浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月期末調(diào)研測(cè)試試卷含答案

/湖州市2023學(xué)年第二學(xué)期期末調(diào)研測(cè)試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本科目考試分試題卷和答題卷，考生須在答題紙上作答.2.本試卷分為第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共6頁，全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)向量，如果與共線且方向相同，則的值為（）A. B. C.0 D.【答案】B【解析】【分析】先由兩向量共線列方程求出的值，再由兩向量方向相同確定的值》【詳解】因?yàn)?，且與共線，所以，得，因與方向相同，所以.故選：B2.若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.0 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)再求模即可.【詳解】,所以,所以.故選：D.3.在中，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，且，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，故充分性成立；反之，在上單調(diào)遞減，，若，則，故必要性成立，所以在中，“”是“”的充要條件，故選：C.4.的展開式中常數(shù)項(xiàng)的值為，記展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，系數(shù)和為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用展開式的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)，并求值，再由二項(xiàng)式系數(shù)和是，而各項(xiàng)系數(shù)和是用賦值變量得到，從而解得結(jié)果.【詳解】由的展開式中常數(shù)項(xiàng)是第四項(xiàng)即：，解得，所以的展開式系數(shù)和為，即，而的展開式二項(xiàng)式系數(shù)和為，即，所以，故選：A.5.若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為（）A. B.0 C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)滿足的關(guān)系即可化簡(jiǎn)求解.【詳解】的定義域?yàn)椋?，由于為偶函?shù)，故，即，故，解得故選：A6.已知隨機(jī)變量滿足，且，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】因?yàn)椋膳袛郃；因?yàn)榭汕蟪?，由方差和?biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì)，可判斷B、C、D.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，滿足，且，所以對(duì)于A，，所以A不正確；對(duì)于B，，，，所以B不正確；對(duì)于C，，，，所以C不正確；根據(jù),由,則，，故選：D.7.商家為了解某品牌電風(fēng)扇的月銷售量（臺(tái)）與月平均氣溫之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月該品牌電風(fēng)扇的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表；平均氣溫27293133月銷售量（臺(tái)）24334055由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的，據(jù)此估計(jì)平均氣溫為的那個(gè)月，該品牌電風(fēng)扇的銷售量約為（）臺(tái).A.63 B.61 C.59 D.57【答案】A【解析】【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得的值，將代入回歸方程，求得的值，得出回歸直線方程，代入時(shí)，即可求解.【詳解】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，又由點(diǎn)在回歸方程上，其中，所以，解得，即，當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)平均氣溫為的那個(gè)月，該品牌電風(fēng)扇的銷售量約為件.故選：A.8.若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則的最大值為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，然后構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性得到，即可得到的最大值.【詳解】由題意得，所以，，將代入中得，所以，，令，則，令得，令得，所以在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，所以，即的最大值為.故選：C.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.已知兩個(gè)變量線性相關(guān)，若它們的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)越接近于1B.正態(tài)曲線當(dāng)一定時(shí)，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；越大，正態(tài)曲線越“矮胖”C.在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，決定系數(shù)的值越大，說明擬合的效果越好D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越大，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大【答案】BC【解析】【分析】直接利用獨(dú)立性檢驗(yàn)和變量間的關(guān)系、回歸直線的相關(guān)系數(shù)、正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，兩個(gè)變量線性相關(guān)，若它們的相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，正態(tài)曲線中，當(dāng)一定時(shí)，越小，總體分布越集中，則正態(tài)曲線越“瘦高”；越大，總體分布越分散，則正態(tài)曲線越“矮胖”，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí)，殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)的值越大，說明擬合的效果越好，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量的值越大，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小，故D錯(cuò)誤.故選：BC10.如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則（）A.B.C.當(dāng)面積為時(shí)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)D.點(diǎn)的坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】結(jié)合已知即可判斷A與B選項(xiàng)，再利用任意角的三角函數(shù)和三角形的面積公式，積化和差公式，即可判斷.【詳解】由已知，得，則，依題意為的中點(diǎn)，則，故A正確；由題意，得，，則，，所以，故B正確；由題意可得，，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)，則，其中，因故，故D正確；由，則，，設(shè)，則，將兩式平方相加得，即，即點(diǎn)在園上運(yùn)動(dòng)，故C錯(cuò)誤.故選：ABD11.有個(gè)編號(hào)分別為的盒子，1號(hào)盒子中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球，其余盒子中均有2個(gè)白球和2個(gè)黑球.現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子；再從2號(hào)盒子任取一球放入3號(hào)盒子；；以此類推，記“從號(hào)盒子取出的球是白球”為事件，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式求解判斷，對(duì)于B，根據(jù)條件概率公式求解判斷，對(duì)于C，根據(jù)和事件的概率公式求解判斷，對(duì)于D，由題意可得，，然后求出比較即可.【詳解】對(duì)于A，，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，所以，所以B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，所以，所以C正確，對(duì)于D，由題意可得，，，所以，所以數(shù)列是以為公比，為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以，所以，所以，則，所以D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，利用全概率公式得到，從而利用構(gòu)造法求得，由此得解.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.邊長(zhǎng)為2的正方形中，分別為的中點(diǎn)，則__________.【答案】4【解析】【分析】利用線性運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.【詳解】，，所以.故答案為：4.13.2024年3月14日是第十九屆世界腎臟日.某社區(qū)服務(wù)站將從5位志愿者中選3人到兩個(gè)不同的社區(qū)宣傳這屆腎臟日的主題：“全民腎臟健康”，其中1人去社區(qū)，2人去B社區(qū)，則不同的分配方案有__________種（用數(shù)字作答）.【答案】30【解析】【分析】直接利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.【詳解】由題意，去社區(qū)的有5種分法，去社區(qū)的有種，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的分配方案為種.故答案：14.已知對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】令，，則轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，而，然后轉(zhuǎn)化為，求出的范圍，再檢驗(yàn)即可.【詳解】令，，則，由題意可知對(duì)任意恒成立，且，可得，得，若，令，則，所以在上遞增，所以，即對(duì)任意恒成立，則在上遞增，可得綜上，當(dāng)符合題意，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為，然后檢驗(yàn)即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.（1）求；（2）若邊的中線，且面積為，求的值.【答案】（1）（2）3【解析】【分析】（1）由正弦定理邊角互化，后用三角恒等變換計(jì)算即可；（2）運(yùn)用中線長(zhǎng)的向量表達(dá)式，兩邊平方，后將向量轉(zhuǎn)化為三角形的邊角，得到，再用余弦定理得到，最后用面積公式得到，求出、和，進(jìn)而求出即可.【小問1詳解】，由正弦定理得，即，即，又，所以，即，，.【小問2詳解】依題意，得，兩邊平方得，而，代入得，得到(?)；又因?yàn)椋?，化?jiǎn)得到(??)；(?)與(??)聯(lián)立得到，，又，即，所以，則，.16.2024年3月28日，小米集團(tuán)在北京舉行主題為“向前”的小米汽車上市發(fā)布會(huì)，正式發(fā)布小米SU7.在發(fā)布會(huì)上，小米集團(tuán)創(chuàng)始人?董事長(zhǎng)兼CEO雷軍表示：“這是小米SU7第一次正式亮相，這個(gè)時(shí)代的夢(mèng)想之車必須要有最先進(jìn)的智能科技和最出色的駕駛質(zhì)感”.小米汽車首款產(chǎn)品的推出引起了購車者的熱議，為了了解購車者對(duì)該款汽車的購買意愿與年齡是否具有相關(guān)性，在某購車市場(chǎng)隨機(jī)抽取了100名中青年購車意向者進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)定義小于45周歲的為青年，大于等于45周歲小于60周歲的為中年，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：年齡段購車意愿愿意購買SU7不愿購買SU7青年451560中年152540合計(jì)6040100（1）請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析購車意向者對(duì)小米SU7的購買意愿與年齡段是否有關(guān)；（2）在以上隨機(jī)抽取不愿購買的調(diào)查者中，按年齡比例分層抽樣抽取8名，然后在被抽取的8名中再隨機(jī)抽取5名進(jìn)行面對(duì)面訪談.設(shè)面對(duì)面訪談中的青年人數(shù)為隨機(jī)變量，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.（參考公式：，其中.）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）認(rèn)為意向者對(duì)該款汽車的購買意愿與年齡段有關(guān)（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】【分析】（1）利用參考公式計(jì)算后判斷即可.（2）利用比例分層抽樣青年3名，中年5名，列出分布列，計(jì)算期望值即可.【小問1詳解】零假設(shè)為：意向者對(duì)該款汽車的購買意愿與年齡段無關(guān).根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為意向者對(duì)該款汽車的購買意愿與年齡段有關(guān).【小問2詳解】按性別比例分層抽樣抽取8名調(diào)查者中，有青年3名，中年5名，若在被抽取的8名中再隨機(jī)抽取5名，則故隨機(jī)變量的分布列0123故隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為.17.如圖，在四棱錐中，平面平面，底面為正方形，且為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)，.（1）證明：；（2）求實(shí)數(shù)的值，使得平面與平面所成銳二面角的平面角的正弦值最小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，由面面垂直得到平面，即可得證；（2）首先證明平面，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)榍覟榫€段的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，平面，則，又，，面，所以平面，因?yàn)槠矫妫瑒t平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖分別以所在的直線為軸，不妨設(shè)，則，，，，，，設(shè)，，，則，解得，設(shè)平面的法向量為，，則，所以，取，則，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為，則，所以，令，則，所以，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，則.18.在信道內(nèi)傳輸0，1信號(hào)，信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.由于技術(shù)原因，每次傳輸信號(hào)的準(zhǔn)確率為，即發(fā)送1時(shí)，收到1的概率為0.9，收到0的概率為0.1；發(fā)送0時(shí)，收到0的概率為0.9，收到1的概率為0.1,現(xiàn)進(jìn)行多節(jié)點(diǎn)信號(hào)傳輸，由信號(hào)源發(fā)送信號(hào)至節(jié)點(diǎn)1，節(jié)點(diǎn)1把收到的信號(hào)重新發(fā)送至節(jié)點(diǎn)2，節(jié)點(diǎn)2再把收到的信號(hào)重新發(fā)送至節(jié)點(diǎn)3，以此類推，最終發(fā)送至節(jié)點(diǎn).（1）若信號(hào)源發(fā)出信號(hào)1，求節(jié)點(diǎn)2收到信號(hào)1的概率；（2）為確保信號(hào)傳輸?shù)挠行裕蠊?jié)點(diǎn)收到信號(hào)的準(zhǔn)確率不低于，求的最大值.參考數(shù)據(jù)：.【答案】（1）0.82（2）7【解析】分析】（1）記“節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1”，“節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)”，得到，結(jié)合，即可求解；（2）根據(jù)題意，節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1的概率，則，求得，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】解：記“節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1”，“節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)”，則，且.，所以節(jié)點(diǎn)2收到信號(hào)1的概率為.【小問2詳解】解：不妨計(jì)算信號(hào)源發(fā)出信號(hào)1，求節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1的概率：記，則，則，即，構(gòu)造得，又，所以，即節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1的概率為.由，得，兩邊取以10為底的對(duì)數(shù)，，所以，即的最大值為7.19.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若且恒成立，求的最大值；（3）在（2）的條件下，且取得最大值時(shí)，設(shè)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.【答案】（1）答案見解析（2）.（3），證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）得，即可求的最大值；（3）由（2）得，故