2024年高考復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第7章第3節(jié)等比數(shù)列

第三節(jié)等比數(shù)列

考試要求：1.理解等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式的意義.

2.探索并掌握等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和

公式的關(guān)系.

3.能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.體會(huì)等比數(shù)列

與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

—、必備知識(shí)-回顧教材重“四基

一、教材概念-結(jié)論-性質(zhì)重現(xiàn)

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)列｛&｝從第2_項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)之比都等

于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公

比通常用字母q表示(顯然夕"0).定義的遞推公式為皿=冢常數(shù)).

(2)等比中項(xiàng)：如果在。與人中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,〃成等比數(shù)列，那么

G叫做a與〃的等比中項(xiàng).此時(shí)，G2=ab.

微提醒■■■

(1)注意：①等比數(shù)列的每一項(xiàng)都不可能為0.

②公比是每一項(xiàng)與其前一項(xiàng)的比，前后次序不能顛倒，且公比是一個(gè)與〃無關(guān)的

常數(shù).

Q)“S=ab”是“a,G,b成等比數(shù)列”的必要不充分條件.

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

xA

(1)通項(xiàng)公式：gn=a\cf.

⑵前n項(xiàng)和公式：

naY,q=1,

=Ja1(l-qn)_at-anq

-------------,q干

i-qi-q丫

微提醒■■■

⑴等比數(shù)列通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系

等比數(shù)列｛而｝的圖象是指數(shù)型函數(shù)》=藁?夕'的圖象上一些孤立的點(diǎn).

(2)求等比數(shù)列前〃項(xiàng)和時(shí)要對(duì)公比夕是否等于1進(jìn)行分類討論.

3.等比數(shù)列的性質(zhì)

(1)通項(xiàng)公式的推廣:an=a,n?qn~m(m,〃￡N*).

(2)對(duì)任意的正整數(shù)"7,〃，p,q,若/〃+〃=p+g,則?的.

特別地，若，〃+n=2P,貝！a,n*gft=ap.

(3)若等比數(shù)列前〃項(xiàng)和為S”則S〃“S2m—Sm,S3M-5%仍成等比數(shù)列，即6用一

S,“)2=S1S3”-S")(m三N‘，公比qr—1或4=—1,m為奇數(shù)).

(4)數(shù)列｛?。堑缺葦?shù)列，則數(shù)列｛p〃”)(pXO,〃是常數(shù))也是等比數(shù)列.

(5)在等比數(shù)列伍〃｝中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即0”…an

+2?,小+3人，…為等比數(shù)列，公比為俄.

4.等比數(shù)列｛〃”｝的單調(diào)性

滿足的條件單調(diào)性

e1>0成V0

[q>1to<qV1｛m｝是遞增數(shù)列

Pi>0成但<o

｛勿｝是遞減數(shù)列

仔i*0

U=1｛〃”｝是常數(shù)列

q<0｛〃”｝是擺動(dòng)數(shù)列

微提醒■■■口

等比數(shù)列的單調(diào)性并不是只與公比有關(guān)，而是與首項(xiàng)和公比都有關(guān)系.

=基本技能-思想-活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

1.判斷下列說法的正誤，對(duì)的畫“J”，錯(cuò)的畫“X”.

(1)滿足m+i=qa〃(〃￡N*,q為常數(shù))的數(shù)列｛.｝為等比數(shù)列.(X)

(2)如果數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，d=3一+。2”，則數(shù)列｛歷十也是等比數(shù)列.(X)

(3)如果數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，則數(shù)列｛Inm｝是等差數(shù)列.(X)

(4)數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式是如=〃"，則其前〃項(xiàng)和為S產(chǎn)絲產(chǎn).(X)

1-a

2.已知數(shù)列｛〃”｝是等比數(shù)列，且0=3。4=-1,則｛““｝的公比夕為()

8

A.2B.--C.-2D.-

22

C解析：由氏=/=—8潺9=—2.故選C.

3.已知在等比數(shù)列｛〃〃｝中，424304=1,0/748=64,則45等于()

A.—2B.±2

C.2D.士工

2

C解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列｛〃〃｝中，。2。3出=1,06a748=64,所以返=1,(^=64,

所以。3=1,47=4,因此城=4307=4,因?yàn)椤?,。3同號(hào)，所以。5=2.故選C.

4.已知伍”｝是等比數(shù)列，若⑺=1,46=843,數(shù)歹UR｝的前〃項(xiàng)和為丁"，則"

()

A.—B.31

16

C.蔡D.7

A解析：設(shè)等比數(shù)列(〃〃｝的公比為％因?yàn)?1=1,46=843,所以小=8,解得

4=2.

所以m=2".所以十所以數(shù)列｛3｝是首項(xiàng)為1,公比為：的等比數(shù)列.則

/1-(丁_31

75―_可__I?

5.在3與192中間插入兩個(gè)數(shù)使它們同這兩個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個(gè)數(shù)為

12,48解析：設(shè)該數(shù)列的公比為小由題意知，

192=3X^\爐=64,

所以夕=4.

所以插入的兩個(gè)數(shù)分別為3X4=12,12X4=48.

-、關(guān)鍵能力-研析考點(diǎn)強(qiáng)“四翼”不一

考點(diǎn)1等比數(shù)列基本量的計(jì)算——基礎(chǔ)性

「多維訓(xùn)練」

1.(2022?全國乙卷)已知等比數(shù)列｛?。那?項(xiàng)和為168,。2—。5=42,則倘=

)

C.V2D.一四或加

D解析：設(shè)等比數(shù)列｛a“的公比為夕，由。2,46是方程/+6x+2=0的根，可

得42al6=2,即Q；</6=2,即謁=2,則曜這=。9=±疸.故選D.

a9

(2)在數(shù)列｛4>｝中,41=2,am+n=aman.若以+1+或+2T---卜或+10=215—2，,則k=

()

==

C解析:由dm+nClniClnt令fJ11可得4〃+1=。1?！?2".，所以數(shù)列｛4〃｝是公比為

2的等比數(shù)列,所以4=2X2川=2”,則以+1+以+2+…+以+10=24討+2a2+…+

2Mio=絲支絲1=2介“一2"|=215—25,所以攵=4.故選C.

1—2

同源異考/

本例(1)的條件變?yōu)?若等比數(shù)列｛〃”｝中的45,42017是方程打一4%+3=0的兩個(gè)

根，試求log?Qi+log3a2+log3Q?+…+logM2M.

解：等比數(shù)列｛〃”｝中的45,42017是方程4x+3=0的兩個(gè)根，

則6/54-?2017=4,as,?2017=3,

所以等比數(shù)列｛而｝中奇數(shù)項(xiàng)為正，所以防0"=百，

1010

所以log3al+log3a2+log3a34------Flog3a2021=log3[(asa2017)*a\011]=

解聯(lián)通法

等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用的要點(diǎn)

(1)在等比數(shù)列的基本運(yùn)算問題中，一般利用通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，建立方程

組求解，但如果能靈活運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)，如“若/〃+〃=〃+/則有如以“=

如劭”，則可以減少運(yùn)算量.

(2)等比數(shù)列的項(xiàng)經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)

列&,Sik—SkfS3K—52儲(chǔ)…成等比數(shù)列，公比為。(療一1).

「多維訓(xùn)練」

1.在等比數(shù)列｛?。?a〃>0,ai+a2T---1俏=4,…寺=16,則工+工+…

+上的值為()

a8

A.2B.4

C.8D.16

A解析：由分?jǐn)?shù)的性質(zhì)得到工+工+…+工=也四+%3+…+巴衛(wèi).因?yàn)閍刈

仁2a8a8ala7a2a4a5

=aiai=a3a6=aaas,所以原式=+…=，_又〃1①…儂=16=(公公六,a?>

a4a5a4a5

0,所以44a5=2,所以工+2+…+工=2.故選A.

a2%

2.已知等比數(shù)列｛〃“｝的公比不為一1,設(shè)S〃為等比數(shù)列他〃｝的前〃項(xiàng)和，&2=

7s4,則卜.

3解析：由題意可知S4,58-54,S2—S8成等比數(shù)列，則(58-54)2=54?(512—

S8).又S12=7SA,所以(S8-S4)2=S4?(7S4-S8),可得一6s系一$854=0,兩邊都

除以梟，得(￡)2一日一6=°，解得￡=3或-2.又￡=l+/(g為伍”｝的公比)，所

以包〉1,所以包=3.

S4S4

考點(diǎn)3等比數(shù)列的判斷和證明——應(yīng)用性

「典例引領(lǐng)」

考向1定義法判定等比數(shù)列

例?，?己知數(shù)列｛〃〃｝和｛/?〃｝滿足。1=1,加=0,4〃”+1=3以一瓦+4,4bw+i=3bn—

小一4.

(1)證明：｛m+為｝是等比數(shù)列，｛〃”一兒｝是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛〃〃｝和｛兒｝的通項(xiàng)公式.

(1)證明：由4a〃+i=3a〃一力〃+4,4兒+i=3〃”一小一4,兩式相加得4(a〃+i+/%+。=

=a

2(?！?bn),即alt+1+bn+1~(?+bn).

又因?yàn)閍\+b\=\,

所以｛?！笔Α保鞘醉?xiàng)為1,公比為1的等比數(shù)列.

2

由44”i=3a”一力〃+4,4兒+i=3瓦一如一4,兩式相減得4(a〃+i—兒+1)=4(如一/?”)

+8,

即(〃“+1—b“+i)—(an—bn)=2.

又因?yàn)閍\—b\=I,

所以(小一①｝是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列.

(2)解：由(1)知，?！?仇=-^7，an—bn=2n—\t

所以?！?j(。〃+bn)+(Cln—bn)]=1+〃—5

bn=夕(a”+bn)—(an—bn)]=表-〃+卜

解聯(lián)通法

判斷或證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)應(yīng)注意的問題

⑴判斷或者證明數(shù)列是否為等比數(shù)列最基本的方法是定義法.

⑵等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式法一般不用于證明，可在選擇或填空題中靈活使用.

(3)若要判定一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列，只需判定存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列.

考向2等比中項(xiàng)法判定等比數(shù)列

例0<在數(shù)列｛。〃｝中，成+1+2?！?1=+alt+an+2,且。?=2,g=5.

(1)證明:數(shù)歹是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛公｝的前〃項(xiàng)和S〃.

(1)證明：因?yàn)閃+i+2a”+i=a”a〃+2+a”+a〃+2,

所以(a〃+i+l)2=(a〃+l)(a”+2+1),

即0n+l+l一an+z+l

an+1an+i+1

因?yàn)?。I=2,a2=5,所以“I+1=3,42+1=6,

所以。2+1=2,

ai+1

所以數(shù)列｛々”+1｝是以3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.

(2)解：由(1)知，?！?1=3?2”-1,所以?！?3?2"—1,

所以S”=3(i-2")一〃=3-2〃一〃一3.

1-2

解題通法

證明等比數(shù)列問題的注意點(diǎn)

(1)W="〃_M+I5>2,"SN*)是｛a〃｝為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是-列定

一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，要注意各項(xiàng)不為0.

(2)證明數(shù)列｛m｝為等比數(shù)列時(shí)，不能僅僅證明a〃+i=q小，還要說明#0,才能遞

推得出數(shù)列中的各項(xiàng)均不為零，斷定數(shù)列｛而｝為等比數(shù)列.

多維訓(xùn)練

1.在數(shù)列優(yōu)〃｝中，滿足0=2,1-a〃+i(〃22,〃三N*),S”為｛〃”｝的前〃項(xiàng)

和.若俏=64,則S7的值為()

A.126B.256

C.255D.254

D解析：數(shù)列｛〃”｝中，滿足嫌〃￡N"),則數(shù)列｛〃〃｝為等比數(shù)列，

設(shè)其公比為g,又由仙=2,然=64,得“5=*=32,則夕=2,則S7=°?：)=

Qi1-2

28-2=254.

2.已知數(shù)列｛雨｝的首項(xiàng)s>0,。川=￡^(〃￡N)且⑺=/

(1)求證：｛2-1｝是等比數(shù)列，并求出數(shù)列伍〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列｛J的前〃項(xiàng)和Tn.

(1)證明:記bn=

則如+1=an+「_2a“+l-3即_―即_1.

bn--—13-3（1“3（1-。口）3

an

,,,1,3,1

又b\=—―1=--1=-,

ax22’

所以｛十一1｝是首項(xiàng)為也公比為g的等比數(shù)列,

所以F?(葉，2-3n-1

即a=

nl+2-3n-1，

所以數(shù)列｛4〃｝的通項(xiàng)公式為癡=；；35

(2)解：由⑴知,G)n\

臉="(3…+L

所以數(shù)列七｝的前n項(xiàng)和〃(1一表)+機(jī)

拓展考點(diǎn)構(gòu)造法解答數(shù)列問題

對(duì)于數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，除了我們已經(jīng)學(xué)習(xí)的方法以外，根據(jù)所給遞推公

式的特點(diǎn)，還有以下幾種構(gòu)造方式.

構(gòu)造法1形如。〃+i=ca〃+d(c、WO,其中3=。)型

(I)若c=l,數(shù)列｛〃“｝為等差數(shù)列.

(2)若4=0,數(shù)列｛而｝為等比數(shù)列.

(3)若cHl且dWO,數(shù)列｛〃”｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等

比數(shù)列來求.

方法如下：設(shè)?！?1+幺=。(?！?2),得a〃+i=ca〃+(c—1)九與題設(shè)a〃+i=ca〃+d比

較系數(shù)得久=二(。#1).

所以。”+/^=｛。71一1+FJ)(〃N2),

即｛Q〃+構(gòu)成以內(nèi)+專為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列.

「典例引領(lǐng)」

例0,?在數(shù)列｛〃〃｝中，若的=1,a〃+i=3a〃+2,則通項(xiàng).

2?3〃”-1解析：因?yàn)榈?1=3所+2,所以。e+1=3(?！?1).又s=l,所以

?i+l=2,故數(shù)列｛?！?1｝是首項(xiàng)為2,公比為3的等比數(shù)列，所以?！?1=2?3〃-

,,所以?！?2?3〃/一1.

構(gòu)造法2形如〃〃+i=pa”+q-"+i(pWO,1,產(chǎn)0)型

加尸p〃〃+夕?/kSW(),1,qWO)的求解方法是兩端同時(shí)除以“口即得豁一

端=q,則數(shù)列憤｝為等差數(shù)列.

「典例引領(lǐng)」

例血,(1)已知正項(xiàng)數(shù)列｛〃“)滿足ai=4,a〃+i=2a〃+2〃+i,則小等于()

A.n?2,,dB.(〃+1)?2"

C.n?2,r+lD.(〃-1)?2"

B解析：因?yàn)?。?2小+2向,所以普=黃+1,即普一招=].又梟=戶2,

所以數(shù)列｛畀是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以羽=2+(〃一”1=〃+1,

所以〃”=(〃+1)2”.

(2)已知在正項(xiàng)數(shù)列｛?。?，0=2,m+1=2斯+3X5”,則數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)所等于

()

A.一3X2"B.3X2〃/

C.5〃+3X2”/D.5〃一3X2"」

D解析：在遞推公式〃用=2小+3X5〃的兩邊同時(shí)除以5田，得篝翳+：.

①令兒=引則①變?yōu)閮捍?|兒+|,所以瓦+1—1=|（房一1）,所以數(shù)列｛兒T｝

是首項(xiàng)為一右公比為；的等比數(shù)列，所以仇—1=（-§X（§“T,則/"=l—￡x

Q）nl,所以意=1一|'0一'所以?！?5〃一3X2".

構(gòu)造法3相鄰項(xiàng)的差為特殊數(shù)列（形如z+i=pz+gi,其中m=a,ai=b型）

可化為小十1—X1〃"=*2（々"-X14"_|）,其中XI,X2是方程f—px一夕=0的兩根.

「典例引領(lǐng)」

例應(yīng)，在數(shù)列｛〃“｝中，m=l,6=2,a”+2=ga7t+1+,，求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式.

解：由an+2=/+1+孤可得,

1,、

?！?2-?！?1=—&（〃〃+1-?！ǎ?，

所以數(shù)列｛〃”+1—4“｝是首項(xiàng)為1,公比為一1的等比數(shù)列.

當(dāng)〃22時(shí)，Cl2-a\=\,43-42=-*

44—43=：,…,?！èD。〃-1=（一1）,

將上面的式子相加可得即-1=1+（-3+3+…+（-9n從而可求得an=2

+（/）+*+（一曠］

故有a”=Z+2x（-，n,〃22.

44\3/

又m=l滿足上式，所以a〃=Z+-x

構(gòu)造法4倒數(shù)為特殊數(shù)列（形如癡=上”型）

ran-i+s

「典例引領(lǐng)」

例初，已知數(shù)列｛而｝中，0=1,4〃+1=生，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

解：因?yàn)閍〃+i=三七，ai=l,

an+2

所以4#0,所以二-=工+=,即二一一上="

Qn+10n2Qn+10n2

又山=1,則2=1,所以廿｝是以1為首項(xiàng)，瀘公差的等差數(shù)列，

所以2-=工+（〃_1）義工=2+工，

Qfia1222

所以a尸急〃￡N,).

、一題N解?深化綜合提“素養(yǎng)”/

「試題呈現(xiàn)」

己矢口等比數(shù)歹|」｛?！保那啊?xiàng)和為S〃.若Sio=2O,520=60,貝I」S3O=

［四字程序1

讀想算思

1.求和公式.

等比數(shù)列的基本

求5302.如何確定首項(xiàng)轉(zhuǎn)化與化歸

運(yùn)算

與公立

1.列方程組求基

等比數(shù)列，1.求和公式.

1.基本量法.本量.

Sio=2O,2.通項(xiàng)公式.

2.性質(zhì)法2.利用性質(zhì)直接

520=603.和的性質(zhì)

求解

「一題多解」

法

思路參考：用s,夕表示Sio,So,求

140解析:設(shè)數(shù)列｛〃“｝的公比為q.因?yàn)镾#2Sio,所以#1.

又Sio=2O,$20=60,

21M=20,

所以

11-q

兩式相除得/0=2,

所以S3O=SIO+/°S2O=2O+2X6O=14O.

法I2;

S2nl-q2n

思路參考：利用性質(zhì)

140解析：由So=2O,520=60,易得公比小M.

根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，可得等=上絳，即黑=匕喘=1+嚴(yán)，解得嚴(yán)=

□io1-201—

2.

又如毒，所以圻三=7,530=140.

法

思路參考：利用性質(zhì)S〃+M=S〃+/5”.

140解析：根據(jù)等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，可得S2O=Sio+/°So,即60=20+

2(0°,解得/°=2,

所以S3O=SIO+/°S2O=2O+2X6O=14O.

解)去

思路參考：利用性質(zhì)S〃，S2〃一S〃，S3“一S2“成等比數(shù)列.

140解析：根據(jù)等比數(shù)先前〃項(xiàng)和的性質(zhì)，可知Sio,Szo-Sio,S30—S20成等比

數(shù)列，

則(S20—S10)2=SiO(S3O_520),

即(60—20)2=20(53。-60),解得530=140.

「思維升華」

1.本題考查等比數(shù)列的求和問題，解法靈活多變，基本解題策略是借助等比數(shù)

列的基本量計(jì)算，或轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列和的性質(zhì)求解，對(duì)于此類問題要注意認(rèn)真計(jì)

算或轉(zhuǎn)化.

2.基于課程標(biāo)準(zhǔn)，解答本題一般需要具備良好的運(yùn)算求解能力、推理能力和轉(zhuǎn)

化能力.本題的解答體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)，試題的解答過程展

現(xiàn)了數(shù)學(xué)方法多樣化的魅力.

3.基于高考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系，本題條件明確簡(jiǎn)單，通過知識(shí)之間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，

將數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型.本題可以從不同的角度解答，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性;

同時(shí)，解題的過程需要知識(shí)之間的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了綜合性.

「類題試練」

等比數(shù)列｛〃”｝中，S”表示數(shù)列｛?！?的前.〃項(xiàng)和，43=252+1，〃4=2S3+1,則公比

q為.

3解析：由43=252十I,04=253+1,

得44—43=2(53—Si)=2(13,

所以出=3。3,所以q=%=3.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)（四十一）

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.（2022?深圳模擬）設(shè)等比數(shù)列他”｝首項(xiàng)為⑶，公比為夕，則“口<0,且0<q<1"

是“對(duì)于任意N*都有的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分又不必要條件

A解析：若防<0,且0<g<l,則a”+i—同〃一。1夕"=。4*（4一1）>0,

所以a”+i>a”，反之，若則。〃+1—?！?。同"一a"*1）>0,

所以?i<0,且0<</<1或?|>0,且q>\,

所以“svO,且（）<^<1”是“對(duì)于任意N\都有z+]>aJ的充分不必要條件.故

選A.

2.（2022?濟(jì)寧模擬）已知數(shù)列｛m｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，S〃是它的前〃項(xiàng)

和.若。2。6=4,且。4+2動(dòng)=￡則S5=（）

A.29B.3（）

C.31D.32

C解析：因?yàn)椤?。6=欣=4,且4">0,所以44=2.又tu+2a7=g,所以47=（.設(shè)

｛?！ǎ墓葹樾t母=爐=,q=3,所以a〃=a4（m=25-”，所以55=16+8+

4+2+1=31.故選C.

3.（2022?日照一模）河南洛陽的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)寶庫之一，現(xiàn)為世界文

化遺產(chǎn)，龍門石窟與莫高窟、云岡石窟、麥積山石窟并稱中國四大石窟.現(xiàn)有一

石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍，總共有1016個(gè)

“浮雕像”，這些“浮雕像”構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，若從最下層往上“浮雕像”

的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛〃“｝，則lOg2（43?⑸的值為（）

A.16B.12

C.10D.8

B解析：現(xiàn)有一石窟的某處“浮雕像”共7層，每上層的數(shù)量是下層的2倍,

總共有1016個(gè)“浮雕像”，這些“浮雕像'’構(gòu)成一幅優(yōu)美的圖案，從敲下層往

上“浮雕像”的數(shù)量構(gòu)成一個(gè)數(shù)列｛如｝,則優(yōu)〃｝是以2為公比的等比數(shù)列，

所以S7=也空3=1016,127山=1016,

1—2

解得。1=8,所以log2(G??5)=log2(8x22X8X24)=12.

4.已知數(shù)列｛。〃｝是等比數(shù)列，S”為前〃項(xiàng)和.若4|+々2+。3=4,44+。5+。6=8,

則&2等于()

A.40B.60

C.32D.50

C解析：因?yàn)閿?shù)列｛4〃｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a142a3,a4a546,,

00411412,…也成等比數(shù)歹［.不妨令罰=414243,b2=(14(15(16,

則公比q="=U=3.所以麻=4X3"Z.

bl4

令歷”=324,即4*3"=324,

解得〃?=5,所以〃5=324,即m384m5=324.所以〃=14.故選C.

5.已知等比數(shù)列｛?。那啊?xiàng)和為S〃=a-2"+；,則。的值為()

6

A..1-1Bn.-1

33

C.--D.-

22

A解析：當(dāng)〃22時(shí)，a〃=S〃-S〃-i=。?2"一。?2"2=〃?24，當(dāng)〃=1時(shí)，a\

=Si=a+±又因?yàn)椋。堑缺葦?shù)列，所以所以a=一乙故選A.

6623

6.記S”為等比數(shù)列｛〃”｝的前〃項(xiàng)和，若數(shù)歹U｛S〃-2m｝也為等比數(shù)列，則%=()

a3

A.-B.1

2

C.ID.2

A解析：設(shè)等比數(shù)列｛a〃｝的公比為q,當(dāng)q=1時(shí)，S"-2ai=〃ai—2ai=(〃-2)m,

顯然⑸一20｝不為等比數(shù)列.當(dāng)#1時(shí)，￡-2al=岑蘆一2防=一言/+言

—2ai,欲符合題意，需四2ai=0,得故幺=q=：.故選A.

1-(?22

7.已知｛而｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，S”為其前〃項(xiàng)和.若m=6,S+2G=

6,則公比夕=,S4=.

—解析：由ai=6,及+2〃3=6,可得4同+2〃同2=61+12/=6,即2片+

24

1.6x[1-(l)*l45

q—1=0,解得或4=—1(舍去).所以S4=―i=—.

8.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和5〃滿足S2+4S4=S6,41=1.

(1)求數(shù)列｛m｝的公比4；

⑵令b,尸殺一15,求7=|歷|+|岳|+…+向0|的值.

解：(1)由S2+4S4=S6,可得#1,

1-q1-q1-q，

所以(1一片)+4(1—/)=1一46,而存1,q>0,

所以l+4(l+4)=l+q2+g4,即44-37-4=0,

所以(『-4)(。+1)=0,所以g=2.

(2)由(1)知?！?2",則的前〃項(xiàng)和當(dāng)=二=2〃-1,當(dāng)〃25時(shí)，兒=2"一

15>0,〃W4時(shí)，兒=2〃/一15V0,

所以T=—S1+岳+加+歷)+(兒+尻H---FZ?io)

=-(01+02+03+44-15X4)+(a5+a6T---F?io-15X6)

=-54+5IO-54+6O-9O

=SIO-2S4-3O=(2,O-1)-2(24-1)-30

=2l0-25-29=l024-32-29=963.

9.已知S〃是數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和，且滿足*一2〃”二〃-4.

(1)證明：｛S〃一〃+2｝為等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛*｝的前〃項(xiàng)利Tn.

(1)證明:由題意知S〃一2(S〃-S〃一一4(〃22),

即S”=2S”一1一〃+4,

所以S”一〃+2=2[S〃一?一(/;—1)+2].

又易知n=3,所以&-1+2=4,

所以｛S〃一〃+2｝是首項(xiàng)為4,公比為2的等比數(shù)列.

⑵解：由(1)知S-"+2=2"+i,

所以S”=2"i+〃一2,

于是7；=(22+23+…+2向)+(1+2+…+〃)一2〃=個(gè)手+—2〃=

2n+3+*3n-8

2?

B組新高考培優(yōu)練

10.設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公匕為q>0,且“Wl,S”為數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和，記7；=

森則（）

A.OWKB.T3<76

C.T^nD.73>?6

T_T—_a3(l-q)_q"l-q)_q2Q_q)__q2(i_q)

D解析:63a1(l-q6)ai(l-q3)1-q61-q31-q6由于q>0且

（用,所以1一夕與1一小同號(hào)，所以及一73<0,所以KV7U攵選D.

11.《九章算術(shù)》中有述：今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺，莞生一日，長(zhǎng)一尺，蒲生日自

半，莞生日自倍.意思是：“今有蒲第一天長(zhǎng)高3尺，莞第一天長(zhǎng)高1尺，以后

蒲每天長(zhǎng)高前一天的一半，莞每天長(zhǎng)高前一天的2倍.”請(qǐng)問當(dāng)莞長(zhǎng)高到長(zhǎng)度是

蒲的5倍時(shí)，需要經(jīng)過的天數(shù)是（結(jié)果精確到0.1.參考數(shù)據(jù)：lg2?0.30,1g

3Q0.48）（）

A.2.9天B.3.9天

C.4.9天D.5.9天

C解析：設(shè)蒲的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列｛〃〃｝,其首項(xiàng)0=3,公比為也其前〃項(xiàng)和

為4〃.莞的長(zhǎng)度構(gòu)成等比數(shù)列｛〃〃｝,其首項(xiàng)方=1,公比為2,其前〃項(xiàng)和為8”,

則4=棗利，&=芍二，由題意可得5X企也=芍二，解得2〃=30或2"=1（舍

1—2—11—2—1

去）.所以〃=廄230=臀=瞥4.9.

°ig2lg20.3

12.（多選題）（2021?濟(jì)南二模）已知數(shù)列優(yōu)〃｝中，0=1,〃”?3+1=2〃，則

下列說法正確的是（）

A.44=4

B.{/〃}是等比數(shù)列

C.。2〃-42"一1=2"”

D.。2〃-1+。2”=2"+|

n

ABC解析：因?yàn)椤?=1,an??w+i=2,

所以〃2=2,43=2,6/4=4.

由On*5+1=2〃可得an+l?4”+2=2"M,

所以皿=2,

所以｛g｝,｛顯1｝分別是以2,1為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列,

所以G〃=2?2〃/=2〃,。2〃一1=1?2”“=2",

所以。2〃一。2〃一1=2",。2〃-1+。2〃=3?2"H2〃M,

綜上可知，ABC正確，D錯(cuò)誤.故選ABC.

13.若數(shù)歹。”｝是等比數(shù)列，且。1=1,s=2,“3=5,貝I」小=.

3nJ解析：因?yàn)?2—。=1,43—42=3,所以9=3,

所以4"+l一如=3"",所以Un~a\=U2-Cl\-\-U3,—U2~\-----F〃〃-1-4“-2十"〃一4"-1=1

+3+…+3"-2=T二

1-3

因?yàn)?1=1,

所以〃產(chǎn)寧.

14.記等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)積為O(〃￡N"),已知mi?碗一一2?！?0,且乃,“

-i=128,則m=

4解析：因?yàn)閍m-\am+\—2am=0,

由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，鼎-2a〃=0.

因?yàn)椤?0,所以(lm=2.

,9,,2l1lml

則Tim-\=a\?a2^a2m-i