專題03 平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）(典型題型歸類訓練)原卷版

專題03平面與平面所成角（二面角）（含探索性問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：求二面角 2題型二：已知二面角求參數(shù) 4題型三：求二面角最值（范圍） 7三、專項訓練 10一、必備秘籍1、二面角的平面角定義：從二面角棱上任取一點，在二面角的兩個半平面內(nèi)分別作棱的垂線、,則稱為二面角的平面角.2、二面角的范圍：3、向量法求二面角平面角（1）如圖①，，是二面角的兩個面內(nèi)與棱垂直的直線，則二面角的大?。?）如圖②③，，分別是二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的大小滿足：；（特別說明，有些題目會提醒求銳二面角；有些題目沒有明顯提示，需考生自己看圖判定為銳二面角還是鈍二面角.）二、典型題型題型一：求二面角1．（2024·河北滄州·一模）已知正四棱柱的底面邊長與側(cè)棱長之比為，則平面與平面夾角的余弦值為．2．（2024高三·全國·專題練習）已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱長均為a，D是側(cè)棱CC1的中點，則平面ABC與平面AB1D的夾角的余弦值為．3．（2024高三·全國·專題練習）在四棱錐中，底面是正方形，若，則二面角的平面角的余弦值為．4．（2024·湖北黃石·三模）如圖，在三棱錐中，，，分別是側(cè)棱，，的中點，，平面.(1)求證：平面平面；(2)如果，，求二面角的余弦值.5．（23-24高二下·湖北·期中）如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让?，，?(1)證明：；(2)若三棱錐的體積為，為銳角，求平面與平面的夾角.6．（2024·廣東深圳·二模）如圖，三棱柱中，側(cè)面底面ABC，且，．

(1)證明：平面ABC；(2)若，，求平面與平面夾角的余弦值．題型二：已知二面角求參數(shù)1．（2024·河南三門峽·模擬預測）如圖，在多面體中，四邊形為菱形，四邊形為矩形，且，是線段上的一個動點，且.(1)試探究當為何值時，∥平面，并給出證明；(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求的值.2．（2024·全國·模擬預測）在四棱錐中，底面為矩形，點為的中點，且．(1)求證：．(2)若，點為棱上一點，平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求的值．3．（2024·全國·模擬預測）如圖所示，內(nèi)接于圓，為圓的直徑，，，，且平面，為的中點．(1)求證：平面平面；(2)在線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的夾角的余弦值為，若存在，請指出點的位置；若不存在，請說明理由．4．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點，四棱錐的體積為.(1)若為棱的中點，求證：平面；(2)在棱上是否存在點，使得平面與平面所成夾角的余弦值為？若存在，求出線段的長度；若不存在，請說明理由.5．（23-24高二下·江蘇南京·期中）在三棱柱中，已知，，，，M是BC的中點．(1)求證：；(2)在棱上是否存在點P，使得二面角的正弦值為？若存在，求線段AP的長度；若不存在，請說明理由．6．（23-24高三下·河南信陽·階段練習）如圖，在三棱柱中，，，，平面.(1)求證：平面垂直平面；(2)若二面角的大小為，求與平面所成的角的正弦值.題型三：求二面角最值（范圍）1．（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，，分別是線段，的中點，在平面內(nèi)的射影為.若點為線段上的動點（不包括端點），銳二面角余弦值的取值范圍為.

2．（19-20高二·全國·課后作業(yè)）如圖所示，在正方體中，點是棱上的動點（點可以運動到端點和），設(shè)在運動過程中，平面與平面所成的最小角為，則．3．（19-20高二上·浙江紹興·期末）如圖，正三棱柱中，各棱長均等于，為線段上的動點，則平面與平面所成的銳二面角余弦值的最大值為.4．（2024·重慶·模擬預測）如圖，ACDE為菱形，，，平面平面ABC，點F在AB上，且，M，N分別在直線CD，AB上．(1)求證：平面ACDE；(2)把與兩條異面直線都垂直且相交的直線叫做這兩條異面直線的公垂線，若，MN為直線CD，AB的公垂線，求的值；(3)記直線BE與平面ABC所成角為，若，求平面BCD與平面CFD所成角余弦值的范圍．5．（23-24高二上·湖北·期末）如圖，四邊形為矩形，≌，且二面角為直二面角．(1)求證：平面平面；(2)設(shè)是的中點，，二面角的平面角的大小為，當時，求的取值范圍．6．（2023·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱中，，，垂直于平面．點，，分別為邊，，上的動點（不包括頂點），且滿足．(1)求三棱錐的體積的最大值；(2)記平面與平面所成的銳二面角為，當最小時，求的值，并說明點所處的位置．7．（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）如圖所示，四邊形為正方形，四邊形，為兩個全等的等腰梯形，，，，．

(1)當點為線段的中點時，求證：；(2)當點在線段上時（包含端點），求平面和平面的夾角的余弦值的取值范圍．三、專項訓練1．（2024高三·全國·專題練習）如圖，是三棱錐的高，，，E是的中點，若，，，則二面角的正弦值為．

2．（2024高三·全國·專題練習）如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．若點F滿足，則二面角的正弦值為．

3．（23-24高三下·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）已知是圓錐的底面直徑，是底面圓周上的一點，，則二面角的余弦值為．4．（2024高二上·江蘇·專題練習）在正方體中，點E為的中點，則直線與所成的角的余弦值為；平面與平面所成銳二面角的余弦值為.5．（23-24高二上·廣東汕尾·期末）如圖，二面角的棱上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，則二面角的余弦值為.

6．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方體中，設(shè)，若二面角的平面角的正弦值為，則實數(shù)的值為．7．（22-23高二上·浙江溫州·期中）如圖，平行六面體中，底面ABCD和側(cè)面BCC1B1都是矩形，E是CD的中點，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1與平面D1EB的夾角的余弦值為，則線段D1E的長度為．8．（2023高二上·全國·專題練習）如圖，在直三棱柱中，，，為上一點．若二面角的大小為，則的長為．

9．（22-23高二下·江蘇徐州·期中）三棱錐中，，，記二面角的大小為，當時，直線與所成角的余弦值的取值范圍是.10．（23-24高三上·云南昆明·階段練習）如圖，在三棱錐中，，，平面，，，分別為棱，上的動點，且.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成角為，求的值.11．（2024·遼寧葫蘆島·一模）如圖，為圓錐頂點，是圓錐底面圓的圓心，，是長度為的底面圓的兩條直徑，，且，為母線上一點．(1)求證：當為中點時，平面；(2)若，二面角的余弦值為，試確定P點的位置．12．（23-24高三下·河南濮陽·開學考試）如圖，在四棱柱中，二面角均為直二面角.

(1)求證：平面；(2)若，二面角的正弦值為，求的值.13．（2024·全國·模擬預測）已知四棱柱如圖所示，底面為平行四邊形，其中點在平面內(nèi)的投影為點，且．(1)求證：平面平面；(2)已知點在線段上（不含端點位置），且平面與平面的夾角的余弦值為，求的值．14．（23-24高二上·江西南昌·期末）已知平行四邊形ABCD如圖甲，，沿AC將折起，使點D到達點P位置，且，連接PB得三棱錐如圖乙．(1)證明；平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使二面角的余弦值為，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．15．（23-24高二上·廣東汕尾·期末）在圖甲所示的四邊形中，，，，，沿將進行翻折，使得，得到如圖乙所示的四棱錐.四棱錐的體