2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（蘇科版）專題13 全等三角形-重難點題型（舉一反三）（蘇科版）含解析

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊舉一反三系列（蘇科版）專題1.3全

等三角形?重難點題型

【蘇科版】

”石yf三

【知識點1全等三角形的性質(zhì)】

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面枳相等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、

高線均相等）

【題型1全等三角形的對應(yīng)元素判斷】

【例1】（2020秋?濰城區(qū)期中）如圖，△ABC9LDEF,點E、。、尸、8在同一條直線上.下列結(jié)論正確

A.NB=NDB.NACB=NDEFC.AC=EFD.BF=CE

【變式皿】（2020秋?合江縣月考）如圖，己知AA3cg△CD4,下面四個結(jié)論中，不正確的是（）

A.△ABC和△CD4的面積相等B.△ABC和△CD4的周長相等

C.//ACB=/D+/ACDD.AD//BC,RAD=CB

【變式1-2］（2020秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，AB=AE,NB=NE,則對于下列結(jié)論:

?AC=AF：②NMB=NEAB；③EF=BC；?ZEAB=ZI^C.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

E

A.1個B.2個C.3個D.4個

【變式1-3］（2020秋?北倍區(qū)期中）如圖所示，△AQB0ABDEWACDE,B,E,C在一條直線

上.下列結(jié)論：

①B。是/ABE的平分線；@ABLAC；③NC=30°；④線段。E是△8。。的中線：⑤4O-8O=AC

其中正確的有（）個.

【題型2利用全等三角形的性質(zhì)求角度】

【例2】（2020秋?蘭山區(qū)期末）如圖，已知△A5C0△OEHCO平分N/3C4,若NA=30°,NCG產(chǎn)=88°,

則NE的度數(shù)是（）

A.30°B.50°C.44°D.34°

【變式2-1］（2020春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，且AE〃B。，NZMQ=130°,則NBA。

度數(shù)的值為.

E

【變式2-2］（2020秋?覃塘區(qū)期中）如圖，已知△AE/gZkABG點E在3c邊上，EF與AC交于點D.若

/B=64°,ZC=30°,求NC￡>尸的度數(shù).

【變式2-3］（2020秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，XABC9XADE,8c的延長線分別交4。，DE于點、F,G,

且NDAC=10°,Z3=NO=25°,ZEAB=\20°，求和/。GO的度數(shù).

【題型3利用全等三角形的性質(zhì)求線段長度】

【例3】（2020秋?永吉縣期中）如圖，4EFGq叢NMH,E,H,G,N在同一條直線上，和NM,FG

和M”是對應(yīng)邊，若E"=l.lc〃?，NH=33cm.求線段”G的長.

【變式3-1］（2020秋?永定區(qū)期中）如圖，XAD日會XBCF,AD=^cm,CD=6cm,則8。的長為<

DR

【變式3-2］（2020秋?東莞市校級月考）如圖，在△"（?中，AD±BC,CEA.AB,垂足分別為。、E,AD.

CE交于點H,已知△AEH經(jīng)△CE8,￡3=5,4￡=7,則6的長是.

【變式3-3］（2020秋?中山市期中）一個三角形的三條邊的長分別是3,5,7,另一個三角形的三條邊的

長分別是3,3x-2y,x+2y,若這兩個三角形全等，則x+y的值是.

【題型4與全等三角形性質(zhì)有關(guān)的證明】

【例4】（2020秋?安徽月考）如圖，AABCgAAOE,點E在邊8c上，求證：ZBED=ZBAD.

【變式4-2］（2020春?成都期中）如圖，ZkABC中，點￡是A8邊上一點，XBCE出XACE,ED//AC,DF

LAB.

（1）判斷CE與A8是否垂直，并說明理由；

（2）證明：/EDF=/BDF.

【變式4-3］（2020秋?定遠縣月考）如圖所示，A,C,E三點在同一直線上，且△A3C0

(1)求證：BC=DE+CEx

(2)當(dāng)△A/3C滿足什么條件時，4?！?。石?

【題型5與全等三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合】

【例5】(2020秋?朔州月考)如圖，RACFq△OBE、其中點4、B、C、/)在同一條直線上.

(1)若3E_LAD,N產(chǎn)=63°,求N4的大小.

(2)若AD=)\cmfBC=5cm,求AB的長.

【變式5-1](2020秋?新羅區(qū)校級月考)如圖，點A、B、C在同一直線上，點E在8。上，且

EBC,AB=2cm,BC=3cni.

(I)求。E的長；

(2)判斷AC與的位置關(guān)系，并說明理由.

(3)判斷直線AO與直線C￡*J位置關(guān)系，并說明理由.

【變式5-2](2018春?德化縣期末)如圖，已知點E在A8上，OE與4c相交于點片

(I)當(dāng)OE=8,BC=5時，線段AE的長為；

(2)已知NO=35°,NC=60°,

①求ND8c的度數(shù)；

②求NAP7)的度數(shù).

A

【變式5-3］（2020春?鐵西區(qū)期中）如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，點E、/是直線.AO上方的

點，連接AE、CE、BF、DF,若AACEmAFDB,FD=3,XD=8.

（I）判斷直線8與。尸是否平行？并說明理由；

（2）求C。的長；

（3）若/七=26",//=53°,求N4C石的度數(shù).

【題型6與全等三角形性質(zhì)有關(guān)的動點問題】

【例6】（2020秋?丹徒區(qū)校級月考）如圖，已知相=3,AC=2,點。、E分別為線段曲、CA延長線上

的動點，如果△ABC與aAOE全等，則AQ為.

【變式6-1］（2020秋?濱湖區(qū)期中）如圖,已知長方形4BCO的邊長4B=20cm,BC=16cm,點E在邊

AB上，AE=6cm,如果點P從點8出發(fā)在線段8C上以2cm/s的速度向點。向運動，同時，點。在線段

CO上從點。到點。運動.則當(dāng)ABPE與△CQP全等時，時間，為s.

【變式6-2］如圖，ZC=ZCAM=90°,AC=8cmfBC=4a〃，點P在線段AC上，以2cm/s速度從點A

出發(fā)向點。運動，到點。停止運動.點。在射線AM上運動，且PQ=AB.若△A/3C與△PQA全等，則

C.2s,或3s或4sD.2s,或4s

【變式6-3](202()春?廣饒縣期末)如圖①，在RtZ\ABC中，ZC=90°,BC=9cm,AC=\2cm,AB=

\5cm,現(xiàn)有一動點P,從點A出發(fā)，沿著三角形的邊AC-運動，回到點A停止，速度為3。?加,

設(shè)運動時間為ts.

(2)如圖(2),在/中，ZE=90°,DE=4cm9DF=5cm9

ZD=ZA.在△ABC的邊上，若另外有一個動點Q,與點P同時從點

A出發(fā)，沿著邊A8-BCfC4運動，回到點A停止.在兩點運動過程

中的某一時刻，恰好尸0g△￡)￡戶,求點Q的運動速度.專題1.3全

等三角形?重難點題型

【蘇科版】

a?i金等口喇對0元EK

【知識點1全等三角形的性質(zhì)】

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.（另外全等三角形的周長、面積相等，對應(yīng)邊上的中線、角平分線、

高線均相等）

【題型1全等三角形的對應(yīng)元素判斷】

【例1】（2020秋?濰城區(qū)期中）如圖，△ABCgaOE凡點E、C、F、3在同一條直線上.下列結(jié)論正確

A.NB=NDB.NACB=NDEFC.AC=EFD.BF=CE

【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等、對?應(yīng)角相等解答.

【解答】解：,:XABC會RDEF,

???N4=/E,但N4與NO不一定相等，A選項結(jié)論錯誤，入符合題意；

???4ABC出ADEF,

：.ZACB=ZEFD,當(dāng)/AC8與/OEF不一定相等，8選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

??,△AB84DEF,

：.AC=DF,當(dāng)AC與七戶不一定相等，。選項結(jié)論錯誤，不符合題意；

???△48CZ△。叱

:.BC=EF,

：.BC-CF=EF-CF,即B/=CE,。選項結(jié)論正確，符合題意；

故選：D.

【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1]（2020秋?合江縣月考）如圖，已知0△CD4,下面四個結(jié)論中，不正確的是（）

A./XABC和△CD4的面積相等B.△A8C和△CD4的周長相等

C.N8+NAC6=N〃+NAC'。D.AL）//6C,且AO=C8

【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得S“BC=SasbAABC和△COA的周長相等，AD=CBtNB=ND,

ZACB=ZDAC,進而可得A0〃8C,即可求解.

【解答】解：VA/WC^AC/M,

^S^ABC=S^CDA^△ABC和△CDA的周長相等，AD=CB,/B=ND,ZACB=ZDAC,

：.AD//BC,故選項A、B、。都不符合題意，

■:ZACB不一定等于/AC。，

JNB+NACB不一定等于NO+NACO,

故選項。符合題意，

故選：C.

【點評】本題考杳了全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2020秋?海珠區(qū)校級期中）如圖，AABCq4AEF,AB=AE,NB=NE,則對于下列結(jié)論：

?AC=AF：②NFAB=NEAB；③EF=BC；?ZEAB=ZFAC.

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

E

A.I個B.2個C.3個D.4個

【分析】利用全等三角形的性質(zhì)可得答案.

【解答】解：V

：.AF=AC,EF=CB,ZFAE=ZBAC,

/.ZFAE-ZFAB=ZBAC-ZBAF,

即NB4￡=N/^C,

???正確的結(jié)論是①③④，共3個，

故選：C.

【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

【變式1-3]（2020秋?北儲區(qū)期中）如圖所示，△AOB也△EQB,△BDE/ACDE,B,E,。在一條直線

上.下列結(jié)論：

①8。是N4BE的平分線；②AB1AC；③NC=30°；④線段DE是△8。。的中線；⑤4O-8O=AC

其中正確的有（）個.

【分析】根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出即可判斷①；先由全等三角形的對應(yīng)邊相

等得出8。=。￡>,BE=CE,再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出力EJ_8C,則NBEO=90°,再根據(jù)

全等三角形的對應(yīng)角相等得出N4=N〃EO=90°,即可判斷②；根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得出N

ABD=NEBD,NEBD=NC,從而可判斷NC,即可判斷③；根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出BE=

CE,再根據(jù)三角形中線的定義即可判斷④；根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得出BD=CD,但A、。、C

可能不在同一直線上，所以AD+C?？赡懿坏扔贏C

【解答】解：①???△AO8g△EO8,

???ZABD=ZEBD,

???8。是NA8E的平分線，故①正確：

②MBDEmACDE,

:,BD=CD,BE=CE,

1DELBC,

???NBEO=90°,

AZA=ZBED=90°,

：,ABYAD,

???A、D、?？赡懿辉谕恢本€上

???Ab可能不垂直于AC,故②不正確；

③?：AADBg/XEDB,ABDE@ACDE,

，/ABD=NEBD,/EBD=NC,

???NA=90°

若A、。、C不在同一直線上，則NA8D+/EBD+/CW90°,

???NCW30°,故③不正確;

④:△BDEmACDE,

：.BE=CE,

???線段。石是△BOC的中線，故④止確；

⑤,.,△3QE且△COE,

:,BD=CD,

若A、D、。不在同一直線上，貝IJAO十。O>AC,

：.AD+BD>AC,故⑤不正確.

故選：A.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等.也考查

了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，難度適中.

【題型2利用全等三角形的性質(zhì)求角度】

【例2】（2020秋?蘭山區(qū)期末）如圖，己知ZUBC絲△￡>￡凡CO平分N3C4,若乙4=30°,NCG尸=88°,

則NE的度數(shù)是（）

A.30°B.50°C.44°D.34°

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NACO=N8CO=,/8CA,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到NO=NA=

30°,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：???C。平分/8C4,

???ZACD=ZBCD=*N8C4,

???△ABCWADEF,

???NO=NA=30°,

VZCGF=ZD+ZBCD,

：.ZBCD=ZCGF-ZD=5Sa,

/.Z^CA=]16°,

，N8=180°-30°-116°=34°,

\*AABCgADEF,

???NE=NB=34°,

故選：。.

【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，掌握全等三角形的對應(yīng)角相等是解題的

關(guān)鍵.

【變式2-1]（2020春?沙坪壩區(qū)校級期末）如圖，/XABC^^ADE,且AE〃B。，/84。=130°,則NBAC

度數(shù)的值為.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可以得到AB=A。，NBAC=NDAE,從而可以得到NABO=乙4。從

再根據(jù)AE〃8。，ZBAD=\30a,即可得到NOAE的度數(shù)，從而可以得到N8AC的度數(shù).

【解答】解：,:△ABgXADE,

：,AB=AD,ZBAC=ZDAE,

JZABD=ZADB,

VZ^D=J30°,

AZABD=ZADB=25°,

,:AE〃BD,

：,ZDAE=NADB,

/.ZDAE=25°,

???N84C=25°,

故答案為:25°.

【點評】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【變式2-2］（2020秋?覃塘區(qū)期中）如圖，已知△AE/g/kABC,點￡在8c邊上，EF與AC交于點D.若

N8=64°,ZC=30°,求NCD”的度數(shù).

/\

aEC

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形外角性質(zhì)解答即可.

【解答】解：YXAEF44ABC,

：.AE=AB,/AE尸=N8=64°,

???點E在8c邊上，

???NAEB=NB=64°,

AZDEC=1800-ZAEB-ZAEF=180°-64°-64°=52°,

又???NC=30°,且NC。尸是△CQE的外角，

:,NCDF=NDEC+/C=52°+30°=82°.

【點評】此題考查全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等解答.

【變式2-3］（2020秋?西湖區(qū)校級月考）如圖，△NBC@l\ADE,8c的延長線分別交A。，DE于點、F,G,

且ND4C=10°,ZB=ZD=25°,NE48=120°，求NO砧和/QG8的度數(shù).

【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得NBAC=NAME,由于/。人氏/。人。+/8人。=120°,則可計算出

N84c=55°,所以/8Ar=/H4C+NC4Q=65°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得NH4〃+N4=

90°，ZDGB=65°.

［解答］解：???△A8C絲△AQE,

：.ZBAC=ZDAE,

VZ￡Afi=120°,

AZDAE+ZCAD+ZBAC=\20°,

VZCAD=10°,

AZBAC=I(120°-10°)=55°,

.??NZM”=NK4C+NCAO=65°,

；?NDFB=NBAF+NB=650+25°=90°；

■:NDFB=ND+NDGB,

???NQGB=90°-25°=65°.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)：全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要

會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊.

【題型3利用全等三角形的性質(zhì)求線段長度】

【例3】(2020秋?永吉縣期中)如圖，MFGSNMH,E,從G,N在同一條直線上，EFNM,FG

和是對應(yīng)邊，若EH=l.lc〃?,NH=33cm.求線段"G的長.

【分析】由AEFGgANMH,EF和NM,FG和是對應(yīng)邊，得到EG和NH是對應(yīng)邊，根據(jù)全等三

角形的性質(zhì)得到EG=M7,根據(jù)線段的和差計算即可得到結(jié)果.

［解答］解：:△EFGB4NMH,EF和NM,FG和MH是對應(yīng)邊，

???EG和M/是對應(yīng)邊，

:?EG=NH,

:?EH+HG=HG+NG,

:,EH=NG,

???￡〃=1.1,

：.NG=l.l

VNH=33cm,

：.HG=NH-NG=3.3-1.1=2.2(cm).

【點評】本題主要考查了全等三角形全等的性質(zhì)，熟練找出兩個全等三角形的對應(yīng)邊是解此題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2020秋?永定區(qū)期中）如圖，△AO入XBCF、AD=Scm,CD=6cm,則8。的長為cm.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出4O=BC=8C7〃，進而即可求得CO=2cm.

【解答】解：,:XADE9XBCF,

.\AD=BC=^cm,

*：BD=BC-CD,CD=6cm,

：.BD=S-6=2（c/n）.

故答案為：2.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2020秋?東莞市校級月考）如圖，在△ABC中，AD1BC,CE1AB,垂足分別為。、E,AD.

CE交于點H,已知EB=5,AE=7,則C〃的長是.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分別求出EC、EH,結(jié)合圖形計算，得到答案.

【解答】解：?:△AEH四△CEB,

：,EC=AE=1,EH=EB=5,

：,CH=EC-EH=1-5=2,

故答案為：2.

【點評】本題考查的是全等三帶形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3］（2020秋?中山市期中）一個三角形的三條邊的長分別是3,5,7,另一個三角形的三條邊的

長分別是3,3x-2y,x+2_y,若這兩個三角形全等，貝Ux+y的值是.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得方程組或義717'解方程組可得答案.

【解答】解：由題意吸匚二或鼠3短?7，

解得:憂強憂;，

.r+y=5或x+y=4,

故答案為：5或4

【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形對應(yīng)邊相等.

【題型4與全等三角形性質(zhì)有關(guān)的證明】

【例4】（2020秋?安徽月考）如圖，g△A/石，點E在邊BC上，求證：NBED=NBAQ.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】證明：???△ABCg^AOE,

：,ZC=ZAED,ZBAC=ZDAE,

AABAC-NBAE=NDAE-NBAE,

即NC4E=N8A。，

*/ZAEH=ZAED+ZDER=ZCAE+ZC,

:?NCAE=NBED,

:?/BED=NBAD.

【點評】本題考查了三角形全等的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的性質(zhì).

【變式4-1]（2020秋?大安市校級期中）已知aAB尸鄉(xiāng)△OCE,E與”是對應(yīng)頂點.證明A尸〃OE.

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NB=NC，NBAF=NCDE,根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NA/E=N

DEF,根據(jù)平行線的判定得出即可.

【解答】證明：?:△ABF@ADCE,

：.ZB=ZC,ZBAF=ZCDE,

NB+NBAF=NC+NCDE,

NAFE=/DEF,

：.AF//DE.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，平行線的判定等知以點，能靈活運用定理機

芯推理是解此題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2020春?成都期中；如圖，/XABC中，點E是AB邊上一點，ED//AC,DF

LAB.

(I)判斷CE與AB是否垂直，并說明理由；

(2)證明：NEDF=NBDF.

【分析】(1)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：(1)CE_L48,

理由：Y△BCEq△/<(：￡,

：.BEC=ZAEC=1x180°=90°,

：.CELAB；

(2)'CED//AC,

:?/DEC=/ACE,

:△BCE也△ACE,

:?/BCE=/ACE,

:?NCED=NDCE,

*：DFA.AB,

：.DF//CE,

:?/BDF=NDCE,NEDF=NCED,

:?/EDF=/BDF.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正確的識別圖形是解題的關(guān)犍.

【變式4-3](2020秋?定遠縣月考)如圖所示，A,C,E三點在同一直線上，且AABC@Z^DAE.

(1)求證：BC=DE+CE；

(2)當(dāng)AA3c滿足什么條件時，BC//DE?

【分析】(I)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=BC,AC=DE,再求出答案即可；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出NBCK=NE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出NACB=NE,求出/人CA=N

BCE,再求出答案即可.

【解答】(1)證明：:△ABC經(jīng)△D4E,

：.AE=BC,AC=DE,

又??,4E=AC+CE,

:?BC=DE+CE；

(2)解：VBC//DE,

:?/BCE=/E,

又?:△ABdOAE,

???/ACB=NE,

???/ACB=NBCE,

又???NACB+/8CE=180°,

/.ZAC?=90°,

即當(dāng)△ABC滿足/AC8為直角時，BC//DE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定定理和平行線的性質(zhì)卻判定，能靈活運用定理進行推理是解此題

的關(guān)鍵，注意：全等三角形的為應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等.

【題型5與全等三角形性質(zhì)有關(guān)的綜合】

【例5】(2020秋?朔州月考)如圖，△ACF9XDBE,其中點A、B、C、。在同一條直線上.

(1)若BELAD,ZF=63°,求NA的大小.

(2)若AD=11cm,8c=5a〃，求AB的長.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到N"A=N七以）=九°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計算即可；

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CA=B?結(jié)合圖形得到AB=CZ）,計算即可.

【解答】解：（1）9：BELAD,

，/庚。=90°,

???AACFgADBE,

???NFCA=NEBD=90°,

/.ZA=90°-/尸=27°；

（2）,:△ACFW/\DBE,

:.CA=BD,

：,CA-CB=BD-BC,即AB=CD,

\*AD=11cm,BC=5cm,

：.AB+CD=\\-5=6cw,

,\AB=3cm.

【點評】本題考查的是全等二用形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2020秋?新羅區(qū)校級月考）如圖，點A、B、。在同一直線上，點E在8。上，且

EBC,AB=2cin,BC=3cm.

（I）求。E的長；

（2）判斷AC與BD的位置關(guān)系，并說明理由.

（3）判斷直線AO與直線CE的位置關(guān)系，并說明理由.

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到8Q=BC=5c〃z,BE=AB=2c，n,計算即可;

(2)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和平角的定義解答；

(3)根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等和三角形內(nèi)角和定理進行解答.

【解答】解：(1)?：△ABDWAEBC,

，BD=BC=3c，n,BE=AB=2cm,

/.DE=BD-BE=\cm；

(2)08與AC垂直，

理由：?：AABD%AEBC,

???NABD=NEBC,

又4、B、。在一條直線上，

，NE8c=90°,

???/力?與AC垂直.

(3)直線AO與直線CE垂直.

理由：如圖，延長CE交4。于F,

AARgAEBC,

???ZD=ZC,

???RtZ\A8Q中，NA+NO=90°,

/.ZA+ZC=90°,

AZAFC=90°,BPCEA.AD.

【點評】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等、全等三角形的對應(yīng)角相等是

解題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2018春?德化縣期末)如圖，已知△人點E在A8上，OE與4c相交于點F,

(1)當(dāng)OE=8,8c=5時，線段AE的長為；

(2)已知NO=35°,/C=60°,

①求N。8c的度數(shù)；

②求NA。的度數(shù).

A

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出A8=OE=8,BE=BC=5,即可求出答案；

（2）①根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出乙4=/。=35°,ZDBE=ZC=60Q,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出

/ABC,即可得出答案；

②根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出NA石尸，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出/AFQ即可.

【解答】解：（1）?：AABCgADEB,。石=8,BC=5,

?"8=OE=8,BE=BC=5,

：.AE=AB-BE=^-5=3,

故答案為：3：

（2）①?：AABC/dDEB

/.ZA=ZD=35°,NDBE=/C=60°,

VZA+ZA?C+ZC=180°,

.?.4BC=180°-ZA-ZC=85°,

:?NDBC=NABC-NDBE=85°-60°=25°；

②???ZAEF是△O8E的外角，

???NAEF=ND+NDBE=350+60°=95°,

NAFO是△4￡產(chǎn)的外角，

/.ZAFD=Z4+ZAEF=35°+95°=130°.

【點評】本題考杳了全等三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，能熟記全等三角

形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，時應(yīng)角相等.

【變式5-3］（2020春?鐵西區(qū)期中）如圖，點A、B、C、。在同一條直線上，點￡?是直線.A。上方的

點，連接AE、CE、BF、DF,若AACEgMDB,PO=3,4）=8.

（1）判斷直線CE與。尸是否平行？并說明理由；

(2)求CO的長；

(3)若NE=26",/尸=53°,求/ACE的度數(shù).

【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定定理即可得到結(jié)論;

（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論.

【解答】解：3CE//DF,

理由：???△ACEg△FD3,

???ZACE=ZD,

：.CE//DFx

（2）,:叢ACEm叢FDB,

：,AC=DF=3,

V4D=8,

.?.CD=AD-4c=8-3=5：

（3）V△ACEqAFDB,

：?/DBF=NE=26°,

?：CE//DF,

.-.Z1=ZF=53°,

AZAC￡=180°-26°-53°=101°.

【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的內(nèi)角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)

港

【題型6與全等三角形性質(zhì)有關(guān)的動點問題】

【例6】（2020秋?丹徒區(qū)校級月考）如圖，已知44=3,4c=2,點Q、￡分別為線段84、。延長線上

的動點，如果△A3C與△AOE全等，則AO為.

【分析】分△ABCgAADE和AABCgAAOE兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：當(dāng)△ABCg△AQE時，AQ=AB=3,

當(dāng)△48C且/XAEO時，AD=AC=2,

故答案為：2或3.

【點評】本題考查的是全等三用形的性質(zhì)，掌握全等二角形的對應(yīng)邊相等是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1]（2020秋?濱湖區(qū)期中）如圖,已知長方形A8CD的邊長A8=20c〃?，lC=16c小點。在邊

A8上，AE=6cm,如果點P從點3出發(fā)在線段BC上以2c〃次的速度向點。向運動，同時，點Q在線段

8上從點C到點。運動.則當(dāng)ABPE與△CQP全等時，時間，為s.

【分析】由條件分兩種情況，當(dāng)時，則有3E=PC,由條件可得到關(guān)于，的方程，當(dāng)^

BPE^/XCPQ,則有8P=PC,同樣可得出，的方程，可求出f的值.

【解答】解：

20（7//,AE=6E,BC=\6cm,

/.BE=\4cm,BP=2/C7〃，PC=（16-2t）cm,

當(dāng)△BPEgZ\CQP時，則有8E=PC,即14=16-23解得f=l,

當(dāng)△BPEgZXCPQ時，則有/陽=PC,即2/=16-2/,解得/=4,

故答案為：1或4.

【點評】本題主要考查全等三多形的性質(zhì)，由條件分兩種情況得到關(guān)于/的方程是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2]如圖，NC=NCAM=90°,AC=8。小8C=4c〃?，點P在線段AC上，以2cm/s速度從點A

出發(fā)向點。運動，到點C停止運動.點。在射線AM上運動，且PQ=AB.若△A/3C與△PQA全等，則

點夕運動的時間為（）

A.4sB.2sC.2s或3s或4sD.2s或4s

【分析】分△ABCgZXPQA和△AACg/XQ%兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可.

【解答】解：當(dāng)時，AP=AC=S,

???點P的速度為2c〃心，

/.84-2=4（5）；

當(dāng)△A8C@Z\Q必時，當(dāng)AP=8C=4,

???點P的速度為2c〃?/s,

???4?2=2（$）

故選：D.

【點評】此題考查的是全等三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等是

解題的關(guān)鍵，注意分情況討論思想的應(yīng)用.

【變式6-3]（2020春?廣饒縣期末）如圖①，在R—A8C中,ZC=90°,BC=9cm,AC=l2cmfAB=

15cw,現(xiàn)有一動點P,從點4出發(fā)，沿著三角形的邊AC-C8-BA運動，回到點A停止，速度為3cm/s,

設(shè)運動時間為fs.

A

（l）如圖（1）,當(dāng)/=時，△4PC的面積等于△ABC面積的一半；

（2）如圖（2）,在△OE”中，ZE=90°,DE=4cm,DF=5cm,NO=NA.在△ABC的邊上，若另

外有一個動點Q，與點P同時從點A出發(fā)，沿著邊AB-BCfCA運動，回到點4停止.在兩點運動過程

中的某一時刻，恰好△人PQg△。上凡求點。的運動速度.

【分析】（I）分兩種情況進行解答，①當(dāng)點。在4c上時，②當(dāng)點P在84上時，分別畫出圖形，利用

二角形的面積之間的關(guān)系，求山點P移動的距離，從而求山時間即可；

（2）由△APQg^OEF,可得對應(yīng)頂點為A與。，P與E,0與F；于是分兩種情況進行解答，①當(dāng)點

P在AC上，A尸=4,AQ=5,②當(dāng)點P在A8上，A尸=4,AQ=5,分別求出。移動的距離和時間，進

而求出Q的移動速度.

【解答】解：（1）①當(dāng)點P在8C上時，如圖①?1,

若的面積等于面積的一半；則CP=hc=

此時，點尸移動的距離為AC+C產(chǎn)=12+2=苧，

移動的時間為：5+3=學(xué)秒，

②當(dāng)點P在BA上時，如圖①?2

若△APC的面積等于△人AC面積的一半；則即點P為84中點,

1q57

此時，點夕移動的距離為八C+CN+初一12+912=2cw,

移動的時間為：:+3=學(xué)秒，

1119

故答案為：一或一；

22

（2）△APgXDEF,即，對應(yīng)頂點為A與。，P與E,。與F；

①當(dāng)點。在AC上，如圖②-1所示：

此時，AP=4,AQ=5,

???點。移動的速度為5+(44-3)=號。7心,

②當(dāng)點P在上，如圖②-2所示：

此時，AP=4,AQ=5,

即，點尸移動的距離為9+12+15-4=32?！?，點Q移動的距離為9+12+15-5=3"〃?,

QQ

???點〈移動的速度為31+(32+3)=徵小回

綜上所述，兩點運動過程中的某一時刻，恰好匕

1593

點Q的運動速為一cm/s或77。耽.

B

圖②~2

A

【點評】考查直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定，畫出相應(yīng)圖形，求出各點移動的距離是正確解答

的關(guān)鍵.

專題L4邊角邊判定三角形全等.重難點題型

【蘇科版】

浦箝于一及三

【知識點1基本事實“邊角邊"（SAS）】

兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”.

【題型1邊角邊判定三角形全等的條件】

【例1】（2021春?錦江區(qū)校級期中）如圖，在AABC和△OEC中，已知還需添加兩個條件才能

用SAS判定△A8C經(jīng)△Q￡C,能添加的一組條件是（）

B

A.NB=NE,BC=ECB.NB=NE,AC=DC

C.ZA=ZD,BC=ECD.BC=EC,AC=DC

【變式1?1】（2020秋?喀什地區(qū)期末）如圖，已知NABC=NOC&能直接用SAS證明△■比空/XOa的

A.AB=DCB.NA=N。C.4ACB=ZDBCD.AC=DB

【變式1-2］（2020秋?通州區(qū)期中）根據(jù)下列條件能畫出唯一的是（）

A.AB=1,BC=2,CA=3B.AB=1,BC=5,乙4=30°

C.NA=50°,ZZ?=60°,ZC=70°D.AC=3.5,EC=4.8,ZC=70°

【變式1-3］（2020?奎文區(qū)一模）如圖，點。、E分別在線段A3、AC±,且AO=AE,若由SAS判定△

A8E會△AC。，則需要添加的一個條件是.

【題型2邊角邊判定三角形全等（求角的度數(shù)）】

【例2】（2020秋?寬城區(qū)期末）如圖，48=力。，點。、E分別是A3、AC上一點，AD=AE,BE、CO相

交于點M.若N84C=7（T,ZC=30°,則N3M。的大小為（）

C.70°D.80°

【變式2-1］（2020秋?樂亭縣期末）如圖，在AA4c中，Zfi=40°,AB=CB,AF=CD,AE=CF,則N

EFD=()

【變式2-2]（2020秋?長垣市月考）如圖，在△ABC中，NB=/C,E、。、尸分別是A8、BC、AC上的

點，且BD=CF,若NA=104°,則N￡/小的度數(shù)為（）

A.24°B.32°C.38°D.52°

【變式2-3]（2021春?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，CDLAB,垂足為。.BEVAC,垂足為G,

AB=CF,BE=AC.

（I）求證：AE=AF；

（2）求NE4尸的度數(shù).

【題型3邊角邊判定三角形全等（求線段的長度）】

【例3】（2020秋?越秀區(qū)校級月考）如圖，在AABC中，A。平分NB4C,NB=2NADB,48=5,CD=6,

則AC的長為（）

A.3B.9C.11D.15

【變式3-1]（2020春?南崗區(qū)校級期中）如圖，△A4C中，AB=AC,D、E分別在。、84的延長線上,

連接30、CE,且NQ+N￡=180°,若80=6,則CE的長為（）

A.6B.5C.3D.4.5

【變式3-2]（2020秋?洪山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB=6,BC=5,AC=4,AD平分/R4C交BC

于點。，在/W上截取4E=4C,則△BOE的周長為（）

A.8B.7C.6D.5

【變式3-3]（2020秋?廣州校級月考）如圖，在AABC中，AB=8,AC=5,AD是△ABC的中線，則AD

的取值范圍是（）

【題型4邊角邊判定三角形全等（實際應(yīng)用）】

【例4】（2020秋?渾源縣期中）如圖，A,8兩點分別位于一個假山的兩端，小明想用繩子測量A、8間的

范離，首先在地面上取一個可以直接到達A點和B點的點C,連接4C并延長到點，使CO=AC,連

接并延長到點E,使CE=CB,連接OE并測量出它的長度為8〃?，則AB間的距離為8〃？.

【變式4-1]（2020秋?西湖區(qū)校級期中）如圖1、2,小明為了測出塑料瓶直壁厚度，由于不便測出塑料瓶

的內(nèi)徑，小明動手制作一個簡單的工具（如圖2,AC=BO,。為AC、3。的中點）解決了測瓶的內(nèi)徑問

題，測得瓶的外徑為。、圖2中的QC長為4瓶直壁厚度/=（用含小〃的代數(shù)式表示）.

【變式4-2】（2020秋?溫嶺市期中）某中學(xué)計劃為新生配備如圖1所示的折疊凳，圖2是折疊凳撐開后的

側(cè)面示意圖（木條等材料寬度忽略不計），其中凳腿人8和C。的長度相等，O是它們的中點，為了使折

疊凳坐著舒適，廠家將撐開后的折疊髡寬度AD設(shè)計為35cm,由以上信息能求出C8的長度嗎？如果能,

請求出C4的長度；如果不能，請說明理由.

圖1圖2

【變式4-3］（202（）春?鄭縣期末）如圖所示，A、3兩點分別位于一個池塘的兩端，小明想用繩子測量A、

B間的距離，但繩子不夠長，請你利用三角形全等的相關(guān)知識帶他設(shè)計一種方案測最出A、4間的距離,

寫出具體的方案，并解釋其中的道理.

【題型5邊角邊判定三角形全等（證明題）】

【例5】（2020春?沙坪壩區(qū)校級期中）如圖，在直角中，N4BC=90°,過B點作8。J_AC于

E在C。上，且過點。作。/〃AC,使得。連接E立求證：

（1）NABD=NC；

(2)DFA.EF.

【變式5-1］（2020秋?陸川縣期中）如圖，4。是△ABC的角平分線，且AB>AC,E為AO上任意一點,

求證：AB-AOEB-EC.

【變式5-2］（2020秋?合江縣月考）已知△A8C和均為等腰三角形，且N8AC=ND4E,AB=AC,

AD=AE.

（I）如圖1,點E在8C上，求證：BC=BABE；

（2）如圖2,點E在CB的延長線上，求證：BC=BD-BE.

【變式5-3］（202。秋?溫嶺市期中）⑴如圖1,已知在△ABC中，AD為中線，求證AB+4O2AD.

（2）如圖2,在△ABC中，。為BC的中點，分別交AB,AC于點E,F.

求證：BE+CF>EF.

【題型6邊角邊判定三角形全等（探究題）】

【例6】（2020秋?懷寧縣期末）如圖，己知：AD=AB,AE=AC,ADA.AB,AELAC.猜想線段C。與BE

之間的數(shù)最關(guān)系與位置關(guān)系，并證明你