青海省西寧市大通回族土族自治縣2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁大通縣2025年普通高等學(xué)校招生考試第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)滿足（虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法求復(fù)數(shù)，再求復(fù)數(shù)的模.【詳解】由題設(shè)，所以.故選：B2.已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出集合，根據(jù)，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意得，因為，則.故選：A.3.已知為拋物線上一點，且點到軸的距離為1，則（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)的坐標為，代入拋物線求參數(shù)值.【詳解】由題意知點的坐標為，將其代入，得，.故選：B4.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.無法確定，與有關(guān)【答案】C【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示列方程求得，再應(yīng)用向量模長的坐標運算求.【詳解】由題，則，所以.故選：C5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡得到，再弦化切得到，最后用兩角差的正切公式化簡得解.【詳解】因為，所以，即，所以，則.故選：A.6.設(shè)，為同一個隨機試驗中的兩個事件，若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題給條件求出，再利用條件概率公式即可求解.【詳解】由，解得，所以.故選：A.7.如圖1的“方斗”古時候常作為一種容器，有如圖2的方斗杯，其形狀是一個上大下小的正四棱臺，，，現(xiàn)往該方斗杯里加水，當水的高度是方斗杯高度的一半時，水的體積為74，則該方斗杯可盛水的總體積為（）A.148 B. C. D.196【答案】D【解析】分析】根據(jù)已知條件結(jié)合臺體體積公式計算求解即可.【詳解】設(shè)線段，，，的中點分別為，，，，如下圖所示：易知四邊形為等腰梯形，因為線段，的中點分別為，，則，設(shè)棱臺的高為，體積為，則棱臺的高為，設(shè)其體積為，則，，所以，則該方斗杯可盛水的總體積為.故選:D.8.設(shè)雙曲線的右頂點為，，分別在兩條漸近線上，且，，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)角平分線定理結(jié)合余弦定理計算離心率即可.【詳解】由題設(shè)，由角平分線定理可得，則，.在中，由余弦定理得；在中，由余弦定理得.由得.解得.則，即，所以雙曲線的離心率為.故選:B.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.函數(shù)的大致圖象可以是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式結(jié)合正弦函數(shù)的平移規(guī)則判斷即可.【詳解】函數(shù)，其中，，，取.又函數(shù)的圖象是由的圖象向左平移個單位得到的，AC符合題意，故選:AC.10.已知，，，則下列說法正確的是（）A.的最大值為 B.的最小值為4C.的最大值為2 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】利用基本不等式計算并判斷A，結(jié)合常數(shù)代換可計算并判斷B，C，利用兩點間距離公式和點到直線的距離公式可計算并判斷D.【詳解】因為，所以，當且僅當，即，時等號成立，所以的最大值為，故A正確；因為，當且僅當，即，時等號成立，所以的最小值為6，故B錯誤；因為，當且僅當，時等號成立，所以的最小值為2，故C錯誤；可以看作直線落在第一象限內(nèi)的點到原點距離的平方，易知最短距離為，所以的最小值為，故D正確.故選：AD11.已知是定義在上的奇函數(shù)，，是奇函數(shù)，且，則下列說法中正確的有（）A.為偶函數(shù) B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】由及復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求法、奇偶性定義判斷A；由題設(shè)有，得，令求參數(shù)得判斷B；利用奇偶性、對稱性判斷C、D.【詳解】由于是定義在上的奇函數(shù)，所以，則，即，故A正確；因為是奇函數(shù)，所以，即，所以，則，令，所以，所以，即的圖象關(guān)于直線對稱，則，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為等差數(shù)列的前項和，若當時，，則__________.【答案】【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項和公式可得，結(jié)合題意繼而即可求解.【詳解】當時，，得，在等差數(shù)列中，，所以，得.故答案為：.13.已知且，則二項式的展開式中，常數(shù)項為__________.【答案】24【解析】【分析】由正態(tài)分布的對稱性有，再應(yīng)用二項式的展開式求常數(shù)項.【詳解】由且，得，即，二項式的展開式的通項公式為，，令，解得，所以展開式中的常數(shù)項為.故答案為：2414.A市某個景點自從取消門票實行免費開放后，迅速成為網(wǎng)紅打卡點，不僅帶動了市淡季的旅游，而且優(yōu)化了旅游產(chǎn)業(yè)的結(jié)構(gòu).下表是該景點免費開放后前五個月的打卡人數(shù)（萬人）與第個月的數(shù)據(jù)：1234523.137.062.1111.6150.8根據(jù)表中數(shù)據(jù)可用一元線性回歸模型刻畫變量與變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，且回歸方程中的，則相關(guān)系數(shù)__________（精確到0.01）.參考公式：相關(guān)系數(shù).回歸方程中斜率的最小二乘法估計公式為；參考數(shù)據(jù)：，，，，.【答案】0.98【解析】【分析】運用給出的公式計算樣本中心，再計算相關(guān)系數(shù)即可.【詳解】由題設(shè)，，，，所以.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）證明：當時，.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的意義求出切線的斜率，再由點斜式得到直線方程即可；（2）先證明的單調(diào)性，再將要證，轉(zhuǎn)化證.構(gòu)造函數(shù)，則只需證當時，.再用導(dǎo)數(shù)證明單調(diào)性，得到最值即可.【小問1詳解】解：當時，，，則，，則所求切線方程為，即.所以曲線在點處的切線方程為【小問2詳解】證明：的定義域為，，令，解得，當時，，則在上單調(diào)遞減；當時，，則在上單調(diào)遞增；所以.要證，只需證.設(shè)，則只需證當時，.因為在時恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以當時，，即，所以，得證.16.在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求角A；（2），，D為AC的中點，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角及輔助角公式即可求解.（2）根據(jù)余弦定理即可求得的長，再利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得.因為，所以，所以，整理得，即.因為，所以，所以，即.【小問2詳解】在中，由余弦定理得，即，解得或.若，則，則為鈍角，舍去，所以，，因為，根據(jù)正弦定理，角最大，所以為銳角三角形，符合題意.因為為的中點，所以，所以，在中，，所以.在中，.17.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ADEF為梯形，，，四邊形ABCD是菱形，，，，.（1）證明：平面平面BDF；（2）求平面BDF與平面BCE的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題給條件證線面垂直，再根據(jù)面面垂直的判定定理證面面垂直即可.（2）建立空間直角坐標系，求出兩個平面的法向量，再根據(jù)兩個平面夾角的余弦值的公式求解即可.【小問1詳解】因為四邊形是菱形，且，所以.又因為，，所以，所以.因為，所以.又因為四邊形是菱形，所以，又平面，且，所以.因為平面，所以平面.【小問2詳解】記，以為坐標原點，，的方向分別為，軸的正方向，平行向上的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，則，，，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，得，.設(shè)平面一個法向量為，則，令，得，..設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18.已知數(shù)列中，，.（1）求；（2）數(shù)列滿足，設(shè)為數(shù)列的前項和，證明：.（3）設(shè)，證明：數(shù)列中任意不同的三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）觀察數(shù)列遞推公式，分析求倒數(shù)再利用構(gòu)造數(shù)列可求得是等比數(shù)列，再求等比數(shù)列通項公式即可求得.（2）根據(jù)求得的通項公式，再用錯位相減法求和即可證明.（3）根據(jù)（2）求得，假設(shè)中任意不同的三項能構(gòu)成等差數(shù)列，利用等差中項的性質(zhì)，推出矛盾即可證明.【小問1詳解】在數(shù)列中，由，得，則，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，解得.【小問2詳解】由（1）知，，，兩式相減得，因為，所以.【小問3詳解】由題.假設(shè)數(shù)列中存在不同三項，，（，）構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時乘以，得.因為，，所以，，則是2的倍數(shù)，除以2余1，等式不成立.所以假設(shè)不成立，即數(shù)列中任意不同的三項都不能構(gòu)成等差數(shù)列.19.已知橢圓的離心率為，A，D分別為其上、下頂點，且.（1）求橢圓M的標準方程.（2）點E為橢圓M的右頂點，點B為橢圓M上在第三象限內(nèi)的動點，B、C兩點關(guān)于軸對稱，直線DE與直線AB、直線AC分別交于點P，T，過D作軸的平行線交AE的延長線于點Q，連接QP，QT.試探究四邊形APQT是否為平行四邊形，并寫出探究過程.【答案】（1）（2）四邊形為平行四邊形，答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率及短軸長列