數(shù)學(xué)分析高等數(shù)學(xué)練習(xí)題集

綜合試卷第=PAGE1*2-11頁(yè)（共=NUMPAGES1*22頁(yè)） 綜合試卷第=PAGE1*22頁(yè)（共=NUMPAGES1*22頁(yè)）PAGE①姓名所在地區(qū)姓名所在地區(qū)身份證號(hào)密封線1.請(qǐng)首先在試卷的標(biāo)封處填寫您的姓名，身份證號(hào)和所在地區(qū)名稱。2.請(qǐng)仔細(xì)閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫您的答案。3.不要在試卷上亂涂亂畫，不要在標(biāo)封區(qū)內(nèi)填寫無(wú)關(guān)內(nèi)容。一、函數(shù)極限1.函數(shù)連續(xù)性證明

題目：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)=f(b)，證明f(x)在區(qū)間(a,b)上至多有k個(gè)不同的零點(diǎn)，其中k為自然數(shù)。

解題思路：根據(jù)介值定理，如果連續(xù)函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取不同符號(hào)，則在該區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。應(yīng)用此定理，可以通過(guò)逐步縮小區(qū)間的方法，證明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)某個(gè)給定的自然數(shù)k。

2.無(wú)窮小比較

題目：比較以下無(wú)窮小的階：$\frac{\sinx}{x}$和$\frac{x}{\ln(x1)}$，其中$x\to0$。

解題思路：使用極限的比較定理或無(wú)窮小階數(shù)的定義，通過(guò)求兩個(gè)無(wú)窮小比值的極限來(lái)判斷其階數(shù)。

3.極限存在性證明

題目：證明函數(shù)$f(x)=x^33x2$在區(qū)間$(\infty,\infty)$上極限存在。

解題思路：根據(jù)極限的定義，需要證明對(duì)于任意的正數(shù)ε，存在一個(gè)δ，使得當(dāng)xcδ時(shí)，f(x)Lε，其中c為任意實(shí)數(shù)，L為極限的值。

4.無(wú)窮大與無(wú)窮小

題目：判斷以下命題的正確性：$\lim_{x\to0}\frac{1}{\sinx}=\infty$。

解題思路：通過(guò)分析函數(shù)的行為，確定當(dāng)$x$趨近于0時(shí)，函數(shù)值是否趨于無(wú)窮大。

5.極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則

題目：利用極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則計(jì)算極限：$\lim_{x\to2}\frac{x^24}{x2}$。

解題思路：識(shí)別直接代入后會(huì)導(dǎo)致分母為零的情況，然后應(yīng)用極限的基本性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)。

6.兩個(gè)重要極限

題目：證明重要極限：$\lim_{x\to0}(1x)^{\frac{1}{x}}=e$。

解題思路：使用泰勒展開或洛必達(dá)法則來(lái)證明。

7.無(wú)窮小量的運(yùn)算

題目：計(jì)算以下無(wú)窮小量的乘積和商：$\frac{\sinx\cdot\cosx}{\tanx}$和$\frac{\arctanx}{x}$，其中$x\to0$。

解題思路：使用無(wú)窮小的性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小的替換方法來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。

8.無(wú)窮小量的比較

題目：比較以下無(wú)窮小的階：$\frac{1}{x}$和$\frac{\lnx}{x^2}$，其中$x\to\infty$。

解題思路：通過(guò)分析無(wú)窮小量的極限比值，確定兩個(gè)無(wú)窮小量的相對(duì)階數(shù)。

答案及解題思路：

答案：

1.零點(diǎn)至多有k個(gè)。

2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，$\lim_{x\to0}\frac{x}{\ln(x1)}=1$，因此這兩個(gè)無(wú)窮小是等價(jià)的。

3.函數(shù)在區(qū)間$(\infty,\infty)$上極限存在，因?yàn)?f(x)$是多項(xiàng)式函數(shù)，其極限為常數(shù)。

4.錯(cuò)誤，$\lim_{x\to0}\frac{1}{\sinx}$不等于無(wú)窮大，而是等于1。

5.極限為6，因?yàn)榉肿雍头帜竿瑫r(shí)除以x，極限變?yōu)?\lim_{x\to2}\frac{x2}{1}=4$。

6.利用泰勒展開或者洛必達(dá)法則可以得到$\lim_{x\to0}(1x)^{\frac{1}{x}}=e$。

7.乘積為$\sinx\cosx$，商為$\cos^2x$；乘積為1，商為$\frac{1}{x^2}$。

8.$\lim_{x\to\infty}\frac{\lnx}{x^2}=0$，所以$\frac{1}{x}$是更高階的無(wú)窮小。二、導(dǎo)數(shù)與微分1.導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)

1.1已知函數(shù)\(f(x)=x^23x2\)，求\(f'(1)\)。

1.2若函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x=a\)處可導(dǎo)，且\(f'(a)=0\)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處的圖形表現(xiàn)為什么特征？

2.基本導(dǎo)數(shù)公式

2.1已知\((e^x)'\)和\((\lnx)'\)，求\((\sinx)'\)。

2.2設(shè)\(f(x)=x^32x\)，求\(f'(x)\)。

3.高階導(dǎo)數(shù)

3.1設(shè)\(f(x)=x^46x^29\)，求\(f^{(3)}(x)\)。

3.2若\(f'(x)=3x^22\)，求\(f^{(2)}(x)\)。

4.隱函數(shù)求導(dǎo)

4.1若\(x^2yy^3=1\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

4.2設(shè)\(y=\sqrt{x^21}\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

5.參數(shù)方程求導(dǎo)

5.1設(shè)\(x=\sint\)和\(y=\cost\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

5.2設(shè)\(x=e^t\)和\(y=t^21\)，求\(\frac{dy}{dx}\)。

6.分部積分求導(dǎo)

6.1設(shè)\(u=e^x\)和\(dv=e^xdx\)，求\(\intudv\)。

6.2若\(\intx^2e^xdx\)，使用分部積分法求解。

7.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

7.1若\(f(x)=2x^33x^26x1\)，求\(f(x)\)在\(x=1\)處的切線方程。

7.2設(shè)\(y=x^33x^29x1\)，求\(y\)的極值。

8.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

8.1若\(f(x)=x^2\)，求\(f(x)\)在\(x=2\)處的切線斜率。

8.2設(shè)\(y=2x1\)，求\(y\)在\(x=3\)處的切線方程。

答案及解題思路：

1.解答：

\(f'(x)=2x3\)，所以\(f'(1)=2\times13=1\)。

解題思路：首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后代入給定的點(diǎn)計(jì)算導(dǎo)數(shù)值。

2.解答：

\((\sinx)'=\cosx\)，所以\((\sinx)'=\cosx\)。

解題思路：利用基本導(dǎo)數(shù)公式，將\(\sinx\)代入求導(dǎo)公式計(jì)算。

3.解答：

\(f^{(3)}(x)=12x^224x\)。

解題思路：使用高階導(dǎo)數(shù)公式，逐次對(duì)\(f(x)\)求導(dǎo)。

4.解答：

\(\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{x^2yy^3}\)。

解題思路：應(yīng)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則，將\(y\)看作\(x\)的函數(shù)，對(duì)原方程進(jìn)行求導(dǎo)。

5.解答：

\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x^21}}\)。

解題思路：使用參數(shù)方程求導(dǎo)法則，分別對(duì)\(x\)和\(y\)進(jìn)行求導(dǎo)，然后根據(jù)求導(dǎo)公式計(jì)算。

6.解答：

\(\intudv=e^x\)。

解題思路：使用分部積分法，根據(jù)分部積分公式\(\intudv=uv\intvdu\)計(jì)算。

7.解答：

切線方程為\(y=1\)。

解題思路：使用導(dǎo)數(shù)的定義，求出切線的斜率，再使用點(diǎn)斜式方程得到切線方程。

8.解答：

切線斜率為4。

解題思路：使用導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算函數(shù)在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值，即為切線的斜率。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）已知函數(shù)f(x)=x^33x2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。

（2）證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)>0（或f'(x)0），則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。

2.函數(shù)的極值

（1）求函數(shù)f(x)=x^48x^318x^2在區(qū)間[2,4]上的極值。

（2）證明：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且f'(x0)=0，則x0為f(x)的極值點(diǎn)。

3.函數(shù)的凹凸性

（1）已知函數(shù)f(x)=x^33x2，求函數(shù)f(x)的凹凸區(qū)間。

（2）證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上二階可導(dǎo)，且f''(x)>0（或f''(x)0），則f(x)在區(qū)間[a,b]上凹（或凸）。

4.函數(shù)的拐點(diǎn)

（1）求函數(shù)f(x)=x^48x^318x^2的拐點(diǎn)。

（2）證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上三階可導(dǎo)，且f''(x0)=0，則x0為f(x)的拐點(diǎn)。

5.最值問(wèn)題

（1）求函數(shù)f(x)=x^33x2在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值。

（2）證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)=0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上存在最大值和最小值。

6.最小二乘法

（1）已知函數(shù)f(x)=x^21，求直線y=axb與曲線f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的最小距離。

（2）證明：最小二乘法可以用來(lái)求解線性回歸問(wèn)題。

7.曲率與曲率半徑

（1）求函數(shù)f(x)=x^3的曲率和曲率半徑。

（2）證明：曲率半徑是曲線的曲率的倒數(shù)。

8.弧長(zhǎng)公式

（1）求函數(shù)f(x)=x^2在區(qū)間[0,1]上的弧長(zhǎng)。

（2）證明：弧長(zhǎng)公式可以用來(lái)計(jì)算曲線的長(zhǎng)度。

答案及解題思路：

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)遞增區(qū)間：(∞,1)，(1,∞)；單調(diào)遞減區(qū)間：(1,1)。

（2）證明：略。

2.函數(shù)的極值

（1）極小值：f(2)=2，極大值：f(4)=10。

（2）證明：略。

3.函數(shù)的凹凸性

（1）凹區(qū)間：(∞,1)，(1,∞)；凸區(qū)間：(1,1)。

（2）證明：略。

4.函數(shù)的拐點(diǎn)

（1）拐點(diǎn)：(1,0)。

（2）證明：略。

5.最值問(wèn)題

（1）最大值：f(4)=10，最小值：f(2)=2。

（2）證明：略。

6.最小二乘法

（1）最小距離：d=a1/√(1a^2)。

（2）證明：略。

7.曲率與曲率半徑

（1）曲率：K=6/x^2，曲率半徑：R=1/K=x^2/6。

（2）證明：略。

8.弧長(zhǎng)公式

（1）弧長(zhǎng)：∫_0^1√(1(2x)^2)dx=√5/2。

（2）證明：略。四、不定積分1.基本積分公式

題目1：求不定積分$\int(2x3)\,dx$。

題目2：求不定積分$\inte^x\,dx$。

2.積分技巧

題目1：求不定積分$\int(3x^24x5)\,dx$。

題目2：求不定積分$\int(x^32x1)\,dx$。

3.分部積分

題目1：使用分部積分法求不定積分$\intxe^x\,dx$。

題目2：使用分部積分法求不定積分$\intx^2e^{x}\,dx$。

4.換元積分法

題目1：換元積分法求不定積分$\int\frac{2x}{x^21}\,dx$。

題目2：換元積分法求不定積分$\int\frac{1}{\sqrt{4x^2}}\,dx$。

5.分式積分法

題目1：求不定積分$\int\frac{1}{x^24}\,dx$。

題目2：求不定積分$\int\frac{1}{(x1)(x2)}\,dx$。

6.三角函數(shù)積分

題目1：求不定積分$\int\cos(x)\,dx$。

題目2：求不定積分$\int\sin(x^2)\,dx$。

7.雙曲函數(shù)積分

題目1：求不定積分$\int\sinh(x)\,dx$。

題目2：求不定積分$\int\cosh(x)\,dx$。

8.指數(shù)函數(shù)積分

題目1：求不定積分$\inte^{2x}\,dx$。

題目2：求不定積分$\int\frac{1}{e^x1}\,dx$。

答案及解題思路：

1.基本積分公式

答案1：$\int(2x3)\,dx=x^23xC$。

答案2：$\inte^x\,dx=e^xC$。

解題思路：使用基本積分公式直接積分。

2.積分技巧

答案1：$\int(3x^24x5)\,dx=x^32x^25xC$。

答案2：$\int(x^32x1)\,dx=\frac{x^4}{4}x^2xC$。

解題思路：使用多項(xiàng)式積分技巧，逐項(xiàng)積分。

3.分部積分

答案1：$\intxe^x\,dx=e^x(x1)C$。

答案2：$\intx^2e^{x}\,dx=x^2e^{x}2xe^{x}2e^{x}C$。

解題思路：應(yīng)用分部積分公式$u\,dv=uv\intv\,du$，選擇合適的$u$和$dv$。

4.換元積分法

答案1：$\int\frac{2x}{x^21}\,dx=\lnx^21C$。

答案2：$\int\frac{1}{\sqrt{4x^2}}\,dx=\arcsin\left(\frac{x}{2}\right)C$。

解題思路：使用換元積分法，選擇適當(dāng)?shù)奶鎿Q變量。

5.分式積分法

答案1：$\int\frac{1}{x^24}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left\frac{x2}{x2}\rightC$。

答案2：$\int\frac{1}{(x1)(x2)}\,dx=\frac{1}{3}\lnx1\frac{1}{3}\lnx2C$。

解題思路：使用分式積分法，分解分式，逐項(xiàng)積分。

6.三角函數(shù)積分

答案1：$\int\cos(x)\,dx=\sin(x)C$。

答案2：$\int\sin(x^2)\,dx=\frac{1}{2}\cos(x^2)C$。

解題思路：直接使用三角函數(shù)的積分公式。

7.雙曲函數(shù)積分

答案1：$\int\sinh(x)\,dx=\cosh(x)C$。

答案2：$\int\cosh(x)\,dx=\sinh(x)C$。

解題思路：使用雙曲函數(shù)的積分公式。

8.指數(shù)函數(shù)積分

答案1：$\inte^{2x}\,dx=\frac{1}{2}e^{2x}C$。

答案2：$\int\frac{1}{e^x1}\,dx=\lne^x1C$。

解題思路：使用指數(shù)函數(shù)的積分公式。五、定積分1.定積分的定義與性質(zhì)

(1)計(jì)算下列定積分：

a)$\int_0^1x^2dx$

b)$\int_1^3(2x1)dx$

(2)證明定積分的性質(zhì)：

a)$\int_a^bf(x)dx=\int_a^bf(abx)dx$

b)$\int_a^bf(x)dx=\int_b^af(x)dx$

2.牛頓萊布尼茨公式

(1)已知$f(x)=x^23x2$，求$\int_0^2f(x)dx$。

(2)已知$f(x)=e^x$，求$\int_1^3f(x)dx$。

3.定積分的換元法

(1)計(jì)算下列定積分：

a)$\int_0^{\pi}\sin^2xdx$

b)$\int_1^2(x^22x)dx$

(2)證明換元法的基本公式$\int_a^bf(x)dx=\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(\varphi(x))\varphi'(x)dx$。

4.定積分的分部積分法

(1)計(jì)算下列定積分：

a)$\intx^3e^xdx$

b)$\int\lnx\sinxdx$

(2)證明分部積分法的基本公式$\intu\,dv=uv\intv\,du$。

5.定積分的應(yīng)用

(1)已知$f(x)=e^x$，求$\int_0^1e^x\,dx$在物理上的意義。

(2)求由直線$y=2x1$和曲線$y=x^2$所圍成的平面圖形的面積。

6.定積分的幾何意義

(1)證明定積分的幾何意義為平面圖形的面積。

(2)已知$f(x)=x^2$，求$\int_0^1x^2dx$在幾何上的意義。

7.定積分的極限形式

(1)計(jì)算下列定積分的極限形式：

a)$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}\sin\left(\frac{i\pi}{n}\right)$

b)$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\frac{1}{n}e^{\frac{i\pi}{n}}$

(2)證明定積分的極限形式。

8.定積分的近似計(jì)算

(1)計(jì)算下列定積分的近似值：

a)$\int_0^2(x^23x2)dx$

b)$\int_0^{\pi}\cosxdx$

(2)證明定積分的近似計(jì)算公式。

答案及解題思路：

1.(1)a)$\frac{1}{3}$;b)$10$

(2)a)對(duì)稱性，將$x$替換為$abx$；b)移項(xiàng)得到$\int_b^af(x)dx$

2.(1)$\frac{7}{3}$;(2)$\frac{e^3e}{2}$

3.(1)a)$\frac{\pi}{2}$;b)$\frac{7}{2}$

(2)令$x=\varphi(y)$，則$dx=\varphi'(y)dy$，代入原式得$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(\varphi(y))\varphi'(y)dy$

4.(1)a)$x^2e^x2e^x2xC$;b)$\frac{1}{2}\cosx\frac{1}{2}\sinxC$

(2)令$u=x^2$，$dv=e^xdx$，則$du=2xdx$，$v=e^x$，代入原式得$uv\intv\,du$

5.(1)在物理上，$\int_0^1e^x\,dx$表示從$x=0$到$x=1$的微小時(shí)間間隔內(nèi)，物體在$e^x$的速度下所移動(dòng)的距離。

(2)所求面積為$\frac{1}{2}\times(20)\times(21)=1$

6.(1)證明略。

(2)在幾何上，$\int_0^1x^2dx$表示由曲線$y=x^2$和$x$軸所圍成的平面圖形的面積。

7.(1)a)$\frac{\pi}{2}$;b)$\frac{e^{\pi}1}{\pi}$

(2)證明略。

8.(1)a)$2.5$;b)$\frac{\pi}{2}$

(2)證明略。六、級(jí)數(shù)1.級(jí)數(shù)的收斂性

（1）判斷以下級(jí)數(shù)是否收斂：

a.∑(n=1to∞)1/n^2

b.∑(n=1to∞)(1)^n/n

（2）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，證明級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2也收斂。

2.比較判別法

（1）利用比較判別法判斷以下級(jí)數(shù)是否收斂：

a.∑(n=1to∞)1/(nln(n))

b.∑(n=1to∞)1/n^2

（2）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，證明級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂，其中b_n=a_n(11/n)。

3.比例判別法

（1）利用比例判別法判斷以下級(jí)數(shù)是否收斂：

a.∑(n=1to∞)1/(n^21)

b.∑(n=1to∞)1/(e^n1)

（2）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，證明級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂，其中b_n=a_n/(11/n)。

4.根值判別法

（1）利用根值判別法判斷以下級(jí)數(shù)是否收斂：

a.∑(n=1to∞)1/√n

b.∑(n=1to∞)1/n!

（2）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，證明級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂，其中b_n=a_n/(1√n)。

5.積分判別法

（1）利用積分判別法判斷以下級(jí)數(shù)是否收斂：

a.∑(n=1to∞)sin(n)

b.∑(n=1to∞)e^(n)

（2）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，證明級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂，其中b_n=a_n/(1e^(n))。

6.級(jí)數(shù)的求和

（1）求級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1)^n1/(2n1)的和。

（2）求級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)1/n^3的和。

7.級(jí)數(shù)的求和公式

（1）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n的通項(xiàng)公式為a_n=1/(n^21)，求級(jí)數(shù)的和。

（2）已知級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n的通項(xiàng)公式為a_n=e^(n)，求級(jí)數(shù)的和。

8.級(jí)數(shù)的應(yīng)用

（1）求級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1)^n1/(n^21)的和，并解釋其在實(shí)際應(yīng)用中的意義。

（2）求級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)1/n^3的和，并解釋其在實(shí)際應(yīng)用中的意義。

答案及解題思路：

1.級(jí)數(shù)的收斂性

（1）a.收斂；b.收斂。

（2）由級(jí)數(shù)收斂的必要條件可知，若級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，則lim(n→∞)a_n=0。對(duì)于級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2，有l(wèi)im(n→∞)a_n^2=lim(n→∞)(lim(n→∞)a_n)^2=0^2=0，因此級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n^2也收斂。

2.比較判別法

（1）a.收斂；b.收斂。

（2）由于級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，且b_n=a_n(11/n)，則lim(n→∞)b_n=lim(n→∞)a_nlim(n→∞)(11/n)=01=0。因此級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂。

3.比例判別法

（1）a.收斂；b.收斂。

（2）由于級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，且b_n=a_n/(11/n)，則lim(n→∞)b_n=lim(n→∞)a_n/lim(n→∞)(11/n)=0/1=0。因此級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂。

4.根值判別法

（1）a.收斂；b.收斂。

（2）由于級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，且b_n=a_n/(1√n)，則lim(n→∞)b_n=lim(n→∞)a_n/lim(n→∞)(1√n)=0/1=0。因此級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂。

5.積分判別法

（1）a.收斂；b.收斂。

（2）由于級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n收斂，且b_n=a_n/(1e^(n))，則lim(n→∞)b_n=lim(n→∞)a_n/lim(n→∞)(1e^(n))=0/1=0。因此級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)b_n也收斂。

6.級(jí)數(shù)的求和

（1）利用級(jí)數(shù)求和公式，得到級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1)^n1/(2n1)的和為π/4。

（2）利用級(jí)數(shù)求和公式，得到級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)1/n^3的和為π^2/6。

7.級(jí)數(shù)的求和公式

（1）利用級(jí)數(shù)求和公式，得到級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n的和為π/2。

（2）利用級(jí)數(shù)求和公式，得到級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)a_n的和為e。

8.級(jí)數(shù)的應(yīng)用

（1）級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)(1)^n1/(2n1)的和為π/4，在物理學(xué)中可以用于計(jì)算某些物理量的積分。

（2）級(jí)數(shù)∑(n=1to∞)1/n^3的和為π^2/6，在數(shù)學(xué)分析中可以用于證明某些不等式。七、多元函數(shù)微分學(xué)1.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

題目1：設(shè)函數(shù)f(x,y)=x^2y^2，求f(x,y)在點(diǎn)(1,1)處的偏導(dǎo)數(shù)。

答案：f_x'(1,1)=2,f_y'(1,1)=2

解題思路：根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義，將y視為常數(shù)，對(duì)x求導(dǎo)，得到f_x'(x,y)=2x；將x視為常數(shù)，對(duì)y求導(dǎo)，得到f_y'(x,y)=2y。代入點(diǎn)(1,1)得f_x'(1,1)=2,f_y'(1,1)=2。

題目2：已知函數(shù)g(x,y)=e^xy，求g(x,y)在點(diǎn)(0,1)處的偏導(dǎo)數(shù)。

答案：g_x'(0,1)=0,g_