高3數(shù)學(xué)試題及答案

高3數(shù)學(xué)試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.函數(shù)的定義域?yàn)?(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$

B.函數(shù)的值域?yàn)?R$

C.函數(shù)的圖像是一條直線

D.函數(shù)的圖像是一條拋物線

2.設(shè)$a>0$，$b>0$，則下列不等式中恒成立的是：

A.$a^2+b^2\geq2ab$

B.$a^3+b^3\geq2ab$

C.$(a+b)^2\geq4ab$

D.$(a-b)^2\geq0$

3.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n-3$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列

B.數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列

C.數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2-2n$

D.數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=n^2-n$

4.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(2,3)$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$90^\circ$

B.$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$0^\circ$

C.$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$180^\circ$

D.無(wú)法確定$\vec{a}$與$\vec$的夾角

5.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3$，$f(2)=5$，$f(3)=7$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$a=1$，$b=2$，$c=3$

B.$a=1$，$b=2$，$c=4$

C.$a=1$，$b=3$，$c=4$

D.$a=1$，$b=3$，$c=5$

6.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.函數(shù)的定義域?yàn)?(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

B.函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

C.函數(shù)的圖像是一條直線

D.函數(shù)的圖像是一條拋物線

7.已知數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n^2+1}$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.數(shù)列$\{a_n\}$是等差數(shù)列

B.數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列

C.數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=\frac{n}{n^2+1}$

D.數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n=\frac{n}{n^2-1}$

8.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,4)$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$90^\circ$

B.$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$0^\circ$

C.$\vec{a}$與$\vec$的夾角為$180^\circ$

D.無(wú)法確定$\vec{a}$與$\vec$的夾角

9.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=3$，$f(2)=5$，$f(3)=7$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.$a=1$，$b=2$，$c=3$

B.$a=1$，$b=2$，$c=4$

C.$a=1$，$b=3$，$c=4$

D.$a=1$，$b=3$，$c=5$

10.已知函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$，則下列說(shuō)法正確的是：

A.函數(shù)的定義域?yàn)?(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

B.函數(shù)的值域?yàn)?(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$

C.函數(shù)的圖像是一條直線

D.函數(shù)的圖像是一條拋物線

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.對(duì)于任意實(shí)數(shù)$x$，都有$x^2\geq0$。（）

2.如果$a>b$，那么$a+c>b+c$。（）

3.函數(shù)$y=x^3$在定義域內(nèi)是增函數(shù)。（）

4.向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(2,3)$的模長(zhǎng)相等。（）

5.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3^n$，則數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列。（）

6.函數(shù)$y=\sqrt{x}$的定義域是$[0,+\infty)$。（）

7.如果$a\neqb$，那么$a^2\neqb^2$。（）

8.向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(3,4)$的夾角是$90^\circ$。（）

9.函數(shù)$y=\log_2(x)$的圖像是一條直線。（）

10.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n}$，則數(shù)列$\{a_n\}$是遞減數(shù)列。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖像特征，并說(shuō)明如何根據(jù)系數(shù)$a$、$b$、$c$確定其圖像的位置和形狀。

2.請(qǐng)給出數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$的通項(xiàng)公式，并說(shuō)明如何根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式求出前$n$項(xiàng)和。

3.已知向量$\vec{a}=(2,3)$和$\vec=(4,6)$，請(qǐng)計(jì)算向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積，并說(shuō)明點(diǎn)積在幾何上的意義。

4.請(qǐng)解釋函數(shù)$y=\log_2(x)$的定義域和值域，并說(shuō)明為什么這個(gè)函數(shù)是單調(diào)遞增的。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）在$x$軸上的根的情況，并討論當(dāng)$a$、$b$、$c$取不同值時(shí)，函數(shù)圖像與$x$軸的交點(diǎn)情況。

2.結(jié)合數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式和前$n$項(xiàng)和$S_n$的關(guān)系，論述如何通過(guò)求解數(shù)列的遞推關(guān)系來(lái)求出數(shù)列的前$n$項(xiàng)和，并舉例說(shuō)明。

五、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.若$a>0$，$b>0$，則下列不等式中恒成立的是：

A.$a^2+b^2\geq2ab$

B.$a^3+b^3\geq2ab$

C.$(a+b)^2\geq4ab$

D.$(a-b)^2\geq0$

2.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4x+4}{x-2}$的定義域是：

A.$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$

B.$(-\infty,2]$

C.$[2,+\infty)$

D.$(-\infty,+\infty)$

3.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=2n-3$，則數(shù)列$\{a_n\}$的第5項(xiàng)是：

A.7

B.8

C.9

D.10

4.向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(2,3)$的夾角余弦值是：

A.$\frac{1}{\sqrt{5}}$

B.$\frac{2}{\sqrt{5}}$

C.$\frac{3}{\sqrt{5}}$

D.$\frac{4}{\sqrt{5}}$

5.函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開(kāi)口向上，則系數(shù)$a$的取值范圍是：

A.$a>0$

B.$a<0$

C.$a\geq0$

D.$a\leq0$

6.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=\frac{1}{n^2+1}$，則數(shù)列$\{a_n\}$的前10項(xiàng)和$S_{10}$是：

A.$\frac{10}{11}$

B.$\frac{10}{21}$

C.$\frac{10}{31}$

D.$\frac{10}{41}$

7.向量$\vec{a}=(1,2)$和$\vec=(3,4)$的模長(zhǎng)分別是：

A.$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$

B.$\sqrt{10}$，$\sqrt{5}$

C.$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$

D.$\sqrt{10}$，$\sqrt{10}$

8.函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域是：

A.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$

B.$[1,+\infty)$

C.$(-\infty,1]$

D.$[1,+\infty)$

9.數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式為$a_n=3^n$，則數(shù)列$\{a_n\}$的第5項(xiàng)是：

A.243

B.81

C.27

D.9

10.函數(shù)$y=\sqrt{x}$的圖像是：

A.拋物線

B.雙曲線

C.直線

D.圓

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）

1.ABD

解析思路：函數(shù)的定義域?yàn)?x\neq2$，即$(-\infty,2)\cup(2,+\infty)$；函數(shù)的值域?yàn)樗袑?shí)數(shù)$R$；函數(shù)的圖像是一條直線，因?yàn)榉肿臃帜竿瑫r(shí)除以$x-2$后，得到$f(x)=x$。

2.ABCD

解析思路：根據(jù)算術(shù)平均數(shù)-幾何平均數(shù)不等式，對(duì)于任意正實(shí)數(shù)$a$和$b$，有$a^2+b^2\geq2ab$，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)$a=b$。由于$a>0$，$b>0$，所以這個(gè)不等式恒成立。

3.AC

解析思路：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n=2n-3$是一個(gè)等差數(shù)列，公差為2。前$n$項(xiàng)和$S_n=n^2-2n$可以通過(guò)等差數(shù)列求和公式得出。

4.AD

解析思路：向量$\vec{a}$和$\vec$的夾角余弦值$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec}{|\vec{a}||\vec|}$，計(jì)算得到$\cos\theta=\frac{1\cdot2+2\cdot3}{\sqrt{1^2+2^2}\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{8}{\sqrt{5}\sqrt{13}}$，由于$\cos\theta$的值不是1，也不是0，所以?shī)A角不是$90^\circ$或$0^\circ$。

5.AC

解析思路：二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像開(kāi)口向上當(dāng)且僅當(dāng)系數(shù)$a>0$。

6.AC

解析思路：函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的定義域是$x-1>0$，即$x>1$，所以定義域?yàn)?(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$。

7.AC

解析思路：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n=\frac{1}{n^2+1}$是一個(gè)遞減數(shù)列，前10項(xiàng)和$S_{10}$可以通過(guò)逐項(xiàng)相加得到。

8.AD

解析思路：向量$\vec{a}$和$\vec$的模長(zhǎng)分別是$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$和$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。

9.ABCD

解析思路：函數(shù)$f(x)=\log_2(x-1)$的值域是所有實(shí)數(shù)$R$，因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)可以取到任意實(shí)數(shù)值。

10.ABCD

解析思路：函數(shù)$y=\sqrt{x}$的圖像是拋物線，因?yàn)樗嵌魏瘮?shù)$y=x^2$的平方根。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

解析思路：任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)的。

2.√

解析思路：根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩邊同時(shí)加上相同的數(shù)，不等式的方向不變。

3.√

解析思路：函數(shù)$y=x^3$的導(dǎo)數(shù)$y'=3x^2$始終大于0，所以函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)。

4.√

解析思路：向量$\vec{a}$和$\vec$的模長(zhǎng)分別是$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$和$\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$，兩者不相等。

5.√

解析思路：等比數(shù)列的定義是相鄰兩項(xiàng)的比值是常數(shù)。

6.√

解析思路：對(duì)數(shù)函數(shù)的定義要求對(duì)數(shù)內(nèi)的值大于0。

7.×

解析思路：如果$a\neqb$，那么$a^2$和$b^2$可以相等，例如$a=1$，$b=-1$。

8.√

解析思路：向量$\vec{a}$和$\vec$的點(diǎn)積$\vec{a}\cdot\vec=1\cdot3+2\cdot4=11$，模長(zhǎng)分別是$\sqrt{5}$和$\sqrt{13}$，所以$\cos\theta=\frac{11}{\sqrt{5}\sqrt{13}}$，夾角不是$90^\circ$。

9.×

解析思路：函數(shù)$y=\log_2(x)$的圖像是一條曲線，不是直線。

10.√

解析思路：數(shù)列$\{a_n\}$的通項(xiàng)公式$a_n=\frac{1}{n}$是一個(gè)遞減數(shù)列，因?yàn)殡S著$n$的增加，$a_n$的值逐漸減小。

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.解析思路：二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$的圖像是一個(gè)拋物線。當(dāng)$a>0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)$a<0$時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。頂點(diǎn)的坐標(biāo)是$(-\frac{2a},c-\frac{b^2}{4a})$。如果$b^2-4ac<0$，則拋物線與$x$軸沒(méi)有交點(diǎn)；如果$b^2-4ac=0$，則拋物線與$x$軸有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)）；如果$b^2-4ac>0$，則拋物線與$x$軸有兩個(gè)交點(diǎn)。

2.解析思路：數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$可以通過(guò)通項(xiàng)公式$a_n$和求和公式得出。如果數(shù)列是等差數(shù)列，則$S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$；如果數(shù)列是等比數(shù)列，則$S_n=a_1\frac{1-r^n}{1-r}$，其中$r$是公比。

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