2024-2025學年河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高一下學期階段性測試（三）（3月）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期階段性測試（三）（3月）數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列各式能化簡為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對A：，故A錯誤；對B：，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：C.2.在中，，，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意可得，解得.故選：B.3.下列各組向量中，能作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】能作為基底的向量不可以是共線向量，對A：，，，故//，不可作基底，故A錯誤；對B：，，，故//，不可作基底，故B錯誤；對C：，，，故，不共線，可以作基底，故C正確；對D：，，，故//，不可作基底，故D錯誤.故選：C.4.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得：，故，又，，故.故選：D.5.如圖為地動儀的模型圖，地動儀共有東、南、西、北、東南、西南、東北、西北八個方位，每個方位上均有一個含龍珠的龍頭，且每個龍頭下方均有一只蟾蜍與其對應，任何一方如有地震發(fā)生，該方向龍口所含龍珠即落入蟾蜍口中，由此便可測出地震的方向．在相距的，兩地各放置一個地動儀，在的南偏西方向，若地地動儀正東方位的龍珠落下，地地動儀東南方位的龍珠落下，則震中的位置距離地（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖：由題意：中，，，.由正弦定理可得：.故選：B.6.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由射影定理得，而，則，解得，而，因此，由余弦定理，得，則，，所以.故選：A.7.如圖，在中，，，，在邊上（不與端點重合），延長到，使得，若（為常數(shù)），則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè).因為三點共線，所以.又，所以.設(shè)，因為，，，所以或（舍去）.所以.所以.所以.故選：A.8.已知點是所在平面內(nèi)的一點，且，，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，，所以，所以.當時，取得最小值.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.單位向量都是相等向量B.若，則或C.若平面向量，，則，可能垂直D.對任意向量，，恒成立【答案】ABC【解析】對于A，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，故A錯誤；對于B，若，則，或，或，故B錯誤；對于C，若平面向量，令，即，顯然不可能，故C錯誤；對于D，對任意向量恒成立，故D正確.故選：ABC.10.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列條件能判定是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】在研究下列問題：因為，所以，即，所以，化簡得，所以是直角三角形，故A正確；因為，由正弦定理可得，即，所以或，所以為等腰三角形或者直角三角形，故B錯誤；因為，所以，即，所以，故C正確；因為，由正弦定理可得，所以，或，不能確定的形狀，故D錯誤.故選：AC.11.在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則（）A. B.的取值范圍為C.的最大值為2 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A：，即，，所以，故，又為銳角三角形，，故，A正確；對B：由A可知，，故，由正弦定理，可得，故可得，又，故，則；由為銳角三角形可得：，解得，故，則，則，故B錯誤；對C：由余弦定理可得，等式兩邊同除可得：，所以，解得，當且僅當，即時取得等號，故C正確；對D：，故，故；由B可知，又，故，，，也即的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖為某折扇展開后的平面示意圖，已知，，，則_____．【答案】【解析】由題意可知，與的夾角為，則.13.在平面直角坐標系中，點，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則在上的投影向量的坐標是_____．【答案】【解析】由題意，過作，垂足為，作圖如下：由題意可知，，為在上的投影向量，則，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，代入，解得，則可設(shè)，則，解得，所以.14.已知在中，，且，則的面積的最大值為_____．【答案】【解析】如圖：設(shè)邊的中點分別為，連接.由即；由.所以當時，四邊形的面積最大，為.此時的面積也最大.因為，且，所以.所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知平面向量，，，且，．（1）若//，且，求的坐標；（2）若向量與的夾角是銳角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，，，，即；又，，解得或或．（2）由題可知，，，與的夾角是銳角，，解得，又與不共線，，即，實數(shù)的取值范圍是．16.已知中，，，分別為角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，是的中點，且，求的面積．解：（1）在中，由余弦定理得，因，所以．因為，所以．（2）因為是的中點，所以，即，故．又，，所以．因為，所以，可得，則，．所以的面積為．17.在中，是邊上靠近三等分點，是的中點．（1）以為基底表示，；（2）設(shè)與相交于點，若，求實數(shù)與值．解：（1）由題可知，，所以，．（2）由題可得，共線，，共線，如圖：設(shè)，由（1）知，，則，又，由，共線，得，使得，即，又，不共線，所以，解得，所以，，又，所以．18.已知在中，三個內(nèi)角滿足，且為銳角．（1）求；（2）在內(nèi)作射線交于，使得，若，，求．解：（1）因為，，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以．（2）根據(jù)題意設(shè)的中點為，連接，如圖，則．因為，所以，所以，，在中，，由正弦定理得，即，化簡得，由題知，即，所以，則，解得，此時不存在，舍去，或，解得，滿足題意．綜上．19.在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，其中，設(shè)向量，.（1）若，（i）求；（ii）設(shè)點為所在平面內(nèi)一點，且滿足，求．（2）若，求內(nèi)切圓面積的最大值．解：（1）（i）因為，所以，解得，又因為，所以．（ii）由，得，解得，，即，可知為的外心．由正弦定理得，所以．（2）由及正弦定理得，即，即，化簡得，因為、、，所以，，則，所以，．設(shè)內(nèi)切圓半徑為，如圖，設(shè)的內(nèi)切圓分別切邊、、于點、、，由切線長定理可得，，，由圓的切線的性質(zhì)可知，，且，，故四邊形為正方形，所以，，所以，，則又，當且僅當時，即當時等號成立，所以，的內(nèi)切圓面積，即的內(nèi)切圓面積的最大值是．河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2024-2025學年高一下學期階段性測試（三）（3月）數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.下列各式能化簡為的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對A：，故A錯誤；對B：，故B錯誤；對C：，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：C.2.在中，，，，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由題意可得，解得.故選：B.3.下列各組向量中，能作為基底的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】能作為基底的向量不可以是共線向量，對A：，，，故//，不可作基底，故A錯誤；對B：，，，故//，不可作基底，故B錯誤；對C：，，，故，不共線，可以作基底，故C正確；對D：，，，故//，不可作基底，故D錯誤.故選：C.4.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題可得：，故，又，，故.故選：D.5.如圖為地動儀的模型圖，地動儀共有東、南、西、北、東南、西南、東北、西北八個方位，每個方位上均有一個含龍珠的龍頭，且每個龍頭下方均有一只蟾蜍與其對應，任何一方如有地震發(fā)生，該方向龍口所含龍珠即落入蟾蜍口中，由此便可測出地震的方向．在相距的，兩地各放置一個地動儀，在的南偏西方向，若地地動儀正東方位的龍珠落下，地地動儀東南方位的龍珠落下，則震中的位置距離地（）A. B.C. D.【答案】B【解析】如圖：由題意：中，，，.由正弦定理可得：.故選：B.6.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在中，由射影定理得，而，則，解得，而，因此，由余弦定理，得，則，，所以.故選：A.7.如圖，在中，，，，在邊上（不與端點重合），延長到，使得，若（為常數(shù)），則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】設(shè).因為三點共線，所以.又，所以.設(shè)，因為，，，所以或（舍去）.所以.所以.所以.故選：A.8.已知點是所在平面內(nèi)的一點，且，，，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以原點，所在直線為軸，建立平面直角坐標系，如圖所示，則，，設(shè)，則，，，所以，所以.當時，取得最小值.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法錯誤的是（）A.單位向量都是相等向量B.若，則或C.若平面向量，，則，可能垂直D.對任意向量，，恒成立【答案】ABC【解析】對于A，單位向量的模長相等，但方向不一定相同，故A錯誤；對于B，若，則，或，或，故B錯誤；對于C，若平面向量，令，即，顯然不可能，故C錯誤；對于D，對任意向量恒成立，故D正確.故選：ABC.10.設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列條件能判定是直角三角形的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】在研究下列問題：因為，所以，即，所以，化簡得，所以是直角三角形，故A正確；因為，由正弦定理可得，即，所以或，所以為等腰三角形或者直角三角形，故B錯誤；因為，所以，即，所以，故C正確；因為，由正弦定理可得，所以，或，不能確定的形狀，故D錯誤.故選：AC.11.在銳角中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，且，則（）A. B.的取值范圍為C.的最大值為2 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】對A：，即，，所以，故，又為銳角三角形，，故，A正確；對B：由A可知，，故，由正弦定理，可得，故可得，又，故，則；由為銳角三角形可得：，解得，故，則，則，故B錯誤；對C：由余弦定理可得，等式兩邊同除可得：，所以，解得，當且僅當，即時取得等號，故C正確；對D：，故，故；由B可知，又，故，，，也即的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖為某折扇展開后的平面示意圖，已知，，，則_____．【答案】【解析】由題意可知，與的夾角為，則.13.在平面直角坐標系中，點，將繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到向量，則在上的投影向量的坐標是_____．【答案】【解析】由題意，過作，垂足為，作圖如下：由題意可知，，為在上的投影向量，則，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，代入，解得，則可設(shè)，則，解得，所以.14.已知在中，，且，則的面積的最大值為_____．【答案】【解析】如圖：設(shè)邊的中點分別為，連接.由即；由.所以當時，四邊形的面積最大，為.此時的面積也最大.因為，且，所以.所以.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知平面向量，，，且，．（1）若//，且，求的坐標；（2）若向量與的夾角是銳角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)，，，，即；又，，解得或或．（2）由題可知，，，與的夾角是銳角，，解得，又與不共線，，即，實數(shù)的取值范圍是．16.已知中，，，分別為角，，的對邊，且．（1）求；（2）若，是的中點，且，求的面積．解：（1）在中，由余弦定理得，因，所以．因為，所以．（2）因為是的中點，所以，即，故．又，，所以．因為，所以，可得，則，．所以的面積為．17.在中，是邊上靠近三等分點，是的中點．（1）以為基底表示，；（2）設(shè)與相交于點，若，求實數(shù)與值．解：（1）由題可知，，所以，．（2）由題可得，共線，，共線，如圖：設(shè)，由（1）知，，則，又，由，共線，得，使得，即，又，不共線，所以，解得，所以，，又，所以．18.已知在中，三個內(nèi)角滿足，且為銳角．（1）求；（2）在內(nèi)作射線交于，使得，若，，求．解：（1）因為，，所以，所以，所以，所以，所以，又，所以．（2）根據(jù)題意設(shè)的中點為，連接，如圖，則．因為，所以，所以，，在中，，由正弦定理得，即，化簡得，由題知，即，所以，則，解得，此時不存在，舍去，或，解得，滿足題