河南省濮陽市部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁2024—2025學(xué)年高三年級(jí)第二次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等差數(shù)列的公差為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，所以.故選：C.2.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基本不等式可判斷AC選項(xiàng)；利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)；利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，且，?duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：D.3.若為方程的兩個(gè)不同的根，則（）A.－2i B.2i C.－2 D.2【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出兩根的關(guān)系，進(jìn)而可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．故選：A4.若雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】B【解析】【分析】先利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用雙曲線的定義求解即可．【詳解】由題意可知，，則，則雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，因或，且，故．故選：B5.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的余弦公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象可得為偶函數(shù)，結(jié)合和函數(shù)值正負(fù)，利用排除法得解.【詳解】因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱，所以為偶函數(shù)，排除B，又，排除A，當(dāng)時(shí)，，排除D.故選：C．7.若，且，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)目標(biāo)式合理變形，再利用基本不等式求解即可．【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B8.與曲線和圓都相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線與曲線相切于，求導(dǎo)確定斜率，求得切線方程，再結(jié)合此直線與圓也相切，即可求解.【詳解】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，，所以的方程為，即圓，因?yàn)榕c圓相切，所以所以，令，則因?yàn)?，，，，所以，借助二次函?shù)的性質(zhì)，令得：或，當(dāng)可得：，當(dāng)可得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以極大值極小值又當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上分別有1個(gè)零點(diǎn)，所以這樣的切線有3條.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.在中，若，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】本題考查平面向量的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于，先將表示為，求的坐標(biāo)，再求出其模長(zhǎng)；對(duì)于，先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，再求出；對(duì)于，由，得為邊上的高，再由等面積法求出；對(duì)于，由，得到平分，即，又，所以，最后利用求出即可.【詳解】對(duì)于，，故正確；對(duì)于，因?yàn)椋?，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以為邊上的高，的面積為，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以平分，即，又，所以，所以，故正確．故選：.10.在三棱錐中，已知為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.長(zhǎng)度的取值范圍是B.直線與平面所成的角為C.若，則，所成的角為D.若，則三棱錐外接球的表面積為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，由題可得，可得得解；對(duì)B，由題可得平面，由線面角定義求解判斷；對(duì)C，由勾股定理可得，得平面，進(jìn)而得，得解；對(duì)D，取的中點(diǎn)為F，由對(duì)稱性得外接球的球心必在的延長(zhǎng)線上，由，分別由勾股定理建立方程求得外接球的半徑，得解.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題，易得，又平面，所以平面，所以與平面所成的角為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫云矫?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，取的中點(diǎn)為F，連接，則，由圖形的對(duì)稱性得，三棱錐外接球的球心必在的延長(zhǎng)線上，設(shè)，由，分別由勾股定理得，所以，所以外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故D正確．故選：BD.11.如圖，一個(gè)圓形倉(cāng)鼠籠被分為A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，相鄰區(qū)域之間用通道相連，開始時(shí)將一只倉(cāng)鼠放入?yún)^(qū)域，倉(cāng)鼠每次隨機(jī)選擇一個(gè)通道進(jìn)入相鄰的區(qū)域，設(shè)經(jīng)過次隨機(jī)選擇后倉(cāng)鼠在區(qū)域的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)全概率公式、概率的乘法公式可得數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再結(jié)合等比中項(xiàng)的定義、以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)中的結(jié)論逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閭}(cāng)鼠一開始在區(qū)域，經(jīng)過1次選擇后不可能在區(qū)域，所以，故A正確；對(duì)于B，記倉(cāng)鼠經(jīng)過次隨機(jī)選擇后在B，C，D區(qū)域的概率分別為，，則有所以，進(jìn)一步得，因?yàn)?，所以，所以，所以不成等比?shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，非空集合，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】利用交集運(yùn)算得，根據(jù)集合非空和子集關(guān)系列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)榉强占?，，所以，又，所以，所以，即的取值范圍?故答案為：13.我們把幾何體的表面積與體積之比稱為“相對(duì)積”．已知三棱錐中，分別在棱上，且截面與底面平行，，則三棱錐與三棱錐的相對(duì)積之比為______．【答案】【解析】【分析】利用相似比以及棱錐的體積和表面積公式即可.【詳解】設(shè)三棱錐、三棱錐的體積分別為，表面積分別為，高分別為，因?yàn)椋?，，，則，，則三棱錐與三棱錐的相對(duì)積之比為．故答案為：14.若過點(diǎn)的直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，以B，C為切點(diǎn)分別作的兩條切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)出直線方程，利用韋達(dá)定理可求兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)的方程為，代入中，整理得，設(shè)，則，由題意過點(diǎn)的切線斜率存在且不為0，設(shè)為，聯(lián)立，得，由可得，即，所以切線方程為，同理可得過點(diǎn)的切線方程為.聯(lián)立解得消去，得，所以兩條切線交點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.小王參加某機(jī)構(gòu)的招聘面試，要從6道簡(jiǎn)答題和4道論述題中任意抽取3道進(jìn)行回答．（1）求小王抽取的3道題中兩種題型都有的概率；（2）每道簡(jiǎn)答題答對(duì)得10分，每道論述題答對(duì)得20分，假設(shè)小王每道題都能答對(duì)，記小王答完3道題的總得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為42【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)立事件的概率公式結(jié)合古典概率的概率公式求解；（2）求出的所有可能取值，再求出相應(yīng)的概率，列出分布列求得期望.【小問1詳解】所求概率為.【小問2詳解】的所有可能取值為，，，，．所以的分布列為X30405060P的數(shù)學(xué)期望.16.如圖，在圓錐中，平面是軸截面，為底面圓周上一點(diǎn)（與不重合），為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，，，求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）依次求證和，再由線面垂直判定定理即可求證；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，依次求出向量和平面的法向量即可由空間角向量法公式計(jì)算求解.【小問1詳解】由題意在圓錐中，平面，又平面，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)槠矫?，所以平?【小問2詳解】在平面內(nèi)，過作交于點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．因?yàn)?，，所以，，由?）知平面一個(gè)法向量為，又，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，所以，所以平面與平面的夾角為．17.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)，，且，記．（1）證明：；（2）證明：；（3）記，若，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，則，在和中，利用余弦定理分別表示，即可得證.（2）在和中，利用正弦定理結(jié)合即可證明.（3）若，根據(jù)三角形相似得，與已知矛盾；若，則，結(jié)合已知得，利用二倍角余弦公式化簡(jiǎn)得，求解即可.【小問1詳解】設(shè)，則．由余弦定理得，所以，所以．【小問2詳解】在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．【小問3詳解】若，則，得，與已知矛盾．若，則，所以化，即，整理得，即，解得．18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線與交于P，Q兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)變化時(shí)，面積的最大值為．（1）求的方程；（2）證明：；（3）過點(diǎn)和線段PQ的中點(diǎn)作一條直線與交于R，S兩點(diǎn)，求四邊形PRQS面積的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，解方程組即可得解.（2）設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)得，即可得證.（3）設(shè)，則，利用面積分割法得，然后利用向量線性坐標(biāo)公式得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程得，然后利用二次函數(shù)性質(zhì)求解最值.【小問1詳解】設(shè)的半焦距為．依題意得，所以，解得，所以的方程為．【小問2詳解】設(shè)，由消去得，則，，因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，此時(shí)成立，證畢．【小問3詳解】設(shè)PQ的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€RS經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，所以不妨設(shè)，則．．由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以代入的方程得，化簡(jiǎn)得，則．所以，即四邊形PRQS面積的取值范圍為．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若，設(shè)的正零點(diǎn)從小到大依次為．①證明：；②判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明．附：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）（2）①證明見解析；②數(shù)列是遞減數(shù)列，證明見解析【解析】【分析】（1）參變分離后轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求最大值，即可求解；（2）①首先利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)每一個(gè)零點(diǎn)所在區(qū)間，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，以及函數(shù)的單調(diào)性，比較大小后，即可證明；②首先設(shè)，利用分析法轉(zhuǎn)化證明，根據(jù)條件，以及正確公式得到，并通過作差構(gòu)造函數(shù)，理由導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性后即可證明.【小問1詳解】由題意，即對(duì)任意恒成立．設(shè)，則