遼寧省2023-2024學年高二數(shù)學下學期5月期中聯(lián)考試題含答案

/考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.12 B.10 C.8 D.62.相關變量x，y的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關系數(shù)為．則（）A. B.C. D.3.下列求導運算中錯誤的是（

）A. B.C D.4.下列說法正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位數(shù)為17B.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05C.“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的充分不必要條件D.若隨機變量，滿足，則5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A60 B.61 C.75 D.766.若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.1 B. C. D.7.下列說法錯誤的是（）A.若隨機變量，則B.若隨機變量服從兩點分布，且，則C.若隨機變量的分布列為，則D.若隨機變量，則的分布列中最大的只有8.意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣的一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A. B.是偶數(shù)C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，，則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D.若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，10.一工廠將兩盒產(chǎn)品送檢，甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品．先從甲盒中隨機取出一個產(chǎn)品放入乙盒，分別以，和表示由甲盒取出的產(chǎn)品是一等品，二等品和三等品的事件；再從乙盒中隨機取出一產(chǎn)品，以表示由乙盒取出的產(chǎn)品是一等品的事件．則下列結論中正確的是（）A.； B.；C.事件與事件相互獨立； D.，，是兩兩互斥事件．11.設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大項 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列中，，，則______.13.設函數(shù)是的導函數(shù).某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則___________.14.已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束，則恰好檢測四次停止的概率為_____（用數(shù)字作答）．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為等差數(shù)列的前n項和，已知．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和．16.已知函數(shù)（，）的圖象過點，且．（1）求，的值；（2）求曲線過點的切線方程．17.某企業(yè)響應國家“強芯固基”號召，為匯聚科研力量，準備科學合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬元）對年收入的附加額y（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進行研究，得到相關數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入附加額7．30（1）求y關于x的線性回歸方程；（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱對應的年份為“優(yōu)”，從上面的7個年份中任意取3個，記X表示這三個年份為“優(yōu)”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．18.某調查機構為了解市民對該市5G網(wǎng)絡服務質量的滿意程度，從使用了5G手機的市民中隨機選取了200人進行了問卷調查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計結果如圖所示：（1）由直方圖可認為A市市民對5G網(wǎng)絡滿意度得分z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差s，并已求得．若A市恰有2萬名5G手機用戶，試估計這些5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）；（2）該調查機構為參與本次調查的5G手機用戶舉行了抽獎活動，每人最多有10輪抽獎活動，每一輪抽獎相互獨立，中獎率均為．每一輪抽獎，若中獎，獎金為100元話費且繼續(xù)參加下一輪抽獎；若未中獎，則抽獎活動結束，現(xiàn)小王參與了此次抽獎活動．①求小王獲得900元話費的概率；②求小王所獲話費總額X數(shù)學期望（結果精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量z服從正態(tài)分布，即，則，．19.設數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足：對于任意的，都有成立.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）設數(shù)列，問：數(shù)列中是否存在三項，使得它們構成等差數(shù)列？若存在，求出這三項；若不存在，請說明理由.2023-2024學年度（下）七校協(xié)作體高二聯(lián)考數(shù)學試題考試時間：120分鐘滿分：150分一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.12 B.10 C.8 D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，可得，解得，所以.故選：B.2.相關變量x，y的散點圖如圖所示，現(xiàn)對這兩個變量進行線性相關分析．方案一：根據(jù)圖中所有數(shù)據(jù)，得到回歸直線方程，相關系數(shù)為；方案二：剔除點，根據(jù)剩下的數(shù)據(jù)得到回歸直線方程，相關系數(shù)為．則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相關系數(shù)的意義：其絕對值越接近1，說明兩個變量越具有線性相關，以及負相關的意義作判斷即可．【詳解】由散點圖可知這兩個變量為負相關，所以．因為剔除點后，剩下點的數(shù)據(jù)更具有線性相關性，更接近1，所以．故選：D．3.下列求導運算中錯誤的是（

）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)求導公式及導數(shù)的運算法則一一判斷即可得解.【詳解】A選項：，故A正確；B選項：，故B正確；C選項：，故C錯誤；D選項：，故D正確.故選：C4.下列說法正確的是（）A.一組數(shù)據(jù)7，8，8，9，11，13，15，17，20，22第80百分位數(shù)為17B.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05C.“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的充分不必要條件D.若隨機變量，滿足，則【答案】B【解析】【分析】A選項，根據(jù)百分位數(shù)的定義進行計算；B選項，，推出結論；C選項，由于事件A，B對立是事件A，B互斥的特殊情況，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件；D選項，，D錯誤.【詳解】A選項，，故從小到大選取第8個和第9個數(shù)的平均數(shù)作為第80百分位數(shù)，即，A錯誤；B選項，，故可判斷X與Y有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，B正確；C選項，事件A，B互斥不能推出事件A，B對立，但事件A，B對立，則一定有事件A，B互斥，故“事件A，B互斥”是“事件A，B對立”的必要不充分條件，C錯誤；D選項，若隨機變量，滿足，則，D錯誤.故選：B5.“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為（）A.60 B.61 C.75 D.76【答案】B【解析】【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項構成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再由基本不等式求得的最小值.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，∴，當且僅當，即時取等號，∴當時取最小值為．故選：B.6.若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出平行于的直線與曲線相切的切點坐標，再利用點到直線的距離公式可得結論．【詳解】設，函數(shù)的定義域為，求導得，當曲線在點處的切線平行于直線時，，則，而，解得，于是，平行于的直線與曲線相切的切點坐標為，所以點到直線的最小距離即點到直線的距離．故選：D7.下列說法錯誤的是（）A.若隨機變量，則B若隨機變量服從兩點分布，且，則C.若隨機變量的分布列為，則D.若隨機變量，則的分布列中最大的只有【答案】D【解析】【分析】A選項，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性得到，A正確；B選項，根據(jù)服從兩點分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C選項，根據(jù)概率之和為1列出方程，求出；D選項，根據(jù)解出答案.【詳解】A選項，，由正態(tài)分布的對稱性可知，A正確；B選項，若隨機變量服從兩點分布，且，即分布列為：01所以02故，則，B正確；C選項，分布列中概率之和為1，即，解得，C正確；D選項，隨機變量，令，即，解得，因為，所以或3，則的分布列中最大的有或，D錯誤.故選：D8.意大利人斐波那契于1202年從兔子繁殖問題中發(fā)現(xiàn)了這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，….即從第三項開始，每一項都是它前兩項的和.后人為了紀念他，就把這一列數(shù)稱為斐波那契數(shù)列.下面關于斐波那契數(shù)列說法正確的是（）A. B.是偶數(shù)C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，結合該遞推關系對選項逐項計算判斷即可得.【詳解】由已知得數(shù)列滿足遞推關系，，對選項A：，故A錯誤；對選項B：觀察數(shù)列可知，數(shù)列每三項都是奇、奇、偶重復循環(huán)，，不能被3整除，且為奇數(shù)，所以也為奇數(shù)，故B錯誤；對選項C：若選項C正確，又，則，同理，依次類推，可得，顯然錯誤，故C錯誤；對選項D：，所以，故D正確.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：斐波那契數(shù)列問題的解決關鍵是熟練掌握其遞推公式，，從而得解.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列的前n項和是，則下列說法正確的是（）A.若，則是等差數(shù)列B.若，，則是等比數(shù)列C.若是等差數(shù)列，則，，成等差數(shù)列D.若是等比數(shù)列，則，，成等比數(shù)列，【答案】BC【解析】【分析】由與的關系，即可得到數(shù)列的通項公式，即可判斷A，由等比數(shù)列的定義即可判斷B，由等差數(shù)列與等比數(shù)列前項和的性質即可判斷CD.【詳解】對于A，若，當時，，當時，，且不滿足上式，則，則不是等差數(shù)列，故錯誤；對于B，由條件變形可得，所以，且，所以數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，故正確；對于C，設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，同理，所以，所以成等差數(shù)列，故正確；對于D，設，則，，所以此數(shù)列不是等比數(shù)列，故錯誤；故選：BC10.一工廠將兩盒產(chǎn)品送檢，甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品．先從甲盒中隨機取出一個產(chǎn)品放入乙盒，分別以，和表示由甲盒取出的產(chǎn)品是一等品，二等品和三等品的事件；再從乙盒中隨機取出一產(chǎn)品，以表示由乙盒取出的產(chǎn)品是一等品的事件．則下列結論中正確的是（）A.； B.；C.事件與事件相互獨立； D.，，是兩兩互斥的事件．【答案】ABD【解析】【分析】有條件概率的定義可得B正確；利用全概率公式進行計算，可得A正確；有相互獨立事件的判定方法可得C錯誤；有互斥事件的定義易得D正確.【詳解】因為甲盒中有4個一等品，3個二等品和3個三等品，則,乙盒中有5個一等品，2個二等品和3個三等品,則,則，故A，B正確；因為,又，，則，則兩事件不相互獨立，故C錯誤；根據(jù)互斥事件的定義可知，，，是兩兩互斥的事件，故D正確，故選：ABD.11.設等比數(shù)列的公比為q，其前n項和為，前n項積為，且滿足條件，，，則下列選項正確的是（）A. B.C.是數(shù)列中的最大項 D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)給定條件，探討等比數(shù)列的性質，再逐個選項分析判斷即可.【詳解】由，或，而，，同號，則，，即數(shù)列前項大于，從第項開始小于1，對于A，，又，則，A正確；對于B，由，得，則，B正確；對于C，顯然是遞減正項數(shù)列，且，，因此是數(shù)列中的最大項，C錯誤；對于D，，D錯誤.故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知等比數(shù)列中，，，則______.【答案】【解析】【分析】由等比中項的性質和等比數(shù)列的性質計算即可.【詳解】由等比中項的性質可得，設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，故答案為：6.13.設函數(shù)是的導函數(shù).某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個三次函數(shù)的圖像都有對稱中心，其中滿足.已知三次函數(shù)，若，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求解可得對稱中心，再根據(jù)對稱中心的性質求解即可.【詳解】由題意，，，令解得，又，故的對稱中心為.故當時，.故答案為：14.已知件次品和件正品放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出件次品或者檢測出件正品時檢測結束，則恰好檢測四次停止的概率為_____（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【詳解】由題意可知，2次檢測結束的概率為，3次檢測結束的概率為，則恰好檢測四次停止的概率為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.記為等差數(shù)列的前n項和，已知．（1）求的通項公式；（2）記，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質列方程組即可求解；（2）求出，求出，求出，求出.【小問1詳解】設數(shù)列的公差為d，由，得，解得，∴；【小問2詳解】由（1）知，，∴，∴，∴．16.已知函數(shù)（，）的圖象過點，且．（1）求，的值；（2）求曲線過點的切線方程．【答案】（1），．（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得，由，可得，聯(lián)立即可得解；（2）由可設曲線上的切點為，利用導數(shù)的幾何意義可得切線斜率為，利用點斜式可得切線方程，帶入點，即可得解.【小問1詳解】因為函數(shù)的圖象過點，所以①．又，，所以②，由①②解得，．【小問2詳解】由（1）知，設所求切線在曲線上的切點為，則，所以切線方程為，又切線過點，所以，可得，，，解得，所以切點為，切線方程為．故曲線過點的切線方程為．17.某企業(yè)響應國家“強芯固基”號召，為匯聚科研力量，準備科學合理增加研發(fā)資金．為了解研發(fā)資金的投入額x（單位：千萬元）對年收入的附加額y（單位：千萬元）的影響，對2017年至2023年研發(fā)資金的投入額和年收入的附加額進行研究，得到相關數(shù)據(jù)如下：年份2017201820192020202120222023投入額103040608090110年收入的附加額7．30（1）求y關于x的線性回歸方程；（2）若年收入的附加額與投入額的比值大于，則稱對應的年份為“優(yōu)”，從上面的7個年份中任意取3個，記X表示這三個年份為“優(yōu)”的個數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望．參考數(shù)據(jù)：，，．附：回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)最小二乘法即可求解，（2）根據(jù)超級幾何概率公式求解概率，即可由期望公式求解.小問1詳解】依題意，，，，，所以y關于x的線性回歸方程為.【小問2詳解】由題意，7個年收入的附加額與投入額的比值大于0.1的有3個，所以X的可能取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列如下：X0123P所以X期望是.18.某調查機構為了解市民對該市5G網(wǎng)絡服務質量的滿意程度，從使用了5G手機的市民中隨機選取了200人進行了問卷調查，并將這200人根據(jù)其滿意度得分分成以下6組：，，，…，，統(tǒng)計結果如圖所示：（1）由直方圖可認為A市市民對5G網(wǎng)絡滿意度得分z（單位：分）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本的標準差s，并已求得．若A市恰有2萬名5G手機用戶，試估計這些5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點值為代表）；（2）該調查機構為參與本次調查的5G手機用戶舉行了抽獎活動，每人最多有10輪抽獎活動，每一輪抽獎相互獨立，中獎率均為．每一輪抽獎，若中獎，獎金為100元話費且繼續(xù)參加下一輪抽獎；若未中獎，則抽獎活動結束，現(xiàn)小王參與了此次抽獎活動．①求小王獲得900元話費的概率；②求小王所獲話費總額X的數(shù)學期望（結果精確到0.01）．參考數(shù)據(jù)：若隨機變量z服從正態(tài)分布，即，則，．【答案】（1）（人）（2）①；②（元）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的頻率分布直方圖，求出，再利用正態(tài)分布求出滿意度得分位于區(qū)間的概率即可計算作答.（2）①利用獨立事件的概率公式計算作答；②求出X的可能值及各個值對應的概率，再利用期望的定義求解作答.【小問1詳解】依題意，樣本平均數(shù)為，即，由，得，而，所以2萬名5G手機用戶中滿意度得分位于區(qū)間的人數(shù)約為（人）．【小問2詳解】①小王獲得900元話費表明