陜西省西安市高新第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題

陜西省西安市高新第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三試卷標(biāo)題：陜西省西安市高新第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題。一、選擇題（共10題，每題5分，共50分）要求：在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，若$f(1)=1$，$f(2)=4$，$f(3)=9$，則$f(0)=\;?$

A.$0$

B.$1$

C.$4$

D.$9$

例：$f(x)=x^2$，則$f(0)=0$。2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，則第10項(xiàng)$a_{10}=$\;?

A.$19$

B.$21$

C.$23$

D.$25$

例：首項(xiàng)$a_1=1$，公差$d=2$，第10項(xiàng)$a_{10}=1+2\times(10-1)=19$。3.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=2$，公比$q=\frac{1}{2}$，則第6項(xiàng)$a_6=$\;?

A.$1$

B.$\frac{1}{2}$

C.$\frac{1}{4}$

D.$\frac{1}{8}$

例：首項(xiàng)$a_1=2$，公比$q=\frac{1}{2}$，第6項(xiàng)$a_6=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}=\frac{1}{8}$。4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，則$f(2)$的值為$\;?$

A.$-2$

B.$1$

C.$2$

D.$5$

例：$f(2)=2^3-3\times2+2=4-6+2=0$。5.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f'(2)$的值為$\;?$

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

例：$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}$，代入$x=2$得$f'(2)=\frac{2\times2\times(2-1)-2^2}{(2-1)^2}=2$。6.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2+1$，則數(shù)列的前10項(xiàng)和$S_{10}=$\;?

A.$55$

B.$60$

C.$65$

D.$70$

例：$S_{10}=1^2+1+2^2+1+\cdots+10^2+1=55$。7.已知函數(shù)$f(x)=\sinx$，則$f'(0)$的值為$\;?$

A.$1$

B.$0$

C.$-1$

D.$\cos0$

例：$f(x)=\sinx$，則$f'(x)=\cosx$，代入$x=0$得$f'(0)=\cos0=1$。8.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f''(1)$的值為$\;?$

A.$1$

B.$0$

C.$-\frac{1}{x^2}$

D.$\frac{1}{x^2}$

例：$f(x)=\lnx$，則$f'(x)=\frac{1}{x}$，$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，代入$x=1$得$f''(1)=-1$。9.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n(n+1)}$，則數(shù)列的前n項(xiàng)和$S_n=$\;?

A.$\frac{n}{n+1}$

B.$\frac{n+1}{n}$

C.$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

D.$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

例：$S_n=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$。10.已知函數(shù)$f(x)=e^x$，則$f'(x)$的值為$\;?$

A.$e^x$

B.$e^{x+1}$

C.$e^x-1$

D.$e^x+1$

例：$f(x)=e^x$，則$f'(x)=e^x$。二、填空題（共10題，每題5分，共50分）要求：把答案填寫在題目的橫線上。11.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=2$，公差$d=3$，則第n項(xiàng)$a_n=$\;?12.若等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=4$，公比$q=2$，則第n項(xiàng)$a_n=$\;?13.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f'(x)$的值為\;?14.已知函數(shù)$f(x)=\sinx$，則$f'(x)$的值為\;?15.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=n^2+1$，則數(shù)列的前n項(xiàng)和$S_n=$\;?16.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，則$f''(x)$的值為\;?17.已知函數(shù)$f(x)=e^x$，則$f''(x)$的值為\;?18.若等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=3$，公差$d=2$，則數(shù)列的前n項(xiàng)和$S_n=$\;?19.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$，則$f''(x)$的值為\;?20.已知函數(shù)$f(x)=\sinx$，則$f''(x)$的值為\;?三、解答題（共4題，每題20分，共80分）21.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求函數(shù)的極值。22.已知函數(shù)$f(x)=\lnx$，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。23.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=2$，公差$d=3$，求第10項(xiàng)$a_{10}$和前10項(xiàng)和$S_{10}$。24.已知等比數(shù)列$\{a_n\}$的首項(xiàng)$a_1=4$，公比$q=2$，求第6項(xiàng)$a_6$和前6項(xiàng)和$S_6$。本次試卷答案如下：一、選擇題1.D.$9$

解析：根據(jù)已知條件，可列出方程組：

\[

\begin{cases}

a+b+c=1\\

4a+2b+c=4\\

9a+3b+c=9

\end{cases}

\]

解得$a=1,b=0,c=0$，所以$f(0)=1$。2.B.$21$

解析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知條件得$a_{10}=3+(10-1)\times2=21$。3.A.$1$

解析：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1q^{n-1}$，代入已知條件得$a_6=2\times\left(\frac{1}{2}\right)^{6-1}=1$。4.C.$2$

解析：直接代入函數(shù)解析式得$f(2)=2^3-3\times2+2=8-6+2=4$。5.C.$3$

解析：對函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}$，代入$x=2$得$f'(2)=\frac{2\times2\times(2-1)-2^2}{(2-1)^2}=3$。6.C.$65$

解析：根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入已知條件得$S_{10}=\frac{10(1+10^2+1)}{2}=65$。7.A.$1$

解析：對函數(shù)$f(x)=\sinx$求導(dǎo)得$f'(x)=\cosx$，代入$x=0$得$f'(0)=\cos0=1$。8.C.$-\frac{1}{x^2}$

解析：對函數(shù)$f(x)=\lnx$求二階導(dǎo)得$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$，代入$x=1$得$f''(1)=-\frac{1}{1^2}=-1$。9.A.$\frac{n}{n+1}$

解析：根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入已知條件得$S_n=\frac{n\left(1^2+1\right)}{2}=\frac{n}{n+1}$。10.A.$e^x$

解析：對函數(shù)$f(x)=e^x$求導(dǎo)得$f'(x)=e^x$，對$f'(x)$再次求導(dǎo)得$f''(x)=e^x$。二、填空題11.$3n-1$

解析：根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知條件得$a_n=2+(n-1)\times3=3n-1$。12.$2^{n+1}$

解析：根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1q^{n-1}$，代入已知條件得$a_n=4\times2^{n-1}=2^{n+1}$。13.$\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}$

解析：對函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}$。14.$\cosx$

解析：對函數(shù)$f(x)=\sinx$求導(dǎo)得$f'(x)=\cosx$。15.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

解析：根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。16.$-\frac{1}{x^2}$

解析：對函數(shù)$f(x)=\lnx$求二階導(dǎo)得$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。17.$e^x$

解析：對函數(shù)$f(x)=e^x$求二階導(dǎo)得$f''(x)=e^x$。18.$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

解析：根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$。19.$\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}$

解析：對函數(shù)$f(x)=\frac{x^2}{x-1}$求二階導(dǎo)得$f''(x)=\frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}$。20.$\cosx$

解析：對函數(shù)$f(x)=\sinx$求二階導(dǎo)得$f''(x)=-\sinx=\cosx$。三、解答題21.解析：

①對函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3$；

②令$f'(x)=0$，解得$x=-1$和$x=1$；

③當(dāng)$x<-1$或$x>1$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；

④當(dāng)$-1<x<1$時，$f'(x)<0$，函數(shù)單調(diào)遞減；

⑤所以$f(x)$在$x=-1$處取得極大值$f(-1)=0$，在$x=1$處取得極小值$f(1)=0$。22.解析：

①對函數(shù)$f(x)=\lnx$求導(dǎo)得$f'(x)=\frac{1}{x}$；

②當(dāng)$x>0$時，$f'(x)>0$，函數(shù)單調(diào)遞增；

③所以函數(shù)$f(x)=\lnx$的單調(diào)遞增區(qū)間為$(0,+\infty)$。23.解析：

①根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知條件得$a_{10}=2+(10-1)\t