2024-2025學(xué)年廣西壯族自治區(qū)玉林市博白縣三校聯(lián)考高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)玉林市博白縣三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，，兩向量共線，故A錯誤；對于B，，兩向量共線，故B錯誤；對于C，，兩向量共線，故C錯誤；對于D，設(shè)，即，方程組無解，即兩向量不共線，故D正確.故選：D.2.下列說法正確的是（）A.若兩個非零向量共線，則必在同一直線上B.若與共線，與共線，則與也共線C.若則D.若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是或【答案】D【解析】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此D正確；若非零向量是共線向量，則未必在同一直線上，A錯；若，則與共線，與共線，但是與未必共線，B錯；由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C錯.故選：D.3.在中，點D是邊的中點，點G在上，且是的重心，則用向量、表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在中，點D是邊的中點，點G在上，且是的重心，所以，.故選：B.4.若向量與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為向量與的夾角為鈍角，所以且，即且，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（）A.矩形 B.梯形 C.平行四邊形 D.菱形【答案】B【解析】由，得，所以，可得且.所以四邊形一定是梯形．故選：B.6.平面上三個力，，作用于一點且處于平衡狀態(tài)，，與的夾角為45°，則的大小為（）A. B.5N C. D.【答案】C【解析】由題意得，，所以.故選：C．7.正三角形中是線段上的點，，則（）A. B.6 C. D.12【答案】C【解析】由題意，.故選：C.8.在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】建立如圖直角坐標系，則，得，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.若向量，則（）A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【答案】BC【解析】由題，所以，故A錯；又，故B正確；，所以在上的投影向量為：，故C正確；因為，又，所以，故D錯誤.故選：BC.10.對于，有如下判斷，其中錯誤的是（）A.若，則B.若，則是等腰三角形C.若，則符合條件的有兩個D.若，則是銳角三角形【答案】BD【解析】選項A，在中由大邊對大角可知若，則，又由正弦定理可得，故A說法正確；選項B，若，則由正弦定理邊化角可得，即，所以或，整理得或，所以是等腰三角形或直角三角形，B說法錯誤；選項C，因為，所以由正弦定理可得，所以角有兩個值，此時符合條件的有兩個，C說法正確；選項D，若，則由正弦定理角化邊可得，所以，即角是鈍角，所以是鈍角三角形，D說法錯誤.故選：BD11.已知點O為所在平面內(nèi)一點，且則下列選項正確的有（）A. B.直線過邊的中點C. D.若，則【答案】ACD【解析】，則，A正確；若，則，所以是△的重心，直線過中點，而與不平行，所以直線不過邊的中點，B錯誤；又，而，，所以，C正確；若，且，所以，而，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，是單位向量，與的夾角為，則________.【答案】【解析】因為，所以.13.已知平面上兩點的坐標分別是為直線上一點，且，則點的坐標為__________.【答案】【解析】設(shè)，由，即，可得，即，解得，即.14.在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則xy的取值范圍是_________．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過作，垂足為，∵，∴有，∴，設(shè)，因此有，∵，∴有，而，∴，當時，有最大值，當有最小值0，∴的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量．（1）當且時，求；（2）當，求向量與的夾角．解：（1）因為向量則，，又因為，則，可得，解得或，且，則，則，，所以.（2）由，則，由，可得，解得，即，可得，，，則，且，所以向量與的夾角.16.在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.（1）求；（2）若，且，則的面積為，求、.解：（1）因為，由正弦定理得：，所以，可得：，因為，所以，所以，因為，所以.（2）因為，且，則的面積為，所以，又由余弦定理可得：，所以，由，解得：，或，因為，所以.17.在直角坐標系中，已知向量，，（其中），為坐標平面內(nèi)一點.（1）若，，三點共線，求的值；（2）若向量與的夾角為，求的值；（3）若四邊形為矩形，求點坐標.解：（1）向量，，，所以，，由，，三點共線知，，即，解得.（2），解得.（3）設(shè)，由，，，，若四邊形為矩形，則，即，解得；由，得，解得，故.18.某自然保護區(qū)為研究動物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個相距的觀測站A和B，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，．（注：點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）（1）求面積；（2）求點之間的距離．解：（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以，，所以的面積為．（2）由，，得，且，．在中由余弦定理，得，所以．即點C，D之間的距離為．19.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，.（1）求B及a，c；（2）若線段MN長為3，其端點分別落在邊AB和AC上，求△AMN內(nèi)切圓半徑的最大值.解：（1）由，得，又，，解得，或，由余弦定理，得，當時，，又，所以，，當時，，矛盾，所以.（2）設(shè)△內(nèi)切圓的圓心為，半徑為，由（1）知：△ABC為等邊三角形，則，從而（其中指的周長），，，，則，，又，當且僅當?shù)忍柍闪?，，，當且僅當時等號成立，.即內(nèi)切圓半徑的最大值為.廣西壯族自治區(qū)玉林市博白縣三校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在下列各組向量中，可以作為基底的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，，兩向量共線，故A錯誤；對于B，，兩向量共線，故B錯誤；對于C，，兩向量共線，故C錯誤；對于D，設(shè)，即，方程組無解，即兩向量不共線，故D正確.故選：D.2.下列說法正確的是（）A.若兩個非零向量共線，則必在同一直線上B.若與共線，與共線，則與也共線C.若則D.若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是或【答案】D【解析】方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，因此D正確；若非零向量是共線向量，則未必在同一直線上，A錯；若，則與共線，與共線，但是與未必共線，B錯；由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C錯.故選：D.3.在中，點D是邊的中點，點G在上，且是的重心，則用向量、表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在中，點D是邊的中點，點G在上，且是的重心，所以，.故選：B.4.若向量與的夾角為鈍角，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因為向量與的夾角為鈍角，所以且，即且，即實數(shù)的取值范圍是.故選：C.5.在四邊形中，對角線與交于點，若，則四邊形一定是（）A.矩形 B.梯形 C.平行四邊形 D.菱形【答案】B【解析】由，得，所以，可得且.所以四邊形一定是梯形．故選：B.6.平面上三個力，，作用于一點且處于平衡狀態(tài)，，與的夾角為45°，則的大小為（）A. B.5N C. D.【答案】C【解析】由題意得，，所以.故選：C．7.正三角形中是線段上的點，，則（）A. B.6 C. D.12【答案】C【解析】由題意，.故選：C.8.在中，，，，，，CN與BM交于點P，則的值為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】建立如圖直角坐標系，則，得，所以.故選：D.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.若向量，則（）A. B.C.在上的投影向量為 D.與的夾角為【答案】BC【解析】由題，所以，故A錯；又，故B正確；，所以在上的投影向量為：，故C正確；因為，又，所以，故D錯誤.故選：BC.10.對于，有如下判斷，其中錯誤的是（）A.若，則B.若，則是等腰三角形C.若，則符合條件的有兩個D.若，則是銳角三角形【答案】BD【解析】選項A，在中由大邊對大角可知若，則，又由正弦定理可得，故A說法正確；選項B，若，則由正弦定理邊化角可得，即，所以或，整理得或，所以是等腰三角形或直角三角形，B說法錯誤；選項C，因為，所以由正弦定理可得，所以角有兩個值，此時符合條件的有兩個，C說法正確；選項D，若，則由正弦定理角化邊可得，所以，即角是鈍角，所以是鈍角三角形，D說法錯誤.故選：BD11.已知點O為所在平面內(nèi)一點，且則下列選項正確的有（）A. B.直線過邊的中點C. D.若，則【答案】ACD【解析】，則，A正確；若，則，所以是△的重心，直線過中點，而與不平行，所以直線不過邊的中點，B錯誤；又，而，，所以，C正確；若，且，所以，而，D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，是單位向量，與的夾角為，則________.【答案】【解析】因為，所以.13.已知平面上兩點的坐標分別是為直線上一點，且，則點的坐標為__________.【答案】【解析】設(shè)，由，即，可得，即，解得，即.14.在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則xy的取值范圍是_________．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過作，垂足為，∵，∴有，∴，設(shè)，因此有，∵，∴有，而，∴，當時，有最大值，當有最小值0，∴的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知向量．（1）當且時，求；（2）當，求向量與的夾角．解：（1）因為向量則，，又因為，則，可得，解得或，且，則，則，，所以.（2）由，則，由，可得，解得，即，可得，，，則，且，所以向量與的夾角.16.在中，內(nèi)角、、的對邊分別為、、，且.（1）求；（2）若，且，則的面積為，求、.解：（1）因為，由正弦定理得：，所以，可得：，因為，所以，所以，因為，所以.（2）因為，且，則的面積為，所以，又由余弦定理可得：，所以，由，解得：，或，因為，所以.17.在直角坐標系中，已知向量，，（其中），為坐標平面內(nèi)一點.（1）若，，三點共線，求的值；（2）若向量與的夾角為，求的值；（3）若四邊形為矩形，求點坐標.解：（1）向量，，，所以，，由，，三點共線知，，即，解得.（2），解得.（3）設(shè)，由，，，，若四邊形為矩形，則，即，解得；由，得，解得，故.18.某自然保護區(qū)為研究動物種群的生活習(xí)性，設(shè)立了兩個相距的觀測站A和B，觀測人員分別在A，B處觀測該動物種群．如圖，某一時刻，該動物種群出現(xiàn)在點C處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，，經(jīng)過一段時間后，該動物種群出現(xiàn)在點D處，觀測人員從兩個觀測站分別測得，．（注：點A，B，C，D在同一平面內(nèi)）（1）求面積；（2）求點之間的距離．解：（1）在中，，，所以．由正弦定理：，得，所以，，所以的