2021屆河南省開(kāi)封市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題及答案

絕密★啟用前

2021屆河南省開(kāi)封市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)(

文)試題

注意事項(xiàng)：1、答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2、請(qǐng)將答案

正確填寫在答題卡上

一、單選題

1.已知集合4={-2,-1,0,1,2},B={1,2,3},則AB=()

A.0B.{-1,0,1}C.{1,2}D.{-2,-1,0,1,2,3}

答案：C

利用交集運(yùn)算求解.

解：因?yàn)榧?={-2,-1,0,1,2},3={123},

所以A8={1,2},

故選：C

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(l+i)z=1,則z的虛部為()

111.

A.-B.-1C.D.1

222

答案：C

由(1+i)z=1求出z,根據(jù)復(fù)數(shù)的定義直接求解即可.

/、11(1-/)111

解：由(l+j)z=l得2=丁一=3;7T=所以則Z的虛部為一二.

\+i222

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和定義，屬于基礎(chǔ)題.

3.函數(shù)/(人)=加入+/的圖象在點(diǎn)處的叨線方程為()

A.4x-y-3=0B.4x+y-3=0C.x-4y-3=0D.x+4y-3=0

答案：A

求導(dǎo)r(x)=L+3f,進(jìn)而求得再利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

.1

解：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=lnx+x3,

所以r(x)='+3f,

所以〃1)=1/(1)=4,

所以圖象在點(diǎn)(1,7(1))處的切線方程為

即4工一)，_3=0,

故選：A

【尸0,(7+a=0,則｝二()

4.記為等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，646

99「10「39

A.---B.—C.-D.--

1010922

答案：B

根據(jù)％+%=0,求得4"，的關(guān)系，再利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解.

解：在等差數(shù)列｛q｝中，4+4=0，

所以4=-4d,

*6q+15d_9

所以

S44q+6d10

故選:B

5.已知函數(shù)/(五)=sina+cosx,?G[0,2TT),若/'(a)=l,則a=()

八一43萬(wàn),、九一小八冗c37V

A.0或—B.一或無(wú)C.-D.—

2222

答案：D

求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，可得sina=-l,再結(jié)合。的取值范圍即可得出.

解：/(x)=sin?+cosx,.*./z(x)=-sinx,

.,.f,(a)=-sina=l,即sina=-l,

ae[0,2zr),.

2

故選：D.

6.使得〃〉人>0成立的一個(gè)充分不必要條件是()

A.->-B.a>ehC.ah>buD.Ina>In方>0

bae

答案：D

根據(jù)不等式的性質(zhì)，由充分條件與必要條件的概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

解：A選項(xiàng)，若a<0,P>0,則滿足!>,，但不能得出所以!>,不是

baba

。>6>0的充分不必要條件；故A錯(cuò)；

B選項(xiàng)，若則“>〃，但不能得出。>〃>0,所以不是力>0的充

分不必要條件；故B錯(cuò)?：

C選項(xiàng)，若。=1,/?=-1,則滿足但不能得出〃>〃>（）；所以公不是

。>6>0的充分不必要條件；故C錯(cuò)；

D選項(xiàng)，由hi。>InZ?>0可得Ina>In人>In1,則能推出反之

不能推出，所以lna〉ln〃>0是。>b>（）的充分不必要條件；故D正確.

故選：D.

點(diǎn)評(píng)：結(jié)論點(diǎn)睛：

判定充分條件和必要條件時(shí)，一般可根據(jù)概念直接判定，有時(shí)也需要根據(jù)如下規(guī)則判斷:

（1）若〃是q的必要不充分條件，則q對(duì)應(yīng)集合是〃對(duì)應(yīng)集合的真子集；

（2）〃是q的充分不必要條件，則〃對(duì)應(yīng)集合是g對(duì)應(yīng)集合的真子集；

（3）〃是q的充分必要條件，則〃對(duì)應(yīng)集合與q對(duì)應(yīng)集合相等；

（4）〃是q的既不充分又不必要條件，q對(duì)的集合與〃對(duì)應(yīng)集合互不包含.

7.已知雙曲線上-丁=］（〃2>0）的離心率與橢圓三+=二］的離心率互為倒數(shù)，則

in-m3〃？

該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±\/2xB.y=±——xC.y=±BxD.y=±匝

)35

答案：B

先求出雙曲線的離心率6=業(yè)詈和橢圓的離心率e=烏匚絲■,根據(jù)條件可得

\!myJ3m

粵二"xY警.=1,解出機(jī)的值，再求出雙曲線的漸近線方程.

\/3myjm

解：雙曲線三—），2=lg>0）的離心率為e

in

22

在橢圓工+二=i中，由于相>o,則所以焦點(diǎn)在y軸上

m3〃?

所以橢圓二十==1的離心率為6=73n二n

m3mV3/?z

7-r/曰J&n-m+l3妨c

由條件可得—j=—x—■=—=1解得：m=2

<3m\Jni

所以雙曲線三—y2=l的漸近線方程為：工也x

22

故選：B

8.下面程序框圖的算法思想源于數(shù)學(xué)名著《幾何原本》中“輾轉(zhuǎn)相除法”，執(zhí)行該程

序框圖（圖中"mMODnn表示根除以〃的余數(shù)），若輸入的/〃，〃分別為272,153,

則輸出的"2=（）

A.15B.17C.27D.34

答案：B

根據(jù)輸入的"?，〃分別為272,153,然后按照循環(huán)一一驗(yàn)證即可.

解：因?yàn)檩斎氲摹?，〃分別為272,153,

第一次循環(huán)「=119,m=153,n=119,

第二次循環(huán)/=34,m=l19,n=34,

第三次循環(huán)，=17,m=34,n=17,

第四次循環(huán)，?=（），m=17,

故選：B

9.某函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式可能是（）

A./(x)=(eA-e-')CDSxB./(A)=(ex-e-x)|cosx|

c.f(x)=("+"，)cosxD./(x)=(，+")sinx

答案：A

根據(jù)函數(shù)圖象，由函數(shù)基本性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.

解：A選項(xiàng)，/(力=(夕’一"')85工，

則f(-x)=A-f')cos(-x)=-(<?'-e~x)cosx=-f(x),

所以/(無(wú))=(/-67卜。5式是定義在用上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足題中

圖象；

又當(dāng)0<x<5時(shí)，，_于*>0，由〃x)>o可得COSC(,解得0c或

33

-7T<x<5i由/(x)<0可得cosx<0,解得滿足題中圖象，故該函

數(shù)的解析式可能是/(?=(靖-e-!cosx；A正確；

B選項(xiàng)，當(dāng)()<x<5時(shí)，/一"、>0,IcosH^O,所以/(x)=(e'-e")|COSH2。，

不滿足題意；排除B：

C選項(xiàng)，由“x)=(e'+eT)cosx得/(0)=2cos0=2,即/(月=卜、+"')小/不

過(guò)原點(diǎn)，不滿足題意；排除C；

D選項(xiàng)，因?yàn)椤赌?lt;5<2萬(wàn)，所以sin5<0,則/(5)=(05+"5卜巾5<。，不滿足題

意,排除D；

故選：A.

點(diǎn)評(píng)：思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(D從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，為斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，溝斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

10.中國(guó)傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊(yùn).如圖1,在半圓。中作出兩個(gè)扇形OA3和

OCD,再?gòu)纳刃?。A8中剪下扇環(huán)形ABOC制作扇面(如圖2).當(dāng)扇環(huán)形ABOC的

面積與扇形。的面積比值為老二！■時(shí)，扇面形狀較為美觀，則此時(shí)扇形OCQ的半

2

徑與半圓半徑之比為()

B

設(shè)扇形OC。的半徑為工，半圓半徑為，ZAOB=a,由己知利用扇形的面枳公式可

1212

5”一廣。31

一二,整理即可求解扇形OC。的半徑與半圓半徑之比.

2

解：設(shè)扇形OCQ的半徑為X,半圓半徑為小ZAOB=a,

12,，1I

則§扇形22

38§由壞臍血'=/廠口-a，

1,1

—r~a——x~2a

所以22=_^,可得一（3一石）二29,，

-r2a2

2

即扇形OCQ的半徑與半圓半徑之比為叵【

2

故選：A.

11.在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形A8C中，M是邊8。的中點(diǎn)，N是線段BW的中點(diǎn),

則()

.x/3._31x/3

A?I)?-?C?1D?—+

4424

答案：B

uur1/UimuuD\3i

根據(jù)題中條件，得到AB+AC,AN=-AB+-AC,根據(jù)向量數(shù)量和的

2、)44

運(yùn)算法則，即可得出結(jié)果.

解:因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為1的等邊三角形A8C中，M是邊8c的中點(diǎn)，N是線段BM的中

點(diǎn),

uuirIUlUUUU\

所以A=-）

2+

a1

AN=-（AB^-AM}=-AB+-（AB+人。）=一人8+-AC,

2、）24、）44

因此4M?AN=UAB+AC\\-AB^-AC=-[-AB2+ABAC+-AC、

2、）（4421442

1f313

—I—FABACcos60H—

2144J4

故選：B.

12.如圖，將正四棱錐尸-A3CO置于水平反射鏡面上，得一“倒影四棱

錐"P-ABCO-Q.下列關(guān)于該“倒影四棱錐”的說(shuō)法中，所有正確結(jié)論的編號(hào)是

）

①P4〃平面BC。；

②/Q_L半血AAC。；

③若P,A民。,。在同一球面上，則。也在該球面上:

④若該“倒影四棱錐”存在外接球，則A8=PA

A.①③C.??③D.①②④

答案：D

由題意四棱錐尸-A6C。與四棱錐。一月小笫是兩個(gè)相同的正四棱錐，根據(jù)對(duì)稱性可

判斷②；由△APO與CQO全等，所以N/MO=NOCQ,從而可得A。//QC可判

斷①；若正方形A8C0的外接圓不是球的大圓時(shí)，可判斷③；若該“倒影四棱錐”存

在外接球，根據(jù)對(duì)稱性則正方形A3CO的外接圓是該球的大同所以此時(shí)球的球心為正

方形A8C3的府角線的交點(diǎn)，可判斷④.

解：由題意四棱錐P—ABC。與四棱錐。一A8C。是兩個(gè)相同的正四棱錐

連接AC,4。相交于點(diǎn)。，連接OP,OQ

由四棱錐P—A8C。為正四棱錐，則尸。1平面A8CQ.

根據(jù)題意四棱錐Q—A6C。為正四棱錐，所以QO，平面ABCD.

尸O,OQ均垂直于平面A8CO,所以P，O,。三點(diǎn)共線.

所以PQ_L平面A8CQ,故②正確.

由4CcPQ=0,根據(jù)題意AP=QC,AO=OC,PO=OQ

所以△人尸O與CQ。金等，所以NPAO=NOCQ

所以AP//QC,APs平面。C3,QCu平面QCB,

所以H4//平面3CQ,故①正確.

當(dāng)P,A8,C,。在同一球面上，若正方形ABC。的外接圓不是球的大圓時(shí)，

根據(jù)對(duì)稱性，則。點(diǎn)不在此球面上，故③不正確.

若該“倒影四棱錐”存在外接球，根據(jù)對(duì)稱性則正方形A8CO的外接圓是該球的大圓.

所以此時(shí)球的球心為正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，即點(diǎn)。，設(shè)AB=2a

則OA=0〃，0A=OP=R

所以AP=，2/+2片=2a=4A，所以④正確,

故選：D

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查線面的平行和垂直關(guān)系的判斷和幾何體的外接球的相關(guān)知識(shí),

解答本題的關(guān)鍵是由△APO與C。。全等，得到NPAO=NOCQ,進(jìn)一步得出

AP//QC,若該“倒影四棱錐”存在外接球，根據(jù)對(duì)稱性則正方形A3CQ的外接圓是

該球的大圓.所以此時(shí)球的球心為正方形A8C。的對(duì)角線的交點(diǎn)，屬于中檔題.

二、填空題

2~xx<0

13.已知函數(shù)/~，八則/（/（-1））=__________.

Iog2x,x>0,

答案：1

先求出/（-1）=2,再由/（/（一1））=/（2）可得答案.

解：/（-1）=2-（-,）=2,=2,所以/（”—l））=/（2）=log22=l

故答案為：1

14.已知向量〃=（〃?」），―巾），滿足。力=|〃|，則，〃=.

答案：一把

3

由數(shù)量積的坐標(biāo)表示和模的坐標(biāo)表示計(jì)算后可解得"2.

解：,**6T-=|67|?—b1—〃2=J+1?解得利二一^^=?舍夫）.

33

故答案為：一立.

3

15.運(yùn)動(dòng)會(huì)上，4名學(xué)生將各自的校服外套交由領(lǐng)隊(duì)保管，結(jié)束時(shí)每人隨意領(lǐng)走一件校

服，則這4名學(xué)生領(lǐng)走的都不是自己的校服的概率是.

答案：|

O

四件校服外套擺放的順序共有4：=24種，用列舉法歹J出4名學(xué)生領(lǐng)走的都不是自己的

校服外套的情況可得答案.

解：分別用A、B、C、C代表四名學(xué)生，用1、2、3、4依次代表對(duì)應(yīng)A、B、C、D匹件

校服外套，四件校服外套擺放的順序共有禺=24種，其中4名學(xué)生領(lǐng)走的都不是自己

的校服外套的情況有

（（A2）,（B1）,（C4）,（D3）｝,（（A2）,（C1）,（B4）,（D3））

（（A2）,（C4）,（B3）,（D1）｝,（（A3|,（C4）,（B1）,（D2）｝

（（A3）,（C1）,（B4）,（D2））,｛（A3|,（C2）,（B4）,（D1）|

｛（A4）,（C2）,（B1）,（D3））,｛（A4）,（C1）,（B3）,（D2））

｛（A4）,（C2）,（83）,（￡H）｝共9種,

93

所以這4名學(xué)生領(lǐng)走的都不是自己的校服的概率是—

248

故答案為：

O

16.在平面直角坐標(biāo)系X?！分校O(shè)點(diǎn)列什54）。=1,2,3,）都在函數(shù)）=/（力的圖

6

象上，若匕匕?所在直線的斜率為2、且/。）=1，則Z/V）=_______.

1=1

答案：120

由直線斜率得出｛4｝的遞推關(guān)系，再由累加法求得通項(xiàng)公式，然后用分組求知法求得

和.

解：由=2,得4+1=2,,

V+1）一］

?14=4+（勺—4）+（%-4）++（?！╛%_i）=1+2+2?+4-2n1=2n—1,

6

26267

Z/⑴=q+a2++￡?6=（2-l）+（2-l）++（2-l）=（2+2++2）-6=2-2-6=120

i=l

故答案為：120.

點(diǎn)評(píng)：本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式，考查分組（并項(xiàng)）求和法.數(shù)列求和的常用方

法：

設(shè)數(shù)列｛勺｝是等差數(shù)列，｛包｝是等比數(shù)列，

（1）公式法：等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和直接應(yīng)用公式求和：

（2）錯(cuò)位相減法：數(shù)列｛q。”｝的前〃項(xiàng)和應(yīng)用錯(cuò)位相減法；

1、

（3）裂項(xiàng)相消法；數(shù)列｛f------｝（%為常數(shù)，%。0）的前〃項(xiàng)和用裂項(xiàng)相消法；

a"

（4）分組（并項(xiàng)）求和法：數(shù)列｛/%“+44｝用分組求和法，如果數(shù)列中的項(xiàng)出現(xiàn)正負(fù)

相間等特征時(shí)可能用并項(xiàng)求和法；

（5）倒序相加法：滿足勺+^^=人（4為常數(shù)）的數(shù)列，需用倒序相加法求和.

三、解答題

17.A8C的內(nèi)角A3,C所對(duì)的邊分別為44c.已知角AB,C成等差數(shù)列，且

/?=>/3-

（1）求48c的外接圓直徑;

（2）若A3c的面積為9,求ABC的周長(zhǎng).

2

答案：（1）2；（2）3+73.

（1）由條件先得出8=g,由正弦定理2R=工可得答案.

3sinB

（2）由三角形的面積公式可得ac=2,由余弦定理。2="+/一2480$8，可得

4+C=3,從而得出答案.

解：（1）角A3,C成等差數(shù)列，得28=A+C,

乂A+B+C=;r,所以3

3

?R=工衛(wèi)=2

又b=,由正弦定理可得—sinR—".

T

所以A8C的外接圓直徑為2.

（2）S,,=—?csinB=—ac=—?所以〃c=2，

△B0C242

h2=a2-^-c2-2fzccosB>即3=（〃+c）~-3〃c,所以a+c=3,

所以A3C的周長(zhǎng)為a+h+cnS+jB.

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是由正弦定理

2R=-^―得出外接圓的直徑，由余弦定理。2=/十,2一2accosB得出。+c的值，

sinB

屬于中檔題.

18.如圖，直棱柱ABC。-44GA的底面是菱形，民產(chǎn)分別為棱48，co的中

點(diǎn)，AB1EF.

(1)求證：ABA.AD；

(2)若AO=A4,=2,求幾何體力其力朋石的體積.

8

答案：(1)證明見(jiàn)解析：(2)

(1)由直棱柱及平行線得A3_LA。，又A3_LA4,,從而可證線面垂直，由此得線

線垂直；

(2)取A3的中點(diǎn)記為。，連接E。，尸。，可得反〃^一其斗。為直三棱柱，B-EOF

為三棱錐，由體積公式計(jì)算可得.

解：解：(1)證明：直四棱柱ABC。-AgG。的底面是菱形，所以AE//。尸，

又￡尸分別為棱44，的中點(diǎn)，所以4七=。尸，

所以AEFO是平行四邊形，所以EF//A。.

因?yàn)樗訟8JLA。，又A8_LA4，A,Dr\AAi=Ai,

所以48_1_平面4。〃4，AQu平面所以AB_LAD.

(2)由已知AA,=AO=A8=2,ABCO-A,4GA為正方體,

取AB的中點(diǎn)記為。，連接E。，F(xiàn)0,48_1,平面￡。尸，

易知EOb-AA。為直三棱柱，B-EO/為三棱錐,

11(1)2

所以/“jo=^x2x2xl=2,VS_EOF=-x—x2x2xl=—,

2Q

幾何體AA.DFBE的體枳V==2+-=-.

JJ

點(diǎn)評(píng)：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用線面垂直證明線線垂直，考杳求多面體的體積，證明垂

直時(shí)關(guān)鍵是掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化，判定定理與性質(zhì)定理的

靈活運(yùn)用.復(fù)雜的多面體體積體積，一般要把復(fù)雜的多面體由切割分成幾個(gè)簡(jiǎn)單的柱、

錐、臺(tái)等多面體，然后土柱、錐、臺(tái)體體積公式計(jì)算.

19.配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)由常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，

相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一

個(gè)馬拉松跑者的心率）’（單位：次/分鐘）和配速工（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖

2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布

直方圖.

八心的，（次/分鐘）

171

165

130

109I--1

100

oA；7.5配速K分鐘/公向

圖1

（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合T與犬的關(guān)系，求）'與冗的線性回歸方程;

（2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花

費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)他能獲得的名次.

a2（%-工）（凹一＞）

參考公式：線性回歸方程y=4中，3=，=1?-----------,a-y—bx

￡（七x）?

參考數(shù)據(jù)：9=135.

答案：（1）j,=_25x+285；（2）210分鐘，192名.

（1）由散點(diǎn)圖的數(shù)據(jù)求出回歸方程的系數(shù)可得回歸方程；

（2）由回歸方程估算出該跑者的配速，可得其花費(fèi)時(shí)間為210分鐘，幀頻分布直方圖

計(jì)算出210分鐘的累積頻率，由頻率可得大約名次.

4.5F6F7F7.

解：解：(1)由散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得戈=

5

-=1OO+1O9+13O+165+171=135>

5

za-可(…)-1.5x36+(-l)x30+0x(-5)+lx(-26)+1.5x(-35)

b=『------=-25

豆(七-可~(-1.5)2+(-l)2+O24-l2+1.52

X=1

d=y一洗=135-(-25)x6=285,

所以>'與x的線性回歸方程為；=-25^+285.

(2)將y=160代入回歸方程得戈=5,

所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時(shí)間為42x5=210分鐘.

從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績(jī)好于210分鐘的累枳頻率為

0.0008x50+0.0024x(210-200)=0.064,有6.4%的跑者成績(jī)超過(guò)該跑者，

則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是0.064x3000=192名.

20.設(shè)A8為拋物線C:y2=2px(p>0)上兩點(diǎn)，月.線段A8的中點(diǎn)在直線)"〃上.

(1)求直線A8的斜率；

(2)設(shè)直線)，二〃與拋物線。交于點(diǎn)A7,記直線」以4,例3的斜率分別為占，k2,當(dāng)

直線A8經(jīng)過(guò)拋物線。的焦點(diǎn)廠時(shí):求占+的的值.

答案：(1)1：(2)4.

(1)設(shè)A(%,yj,8(%,%)，代入拋物線方程得到％,x,=E■，再由線段48

2P2P

的中點(diǎn)在直線>'二〃上，得出)1+%=2〃，代入斜至公式求解即可；

(2)設(shè)直線方程為x=y+與，聯(lián)立直線與拋物線方程，得出)尸一2刀一〃2=(),用

必-

韋達(dá)定理，代入勺.+,&=」y.—-p+"~^p求解即可.

y必

解：⑴設(shè)4(內(nèi),乂),8(孫必)，因?yàn)锳3在拋物線Uy?=2px(P>°)上，且

的中點(diǎn)在直線〃上，則X=&,y+K=2〃，

2〃-2p

>l->2_?2P

k=刀-'2_―"—

所以直線AB的斜率x}-x2y；-￡y+y2

2P

???直線AB經(jīng)過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F4，°，,直線AB的方程為+§

X=y+—

2消去x得>2-2/乃，一〃2=0,

y=2Px

由韋達(dá)定理X+必=2P,y），2=一〃七

??,直線y=〃與拋物線c交于點(diǎn)M,

???點(diǎn)M的坐標(biāo)為（5,P）,

k="卜=%_JP-）

2

???1上一y?"x,￡~%?

1222

.1+y皿+型=2--2-^1^=2-駕=4.

yy2x%x）'2-P

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，涉及到直線的斜率，解題的關(guān)鍵是會(huì)聯(lián)

立方程，找根與系數(shù)關(guān)系，屬于常規(guī)題型.

21.已知函數(shù)/（x）=lnx-go尤2

（1）討論“X）的單調(diào)性；

（2）若/（x）有兩個(gè)零點(diǎn)，求。的取值范圍.

答案：（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析；（2）0＜67＜-.

e

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為。工0和。＞0兩種情形，得出導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，進(jìn)而可得

單調(diào)性：

（2）由（1）知顯然不滿足，當(dāng)。＞0時(shí)，可得/儂（幻=一］（m。+1）,分為。2,

2e

和0＜。＜,兩種情形，判斷其與。的關(guān)系，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果.

e

解：解：（1）/（x）的定義域?yàn)椋?,+8），且（"）=上竺1,

當(dāng)時(shí)，r（x）＞0,此時(shí)，“X）在（0,y）上單調(diào)遞增,

當(dāng)。>0時(shí)，/,(A-)>0^0<A-<—，

即/（X）在。，^~,+8）上單調(diào)遞減,

上單調(diào)遞增，在

1aJ

綜上可知：當(dāng)時(shí)，/（X）在（0,+8）上單調(diào)遞增,

當(dāng)〃>0時(shí),/⑺在o,上單調(diào)遞增，在,+8上單調(diào)遞減.

（2）由⑴知當(dāng)心0時(shí)，“X）在（0,+8）上單調(diào)遞增，函數(shù)“X）至多有一個(gè)零點(diǎn),

不合題意,

上單調(diào)遞增，在（咚，內(nèi)上單調(diào)遞減,

當(dāng)4>0時(shí)，/（X）在（）,

1fl1)1

當(dāng)〃》—時(shí)，=—=--(lnf/+D<0,

函數(shù)“X）至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意;

當(dāng)。<心時(shí)，/"）=/今/頡華）>。

由于a<0,

由零點(diǎn)存在性定理知：/（x）在（0,上存在唯一零點(diǎn),

2121(2、

由于一>-/=，且/一=ln----a\—一2二-(由于Inxvx)

alaya)a21〃，

由零點(diǎn)存在性定理知：/（x）在［笈,+sj上存在唯一零點(diǎn)，

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0<a<-.

e

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)常見(jiàn)方法：

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合單調(diào)性得到函數(shù)的大致圖象，研究其與工軸的交點(diǎn);

（2）利用分離參數(shù)思想，分離參數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

22.如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，正方形08co的邊長(zhǎng)為1.

D

O

（1）分別求正方形OBCQ的四條邊的極坐標(biāo)方程;

（2）若點(diǎn)尸在邊8c上，點(diǎn)。在邊0c上，且NPOQ=?,求△82面積的取值范

圍.

2舊-3,工.

答案：（】）答案見(jiàn)解析：（2）S…

2

（1）根據(jù)題中條件，可直接寫出四條邊對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)方程;

1\0Q\=^-

（2）先設(shè)ZPOB=0,根據(jù)（1）中極坐標(biāo)方程.得到|OP|=

sin0+—'

cos。I3J

表示出△POQ的面積，進(jìn)而可求出結(jié)果.

解.：（1）由題意知，邊08的極坐標(biāo)方程是。=（）（04241）,

邊8c的極坐標(biāo)方程是。cose=i（o《，47）,

7Tjr

邊CO的極坐標(biāo)方程是psine=l-<6><-,

\42/

TT

邊0D的極坐標(biāo)方程是（9=y（0<p<l）.

(2)由題意，設(shè)NPOB=e,貝iJ|OP|cose=l,\0P|=—

cose

1

71_/叫=

且|OQ|sin()+-sin^+y，

<3

則

S…軻I?|o0SinAPOQ=；?」yx].71y/3]

7vxsin—=------

sin)341.n,^