2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)資料 教書用書 第5章 平面向量、復(fù)數(shù)

第五章

第1講平面向量的概念及線性運算

考向預(yù)測核心素養(yǎng)

主要考查平面向量的線性運算(加法、減法、數(shù)乘

向量)及其幾何意義、向量共線定理，有時也會有

數(shù)學(xué)抽象、直觀想象

創(chuàng)新的新定義問題；題型以選擇題、填空題為主，

中低檔難度.偶爾會在解答題中作為工具出現(xiàn).

1基礎(chǔ)知識三國園、j

［學(xué)生用書P129］

<走材

一、知識梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長度為。的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任意

向量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

［注意］(1)向量不同于數(shù)量，向量不僅有大小，而且還有方向.

(2)任意向量。的模都是非負(fù)實數(shù)，即同2().

2.向量的線性運算

向量法則(或幾

定義

、—運算律

運算dcdr何意義)

交換律：a+b=b

求兩個向量和的運a+。;

加法三角形法則

算結(jié)合律:(a+b)+c

平行四邊形法則-a+(b+c)

求兩個向量差的運

減法〃一力=。+（一萬）

算a

三角形法則

Ra\=U\\a\,當(dāng)2>0

時，幾〃與。的方

向相同;X(H。)=(2〃)。；

求實數(shù)4與向量Q

數(shù)乘當(dāng)2Vo時，與a(7+4)。=；

的積的運算

的方向相反;4(a+b)=ia+勸

當(dāng)2=0時、

14

3.向量共線定理

向量Q（〃WO）與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)八，使力=癡.

?常用結(jié)論

1.若P為線段4B的中點，。為平面內(nèi)任一點，則5>=夕蘇+勵）.

2.若G為△ABC的重心，則有

（1）GA+GB+GC=O；（2）AG=|（AB+AC）.

3.為=丸加+〃沆（九〃為實數(shù)），若點A,B,C共線，則2+M=1.

二、教材衍化

1.（人A必修第二冊P4練習(xí)Ti改編）給出下列物理量：

①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功；⑨時

間.其中不是向量的有（）

A.3個B.4個

C.5個D.6個

解析：選C.質(zhì)量、路程、密度、功、時間只有大小，沒有方向，所以是數(shù)

量，不是向量.

2.（人A必修第二冊Pi4例6改編）已知口ABCD的對角線AC和BD相交于

點0,且OB=b,則比=，BC=.（用。，力表示）

解析：

如圖，DC=AB=OB-OA=h-afBC=6c-OB=-OA-OB=-a-b.

答案：b~a—a-b

Ar5.

3.（人A必修第二冊Pi5練習(xí)T2）點C在線段AB上，且而貝必C=

AB,BC=AB.

52

答案：1v

走［出I誤］區(qū)

一、思考辨析

判斷正誤（正確的打“J”，錯誤的打“X”）

（1）向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量.（）

（2）若兩個向量共線，則其方向必定相同或相反.（）

（3）若向量油與向量是共線向量，則A,B,C,D四點在?條直線上.（）

（4）當(dāng)兩個非零向量防〃共線時，一定有b=加，反之成立.（）

答案：（1）X（2）X（3）X（4）V

二、易錯糾偏

1.（多選）（向量概念理解不準(zhǔn)確致誤）下列命題錯誤的是（）

A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同

B.若4,B,C,。是不共線的四點，且鋸=反，則四邊形A8C。為平行

四邊形

C.相反向量就是方向相反的向量

D.。與〃同向，且|°|>|臼，則a>b

答案：ACD

2.（向量運算法則運用易錯）點。是△ABC的邊上的中點，則向量亦=

（）

A.B-BC-^BA

->1_->1一

C.BC-^BA

答案：A

3.（多選）（向量共發(fā)概念含義不清易錯）已知a,b為兩個非零向量，則下列

說法中正確的是（）

A.力與〃的方向相同，月.2。的模是。的模的2倍

9

B.-2°與5a的方向相反，且一2a的模是5〃的模的§

C.—2a與2a是一對相反向量

D.〃一力與一（b—。）是一對相反向量

解析：選ABC.A正確，因為2>0,所以2a與〃的方向相同，且12al=2|G|.B

正確，因為5>（）,所以5〃與〃的方向相同，且|5〃|=5悶，又一2<（）,所以一2a與

〃的方向相反，且|一2川=2⑷，所以5a與一2〃的方向相反，且一2a的模范5a

2

的模的亍C正確，按照相反向量的定義可以判斷.D不正確，因為一（萬一“）與b

—a是一對相反向量，而a~b與b-a是一對相反向量，所以a~b與一（方一a）

是相等向量.

q核心考點一共研

"1VZ

［學(xué)生用書P1311）

考點一平面向量的概念（自主練透）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向

量的幾何表示.

1.下列命題正確的是（）

A.\a\=\b\=^a=b

C.a//b=>a=bD.|a|=0=>a=0

解析：選D對于A,兩個向量的模相等，但是方向不一定相同，所以錯誤.對

于B,兩個向量不能比較大小，所以錯誤.對于C,向量平行只是方向相同或相

反，不能得到向量相等，所以錯誤.對于。，若一個向量的模等于0,則這個向

量是0,所以正確.

2.設(shè)°,力都是非零向量，則下列四個條件中，使育端成立的充分條件是

A.a=~bB.a//b

C.a=2bD.a〃b且⑷=步|

解析：選C.因為向量合的方向與向量〃相同，向量微的方向與向量b相同，

且奇=jti，所以向量。與向量力方向相同，故可排除選項A,B,D.

當(dāng)a=2b時,含=洸=言故"a=2b"是喂=旨'成立的充分條件.

l?l\2b\\b\回\b\

3.給出下列命題：

①若向量?！◤膆//c,則a〃。；

②若平面上所有單位向量的起點移到同一個點，則其終點在同一個圓上；

③在菱形A5CQ中，一定有前=方乙

其中是真命題的為.（填序號）

解析：若力=0,則向量〃不一定與。平行，故①不正確.單位向量的長度

為1,當(dāng)所有單位向量的起點在同一點。時，終點都在以。為圓心，1為半徑的

圓上，故②正確.

在菱形ABC。中，|福|=|慶1，魂與比方向相同，故施=反，故③正確.

答案：②③

ADB

如圖，在△A8C中，ZACB的平分線CD交AB于點D若病的模為2,比的

模為3,屐）的模為1,則踮的模為.

解析：

如圖，過點A作6c的平行線交CO的延長線于點E

因為ZACD=/BCD=NE,

所以|屐1=|函|.

因為8C〃AE,所以△AOEsaBDC,

3

-

2

3

答案：

綴后感悟-------------------------------

平面向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).

(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它

與函數(shù)圖象的移動混淆.

(4)非零向量〃與言的關(guān)系：言是與〃同方向的單位向量.

考點二平面向量的線性運算(綜合研析)

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義.

2.掌握向量數(shù)乘的運算，并理解其幾何意義.

僭Hl(1)(梃接常用結(jié)論1)(一題多解)(2022?合肥市第二次質(zhì)斑檢測)在△△8c

中，BZ)=|BC,若筋=〃，AC=h,則病=()

2112

B.ga+赳

二2,八21

C.'ja-jb

⑵

AD

R

（2022?蕪湖第一中學(xué)高三月考汝I圖所示，在等腰梯形A8CO中，AB=BC=

CD=3AD,點E為線段C。上靠近C的三等分點，點戶為線段月。的中點，則位

=()

A.一《通+2AdB.—

1O1O1OV

c.—Y^Afe+yicD.—

【解析】

（1）通解：如圖，過點。分別作AC,43的平行線交AB,4c于點E,F,則

1C

四邊形AEQ/為平行四邊形，所以病=屐:+#.因為筋=g心，所以施=擲,

?1?2—I?21

AF=-^AC,所以屐)=亍巾+3公=于7+3從故進A.

優(yōu)解一：AD=AB-^Bb=AB+^BC=AB+^(AC—AB)=^Ab，-^^AC=^a^b,

故選A.

優(yōu)解二：由前=凝,得病一筋=!（危一麗），所以病=筋+3（病一筋）

2f]f?|

=?彳&+§比=1。+]從故選A.

(2)FE=FC+CE=|BC+|cb

=；(危一筋)+耒無+旗)

=|AC-1AB4-1(,4B-Ac)

=—7^Afi4-^7AC,故選A.

1o1o

【答案】(1)A(2)A

因題技巧

向量線性運算的解題策略

(1)向量的加減常月的法則是平行四邊形法貝!和三角形法則，一般共起點的

向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角

形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一

個平行四邊形或三角形中求解.

I跟蹤訓(xùn)練I

1.

I)______E

如圖，在正六邊形ABCOE/7中，麗+&)+前=()

A.0B.BE

C.ADD.CF

解析：選D由于法=應(yīng)，故麗+&)+前=⑦+方^+俞=療.

2.

(2022?安徽省宣城市郎溪縣模擬)我國東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利

用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個

全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示.在“趙爽弦

圖"中，若就=°,BA=bfBE=3EF.則臍=()

12,9.n16,12,

AB.行〃+行。

DR+3

C?尹+學(xué)

3

就-

解析：選8.而=反＞+次=冊+［或=反*+*而+或）十4

（一浙+同，

即濟=反：+義—油+對解得濟=n反:+1|或

即濟=票°+呆0.

D一、，

3.己知。為的邊BC的中點，點尸滿足中+旃+前=0,AP=XPD,

則實數(shù)入的值為.

解析：因為D為邊BC的中點、,所以加+亞=2濟，又戌+濟+及=0.

所以戌=而+無=2①，

所以辦=一2而，所以兀=一2.

答案：一2

考點三向量共線定理的應(yīng)用（多維探究）

復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解兩個向量共線的含義，了解向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意

義.

角度1判定向量共線、點共線

側(cè)②已知O,4,M,區(qū)為平面上四點，且而=入?yún)f(xié)+（1—九）以（入￡區(qū)4

#0,且2#1）.

（1）求證：A,B,M三點共線；

（2）若點B在線段AM上，求實數(shù)2的取值范圍.

【解】（1）證明：因為m=4。方+（1—/1）為，

所以而=2為+近一2萬~

所以瓶=/翔（2￡R,A#=0,且/IW1）.

又翁;與贏有公共點A,所以A,B,M三點共線.

（2）由（1）知，

若點B在線段AM上，則Qf與油同向，且AWO,人手1,所以|俞|>|篇|>0,

所以2>1.故實數(shù)2的取值范圍為（1,4-oo）.

角度2利用向量共線定理求參數(shù)

側(cè)⑶（鏈接常用結(jié)論3）（1）（一題多解）在△ABC中，若而=2加,C￡>=|CA+

XCB,貝Ij2=

12

（2）如圖所示，在AAAC中，俞=伸7,〃是8N上的一點，若A>=〃?浦+JY

Ac,則實數(shù)m的值為.

【解析】（1）方法一：由崩=2踮，知A,B,。三點共線.所以3+7=1,

從而2=|.

方法二：由題意知⑦=m十歷①，

CD=CB^-BD②，

且病+2防=0.①+②X2,得3&）=己+2京.所以亙）=；C+|品，所

2

以X=y

（2）注意到N,P,B三點共線，因此有從

65

所

-以

H=1I-

MJl5r

2

答I%)TT

(2

共

，

實數(shù)人

若存在

b,

量明

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向量

線:證明

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