2023-2024學(xué)年陜西省安康市高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1陜西省安康市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效；4.測試范圍：必修一、必修二占，選擇性必修一、必修二和必修三的第七章第八章占；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故選：B．2.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（）A.36種 B.72種 C.144種 D.720種【答案】C【解析】甲、乙、丙三人在一起，有種不同的排法，把甲、乙、丙看成一個整體，與其余的3個人混排，共有種不同的排法，故共有種，故選：C.3.在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，則，故選：C.4.焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，，又c2=a解得，故橢圓方程為.故選：D5.曲線（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）在點處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可知，，則，∴，又，∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.故選：B.6.對A，B兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.故選：B．7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將平方得，所以，則．所以，從而．聯(lián)立，得．所以，．故．故選：D8.記數(shù)列的前n項積為，且，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意由可得，所以，兩式相除可得，整理可得，即，所以，，，累加可得，由可得；所以；結(jié)合可得，所以；易知符合上式，所以可得；即數(shù)列bn為等差數(shù)列，前項和為，因此數(shù)列bn的前20項和為.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A.該展開式中共有6項 B.各項系數(shù)之和為1C.常數(shù)項為 D.只有第4項的二項式系數(shù)最大【答案】BD【解析】因為二項式系數(shù)之和為64，即有，所以，則該展開式中共有7項，A錯誤；令，得該展開式的各項系數(shù)之和為1，B正確；通項，令，得，，C錯誤；二項式系數(shù)最大的是，它是第4項的二項式系數(shù)，D正確．故選：BD.10.設(shè)圓C：，直線l：，則下列結(jié)論正確的為（）A.C的半徑為2 B.l恒過定點C.l可能與C相切 D.當(dāng)時，l被C截得的弦長最短【答案】ABD【解析】對A，，所以的半徑為2，故A正確；對B，當(dāng)時，，故直線恒過定點，故B正確；對C，將代入圓方程有，故定點在圓內(nèi)，故直線與圓一定相交；對D，圓心，設(shè)直線恒過定點，則當(dāng)直線與直線相互垂直時，被截得的弦長最短，故，即，則，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為底面內(nèi)的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.過點，，的平面截正方體所得的截面周長為B.存在點，使得平面C.若平面，則動點軌跡長度為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為11π【答案】ACD【解析】A選項，如圖，取的中點，連接，因為為的中點，所以，，所以過點，，的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長為，故A選項正確；B選項，假設(shè)存在點，使得平面，則，得只能在線段上，再由，得只能在線段上，即與重合，不符合題意，故B選項錯誤；C選項，如圖，取的中點M，的中點，連接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以動點的軌跡為線段，其長度為，故C選項正確；D選項，由A，C選項可得，平面平面，所以當(dāng)在點時，到平面的距離最大，此時為等邊三角形，因為平面，所以三棱錐的外接球球心一定在直線上，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由得，，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故D選項正確．故選：ACD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，則______.【答案】【解析】因為隨機(jī)變量，所以，故答案為：13.已知雙曲線的實軸長為4，其右焦點到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】因為實軸長，所以，右焦點F(c,0)，雙曲線的漸近線為y=±ba由對稱性，不妨取漸近線為，即，點F(c,0)到漸近線的距離，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．14.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】，由題意知在上有兩個不相等的實根，將其變形為，設(shè)，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，的極大值為.畫出函數(shù)的大致圖象如圖，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1），，則．又，所以．（2），，因為，則，故的面積．16.2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑.為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機(jī)對100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分）,這100名游客的評分分別落在區(qū)間,，，，內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表）；（2）為了進(jìn)一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機(jī)變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：01231所以17.已知拋物線C：y2=2pxp>0的焦點與雙曲線E：的右焦點重合，雙曲線E的漸近線方程為（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）斜率為1且縱截距為-2的直線l與拋物線C交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，求的面積解：（1）因為雙曲線E的漸近線方程為.所以，解得，從而，即，所以右焦點為2,0，從而，解得，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程依次分別為，.（2）由題意直線，它過拋物線的焦點2,0，聯(lián)立拋物線方程得，化簡并整理得，顯然，，所以，點到直線的距離為，所以，即的面積為.18.如圖,在四棱錐中,底面為矩形，面，點是的中點．（1）證明：；（2）設(shè)的中點為，點在棱上（異于點），且，求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）因為，點為中點，則因為面，面，所以面面，又底面為矩形，則，因為面面，面，所以面，所以，因為，面，所以面，又面，所以；（2）由已知得AB,AD,AP兩兩垂直，設(shè)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得又，設(shè)，即，所以，又，所以，解得或（舍去），所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的余弦值為.19.已知函數(shù).（1）求的極值；（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）求導(dǎo)得所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有極小值，無極大值.（2）由題知不等式在上恒成立，則原問題等價于不等式在上恒成立，記，則記則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以存在，使得hx0即當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由得，即，所以，.陜西省安康市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上；2.回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.寫在本試卷上無效；3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效；4.測試范圍：必修一、必修二占，選擇性必修一、必修二和必修三的第七章第八章占；5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第Ⅰ卷一、單選題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，，故選：B．2.6名同學(xué)排成一排，其中甲、乙、丙三人必須在一起的不同排法共有（）A.36種 B.72種 C.144種 D.720種【答案】C【解析】甲、乙、丙三人在一起，有種不同的排法，把甲、乙、丙看成一個整體，與其余的3個人混排，共有種不同的排法，故共有種，故選：C.3.在一次闖關(guān)游戲中，小明闖過第一關(guān)概率為，連續(xù)闖過前兩關(guān)的概率為.事件表示小明第一關(guān)闖關(guān)成功，事件表示小明第二關(guān)闖關(guān)成功，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依題意，則，故選：C.4.焦點在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，，又c2=a解得，故橢圓方程為.故選：D5.曲線（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）在點處的切線方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題可知，，則，∴，又，∴函數(shù)的圖象在點處的切線方程為.故選：B.6.對A，B兩地國企員工上班遲到情況進(jìn)行統(tǒng)計，可知兩地國企員工的上班遲到時間均符合正態(tài)分布，其中A地員工的上班遲到時間為X（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，B地員工的上班遲到時間為Y（單位：min），，對應(yīng)的曲線為，則下列圖象正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，故曲線的對稱軸在曲線的左側(cè)，排除C、D；由，故曲線比曲線瘦高，曲線比曲線矮胖，排除A.故選：B．7.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】將平方得，所以，則．所以，從而．聯(lián)立，得．所以，．故．故選：D8.記數(shù)列的前n項積為，且，若數(shù)列滿足，則數(shù)列的前20項和為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意由可得，所以，兩式相除可得，整理可得，即，所以，，，累加可得，由可得；所以；結(jié)合可得，所以；易知符合上式，所以可得；即數(shù)列bn為等差數(shù)列，前項和為，因此數(shù)列bn的前20項和為.故選：C二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則下列結(jié)論正確的是（）A.該展開式中共有6項 B.各項系數(shù)之和為1C.常數(shù)項為 D.只有第4項的二項式系數(shù)最大【答案】BD【解析】因為二項式系數(shù)之和為64，即有，所以，則該展開式中共有7項，A錯誤；令，得該展開式的各項系數(shù)之和為1，B正確；通項，令，得，，C錯誤；二項式系數(shù)最大的是，它是第4項的二項式系數(shù)，D正確．故選：BD.10.設(shè)圓C：，直線l：，則下列結(jié)論正確的為（）A.C的半徑為2 B.l恒過定點C.l可能與C相切 D.當(dāng)時，l被C截得的弦長最短【答案】ABD【解析】對A，，所以的半徑為2，故A正確；對B，當(dāng)時，，故直線恒過定點，故B正確；對C，將代入圓方程有，故定點在圓內(nèi)，故直線與圓一定相交；對D，圓心，設(shè)直線恒過定點，則當(dāng)直線與直線相互垂直時，被截得的弦長最短，故，即，則，故D正確.故選：ABD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為棱的中點，為底面內(nèi)的一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）A.過點，，的平面截正方體所得的截面周長為B.存在點，使得平面C.若平面，則動點軌跡長度為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時，三棱錐外接球的表面積為11π【答案】ACD【解析】A選項，如圖，取的中點，連接，因為為的中點，所以，，所以過點，，的平面截正方體所得的截面為梯形，其周長為，故A選項正確；B選項，假設(shè)存在點，使得平面，則，得只能在線段上，再由，得只能在線段上，即與重合，不符合題意，故B選項錯誤；C選項，如圖，取的中點M，的中點，連接，，，可得，，又平面，平面，平面，平面，所以平面，平面，又，所以平面平面，所以動點的軌跡為線段，其長度為，故C選項正確；D選項，由A，C選項可得，平面平面，所以當(dāng)在點時，到平面的距離最大，此時為等邊三角形，因為平面，所以三棱錐的外接球球心一定在直線上，以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，由得，，解得，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故D選項正確．故選：ACD．第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，則______.【答案】【解析】因為隨機(jī)變量，所以，故答案為：13.已知雙曲線的實軸長為4，其右焦點到它的一條漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】【解析】因為實軸長，所以，右焦點F(c,0)，雙曲線的漸近線為y=±ba由對稱性，不妨取漸近線為，即，點F(c,0)到漸近線的距離，所以，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故答案為：．14.已知函數(shù)在區(qū)間上有兩個極值，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】，由題意知在上有兩個不相等的實根，將其變形為，設(shè)，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，的極大值為.畫出函數(shù)的大致圖象如圖，易知當(dāng)時，；當(dāng)時，，，即.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1），，則．又，所以．（2），，因為，則，故的面積．16.2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開業(yè)了，首期共有70個攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開業(yè)，推動潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑.為了解游客對潮州美食的滿意度，隨機(jī)對100名游客進(jìn)行問卷調(diào)查（滿分100分）,這100名游客的評分分別落在區(qū)間,，，，內(nèi)，統(tǒng)計結(jié)果如頻率分布直方圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點值為代表）；（2）為了進(jìn)一步了解游客對潮州美食的評價，采用分層抽樣的方法從滿意度評分位于分組，，的游客中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意可知，和的頻率