2024-2025學年高中數(shù)學周周回饋練三含解析新人教A版選修1-1VIP

PAGE1-周周回饋練(三)一、選擇題1．方程eq\r(x－22＋y2)＋eq\r(x＋22＋y2)＝10化簡的結果是()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,21)＝1C.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1答案B解析由方程左邊的幾何意義及橢圓定義可知，方程表示的曲線為焦點在x軸上的橢圓，且c＝2，a＝5，所以b2＝a2－c2＝21，故化簡結果為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,21)＝1.2．點P在橢圓eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上一點，以點P以及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積為1，則點P的坐標為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，±1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(15),2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(15),2)，±1))答案D解析設P(x0，y0)，∵a2＝5，b2＝4，∴c＝1，∴S△PF1F2＝eq\f(1,2)|F1F2|·|y0|＝|y0|＝1，∴y0＝±1.∵eq\f(x\o\al(2,0),5)＋eq\f(y\o\al(2,0),4)＝1，∴x0＝±eq\f(\r(15),2).故選D.3．“－3<m<5”是“方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案B解析若方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－m>0，,m＋3>0，,5－m≠m＋3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<5，,m>－3，,m≠1，))即－3<m<5且m≠1.所以“－3<m<5”是“方程eq\f(x2,5－m)＋eq\f(y2,m＋3)＝1表示橢圓”的必要而不充分條件，故選B.4．若直線mx＋ny＝4和圓O：x2＋y2＝4沒有交點，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的交點個數(shù)為()A．2B．1C．0D．0或1答案A解析由題意，得eq\f(4,\r(m2＋n2))＞2，所以m2＋n2＜4，所以點P(m，n)在橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1內(nèi)，則過點P(m，n)的直線與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有2個交點．故選A.5．過橢圓x2＋2y2＝4的左焦點F作傾斜角為eq\f(π,3)的弦AB，則弦AB的長為()A.eq\f(6,7)B.eq\f(16,7)C.eq\f(7,16)D.eq\f(7,6)答案B解析橢圓方程化為標準方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1，所以左焦點為F(－eq\r(2)，0)，又直線斜率k＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，所以弦AB所在直線方程為y＝eq\r(3)(x＋eq\r(2))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)x＋\r(2)，,x2＋2y2＝4，))可得7x2＋12eq\r(2)x＋8＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(12\r(2),7)，x1x2＝eq\f(8,7)，所以|AB|＝eq\r(1＋\r(3)2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12\r(2),7)))2－4×\f(8,7))＝eq\f(16,7).故選B.6．已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<10)的左、右焦點，P是橢圓上一點，若∠F1PF2＝60°，且△F1PF2的面積為eq\f(64\r(3),3)，則橢圓的離心率為()A.eq\f(3,5)B.eq\f(4,5)C.eq\f(9,25)D.eq\f(16,25)答案A解析因為S△F1PF2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(64\r(3),3)，所以|PF1|·|PF2|＝eq\f(256,3)，又|PF1|＋|PF2|＝20，所以|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝400，①由余弦定理知，|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos60°＝|F1F2|2＝4(100－b2)，②①－②得，3|PF1||PF2|＝4b2，所以b2＝64，所以c2＝100－64＝36，所以c＝6，又a＝10，所以e＝eq\f(3,5).故選A.二、填空題7．一個圓經(jīng)過橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的三個頂點，且圓心在x軸上，則該圓的標準方程為________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x±\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)解析由題圓肯定過短軸兩個端點(0，±2)，設圓心(m,0)，若過右頂點，則4－m＝eq\r(m2＋4)，得m＝eq\f(3,2)，即圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，半徑為eq\f(5,2)，圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4)，若過左頂點，同理得圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))2＋y2＝eq\f(25,4).8．直線y＝kx－2與橢圓x2＋4y2＝80相交于不同的兩點P、Q，已知PQ的中點橫坐標為2，求k的值為________．答案eq\f(1,2)解析設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\o\al(2,1)＋4y\o\al(2,1)＝80，,x\o\al(2,2)＋4y\o\al(2,2)＝80，))兩式相減，得(x2＋x1)(x2－x1)＝－4(y2＋y1)(y2－y1)，整理得eq\f(y2－y1,x2－x1)＝－eq\f(x2＋x1,4y2＋y1)，依題意k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)，x1＋x2＝4，代入得k＝－eq\f(4,4y1＋y2)，設PQ的中點坐標為M(x0，y0)，則y0＝eq\f(y1＋y2,2)＝－eq\f(1,2k)，于是Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(1,2k)))，代入直線y＝kx－2，得－eq\f(1,2k)＝2k－2，解得k＝eq\f(1,2).9．若點O和點F分別為橢圓eq\f(x2,2)＋y2＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上隨意一點，則|OP|2＋|PF|2的最小值為________．答案2解析設P(x0，y0)，而F(－1,0)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋(x0＋1)2＋yeq\o\al(2,0).又yeq\o\al(2,0)＝1－eq\f(x\o\al(2,0),2)，∴|OP|2＋|PF|2＝xeq\o\al(2,0)＋2x0＋3＝(x0＋1)2＋2≥2.∴|OP|2＋|PF|2的最小值為2.三、解答題10．求適合下列條件的橢圓的標準方程．(1)長軸長為10，離心率為eq\f(3,5)；(2)焦點在x軸上，且一個焦點與短軸的兩個端點的連線相互垂直，焦距為6.解(1)由題意得：2a＝10，a＝5.又e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,5)，∴c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.當焦點在x軸上時，橢圓方程為eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1；當焦點在y軸上時，橢圓方程為eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1.(2)∵焦距為6，∴2c＝6，c＝3.在△OB1F中，B1F＝eq\r(OB\o\al(2,1)＋OF2)＝eq\r(b2＋c2)＝a，同理得：B2F＝a.又B1F⊥B2F，∴在△B1FB2中，B1F2＋B2F2＝B1Beq\o\al(2,2)，即2a2＝4b2.又a2－b2＝c2，∴b2＝c2＝9，a2＝18.又焦點在x軸上，∴所求的橢圓方程為eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.11．已知橢圓C的焦點分別為F1(－2eq\r(2)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(2)，0)，長軸長為6，設直線y＝x＋2交橢圓C于A，B兩點．(1)求線段AB的中點坐標；(2)求△OAB的面積．解(1)設橢圓C的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意知a＝3，c＝2eq\r(2)，所以b＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋y2＝1.由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,9)＋y2＝1，))消去y，得10x2＋36x＋27＝0.因為Δ>0，所以點A，B不重合．設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－eq\f(18,5)，所以y1＋y2＝x1＋x2＋4＝eq\f(2,5)，故線段AB的中點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，\f(1,5))).(2)設直線y＝x＋2與x軸交于點M，則點M的坐標為(－2,0)，則S△OAB＝S△OAM＋S△OBM.由(1)可知，y1＋y2＝(x1＋2)＋(x2＋2)＝x1＋x2＋4＝eq\f(2,5)，y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝－eq\f(1,2)，則S△OAB＝eq\f(1,2)×2×|y1|＋eq\f(1,2)×2×|y2|＝|y1－y2|＝eq\r(y1－y22)＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))))＝eq\f(3\r(6),5).12．已知橢圓C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率．(1)求橢圓C2的方程；(2)設O為坐標原點，且A，B分別在橢圓C1和C2上，eq\o(OB,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))，求直線AB的方程．解(1)由已知可設橢圓C2的方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,4)＝1(a>2)，∵其離心率為eq\f(\r(3),2)，∴eq\f(\r(a2－4),a)＝eq\f(\r(3),2)，解得a＝4，故橢圓C2的方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1.(2)A，B兩點的坐標分別記為(xA，yA)，(xB，yB)，由eq\o(OB,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))及(1)知，O，A，B三點共線且點A，B不在y軸上，因此可以設直線AB的方程為y＝kx.將y＝kx代入eq\f(x2,4)＋y2＝