新課標(biāo)2024高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第六章數(shù)列題組層級快練35數(shù)列的基本概念文含解析

PAGEPAGE6題組層級快練(三十五)1．在數(shù)列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，…中，x應(yīng)取()A．19 B．20C．21 D．22答案C解析a1＝1，a2＝1，a3＝2，∴an＋2＝an＋1＋an，∴x＝8＋13＝21，故選C.2．?dāng)?shù)列0，eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，…的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(n－1,n＋1) B．a(chǎn)n＝eq\f(n－1,2n＋1)C．a(chǎn)n＝eq\f(2（n－1）,2n－1) D．a(chǎn)n＝eq\f(2n,2n＋1)答案C解析將0寫成eq\f(0,1)，視察數(shù)列中每一項(xiàng)的分子、分母可知，分子為偶數(shù)列，可表示為2(n－1)，n∈N*；分母為奇數(shù)列，可表示為2n－1，n∈N*，故選C.3．(2024·濟(jì)寧模擬)若Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn＝eq\f(n,n＋1)，則eq\f(1,a5)等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(1,30) D．30答案D解析∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(n,n＋1)－eq\f(n－1,n)＝eq\f(1,n（n＋1）)，∴eq\f(1,a5)＝5×(5＋1)＝30.4．視察下列各圖，并閱讀圖形下面的文字．像這樣，10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多是()A．40個(gè) B．45個(gè)C．50個(gè) D．55個(gè)答案B解析方法一：最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)的規(guī)律是：1，1＋2，1＋2＋3，……，1＋2＋3＋…＋n，……∴10條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多是：1＋2＋…＋9＝45.方法二：設(shè)n條直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為an(n≥2)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a3－a2＝2，,a4－a3＝3，,……,a10－a9＝9.))累加得a10－a2＝2＋3＋…＋9，∴a10＝1＋2＋3＋…＋9＝45.5．若數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1an＝an－1，則a2020的值為()A．－1 B.eq\f(1,2)C．2 D．3答案C解析因?yàn)閿?shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1an＝an－1，所以an＋1＝1－eq\f(1,an)，所以a2＝eq\f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，可知數(shù)列的周期為3.而2020＝3×673＋1，所以a2020＝a1＝2.故選C.6．(2024·遼寧省試驗(yàn)中學(xué)月考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝()A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1答案C解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為2，∴通項(xiàng)公式為an＝2n.故選C.7．已知數(shù)列{an}滿意a0＝1，an＝a0＋a1＋…＋an－1(n≥1)，則當(dāng)n≥1時(shí)，an等于()A．2n B.eq\f(1,2)n(n＋1)C．2n－1 D．2n－1答案C解析方法一：由題設(shè)可知a1＝a0＝1，a2＝a0＋a1＝2.代入四個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知an＝2n－1.故選C.方法二：n≥1時(shí)，an＝Sn－1，∴an＋1＝Sn，∴an＝Sn－Sn－1＝an＋1－an，∴an＋1＝2an，故{an}為等比數(shù)列，從而求得an.8．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是()A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng)C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)答案B解析∵Sn＝n2－10n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－9也適合上式．∴an＝2n－11(n∈N*)．記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，此函數(shù)圖像的對稱軸為直線n＝eq\f(11,4)，但n∈N*，∴當(dāng)n＝3時(shí)，f(n)取最小值．于是，數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng)．9．?dāng)?shù)列eq\f(\r(5),3)，eq\f(\r(10),8)，eq\f(\r(17),a＋b)，eq\f(\r(a－b),24)，…中，有序?qū)崝?shù)對(a，b)可以是()A．(21，－5) B．(16，－1)C．(－eq\f(41,2)，eq\f(11,2)) D．(eq\f(41,2)，－eq\f(11,2))答案D解析由數(shù)列中的項(xiàng)可視察規(guī)律，5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＝15，,a－b＝26，))解得a＝eq\f(41,2)，b＝－eq\f(11,2).故選D.10．(2024·山東荷澤重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)視察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第n個(gè)圖中的小正方形的個(gè)數(shù)f(n)為()A.eq\f(（n＋1）（n＋2）,2) B.eq\f(（n＋2）（n＋3）,2)C.eq\f(n,2) D.eq\f(n2＋n,2)答案A解析由題意可得f(1)＝2＋1；f(2)＝3＋2＋1；f(3)＝4＋3＋2＋1；f(4)＝5＋4＋3＋2＋1；f(5)＝6＋5＋4＋3＋2＋1；…；∴f(n)＝(n＋1)＋n＋(n－1)＋…＋1＝eq\f(（n＋1）（n＋2）,2).11．(2024·鄭州其次次質(zhì)量預(yù)料)已知數(shù)列{an}滿意an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝m，a2＝n，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2017的值為()A．2017n－m B．n－2017mC．m D．n答案C解析依據(jù)題意計(jì)算可得a3＝n－m，a4＝－m，a5＝－n，a6＝m－n，a7＝m，a8＝n，…，因此數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，且a1＋a2＋…＋a6＝0，所以S2017＝S336×6＋1＝a1＝m.故選C.12．(2024·湖南長沙模擬)已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn>1且Sn＝eq\f(（an＋3）（an＋1）,8)(n∈N*)，則an＝()A．4n－1 B．4n－3C．4n－3或4n－1 D．n＋2答案A解析當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝eq\f(（a1＋3）（a1＋1）,8)，解得a1＝1或a1＝3，∵Sn>1，∴a1＝3，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(（an＋3）（an＋1）,8)－eq\f(（an－1＋3）（an－1＋1）,8)，即(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，∵an>0，故an－an－1＝4，∴{an}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，∴an＝3＋4(n－1)＝4n－1.13．(2024·湖北宜昌一中月考)定義an＝5n＋(eq\f(1,5))n，其中n∈{eq\f(1,10)，eq\f(1,5)，eq\f(1,2)，1}，則an取最小值時(shí)，n的值為()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,2) D．1答案A解析令5n＝t>0，考慮函數(shù)y＝t＋eq\f(1,t)(t>0)，易知其中(0，1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，且當(dāng)t＝1時(shí)，y的值最?。倏紤]函數(shù)t＝5n，當(dāng)0<n≤1時(shí)，t∈(1，5]，可知當(dāng)n＝eq\f(1,10)時(shí)，an取得最小值．故選A.14．(2024·廣東梅州質(zhì)量檢測)已知數(shù)列2016，2017，1，－2016，－2017，…，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從其次項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2017項(xiàng)之和S2017等于________．答案2016解析依據(jù)題意可將該數(shù)列多寫幾項(xiàng)出來，以便視察：2016，2017，1，－2016，－2017，－1，2016，2017，1，….視察發(fā)覺該數(shù)列是周期為6的周期數(shù)列，且前6項(xiàng)的和為0.而要求的2017＝6×336＋1，則S2017＝0×336＋a2017＝0＋a1＝2016.15．(2024·廣州一模)設(shè)數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，且對隨意n∈N*，都有4Sn＝an2＋2an，其中Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．答案2n解析當(dāng)n＝1時(shí)，由4S1＝a12＋2a1，a1>0，得a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，由4an＝4Sn－4Sn－1＝(an2＋2an)－(an－12＋2an－1)，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0.因?yàn)閍n＋an－1>0，所以an－an－1＝2，則數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，故an＝2＋(n－1)×2＝2n.16．(2024·北京海淀區(qū)一模)數(shù)列{an}的通項(xiàng)為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2n－1，n≤4，,－n2＋（a－1）n，n≥5，))(n∈N*)，若a5是{an}中的最大值，求a的取值范圍．答案[9，12]解析當(dāng)n≤4時(shí)，an＝2n－1單調(diào)遞增，因此n＝4時(shí)取最大值，a4＝24－1＝15.當(dāng)n≥5時(shí)，an＝－n2＋(a－1)n＝－(n－eq\f(a－1,2))2＋eq\f(（a－1）2,4).∵a5是{an}中的最大值，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,2)≤5.5，,－52＋5（a－1）≥15，))解得9≤a≤12.∴a的取值范圍是[9，12]．17．已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，前n項(xiàng)和Sn＝eq\f(n＋2,3)an.(1)求a2，a3；(2)求{an}的通項(xiàng)公式．答案(1)a2＝3，a3＝6(2)an＝eq\f(n（n＋1）,2)解析(1)由S2＝eq\f(4,3)a2，得3(a1＋a2)＝4a2，解得a2＝3a1＝3；由S3＝eq\f(5,3)a3，得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，解得a3＝eq\f(3,2)(a1＋a2)＝6.(2)由題設(shè)知a1＝1.當(dāng)n>1時(shí)，有an＝