2024年高考復習數學第2章第1節(jié)函數及其表示

第二章函數

第一節(jié)函數及其表示

考試要求：1.了解構成函數的要素，會求簡單函數的定義域和值域.

2.在實際情景中，會根據不同的需要選擇恰當的方法（如圖象法、列

表法、解析法）表示函數.

3.了解簡單的分段函數，并能簡單應用.

--------6必備知識-回顧教材重“四基---------

一、教材概念-結論-性質重現(xiàn)

I.函數的概念

出數

前提設A,8是兩個非空的實數集

如果對于集合A中的任意一個數x,按照某種確定的對

對應關系/：Ai

應關系/,在集合B中都有唯一確定的數y利它對應

名稱稱f:Af8為從集合A到集合B的一個函數

記法函數y=7U），

2.函數的定義域、值域

在函數），=火幻，x￡A中，》叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域;與

x的值相對應的），值叫做函數值，函數值的集合［Ax）\xEA）叫做函數的值域.

3.函數的三要素：定義域、值域和對應關系.

4.表示函數的常用方法：列表法、圖象法和解析法.

微提醒■■■

直線x=a（a是常數）與函數y=/U）的圖象有0個或1個交點.

5.分段函數

在函數的定義域內，對于白變量x的不同取值區(qū)間，有著不同的對應法則,稱這

種函數為分段函數.

分段函數是一個函數，分段函數的定義域是各段定義域的史L值域是各段值域

的并集.

微提醒■■■

分段函數無論分成幾段，都是一個函數，求分段函數的函數值，有時要分類討論.

二、基本技能-思想-活動經驗

1.判斷下列說法的正誤，對的畫“，錯的畫“X”.

(1)函數)=1與y=x0是同一個函數.(X)

⑵對于函數/：A-B,其值域是集合8.(X)

=+是一個函數.(X)

(4)若兩個函數的定義域與對應關系相同，則這兩個函數是同一個函數.(J)

(5)函數)，=/&)的圖象可以是一條封閉的曲線.(X)

2.設集合M={x|0W_xW2},N={y[()WyW2}.下面的4個圖形中，能表示從集

合M到集合N的函數關系的有()

A.①②③④

C.②③D.②

C解析：①圖象不滿足函數的定義域，不正確；②③滿足函數的定義域以及函

數的值域，正確；④不滿足函數的定義.

3.已知一次函數/U)的圖象過點(1,0)和(0,1),則此一次函數的解析式為()

A.J(x)=~xB.J(x)=x-\

C.J(x)=x+1D.火幻=-x+1

D解析：設貝x)=av+0(“#)),則有a01b_0

ib=1,

所以。=—1,b=1,所以y(x)=-x+1.

4.函數_/U)=W+lnx的定義域是.

(0,4-00)解析：要使函數有意義，需滿足產+10°'即Q0,所以函數府)6勺

.X>0,

定義域為(0,4-<x>).

5.設段)=［：8,a),若火2)=4,則a的取值范圍為_________.

xz,x6［a,+ooj.

(一8,2］解析：因為12)=4,所以2￡［凡+oo),所以aW2,所以。的取值范

圍為(一co,2J.

-、關鍵能力-研析考點強“四翼7--------

考點1函數的定義域——基礎性

多維訓練」

1.(多選題)下列各組函數是同一個函數的是()

A./(x)=x*2—2x—1,g(s)=f-2s—1

B.J(x)=x~I,g(x)=￡

r、XN0,

C.?￥)=療，g(x)=\

I—%,%<0

D.危)=/一%3,^(x)=xV-x

AC解析：對于A,yU)=f—2%—1的定義域為R,g⑸=s2-2s-l的定義域

為R,定義域相同，對應關系也相同，是同一函數：對可B,j(x)—V—%3——-xV-x

的定義域為｛x|xW0),g(x)=xQ的定義域為｛HxWO｝,對應關系不同，不是同一

函數；對于c,yu)=：=i的定義域為「巾和｝,g(x)=^=i的定義域為｛力和｝,

定義域相同，對應關系也相同，是同一函數；對于D,7(x)=x的定義域為R,g(x)

=m=|4|的定義域為R,對應關系不同，不是同一函數.故選AC.

2.(2022?煙臺模擬)函數凡r)=In二；+裝的定義域為()

A.(0,+8)B.(1,+8)

C.(0,1)D.(0,I)U(1,+8)

(―>0,x

B解析：要使函數人用有意義，應滿足XT解得心>1,故函數/u)=ln—

x>0,"I

+妙的定義域為（1,+oo）.

3.己知等腰三角形A8c的周長為10,底邊長），關于腰長x的函數解析式為），=

10-2x,則函數的定義域為（）

A.{x|x￡R}B.{小>0}

C.{.r|0<x<5）D.[x||<x<5]

（x>0,

D解析：由題意知《10-2%>0,即|〈xV5.

l2x>10-2x,

4.若函數），=/&）的定義域是[0,2],則函數g（?=△當的定義域為.

[0,1）解析：因為），=/"）的定義域為[0,2J,

所以，要使四）有意義應滿足X-'解得0<<1.所以g（x）的定義域是[0,

1%—1H0,

1）.

解題通法

常見函數類型的定義域

（1）分式中，分母不為0.

（2）偶次方根中,被開方數非負.

（3）對于y=.r0,要求*0,負指數的底數不為0.

（4）抽象函數定義域要注意對應法則下的取值范圍.

（5）對數式中，真數大于0.

考點2求函數的解析式——粽合性

「典例引領」

例。“求下列函數的解析式：

⑴已知網一sinA）=COS2X,求於）的解析式；

⑵己知氏巡+—=/+*求危）的解析式；

（3）己知/W是一次函數目雙—1）一賀入-1）=2丫+17,求4x）的解析式；

（4）定義在（一1,1）內的函數人工）滿足"幻一人一用=吆。+1）,求人處的解析式.

解：（1）（換元法）設1—siiu=/,/￡[0,2],則sinx=1一1.因為川一sinx）=cos2x

=1-sin1,所以火。=1一(1一。2=21一產，00,2].即危)=2x—以,%￡[0,2J.

(2)(配湊法)因為/(/+妥)=(/+專)2一2,所以於)=『一2,xG[2,+oo).

(3)(待定系數法)因為人￥)是一次函數，可設,/U)=or+仇W0),所以3[,心+1)+加

Q2

■'解得

{5a+b=17,

(a=2,

Ib=7.

故yu)的解析式是yu)=2x+7.

(4)(解方程組法)當工￡(-1,1)0+,有4U)—A-x)=lg(x+l)①.又一(—1,1),

以一x代替x得2/(—x)-/W=lg(—rH)②.由①②消去人一的得於)=|lg(A-+1)

+|lg(l-x),xe(-i,I).

解題通法

求函數解析式的3種方法

當函數的類型已經確定時，一般用待定系數法來確定函數解析

待定系數法

式

如果給定復合函數的解析式，求外函數的解析式，通常用換元

換元法

法將內函數換元，然后求出外函數的解析式

如果給定兩個關于凡K)的關系式，可以通過變量代換建立方程

解方程組法

組，再通過解方程組求出函數解析式

「多維訓練」

1.已知y(：+i)=igx,求yu)的解析式.

解：令白+1=/,得工=三.

代入得i。=lgg.又x>0,所以/>1.

故危)=ig三，X￡(I,4-oo).

x—1

2.已知一/U)是二次函數，且五0)=0,/U+l)=/U)+x+l,求九丫)的解析式.

解：設凡￥)=ar+bx+c(於0).

由10)=0,知c=0,所以7U)=O?+/M.

又由yu+i)=/u)+x+i,

得a（x+1）2+力。+l）=ov*2+/u+x+I,

即加+（2〃+力）4+。+〃=4*+（/?+l）x+1,

“f2a+b=b+l,__i

所以|解得〃=/?=：.

2

、Q+b=1,

所以於尸產+3，xeR

3.已知函數/U）滿足|一]）+Z/U）=2l求/U）的解析式.

解：由人一”）+2/（.丫）=21①

得應r）+〃（一%）=2].②

①X2—②，得力（為=2四一2一。

即./U）=2彳/+1—2一4

?3

2x+1-2"x

故段）=2「，xGR

考點3分段函數——應用性

「典例引領」

考向1分段函數求值

例?,（1）（2022?浙江卷）已知函數"尸1則/（/（；））=

x+--1,x>1,\V2//

X

:若當工￡口，口時，iqww3,則力一〃的最大值是.

2

3十遍解析：由已知可得尼）=_（；）+2=：,始產/k1=條所以

當xWl時，由10/（x）W3可得1W-/+2W3,所以一IWJCWI；

當x>\時，由1勺*）<3可得l（x+：—lW3,所以laW2+J5.

故1Wy（x）<3等價于一1<rW2+g,所以[a,b]C[―1,2+V3],所以。一〃的

最大值為3+0.

”，皿fx2+2%4-2,x<0,,

（2）設函數/U）=若pJ（/（a））=2,則。=__________.

-x2,x>0.

V2解析：當。>0時，y（d）=—?2<0,用⑷）=/—2〃+2=2,

得。=近（。=0與。=一夜舍去）：

當aWO時，?〃)=。+2°+2=3+1)2+1>0,flfia))=-(a2+2a+2)2=2,此方程

無解.

綜上可知，a=V2.

解題通法

求分段函數的函數值的步驟

(1)確定要求值的自變量所在區(qū)間.

(2)代入相應的函數解析式求值,直到求出具體值為止.

提醒：①自變量的值不確定時，必須分類討論.

②求值時注意函數奇偶性、周期性的應用.

③出現(xiàn)求值形式時，應由內到外或由外向內逐層求值.

考向2分段函數與方程、不等式

例?，(1)(2022?安慶模擬)己知函數凡0=1火乙一14V0,若實數。滿足

火〃)=加一1),財心)=()

A.2B.4

C.6D.8

D解析：由題意得。20且一1<〃一1V(),

即OVaVl.由幾)=加一1),即2〃=瘋解得。三，則尼)=逃4)=8.

(廣，…

(2)設函數啟)=則不等式的解集為()

1-logi(x-1),X>1,

2

A.[0,3]B.(—8,3]

C.[0,+8)D.[0,1]U[3,+8)

A解析：依題意，當xWl時，由以幻=6)”-1忘2,得2-這2,解得x20,則

OWxWl.

當Q1時，由7U)=l-logK%-l)W2,得10g2(x-l)<U即O<X-1W2,解得

2

laW3,則1<XW3,所以不等式y(tǒng)(x)W2的解集為[0,3J.

解題通法

求參數或自變量的值(范圍)的解題思路

(1)解決此類問題時，先在分段函數的各段上分別求解，然后將求出的值或范圍與

該段函數的自變量的取值范圍求交集，最后將各段的結果合起來(取并集)即可.

(2)如果分段函數的圖象易得，也可以畫出函數圖象后結合圖象求解.

「多維訓練」

x+3,x>10,

I.設貢幻=則型)的值為(）

/（X+5）,x<10,

A.16B.18

C.21D.24

%+3x>10

B解析：因為'所以<5)=<10)=火15)=15+3=18.

l/(x+5),x<10,

2Xx>0

2.已知函數/U)=''若八〃)+次1)=0,則實數。=__________.

K+1,X<0.

-3解析：當。>0時，由大0+41)=0得2"+2=0,無實數解；當aWO時，由

J(a)+J(l)=O得〃+1+2=0,解得〃=一3,滿足條件.

課時質量評價(六)

A組全考點鞏固練

1.下列集合A到集合8的對應/是函數的是()

A.A={-\,0,1),8={—1,0,I},/：A中的數的平方

B.A={0,1},B={-1,0.1},/：A中的數求平方根

C.A=Z,B=Q,f：A中的數取倒數

D.A=R,8={正實數},/：4中的數取絕對值

A解析：選項B,集合A中元素出現(xiàn)一對多的情況；選項C,D中均出現(xiàn)元素

0無對應元素的情況.

2.若函數了=人工)的定義域為M={x|—2Wx<2},值域為N={.y|0q)W2},則函

數,，=/*)的圖象可能是()

B解析：A中函數的定義域不是[-2,2],C中圖象不表示函數，D中函數的值

域不是[0,2].

3.若函數府)滿足川一lnx)=%則火2)等于()

A.-B.e

2

C.-D.-1

e

B解析：方法一：令1—lnx=f,則4=標”.于是A0=+，即/U)=W，故12)

1

Cx1C**

=e.

方法二：由1—lnx=2,得x=3，這時：=4=e,即/(2j=e.

e

4.若A正-l)=x+近+1,則./U)的解析式為()

A.危)=/+犬+1(x2-1)

B./U)=f——

C./U)=f+3x+3(x,—1)

D./U)=(x—l)2(x2—1)

C解析：①6-1)=%+石+1,令/=4一12—1,則4=/+1,；./(，)=(，+1)2

+f+1+1=產+3/+3(12—1),/./(.r)=.v2+3x+3(x^—1).

5.已知函數y=?r)滿足於+1)=〃U),且/5)=沫3)+4,則旭)=()

A.16B.8

C.4D.2

B解析：因為/U+l)=Mx),且.”)=浜3)+4,故2做)=|八4)+4,解得犬4)=

8.

6.(2022?北京卷)函數80=工+4^的定義域是_________.

X

(-oo,o)u(o,11解析：因為yu)=L+x/T方，所以"一'解得工<1且

“"0,

#0,

故函數的定義域為(-8,0)U(0,1].

7.記國為不超過x的最大整數，如[-1.2]=-2,[2.3]=2.已知函數4x)=

2日一1,x>l,則順_]2))=_____,y(x)W3的解集為__________.

1%2+1,x<1,

3[-V2,3)解析：根據國的定義,得膽一1.2))=42.44)=2[2.44]-1=3.當

xll時，由火X)=2W-1W3,得WW2,所以x￡[l,3):當x〈l時，由兒i)=Y

+1W3,得一VSWxvl.故原不等式的解集為[一企，3).

豈2+1xV0

'-'若犬〃)=1,則。=.

(Inx,x>0,

%2+1XV0

0或e解析：因為函數"丫)=('-'若人。)=1,

Jnx,%>0,

則當々W0時，，+i=],所以a=o；當。>0時，ln?=l,所以a=e.綜上，a=

0或e.

B組新高考培優(yōu)練

1,x>0,

{0,x=0,貝")

-1,%<0,

A.|x|=x|sgnx\

B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnx

D.\x\=xsgnx

D解析：當xVO時，|.r|=—x,x|sgnx|=x,xsgn\x\=x,|.r|sgnx=(—x)?(—I)

=x,故選D.

10.(多選題)下列函數中，滿足J(18x)=l跋x)的是()

A.J(x)=\x\

B.flx)=x-\x\

C./U)=JV+2

D.J(x)=-2x

ABD解析：若,/U)=|x|,則418x)=|18X=18W=l騏r);若凡。=.1一國，則川8x)

=18x-118x|=18(x-|x|)=18Ax);若危)=x+2,則川8x)=18x+2,而18/(x)=

18x4-18X2,故,")=x+2不滿足川8處=1跋幻；若/幻=一2片則貫184)=一

2X18A=18X(2A)=18AA).

11.設yw，g(x)都是定義在實數集上的函數,定義函數(/■?g)。)：(/,,g)(x)

...x,x>0?ex,x<0,

=Ag(x)).若1/U)={?g(x)=,則nl()

x<0,Unx,x>0,

A.A?力(，=於)

B.(pg)(x)=/U)

C?(g?./)(x)=g(x)

D.(g?g)(x)=g(x)

A解析：對于A選項，(/?0(幻=用(幻)=['Fl〉"當x>0時，>/W=

fW<0,

x>0,(f-/(x)=7W=x;當x<0時，{￥)={>0,(f?力。)=/(工)=『：當x=0時,

火幻=(),(f*/)