】已知雙曲線二—二二1(。>(),〃>0)與拋物線)3=2/"(〃>0)有相同的焦

a-b~

點F,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準線交于點例(-3,。，|MF|二X至則雙曲線的離心率為()

A&B百

23

C正D.6

2

9.已知拋物線)，2=2/>(〃>0)的焦點為尸，A為拋物線上一點，。為坐標原點，且04+0尸=(2,2),則〃=()

A.4B.2

C.y/2D.2>/2

10.已知定義在R上的函數(shù)/(戈)滿足〃x)+r(x)>(),且有"3)=3,貝Ij/(x)>3ei的解集為()

A(3,-HX')B.(1,+<X))

C.(-oo,3)D.(r,l)

11.已知空間向量4=(3,5,-2),以=(1,4-1)且￡與6垂直,則4等于()

A.-2B.-1

C.lD.2

22

12.設(shè)點P是雙曲線二一二二1(〃>0,〃>0)與圓/+),2="+"在第一象限的交點，￡、K分別是雙曲線的左、

a-b-

右焦點，且歸用=6|尸國，則此雙曲線的離心率為()

A.石B.巫

2

C.V3+1D.3

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如匡所示，在直二面角O-A8—E中，四邊形A5C。是邊長為2的正方形，AAEB是等腰直角三角形，其中

ZAE?=90°,則點O到平面ACE的距離為

21

14.已知正數(shù)MV滿足一+—=1,則x+2y的最小值是________.

xy

15.數(shù)列｛4,｝的前〃項和為S”=〃2-2〃+3,貝」。1”=.

16.曲線y=?它在點M(*0)處的切線方程為

x

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知函數(shù)=在x=l處有極值;.

(1)求的值;

(2)求函數(shù)/(x)在1,2上的最大值與最小值.

18.(12分)已知函數(shù)/(x)=2ox-2+hiY,且/(x)在x=l,x=，處取得極值.

x2

(1)求。1的值；

(2)當x?0,2],求外”的最小值.

19.(12分)已知拋物線C：y=4/上有一動點「(毛,%),i>0,過點尸作拋物線。的切線/交y軸于點0

(1)判斷線段P。的垂直平分線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由；

(2)過點尸作/垂線交拋物線C于另一點"，若切線/的斜率為億設(shè)-PQM的面積為S,求;的最小值

K

20.(12分)已知等差數(shù)列｛qj中，4+%+4=18,a5+tz7=0.

(1)求，%”｝的通項公式；

(2)求也｝的前〃項和S”的最大值.

21.(12分)己知a=(2sinox,siri3：+cos3r),b=(coscox,\[?>(sincox-cos69.r)j(0<69<1),函數(shù)/(x)=o〃，

直線1二一是函數(shù)/(X)圖象的一條對稱軸

(1)求函數(shù)/(犬)的解析式及單調(diào)遞增區(qū)間；

⑵若F(A)=0,a=2幣,一ABC的面積為6石，求一A8c的周長

22.(10分)已知拋物線C：V=2px(p>())經(jīng)過點(1,一1).

(I)求拋物線。的方程及其焦點坐標；

(II)過拋物線。上一動點尸作圓/:(%-2『+:/=1的兩條切線，切點分別為A,B,求四邊形PAM8面積的最小

值.

參考答案

一、選擇題；本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、B

【解析】令〃(x)=e'-x-l,判斷/?(x)的單調(diào)性并計算/2(x)的極值，根據(jù)極值與()的大小關(guān)系判斷〃(x)的零點個

數(shù)，得出答案.

【詳解】令Mx)=e'—x—l,則“(冗)=〃-1,由〃(x)=eT=O,得工=0,

，當x<0時，"(x)<0,當x>0時，”(x)>0.

，當x=0時，〃(力取得最小值力(0)=0,

???力(力=4一。一1只有一個零點,即F(力與g(x)的圖象只有1個交點.

故選：B.

2、A

【解析】由題方程化為橢圓的標準方程求出c,則橢圓的焦點坐標可求

【詳解】由題得方程可化為，—+^-=1

42

所以/=4,6=2,/=4-2=2

所以焦點為(士加,0)

故選：A.

3、B

【解析】根據(jù)A,F,M三點共線，結(jié)合點尸到準線的距離為2,得到恒可|=4,再利用拋物線的定義求解.

【詳解】如圖所示：

???AM是圓的直徑，

:.AN1MN,4V〃x軸，

又“為AM的中點，且點”到準線的距離為2,

.?.|/W|=4,

由拋物線的定義可得|A川=|AN|=4,

故選：B.

4、D

【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限

【詳解】復(fù)數(shù)z=l—2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為。,-2)

則復(fù)數(shù)z=l-2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限

故選：D

5、C

【解析】?；a+〃+c=O且。

:.a<0,c>0

:.ac<be

選C

6、C

【解析】以A/、為鄰邊作平行四邊形連接CE,計算出CE、。七的長，證明出OEJ_CE,利用勾

股定理可求得CO的長.

【詳解】如下圖所示，以AB、8。為鄰邊作平行四邊形ABDE，連接CE,

因為9_L/W,AE//BD,則隹，3。，

又因為AC_L/W,ACUQ,AEU0,故二面角a—/一力的平面角為NCAE=g,

因為四邊形A3OE為平行四邊形，貝！1AE=3O=2,DE=AB=1,

因為4c=2,故ACE為等邊三角形，則CE=2,

?/DE!/AB,則DE上AC,-AC(}AE=Af故OE_L平面ACE,

因為CEu平面ACE,則OE_LCE,故CD=』CE?+DE?=石,

故選：C.

7、D

【解析】由題意可證AD_L平面。BC,取30的中點F,連接￡尸，則NA￡F為直線AE與CO所成的角，利用余弦

定理求出AD,根據(jù)三棱錐體積公式即可求得體積

【詳解】如圖，

,:DB=DC=2,點E為8c的中點，

/.DEA.BC,DE=V2>

VDA,DB,0C兩兩垂直，DB[DC=Df

???4)J_平面O8C,取"。的中點凡連接￡尸，

???NA"為直線AE與C。所成的角，且比'=1,

由題意可知，Z4EF=60°,設(shè)=連接AF,

則A尸=1+FAE2=2+x\

AF24-FF2—AF2

在..AE尸中，由余弦定理，得cos/AM=———------------,

2AEEF

12+f+]—(1+廠)_r—

即；；=----------1->解得X=J2,即AO=g

22xlxV2+x2

???

三棱錐A-BC。的體積V=4SBCD-AD=-x-x2x2xy/2=—

38a323

故選：D

8、C

【解析】由題意可知，拋物線)，2=2〃/(〃>0)的焦點坐標為F(5,0),準線方程為x=—

由M在拋物線的準線上，貝卜/二-3,則〃=-6,則焦點坐標為尸(3,0),

所以眼產(chǎn)|=，(一3-3)2+，=^~，則/=(,解得/=±|,

雙曲線的漸近線方程是），=±2工，將M代入漸近線的方程2=3x2,即2二1，

a2aa2

則雙曲線的離心率為e=—=.1+—T=,故選C.

aVa22

【解析】依題意可得"與01設(shè)42°）,根據(jù)QA+O/=（2,2）可得%=2-勺穌=2,根據(jù)A為拋物線上一

點，可得〃=2.

【詳解】依題意可得/（多0）,設(shè)ACW。），

由。4+。-=（2,2）得（小,），0）+（§0）=（2,2）,

所以工0+=2,yQ=2,所以x0=2-,兄=2,

因為A為拋物線上一點，所以22=2〃（2-解得〃=2.

故選：B.

【點睛】本題考查了平面向量加法的坐標運算，考查了求拋物線方程，屬于基礎(chǔ)題.

10、A

【解析】構(gòu)造b（x）=/（x）-e"應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷產(chǎn)（司的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價于尸（力＞尸（3）即可

得解.

【詳解】設(shè)尸（/）=/（力通,則?"）=/'（。。'+/（。-=叫/3+尸（工）］＞（）,

，產(chǎn)（x）在K上單調(diào)遞增.

又"3）=3,則/3）=〃3）看=.3

???）（x）＞3e3T等價于/。）.心＞3e3,即F（x）＞F（3）,

Ax＞3,即所求不等式的解集為（3,+oo）.

故選；A

11、B

【解析】直接利用空間向量垂直的坐標運算即可解決.

【詳解】???a_Lb

??a'b=O

??6/-Z?=5+5/1=0r解得4=-1,

故選：B.

12、C

【解析】根據(jù)幾何關(guān)系得到△尸6K是直角三角形，然后由雙曲線的定義及勾股定理可求解.

【詳解】點尸到原點的距離為20=爐工=°，又因為在△尸耳人中，忻用=2c=21Po

所以△尸月居是直角三角形，即外=90.

由雙曲線定義知歸用—|尸閭=〃，又因為|歷|=6|尸周，

所以歸同=3a+Ga,|P周

在Rt△戶耳F-,中，由勾股定理得(3a+島＞+(Ga+4=(2c)2,

化筒得二二4+2石，所以￡二百+1.

a~a

故選：C.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、空

3

【解析】建立合適空間直角坐標系，分別表示出點AC,。，笈的坐標，然后求解出平面ACE的一個法向量〃，利用公

ADn

式一一求解出點。到平面ACE的距離.

n

【詳解】以AB的中點O為坐標原點，分別以08所在的直線為x軸、)，軸，過。垂直于平面回￡的方向為z軸,

建立如下圖所示的空間直角坐標系，

則A(0,T,0),E(l,0,0),D(0,T,2),C(0,l,2),

AD=(0,0,2),A￡=(l,l,0),AC=(0,2,2),

設(shè)平面4CE的法向量〃=(x,y,z),貝"〃——，x+y=()

、7[72AC=Oy+z=0

令y=l,=(一1,1,一1)

ADn|_2273

故點。到平面ACE的距離c/=-------二一尸=一「

n\|V33

故答案：亞.

3

14、8

【解析】利用“1”代換，結(jié)合基本不等式求解.

21

【詳解】因為一+—=1,x>0,y>0,

x)'

所以x+2y=(x+2y)[：+(14yx_

=4+-+->4+2

xy

當且僅當竺=2,即x=4,y=2時等號成立,

所以當x=4,y=2時，x+2y取得最小值8.

故答案為：8.

2,!?=1

15、位--

271-3,7?>2

S.,H=1

【解析】利用4=J10、。計算可得出數(shù)列(”｝的通項公式.

⑸一S,i，〃N2

[詳解]當,22時，^=\-5?_,=(7?2-2/?+3)-[(//-1)2-2(77-1)+3]=2/7-3；

而q=5=2不適合上式，

2,〃二1

a,=<.

“⑵-3,〃22

[2,n=l

故答案：\C

2n-3,n>2

16、y=--(x-7v)

TV

【解析】由題意可得y'=8s『：—smx,據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點坐標即可確定切線方程.

JC

.5w_u-r”.，cosxx-sinx

【詳解】由函數(shù)的解析式可得：y=------；-----，

XT

,,i4cos4一sin萬1

所求切線的斜率為：k=y]=-------；------=一一，

IE7171

由于切點坐標為(小0),故切線方程為：y=--(x-^).

71

【點睛】導(dǎo)數(shù)運算及切線的理解應(yīng)注意的問題

一是利用公式求導(dǎo)時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆

二是直線與曲線公共點的個數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個公共點，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線

是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個或兩個以上的公共點

三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式.由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)a=-tb=-\；(2)最大值為2—ln2,最小值為!

22

【解析】

(1)對函數(shù)/(工)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在x=l處取極值得出/"(1)=0,再由極值為得出/⑴=；，構(gòu)造一個關(guān)于。、h

的二元一次方程組，便可解出外人的值；

(2)由⑴可知/(幻二；/一]g(/>0),求出了'(X),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)/(x)在g,2上的單調(diào)性，比較極值

和端點值的大小，即可得出/(犬)在；,2上的最大值與最小值.

【詳解】解：(1)由題可知，f[x}=cuc+b\nxt/")的定義域為(0,+"),

f\x)=2ax+—(x>0),

x

由于/(x)在x=l處有極值;，

〃1)=。+勵1=;,即1

a=—

2,

f([}=2a-^b=02a+b=0

解得：r/=l,b=-l,

2

(2)由(1)可知/*)=:%2一][]—其定義域是(0,+8),

ra)=J=d),

XX

令r(x)=0,而x>0,解得x=l,

由r(x)<0,得Ovxvh由r(x)>0,得X>1,

則在區(qū)間g，2上，A-,((X),/(X)的變化情況表如下:

X1(1，2)2

2

/3—0+

_1_

-+ln2單調(diào)遞減單調(diào)遞增2-ln2

/W82

可得/(4「/(1)小

由于“2)—/出=2—ln2—(1+ln2)>0,貝廳(2)>嗎)

所以/(幻皿=八2)=2-ln2,

???函數(shù)〃x)在區(qū)間(2上的最大值為2—ln2,最小值為，

【點睛】本題考查已知極值求參數(shù)值和函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值問題，考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)在給定閉區(qū)間內(nèi)的單調(diào)

性，以及通過比較極值和端點值確定函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)的最值，考查運算能力.

18、(1)a=--,b=~-；

33

(2)——+In2.

6

【解析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，則極值點為導(dǎo)函數(shù)的零點，進而建立方程組解出。力，然后討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進行驗證,

最后確定答案；

（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)在（0,2］上的單調(diào)區(qū)間，進而求出最小值.

【小問1詳解】

⑴=2〃+/?+1=01

x>0，r(.v)=26/+4+-?因為/(“在x=l，x=:處取得極值，所以，

n?則

4-Vjf-=2々+4Z?+2=0

b=~3

廣(同=H+g=-9(1)(2工-1)，

所以xjo,；］時,八戈）＜（）,?。﹩握{(diào)遞減I\

-A時，,r（x）＞o,/（6單調(diào)遞增，時，r（x）＜o,

乙），7

/（X）單調(diào)遞減，故x=l,x=5為函數(shù)的極值點.

丁口1,1

于是。=—,b=—?

33

【小問2詳解】

結(jié)合⑴可知，/（X）在［0,521

上單調(diào)遞減，在-J上單調(diào)遞增，在（1,2］單調(diào)遞減,而/(x)=一一x+—+\nx,

33x

I21417

=——+——ln2=——ln2,/(2)=——+-+ln2=——+ln2.

所以v7

V/333366

因為==所以（2）.

\ZJ2e22.fZ19.Oo32\Z7

7

綜上：/（力的最小值為一二十102.

19、（1）線段PQ的垂直平分線過定點/（0,工、

\16）

⑵得

【解析】（1）設(shè)切線PQ的方程為）+并與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式求得P點坐標，進而求得Q點坐標,

從而求得線段PQ的垂直平分線的方程，進而求得定點坐標.

q

（2）結(jié)合弦長公式求得一的面積S,利用基本不等式求得丁的最小值.

K

【小問1詳解】

依題意可知切線一。的斜率存在，且斜率大于。.

設(shè)直線尸。的方程為>=奴+力，Z〉0.

y=kx+b

由《消去)'并化簡得4/-kx-b=0>

y=4A2

川L2/L\2

由△=0得k2+16Z?=0,b=-----,則4f一區(qū)一〃=4/一米+一=2x——=0,

161614)

2

解得x=9k,所以P(kk\,

oIo10；

在)，=小+Z?中，令x=()得y=Z?,所以。0,---

尸。中點為如，所以線段。。的中垂線方程為k一小

即尸一人+工所以線段PQ的垂直平分線過定點電心?

k16I16；

【小問2詳解】

k21(k\11k2

由(1)可知，直線PM的方程為y—7T二一7%一.，即)，=一人工+上+工

16k[8)k816

11k2

V=X+—I.11k2

由.k816消去),并化簡得:A4x~+-x-------=A0,

攵816

y=4x2

2

_1_LkJ__k

所以816，而工p二三，所以得4,=

"=o獲一W'

所以二PQM的面積s=，?歸°卜|尸加卜[地還?/二(2+-!-)=(i,

228VAi44k)64%

(1+可

所以S64A_/+2公+1_111.

2/2卷+2=

764爐64*+2+2》6416

、1

當且僅當/%=1時等號成立.

k-

qI

所以;的最小值為7.

K16

20、(1)an=12-2n；(2)30.

【解析】(1)設(shè)出等差數(shù)列的公差，由已知列式求得公差，進一步求出首項，代入等差數(shù)列的通項公式求數(shù)列｛4｝的

通項公式；

(2)利用等差數(shù)列求和公式求和，再利田二次函數(shù)求得最值即可.

【詳解】解：(D由題意得，數(shù)列｛q｝公差為d,

則a1+q+%=3q+6c/=18

%+%=2q+10d=0

解得：a=\0,d=-2

/.an=qJ=10-2(/?-1)=12-2/?

,、7/(10+12-2/?))

(2)由(D可得，S=---------=--------------=-n~+11/2

"22

/.S=-〃2+11/?=-(〃——)24-

“24

■:nwN'，，當〃=5或〃=6時，

S“取得最大值SS=S6=30

【點睛】本題考查利用基本量求解等差數(shù)列的通項公式，以及前〃項和及最值，屬基礎(chǔ)題

21、(1)/(x)=2sinx--,單調(diào)遞增區(qū)間為一工+2攵4,3+2%乃(ZsZ).

V3J[_66J

⑵2療+10

【解析】(1)先利用向量數(shù)量積運算、二倍角公式、輔助角公式求出/(x)=2sin(x-]｝再求單增區(qū)間；

(2)利用面積公式求出慶二24,再利用余弦定理求出人+。=10,即可求出周長.

小問1詳解】

已知a=(2sinox,sin(yx+cos<yx),=(coscox,73(sincox-cosa)x))(0<<1),函數(shù)/(x)=a〃，

所以/(x)=sin2cox-