2012年現(xiàn)代控制理論考試試卷

2012年現(xiàn)代控制理論考試試卷

-、(10分，每題1分)試判斷以下結(jié)論的正確性，假設(shè)結(jié)論是正確的，

U)1.由一個狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個傳遞函數(shù)。

(2.假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不存在零極點對消，那么其任意的一個實現(xiàn)均

為最小實現(xiàn)。

(X)3.對一個給定的狀態(tài)空間模型，假設(shè)它是狀態(tài)能控的，那么也一定是

輸出能控的。

U)4.對線性定常系統(tǒng)x=其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣A的

特征值都具有負實部是一致的。

(J)5.一個不穩(wěn)定的系統(tǒng)，假設(shè)其狀態(tài)完全能控，那么一定可以通過狀態(tài)反

應(yīng)使其穩(wěn)定。

(義)6.對一個系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量；

U)7.系統(tǒng)的狀態(tài)能控性和能觀性是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特性，與系統(tǒng)的輸入和輸

出無關(guān)：

(X)8.假設(shè)傳遞函數(shù)G(s)=C(s/-A)-⑵存在零極相消，那么對應(yīng)的狀態(tài)空間

模型描述的系統(tǒng)是不能控且不能觀的；

(X)9.假設(shè)一個系統(tǒng)的某個平衡點是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，那么該系

統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的；

(義)10.狀態(tài)反應(yīng)不改變系統(tǒng)的能控性和能觀性。

二、以下圖電路，以電源電壓u(t)為輸入量，求以電感中的電流和電容中的

電壓作為狀態(tài)變量的狀態(tài)方程，和以電阻R2上的電壓為輸出量的輸出方程。

(10分)

解：(1)由電路原理得:

二,（10分〕圖為R-L-C電路，設(shè)〃為控制量，電感心上的支路電流和電容C

上的電壓％為狀態(tài)變量，電容C上的電壓9為輸出量，試求：網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程

和輸出方程，并繪制狀態(tài)變量圖。

解：此電路沒有純電容回路，也沒有純電感電路，因有兩個儲能元件，故有獨

立變量。

以電感L上的電流和電容兩端的電壓為狀態(tài)變量，即令：）由

基爾霍夫電壓定律可得電壓方程為：

從上述兩式可解出占，%,即可得到狀態(tài)空間表達式如下:

r010

為xi&u

月_|二[%+&七」+|_凡+R1_

Ri+R2

三、（每題10分共40分）根底題

（1）試求了-3夕-2），=萬+〃的一個對角標準型的最小實現(xiàn)。（10分）

y(S)+1(S+l)(s~T+1)$2_§+1]

4分

U(s)~S3-35-2-(5'+1)(52-5-2)-52-5-2-"25+1

不妨令

X](s)=]X?(s)=-1

2分

U(s)s-2'U(s)s+1

于是有

又送T"需+需，所以y（s）=u（s）+XG）+xm）,即有

y=u-\-xx+x2........2分

最終的對角標準型實現(xiàn)為

那么系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)為：

-2（）]「1]「[八

x=x+M,y=11x+W........2分

0-1J|_-1JLJ

（2）系統(tǒng)文/?f|x+R]〃,），=[-2]x,寫出其對偶系統(tǒng)，判斷該系統(tǒng)的能

-232'L」

控性及其對偶系統(tǒng)的能觀性。（10分〕

解答:

2分

y=[i2]x

........................................................2分

（3）設(shè)系統(tǒng)為

試求系統(tǒng)輸入為單位階躍信號時的狀態(tài)響應(yīng)（10分）。

解

二0

①(f)=

0"2,

???,..3分

x(7)=O(r)x(0)+J0(r)Bz/(rXli,

........3分

101HF0

4-rdi

0I,1Jo01

.......2分

e?r)

+di

/2(?r)

….1分

/+(1_/)i

i

,2

??1分

111

（4）系統(tǒng)x=X+〃試將其化為能控標準型。（10分）

001

01

12

解：u.11..2分

102~2

pi=[o1K，=[o1]"4[iT]........J分

11

P2=p/=R-i]22]...........1分

00

1-1

211

P=..2分

~21,

能控標準型為*=01X+°......4分

0lj

四、設(shè)系統(tǒng)為

試對系統(tǒng)進行能控性及能觀測性分解，并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(10分)

解：

能控性分解：

能觀測性分解：

傳遞函數(shù)為g(s)=29=衛(wèi)?…(2分)

s+35+3

五、試用李雅普諾夫第二法，判斷系統(tǒng)；=1°【X的穩(wěn)定性。(10分)

方法一：

■

解：為

原點迎=0是系統(tǒng)的唯一平衡狀態(tài)。選取標準二次型函數(shù)為李雅普諾夫函

數(shù)，即

???

當*=(),丫2=0時，v(x)=O；當工產(chǎn)0,工2=0時，u(x)=0,因此，(X)為負

半定。根據(jù)判斷，可知該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下是穩(wěn)定的。

另選一個李雅普諾夫函數(shù)，例如：

為正定，而

為負定的，且當帆-00,有V(X)f8。即該系統(tǒng)在原點處是大范圍漸進穩(wěn)定。

方法二：

解：或設(shè)小

_P1\P12_

0-1Pll

那么由=—/得

1-1±Pn

可知P是正定的。因此系統(tǒng)在原點處是大范圍漸近穩(wěn)定的

六、（20分）線性定常系統(tǒng)的傳函為幺且=

U（s）（s+2）（s+l）

（1）實現(xiàn)狀態(tài)反應(yīng)，將系統(tǒng)閉環(huán)的希望極點配置為（T,-3）,求反應(yīng)陣（5

分）

（2）試設(shè)計極點為（T0,-10）全維狀態(tài)觀測器（5分）。

（3）繪制帶觀測器的狀態(tài)反應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量圖（4分）

（4）分析閉環(huán)前后系統(tǒng)的能控性和能觀性（4分）

注明：由于實現(xiàn)是不唯一的，此題的答案不唯一！其中一種答案為：

解：⑴儂=s+4=j+4

U（s）（5+2）（5十1）5+35+2

系統(tǒng)的能控標準型實現(xiàn)為:文/°1lxJ°ky=[41]X……1分

-2—31

系統(tǒng)完全可控，那么可以任意配置極點……1分

令狀態(tài)反應(yīng)增益陣為K=%k2]……1分

那么有A-BK』°1L那么狀態(tài)反應(yīng)閉環(huán)特征多項式為

-k2-2%3

又期望的閉環(huán)極點給出的特征多項式為：（S+4）（S+3）=S2+7S+12

由萬+（匕+3）2+伏2+2）=f+75+12可得到犬=[410]....3分

（2）觀測器的設(shè)計：

由傳遞函數(shù)可知，原系統(tǒng)不存在零極點相消，系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀，可以任意配

置觀測器的極點?！?分

令￡=自...1分

由觀測器3=（A-￡。）￡+畫+a可得其期望的特征多項式為：

——1y'

廣⑸=/（$）=*y.....4分

（3〕繪制閉環(huán)系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖

第一種繪制方法：

［注：觀測器輸出端的加號和減號應(yīng)去掉！不好意思，剛發(fā)現(xiàn)！?。?/p>

第二種繪制方法：

（4）閉環(huán)前系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且能觀，閉環(huán)后系統(tǒng)能控但不能觀（因為狀態(tài)

反應(yīng)不改變系統(tǒng)的能控性，但閉環(huán)后存在零極點對消，所以系統(tǒng)狀體不完全可

觀測）……4分

A卷

一、判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打Y,錯誤的打x（每題1分，共io分）

1、狀態(tài)方程表達了輸入引起狀態(tài)變化的運動，輸出方程那么表達了狀態(tài)引起輸出變化的變換過程N）

2、對于給定的系統(tǒng)，狀態(tài)變量個數(shù)和選擇都不是唯一的（X）

3、連續(xù)系統(tǒng)離散化都沒有精確離散化，但近似離散化方法比一般離散化方法的精度高（x）

4、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)（x）

5、假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)存在零極點相消，那么系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控（x）

6.狀態(tài)的能空性是系統(tǒng)的一種結(jié)構(gòu)特性,依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，與系統(tǒng)的參數(shù)和控制變量作用的位置有關(guān)

2

7、狀態(tài)能控性與輸出能控性之間存在必然的聯(lián)系（x）

8、一個傳遞函數(shù)化為狀態(tài)方程后，系統(tǒng)的能控能觀性與所選擇狀態(tài)變量有關(guān)Z）

9、系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，馬輸入無關(guān)川）

1（）、假設(shè)不能找到適宜的李雅普諾夫函數(shù)，那么說明該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的（x）

二、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試分別用以下方法寫出系統(tǒng)的實現(xiàn)：

（1）串聯(lián)分解

（2）并聯(lián)分解

<3）直接分解

（4）能觀測性標準型（20分）

解：

._______2______

對于53+]05,2+31+30"

（1）串聯(lián)分解

串聯(lián)分解有多種，如果不將2分解為兩個有理數(shù)的乘積，如2=厚，繪制該系統(tǒng)串聯(lián)分解的結(jié)構(gòu)圖,

然后每一個慣性環(huán)節(jié)的輸出設(shè)為狀態(tài)變量，那么可得到系統(tǒng)四種典型的實現(xiàn)為:

（S+PJ

那么對應(yīng)的狀態(tài)空間表達式為：

福要說明的是，當交換環(huán)節(jié)相乘的順序時，對應(yīng)地交換對應(yīng)行之間對角線的元素?。?！

*

--200-~2~

x=1-30x+0u

如一--.1.1的寸如頭J.?

（5+2）（5+3）（5+5）01-5_0

y=[001]X+u

--500一~2

niiX=1-30X+0ll

那么，------!------\—的實現(xiàn)為：

（5+5）（s+3）（s+2）人01-2_[oj

y=[00\]X+u

依次類推?。?/p>

（2）并聯(lián)分解

「40o-%-

x=0Z0x+bzu

實現(xiàn)有無數(shù)種，假設(shè)實現(xiàn)為，.只要滿足

oo4A.

y=[c）c2c3]X+w

2_%?-1?%

例如:,那么其實現(xiàn)可以為:

?+1052+315+30-（^+2）（5+3）（s+5）

(3)直接分解

(4)能觀測標準型

三、給定一個二維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)x=Ar"20.現(xiàn)知，對應(yīng)于兩個不同初態(tài)的狀態(tài)響應(yīng)分

別為

試據(jù)此定出系統(tǒng)矩陣A(10分)

解：40=^40)

可得

四、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(I)試確定〃的取值，使系統(tǒng)成為不能控，或為不能觀測；

(2)在上述〃的取值下，寫出使系統(tǒng)為能控的狀態(tài)空間表達式，判斷系統(tǒng)的能觀測性；

13)假設(shè)。=3,寫出系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)。(15分)

解：(1)因為

因此當。=1或。=2或。=3時「出現(xiàn)零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)就成為不能控或不能觀測的系統(tǒng)

(2)可寫系統(tǒng)的能控標準形實現(xiàn)為此問答案不唯一

存在零極相消，系統(tǒng)小能觀

2

(3)a=3,那么有G(s)=f-------

?+3.9+2

可寫出能控標準形最小實現(xiàn)為

此問答案不唯一，可有多種解

王、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

(1)判斷系統(tǒng)的能控性與能觀測性；

(2)假設(shè)不能控，試問能控的狀態(tài)變量數(shù)為多少？

(3)試將系統(tǒng)按能控性進行分解；

(4)求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(15分)

解：(1)系統(tǒng)的能控性矩陣為

Uc=[bAb]=,dctUc=^rankUc=\<2

1—2

故系統(tǒng)的狀態(tài)不能控

系統(tǒng)的能觀測性矩陣為

「25],

Uc—=?detU=—115^0,rankU=2

0|_MJ|_19-10Jrc0()

故系統(tǒng)的狀態(tài)不能觀測4分

(2)rankUc=1,因此能控的狀態(tài)變量數(shù)為11分

(3)由狀態(tài)方程式

可知是￡能控的，*是不能控的2分

(41系統(tǒng)的傳彈函數(shù)為

G(s)=c(s/-4)-%=。2(5/-4，％2=1只與能控子系統(tǒng)有關(guān)3分

S-i"2

六、給定系統(tǒng)

解李雅普諾夫方程，求使得系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的a值范圍。110分)

七、伺服電機的輸入為電樞電壓，輸出是軸轉(zhuǎn)角，其傳遞函數(shù)為

(1)設(shè)計狀態(tài)反應(yīng)控制器〃=-Kr+u,使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點為-5±/5；

(2)設(shè)計全維狀態(tài)觀測器，觀測器具有二重極點15;

(3)將上述設(shè)計的反應(yīng)控制器和觀測器結(jié)合，構(gòu)成帶觀測器的反應(yīng)控制器，畫出閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)變量

圖；

(4)求整個閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。(20分)

第二章題A卷

第一題：判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打M錯誤的打x(每題1分，共10分)

11、狀態(tài)方程表達了輸入引起狀態(tài)變化的運動，輸出方程那么表達了狀態(tài)引起輸出變化的變換過程(由

12、對于給定的系統(tǒng)，狀態(tài)變量個數(shù)和選擇都不是唯一的G)

13、連續(xù)系統(tǒng)離散化都沒有精確離散化，但近似離散化方法比一般離散化方法的精度高(x)

14、系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣就是矩陣指數(shù)(x)

15、假設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)存在零極點相消，那么系統(tǒng)狀態(tài)不完全能控(x)

16、狀態(tài)的能空性是系統(tǒng)的一種結(jié)構(gòu)特性，依賴于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，與系統(tǒng)的參數(shù)和控制變量作川的位置有

關(guān)2

17、狀態(tài)能控性與輸出能控性之間存在必然的聯(lián)系(x)

18、一個傳遞函數(shù)化為狀態(tài)方程后，系統(tǒng)的能控能觀性與所選擇狀態(tài)變量有關(guān)(T)

19、系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性是指系統(tǒng)在受到小的外界擾動后，系統(tǒng)狀態(tài)方程解的收斂性，與輸入無關(guān)(Y)

20、假設(shè)不能找到適宜的李雅普諾夫函數(shù)，那么說明該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的(x)

第二題：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(S)=黑"與堡士尹士絲，試分別用以下方法寫出系統(tǒng)的實現(xiàn)：

U")(/+55+6)(54-1)

(5)串聯(lián)分解(4分)

(6)并聯(lián)分解(4分)

(7)直接分解(4分)

(8)能觀測性標準型(4分I

(9)繪制串聯(lián)分解實現(xiàn)時系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖(4分)

解：

對于------f--------有

?+10?4-315+30

(3)串聯(lián)分解

串聯(lián)分解有三種

________5________5[1=1S1=1]S

?4-10?+315+30-(5+1)(s+2)(S+3)-(s+1)(s+2)(s+3)-(s+l)(5+2)($+3)”

對應(yīng)

1)11一1n2)1=13)

=(1($+l),(s+2)(s+3)(5+1)(s+2),(S+3)(s+l)(s+2)(s+3)，

的狀態(tài)方程為：

(4)并聯(lián)分解

實現(xiàn)有無數(shù)種,其中之三為：

（3）直接分解

（4）能觀測標準型

（10）結(jié)構(gòu)圖

第二章題B卷

第一題：判斷題，判斷下例各題的正誤，正確的打4錯誤的打x（每題1分，共10分）

1.狀態(tài)空間模型描述了輸入-輸出之間的行為,而且在任何初始條件下都能揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為（T）

2、狀態(tài)空間描述是對系統(tǒng)的一種完全的描述，而傳遞函數(shù)那么只是對系統(tǒng)的一種外部描述N）

3、任何采樣周期卜都可以通過近似離散化方法將連續(xù)時間系統(tǒng)離散化（x）

4、對于一個線性系統(tǒng)來說，經(jīng)過線性非奇異狀態(tài)變換后，其狀態(tài)能控性不變N）

5、系統(tǒng)狀態(tài)的能控所關(guān)心的是系統(tǒng)的任意時刻的運動（x）

6、能觀（能控）性問題可以轉(zhuǎn)化為能控（能觀）性問題來處理

7、一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)所表示的是該系統(tǒng)既能控又能觀的子系統(tǒng)（由

8、一個系統(tǒng)的傳遞函數(shù)假設(shè)有零、極點對消現(xiàn)象，那么視狀態(tài)變量的選擇不同，系統(tǒng)或是不能控的或

是不能觀的N）

9、對于一個給定的系統(tǒng)，李雅普諾夫函數(shù)是唯一的（x）

10、假設(shè)系統(tǒng)對所有有界輸入引起的零狀態(tài)響應(yīng)的輸出是有界的，那么稱該系統(tǒng)是外部穩(wěn)定的

第二題：求以下RLC網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，并繪制其結(jié)構(gòu)圖。取電壓e」為輸入，為輸出。其中

Ri、R2、C和L為常數(shù)。

第二題圖

答案：

解：（狀態(tài)變量可以另?。?/p>

定義狀態(tài)變量：XI為電阻兩端電壓v,X2為通過電感的電流i。輸入U為e」，輸出丫為€_0,使用基爾

霍夫電流定理列R（和R2間節(jié)點的電流方程：

使用基爾霍夫電壓定理列出包含C、Rz、L回路的電壓方程：

最后，輸出電壓的表達式為：

得到狀態(tài)空間模型：

結(jié)構(gòu)圖為：

第三題：如下圖，系統(tǒng)的輸入量為U］和U2、輸出量為），和請選擇適當?shù)臓顟B(tài)變量，并寫出系統(tǒng)的狀態(tài)

空間表達式，根據(jù)狀態(tài)空間表達式求系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)：

第三題圖

解：狀態(tài)變量如以下圖所示〔3分）

從方框圖中可以寫出狀態(tài)方程利輸出方程（4）

狀態(tài)方程的矩陣向量形式：

系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（3分）：

現(xiàn)代控制理論試題答案

一、概念題

1、何為系統(tǒng)的能控性和能觀性？

答：（1）對于線性定常連續(xù)系統(tǒng)，假設(shè)存在一分段連續(xù)控制向量U（力，能在有限時間區(qū)間［%外內(nèi)將系統(tǒng)

從初始狀態(tài)X（W轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)x（ti）,那么就稱此狀態(tài)是能控的。

（2）對于線性定常系統(tǒng)，在任意給定的輸入u（t）下，能夠根據(jù)輸出量Wt）在有限時間區(qū)間［to,h］內(nèi)的測

量值，唯一地確定系統(tǒng)在to時刻的初始狀態(tài)x（to）,就稱系統(tǒng)在to時刻是能觀測的。假設(shè)在任意初始時

刻系統(tǒng)都能觀測，那么稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全能觀測的，簡稱能觀測的。

2、何為系統(tǒng)的最小實現(xiàn)？

售：由傳遞函數(shù)矩陣或相應(yīng)的脈沖響應(yīng)來建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式的工作，稱為實現(xiàn)問題。在所有可

能的實現(xiàn)中，維數(shù)最小的實現(xiàn)稱為最小實現(xiàn)。

3、何為系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性？

答：假設(shè)乙二唯時刻"為李雅普假設(shè)夫意義下的穩(wěn)定，且存在不依賴于?的實數(shù)及￡右）：0和任意給

定的初始狀態(tài)爸>0,使得I與一分||<&（￡、），tNtflW,有110（配立功）Toll<￡，那么稱=。為李

雅普假設(shè)夫意義下的漸近穩(wěn)定

二、簡答題

1、連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)（線性定常連續(xù)系統(tǒng)）做線性變換時不改變系統(tǒng)的那些性質(zhì)？

答：系統(tǒng)做線性變換后，不改變系統(tǒng)的能控性、能觀性，系統(tǒng)特征值不變、傳遞函數(shù)不變

2、如何判斷線性定常系統(tǒng)的能控性？如何判斷線性定常系統(tǒng)的能觀性？

答：方法1：對n維線性定常連續(xù)系統(tǒng)，那么系統(tǒng)的狀態(tài)完全能控性的充分必要條件為：

rank（l/r=rnnA\BAB...A/>J=n0

方法2：如果線性定常系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣A具有互不相同的特征值，那么系統(tǒng)能控的充要條件是，系

統(tǒng)經(jīng)線性非奇異變換后4陣變換成對角標準形，且?不包含元素全為。的行

線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充分必要條件是能觀性矩陣U。滿秩。即：

Trr

rankl/a=rank[c4C…=n

3、傳遞函數(shù)矩陣G（?的最小實現(xiàn)A、B、C和D的充要條件是什么？

答：充要條件是系統(tǒng)狀態(tài)完全能控且完全能觀測。

4、對于線性定常系統(tǒng)能夠任意配置極點的充要條件是什么？

答：線性定常系統(tǒng)能夠任意配置極點的充要條件是系統(tǒng)完全能控。

5、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的存在條件是什么？

答：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的存在條件是原系統(tǒng)完全能觀。

三、計算題

1、RC無源網(wǎng)絡(luò)如圖1所示，試列寫出其狀態(tài)方程和輸出方程.其中，U「為系統(tǒng)的輸入，選口兩端的電

壓為狀態(tài)變量*“G兩端的電壓為狀態(tài)變量工》電壓以為為系統(tǒng)的輸出yc

選//可得:

y=Uc=x2

所以可以得到：

Y=foi]x

2、計算以下狀態(tài)空間描述的傳遞函數(shù)g⑸

Y=(l2]X+4u

解:運用公式G(?.=C(sl-A)T5+阿得：

det(sl-A)=det[,+,5;J=$*+6$+8

adj(s"A)=adj『：S；

可得傳遞函數(shù)為：

3、求出以下連續(xù)時間線性是不變系統(tǒng)的時間離散化狀態(tài)方程：

其中，采樣周期為「2。

解：先求出系統(tǒng)的8*.

產(chǎn)=廠3—叱｝=^:]

G…I；?

H=(C產(chǎn)=

令X?=x(t)Eu(k)=可得：

X(k+l)=GX(k)+Hit(k)=[J#(!<)+[夕u(2

4、求取以下各連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的狀態(tài)變量解々(t和4④

解：計算算式為：/。)=1\(0)+￡10-<)取(目★

”=「3川，”[算：二二審」

所以：

5、確定是以下連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)聯(lián)合完全能控和完全能觀測得待定參數(shù)a的取值范圍：

解：由于A無特定形式，用秩判據(jù)簡單。

因此，不管a去何值都不能夠聯(lián)合完全能控和完全能觀測

6、對以下連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)，判斷原點平衡狀態(tài)即小=。是否為大范圍漸近穩(wěn)定：

解：(1)選取李雅普假設(shè)夫函數(shù)V(x),取丫(乂)='/+?/,可知：

2:

V(O)=O,V(X)=X.-rX:>O,V.XjX0,?-X0

即式乂)=*/+q為正定。

(2)計算W')并判斷其定號性。對取定WX)=XJ+R/和系統(tǒng)狀態(tài)方程，計算得到：

基此可知：

即：V(x).=xJ+t—為負半定。

(3)判斷對此，只需判斷死的

卜不為系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。為此，將x=wx2r帶入狀態(tài)方程，導出：

0?=/，&=-Xj-ifXj-?

說明，狀態(tài)方程的解只為x=[00]r,x=[0TJ7不是系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。通過類似分析也可

以得證1=[-0?不是系統(tǒng)狀態(tài)方程的解?；?可知判斷1>(。8線.0))工6

(4)綜合可知，對于給定非線性時不變系統(tǒng)，可構(gòu)造李雅普假設(shè)夫函數(shù)判斷V(幼=+滿

足：

V(x)為正定,V&)為負定；對任意人工0,。(0仕％,0))工。

當IMI=、工：+xj-8,有V(x)=TJ+XJJQC

基此，并根據(jù)李雅普假設(shè)夫方法漸近穩(wěn)定性定理知：系統(tǒng)原點平衡狀態(tài)與=0為大范圍漸近穩(wěn)定。

7、給定一個單輸入單輸出連續(xù)時間線性時不變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試確定一個狀態(tài)反應(yīng)矩陣K,使閉環(huán)極點配置為與=-2,“=-4和/=-7。

解：可知，系統(tǒng)完全可控，可以用狀態(tài)反應(yīng)進行任意極點配置。由于狀態(tài)維數(shù)為3維。所以設(shè)

K=%*2k?]]。

系統(tǒng)期望的特征多項式為：

而

令|川一A+BK|=二者相應(yīng)系數(shù)相等。

得：kx-=56,k2=18,&=1

即：K=[561811

驗證：

A卷

二、根底題（每題10分）

1,給定一個二維連續(xù)時間線性定常自治系統(tǒng)x=Ar"N0?，F(xiàn)知，對應(yīng)于兩個不同初態(tài)的狀態(tài)響應(yīng)分

別為

試據(jù)此定出系統(tǒng)矩陣4

解：x(t)=eA,x(0)2分

可得

2、設(shè)線性定常連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

取采樣周期7=1s,試將該連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程離散化。

解：①首先計算矩陣指數(shù)。采用拉氏變換法：

八匹（…門”七.二〕,

1]13分

1O.5（l-e2,）

_￡-1S5(5+2)

o—!—

(5+2)

②進而計算離散時間系統(tǒng)的系數(shù)矩陣。

-2

仃10.5(l-en4T「10.4323

G=eAT='，將7=ls代入得G=*'=2分

0e-2r00.1353

fP。,5（一叫「。

\Jo）Jooe-2t|_|

JJ一一

-0.57+（）.25""-（）.25一

--0.5"27+0.5

1.0789-

0.4323

③故系統(tǒng)離散化狀態(tài)方程為

X（A+1）10.4323］「q（A）］Fl.07891

00.1353_|［w（Z）+|_0.4323_|"（）2分

々（女+1）

3、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(1)試確定。的取值，使系統(tǒng)成為不能控，或為不能觀測；

(2)在上述。的取值下，寫巴使系統(tǒng)為能控的狀態(tài)空間表達式，判斷系統(tǒng)的能觀測性;

(3)假設(shè)4=3,寫出系統(tǒng)的一個最小實現(xiàn)。(10分)

解：11)因為

因此當4=1或。=2或。=3對，出現(xiàn)零極點對消現(xiàn)象，系統(tǒng)就成為不能控或不能觀測的系統(tǒng)3

分

(2)可寫系統(tǒng)的能控標準形實現(xiàn)為此問答案不唯一

存在零極相消，系統(tǒng)不能觀1