重難點(diǎn)專題 1-2 抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)【15類題型】（原卷版）-2025屆高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)題型歸納與重難點(diǎn)突（新高考專用）

重難點(diǎn)專題1-2抽象函數(shù)的賦值計(jì)算與模型總結(jié)近5年考情（2020-2024）考題統(tǒng)計(jì)考點(diǎn)分析考點(diǎn)要求2023年新高考1卷，第11題賦值法判斷抽象函數(shù)的奇偶性，周期性（1）熟悉常見(jiàn)函數(shù)的抽象表達(dá)式（2）用賦值法判斷抽象函數(shù)性質(zhì)2022年新高考2卷，第8題模塊一模塊一總覽熱點(diǎn)題型解讀（目錄）TOC\o"1-3"\n\h\z\u【題型1】抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域【題型5】抽象函數(shù)的對(duì)稱性【題型6】抽象函數(shù)的周期性【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型10】?jī)绾瘮?shù)的抽象表達(dá)式【題型11】正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型12】余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型13】正切函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型14】二次函數(shù)的抽象表達(dá)式【題型15】其它函數(shù)的抽象表達(dá)式模塊二模塊二核心題型·舉一反三(講與練)【題型1】抽象函數(shù)的賦值計(jì)算求值賦值法是求解抽象函數(shù)問(wèn)題最基本的方法，一般有以下幾種：1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解2024·長(zhǎng)沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足，且，，則________.（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則________【鞏固練習(xí)1】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，則f(3)=，f(-3)=.【鞏固練習(xí)2】已知對(duì)所有的非負(fù)整數(shù)均有，若，則______．【鞏固練習(xí)3】（2024·安徽合肥·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，記，則（

）A． B． C． D．【題型2】抽象函數(shù)的奇偶性證明奇偶性：利用定義和賦值的方法找到與的關(guān)系2024·福建莆田·二模已知定義在上的函數(shù)滿足：，證明：是奇函數(shù)2024·長(zhǎng)沙市第一中適應(yīng)性訓(xùn)練已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，滿足，且，，證明：是偶函數(shù)【鞏固練習(xí)1】（多選）定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的，則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C．為上的增函數(shù) D．為奇函數(shù)【鞏固練習(xí)2】（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足，且，則（

）A． B．C． D．【鞏固練習(xí)3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，則（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．為奇函數(shù)【鞏固練習(xí)4】（2024屆韶關(guān)市一模）已知是定義在上且不恒為零的函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【題型3】抽象函數(shù)的單調(diào)性判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）湊：湊定義或湊已知,利用定義或已知條件得出結(jié)論;（2）賦值：給變量賦值要根據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)系.有時(shí)可能要進(jìn)行多次嘗試.=1\*GB3①若給出的是“和型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或;=2\*GB3②若給出的是“積型”抽象函數(shù)，判斷符號(hào)時(shí)要變形為：或.函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于，，，且當(dāng)時(shí)，，證明：為減函數(shù).已知函數(shù)是定義在R上的函數(shù).對(duì)任意，總有，，且時(shí)，恒成立.（1）求（2）判斷的奇偶性并證明（3）證明在上單調(diào)遞減【答案】（1），（2）奇函數(shù);(3)在上單調(diào)遞減【詳解】（1）由對(duì)任意，總有，令，則，則，又由，可得，則，故選項(xiàng)A判斷正確；（2）令，則，則有，故，則是奇函數(shù)【鞏固練習(xí)1】（多選）定義在上的函數(shù)，對(duì)于任意的都有；且；當(dāng)時(shí)，；則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．是奇函數(shù)C．在上單調(diào)遞增 D．的解集為【鞏固練習(xí)2】若定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞1.(1)求證:y＝f(x)－1為奇函數(shù);(2)求證:f(x)是R上的增函數(shù);(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.【鞏固練習(xí)3】（2023·湖南師大附中?？迹┮阎B續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則以下說(shuō)法中正確的是（）A．B．C．在上的最大值是10D．不等式的解集為【題型4】抽象函數(shù)的最值與值域結(jié)合奇偶性與單調(diào)性來(lái)判斷最值或值域已知函數(shù)對(duì)任意的，總有，若時(shí)，，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A．0B．C．1D．2【鞏固練習(xí)1】已知連續(xù)函數(shù)滿足：①，則有，②當(dāng)時(shí)，，③，則在上的最大值是________【鞏固練習(xí)2】已知連續(xù)函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒有，當(dāng)時(shí)，，，則f(x)在[－3，3]上的最大值是________【題型5】抽象函數(shù)的對(duì)稱性抽象函數(shù)的對(duì)稱性常有以下結(jié)論（1）關(guān)于軸對(duì)稱，（2）關(guān)于中心對(duì)稱，2024·江蘇南通·二模（多選）已知函數(shù)，的定義域均為R，的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對(duì)稱，，，則（）A．為偶函數(shù) B．為偶函數(shù) C． D．【鞏固練習(xí)1】已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y，函數(shù)滿足，則（

）A．有對(duì)稱中心 B．有對(duì)稱軸C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)【鞏固練習(xí)2】（2024·重慶八中?？迹ǘ噙x）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，當(dāng)時(shí)，，且滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．為奇函數(shù)B．C．不等式的解集為D．【鞏固練習(xí)3】（多選）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（

）A． B．是偶函數(shù)C．關(guān)于中心對(duì)稱 D．【題型6】抽象函數(shù)的周期性抽象函數(shù)周期問(wèn)題一般先求對(duì)稱性2024山東青島·統(tǒng)考三模設(shè)為定義在整數(shù)集上的函數(shù)，，，，對(duì)任意的整數(shù)均有．則______．函數(shù)的定義域?yàn)椋?，，，則.（2024屆廈門一中校考）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則．【鞏固練習(xí)1】2024·山東青島·一模，，，則的值為（

）A．2 B．1 C．0 D．－1【鞏固練習(xí)2】（2024·福建龍巖·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則（

）A． B．為奇函數(shù)C． D．的周期為3【鞏固練習(xí)3】（2024·福建廈門·一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（

）A． B． C．2 D．4【鞏固練習(xí)4】函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意，恒有，若，則，．【鞏固練習(xí)5】深圳市寶安區(qū)2024屆高三上學(xué)期10月調(diào)研數(shù)學(xué)試題（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，為偶函?shù)，則（

）A．為偶函數(shù) B．C． D．【題型7】一次函數(shù)的抽象表達(dá)式一次函數(shù)的抽象表達(dá)式（1）

對(duì)于正比例函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（2）

對(duì)于一次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.（3）

對(duì)于一次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時(shí)滿足下列三個(gè)條件的一個(gè)的解析式為.①，；②為奇函數(shù)；③在上單調(diào)遞減.（2023-2024學(xué)年重慶一中高一期中）（多選）已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)任意均有；當(dāng)時(shí)，．則下列說(shuō)法正確的是A． B．在定義域上單調(diào)遞減C．是奇函數(shù) D．若，則不等式的解集為【鞏固練習(xí)1】(2024·安徽安慶·二模)（多選）已知定義在R上的函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y，均有，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B．C．函數(shù)為減函數(shù) D．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【鞏固練習(xí)2】(2024·山東泰安·一模)（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．有最大值C． D．函數(shù)是奇函數(shù)【題型8】對(duì)數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象表達(dá)式（重要）

對(duì)數(shù)函數(shù)

，其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或補(bǔ)充：對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是奇偶性證明：只需構(gòu)造即可已知函數(shù)f（x）滿足：①對(duì)，，；②．請(qǐng)寫出一個(gè)符合上述條件的函數(shù)f（x）＝______．（2024·安徽·二模）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．為奇函數(shù) B．若，則C．若，則 D．若，則【鞏固練習(xí)1】已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)的定義域是，對(duì)定義域內(nèi)的任意都有，且當(dāng)時(shí)，.(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)判斷的單調(diào)性并加以證明；【題型9】指數(shù)型函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)于指數(shù)函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為

或

.奇偶性證明：由得，判斷和1的大小關(guān)系已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，則同時(shí)滿足下列二個(gè)條件的一個(gè)的解析式為.①，；②在上單調(diào)遞減.【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)直接得解.【詳解】由題意為指數(shù)型函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，（2023上·浙江·高一校聯(lián)考）（多選）已知定義在上的函數(shù)滿足：①是偶函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，則（

）A． B．在上單調(diào)遞增C．不等式的解集為 D．【鞏固練習(xí)1】如果且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)2】已知函數(shù)滿足，，則的值為（

）A．15 B．30 C．60 D．75【鞏固練習(xí)3】已知定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，y均有，且，當(dāng)且.(1)判斷的奇偶性；(2)判斷在上的單調(diào)性，并證明；【題型10】?jī)绾瘮?shù)的抽象表達(dá)式對(duì)于冪函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為或（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足，則（

）A．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞減B．是奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增C．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞減D．是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增【鞏固練習(xí)】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則（

）A． B． C．是偶函數(shù) D．沒(méi)有極值點(diǎn)【題型11】正弦函數(shù)的抽象表達(dá)式三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例對(duì)于正弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正弦平方差公式：2024·廣東江門·一模函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，，恒有成立.請(qǐng)寫出滿足上述條件的函數(shù)的一個(gè)解析式.【鞏固練習(xí)1】（多選題）（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【鞏固練習(xí)2】（多選題）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．為偶函數(shù) B． C． D．【題型12】余弦函數(shù)的抽象表達(dá)式三角函數(shù)注意系數(shù)的配湊，，，以下均以為例（1）

對(duì)于余弦函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于余弦和差化積公式：（2）

對(duì)于余弦函數(shù)

，其抽象函數(shù)還可以是注：余弦積化和差公式：，2022新高考2卷T8用的就是這個(gè)模型2024·吉林白山·一模已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，?qǐng)寫出滿足條件的一個(gè)（答案不唯一），．2024·重慶一中3月月考（多選）函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C．為偶函數(shù) D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【鞏固練習(xí)1】已知函數(shù)滿足：，則.【鞏固練習(xí)2】（2022新高考2卷T8）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【鞏固練習(xí)3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足，，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則下列說(shuō)法正確的是A． B．是偶函數(shù)C． D．的圖象關(guān)于對(duì)稱【題型13】正切函數(shù)的抽象表達(dá)式對(duì)于正切函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為注：

此抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)于正切函數(shù)和差角公式：已知函數(shù)滿足，，則（

）A． B．C．的定義域?yàn)镽 D．的周期為4【鞏固練習(xí)1】（2024·廣西賀州·一模）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．若實(shí)數(shù)a滿足不等式，則a的取值范圍為D．【鞏固練習(xí)2】定義在上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，．（1）判斷在上的單調(diào)性并證明；（2）求實(shí)數(shù)t的取值集合，使得關(guān)于x的不等式在上恒成立．【題型14】二次函數(shù)的抽象表達(dá)式二次函數(shù)

對(duì)于二次函數(shù)

，與其對(duì)應(yīng)的抽象函數(shù)為（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于每一對(duì)實(shí)數(shù)，，函數(shù)滿足函數(shù)方程，如果，那么滿足的的個(gè)數(shù)是（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．無(wú)數(shù)多個(gè)（2024·高三·河北保定·期末）已知函數(shù)滿足：，，成立，且，則（

）A． B． C． D．【鞏固練習(xí)1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覞M足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．方程有解C．是偶函數(shù) D．是偶函數(shù)【答案】C【解析】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且滿足，取，得，則，取，得，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，得，則，所以，以上各式相加得，所以，令，得，此方程無(wú)解，故B錯(cuò)誤.對(duì)于CD，由知，所以是偶函數(shù)，不是偶函數(shù)，故C正確，錯(cuò)誤.故選：C.【鞏固練習(xí)2】（2024·河南·三模）已知函數(shù)滿足：，且，，則的最小值是（

）A．135 B．395 C．855 D．990【答案】C【解析】由，得，令，得，令，得，故，又，所以，所以，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，的最小值為855．【題型15】其它函數(shù)的抽象表達(dá)式理論上，有多少種原函數(shù)就有多少種抽象函數(shù)與之對(duì)應(yīng)，但也不乏一種原函數(shù)可以與多種抽象