2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之相交線與平行線（2025年4月）

第28頁(yè)（共28頁(yè)）2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之相交線與平行線（2025年4月）一．選擇題（共10小題）1．（2025春?江津區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥|b，∠1＝40°，則∠2＝（）A．50° B．40° C．30° D．45°2．（2025春?西湖區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)任意一點(diǎn)可作已知直線的一條平行線 B．兩條不相交的直線是平行線 C．過(guò)直線上一點(diǎn)只能畫一條直線與已知直線垂直 D．平行于同一直線的兩直線平行3．（2025?衡陽(yáng)模擬）如圖所示，a∥b，∠1＝65°，則∠2的大小是（）A．135° B．115° C．105° D．65°4．（2025?碧江區(qū)一模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，若∠DOB＝43°，則∠EOD的度數(shù)是（）A．143° B．133° C．47° D．43°5．（2025?合肥一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝31.5°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．148.5° B．131.5° C．121.5° D．58.5°6．（2025?凱里市校級(jí)一模）如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，則∠2的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°7．（2025?伊川縣一模）如圖，是一款吸管杯的截面示意圖，已知AB∥CD，吸管看作一條直線，若∠1＝64°，則∠2的度數(shù)為（）A．128° B．64° C．106° D．116°8．（2025?祥云縣模擬）如圖，直線a、b被直線c所截，且a∥b，若∠2＝3∠1，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．135° C．120° D．105°9．（2025?新鄉(xiāng)一模）如圖，已知AB∥CD，∠D＝81°，∠E＝43°，則∠B的度數(shù)是（）A．81° B．43° C．28° D．38°10．（2025?石家莊模擬）如圖1是一輛豎直放在地面上的自行車，圖2是其示意圖，其中a∥b，c∥d，∠1＝115°，則∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．70°二．填空題（共5小題）11．（2025春?小店區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB，OC平分∠AOB，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊在OB上，DN邊與OA交于點(diǎn)P，與OC交于點(diǎn)Q，則OP的長(zhǎng)度為cm．12．（2025春?翔安區(qū)校級(jí)月考）如圖，給出下列結(jié)論：①∠1與∠2是同旁內(nèi)角；②∠1與∠3是同位角；③∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠5是同位角；⑤∠2與∠3是對(duì)頂角．其中說(shuō)法正確的是．（填序號(hào)）13．（2025春?臨平區(qū)月考）如圖1是一輛寶寶的推車，其示意圖如圖2所示，點(diǎn)A，B，C，O在同一直線上，該直線與水平地面MN的夾角是30°，CE⊥AO于點(diǎn)C，BD平行水平地面MN交CE于點(diǎn)D，∠CBF=43∠BDC，AO'∥BF，則∠BAO′＝度；前面有一向下的斜坡PN，當(dāng)推車前后輪都推到斜坡上時(shí)，AO′所在的直線垂直水平地面MN，則∠PNM的度數(shù)是14．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上，點(diǎn)G，F(xiàn)在直線CD上，連接PF，EG，∠PFC的平分線與∠AEG的平分線交于點(diǎn)H，F(xiàn)H與EG交于點(diǎn)I，點(diǎn)J，K為平面內(nèi)的兩點(diǎn)，連接IJ，IK，KJ，直線FI與線段KJ交于點(diǎn)M，直線EH與直線PF交于點(diǎn)Q，若∠FIG：∠GIJ＝1：2，∠JKI=∠KIJ=32∠CFI，∠JMI15．（2025?鋼城區(qū)一模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為°．三．解答題（共5小題）16．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC交AC于點(diǎn)E，∠EOC＝∠B．（1）求證：OE∥BC；（2）若∠AEO＝70°，∠B＝55°，求∠ACD的度數(shù)．17．（2025春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB，CD分別與直線AC相交于點(diǎn)A，C，與直線BD相交于點(diǎn)B，D．若∠1＝69°，∠2＝68°，∠3＝111°．求∠4的度數(shù)．18．（2025春?沈陽(yáng)月考）直線AB∥CD，∠ABC與∠DCB的角平分線交于點(diǎn)E，BE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BF，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證：EC∥FG；（2）如圖2，點(diǎn)M在線段BC上，點(diǎn)N在線段FG上，且EM平分∠BEN，連接EG．若∠NEG＝∠NGE，求∠MEG的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)G為頂點(diǎn)，GM為邊，在GM下方作∠MGP＝∠MEG，交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠EGM與∠MPG的關(guān)系．19．（2025春?禪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，求證：∠1＝∠2．20．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AE⊥FC于點(diǎn)E，∠3＝∠4，∠1+∠2＝90°，求證：∠F+∠BAF＝180°．（把下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理依據(jù)）證明：∵AE⊥FC，∴∠AEC＝90°，（），∴∠1+∠AEB＝90°，∵∠1+∠2＝90°．∴∠2＝∠AEB，（），∴∥（），∴∠4+＝180°（），∵∠3＝∠4，∴∠3+＝180°，∴∥，∴∠F+∠BAF＝180°．

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之相交線與平行線（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）題號(hào)12345678910答案ADBBCCDBDC一．選擇題（共10小題）1．（2025春?江津區(qū)校級(jí)月考）如圖，Rt△ABC的直角頂點(diǎn)A在直線a上，斜邊BC在直線b上，若a∥|b，∠1＝40°，則∠2＝（）A．50° B．40° C．30° D．45°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】A【分析】利用平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理即可得解．【解答】解：由平行線性質(zhì)可知∠1＝∠ABC＝40°，∴∠2＝50°．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查利用平行線的性質(zhì)求三角形中角的度數(shù)，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．2．（2025春?西湖區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．過(guò)任意一點(diǎn)可作已知直線的一條平行線 B．兩條不相交的直線是平行線 C．過(guò)直線上一點(diǎn)只能畫一條直線與已知直線垂直 D．平行于同一直線的兩直線平行【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；平行線；平行公理及推論．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)平行線和垂線的定義及平行公理進(jìn)行判斷．【解答】解：根據(jù)平行線和垂線的定義及平行公理逐項(xiàng)分析判定如下：A．過(guò)不在直線上一點(diǎn)可作已知直線的一條平行線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．同一平面內(nèi)兩條不相交的直線是平行線，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．同一平面內(nèi)過(guò)直線上一點(diǎn)只能畫一條直線與已知直線垂直，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．平行于同一直線的兩直線平行，故選項(xiàng)正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線和垂線的定義及平行公理，熟練掌握公理、定理是解決本題的關(guān)鍵．3．（2025?衡陽(yáng)模擬）如圖所示，a∥b，∠1＝65°，則∠2的大小是（）A．135° B．115° C．105° D．65°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】首先根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，可得：∠3＝∠1＝65°，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義求出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：如下圖所示，∵a∥b，∠1＝65°，∴∠3＝∠1＝65°（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣65°＝115°，所以∠2的大小是115°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是平行線性質(zhì)的熟練掌握．4．（2025?碧江區(qū)一模）如圖，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB，若∠DOB＝43°，則∠EOD的度數(shù)是（）A．143° B．133° C．47° D．43°【考點(diǎn)】垂線；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)垂直定義可得：∠BOE＝90°，然后根據(jù)∠EOD＝∠BOE+∠DOB＝133°，即可求解．【解答】解：由條件可知∠BOE＝90°，∴∠EOD＝∠BOE+∠DOB＝133°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂線，平角的知識(shí)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進(jìn)行分析是解題的關(guān)鍵．5．（2025?合肥一模）某物體靜止在斜面上，其受力分析如圖所示，重力G的方向豎直向下，支持力F1的方向與斜面垂直，摩擦力F2的方向與斜面平行．若斜面的坡角α＝31.5°，則摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為（）A．148.5° B．131.5° C．121.5° D．58.5°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖形可知β是重力G與斜面形成的三角形的外角，從而可求得β的度數(shù)．【解答】解：∵重力G的方向豎直向下，∴重力G與水平方向夾角為90°，∵摩擦力F2的方向與斜面平行，α＝31.5°，∴β＝∠1＝α+90°＝31.5°+90°＝121.5°，所以摩擦力F2與重力G方向的夾角β的度數(shù)為121.5°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，垂線，關(guān)鍵是平行線性質(zhì)的熟練掌握．6．（2025?凱里市校級(jí)一模）如圖，在空氣中平行的兩條入射光線，在水中的兩條折射光線也是平行的．若水面和杯底互相平行，且∠1＝100°，則∠2的度數(shù)為（）A．60° B．70° C．80° D．100°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．【解答】解：如圖，∵兩條入射光線平行，∴∠1＝∠3＝100°，∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝80°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．7．（2025?伊川縣一模）如圖，是一款吸管杯的截面示意圖，已知AB∥CD，吸管看作一條直線，若∠1＝64°，則∠2的度數(shù)為（）A．128° B．64° C．106° D．116°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠3的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得出∠2的度數(shù)即可．【解答】解：∵∠1＝64°，AB∥CD，∴∠3＝∠1＝64°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣64°＝116°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)及對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角，掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等是解題的關(guān)鍵．8．（2025?祥云縣模擬）如圖，直線a、b被直線c所截，且a∥b，若∠2＝3∠1，則∠2的度數(shù)為（）A．150° B．135° C．120° D．105°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，求出3∠1+∠1＝180°，據(jù)此解答．【解答】解：如圖，由題意可知：∠1＝∠3，∵a∥b，∴∠2+∠3＝180°，∵∠2＝3∠1，∴3∠1+∠1＝180°，∴∠1＝45°，∴∠2＝135°，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出3∠1+∠1＝180°．9．（2025?新鄉(xiāng)一模）如圖，已知AB∥CD，∠D＝81°，∠E＝43°，則∠B的度數(shù)是（）A．81° B．43° C．28° D．38°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】D【分析】由平行線的性質(zhì)得到∠AFE＝∠D＝81°，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝81°，∴∠AFE＝∠D＝81°（兩直線平行，同位角相等），∵∠E＝43°，∴∠B＝∠AFE﹣∠E＝81°﹣43°＝38°，所以∠B的度數(shù)是38°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2025?石家莊模擬）如圖1是一輛豎直放在地面上的自行車，圖2是其示意圖，其中a∥b，c∥d，∠1＝115°，則∠2＝（）A．55° B．60° C．65° D．70°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】先求∠3，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠2＝∠3．【解答】解：如圖，∵c∥d，∠1＝115°，∴∠3＝180°﹣∠1＝65°，由平行線性質(zhì)可知∠2＝∠3＝65°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）11．（2025春?小店區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠AOB，OC平分∠AOB，將直角尺DEMN如圖所示擺放，使EM邊在OB上，DN邊與OA交于點(diǎn)P，與OC交于點(diǎn)Q，則OP的長(zhǎng)度為2cm．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】2．【分析】先由平行的性質(zhì)得∠PQO＝∠QOM，再由角平分線的性質(zhì)得∠POQ＝∠QOM，進(jìn)而得∠PQO＝∠POQ，即可得OP＝PQ＝2cm．【解答】解：由題意可知，DN∥EM，∴∠PQO＝∠QOM（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∵OC平分∠AOB，∴∠POQ＝∠QOM=12∠∴∠PQO＝∠POQ，∴OP＝PQ＝2cm．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，關(guān)鍵是角平分線定義的熟練掌握．12．（2025春?翔安區(qū)校級(jí)月考）如圖，給出下列結(jié)論：①∠1與∠2是同旁內(nèi)角；②∠1與∠3是同位角；③∠1與∠4是內(nèi)錯(cuò)角；④∠1與∠5是同位角；⑤∠2與∠3是對(duì)頂角．其中說(shuō)法正確的是①②．（填序號(hào)）【考點(diǎn)】同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】①②．【分析】根據(jù)定義，一一判斷即可．【解答】解：逐項(xiàng)分析判斷如下：①∠1與∠2是同旁內(nèi)角，該說(shuō)法符合題意；②∠1與∠3是同位角，該說(shuō)法符合題意；③∠1與∠4不是內(nèi)錯(cuò)角，該說(shuō)法不符合題意；④∠1與∠5不是同位角，該說(shuō)法不符合題意；⑤∠2與∠3是鄰補(bǔ)角，該說(shuō)法不符合題意；．①②符合題意，故答案為：①②．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同旁內(nèi)角，同位角，內(nèi)錯(cuò)角，對(duì)頂角，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．13．（2025春?臨平區(qū)月考）如圖1是一輛寶寶的推車，其示意圖如圖2所示，點(diǎn)A，B，C，O在同一直線上，該直線與水平地面MN的夾角是30°，CE⊥AO于點(diǎn)C，BD平行水平地面MN交CE于點(diǎn)D，∠CBF=43∠BDC，AO'∥BF，則∠BAO′＝80度；前面有一向下的斜坡PN，當(dāng)推車前后輪都推到斜坡上時(shí)，AO′所在的直線垂直水平地面MN，則∠PNM的度數(shù)是160【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀；推理能力．【答案】80；160．【分析】延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)G，由平行線的性質(zhì)可得∠DBC＝∠AGN＝30°，再由三角形內(nèi)角和定理得出\angBDC=90°-30°=60°，再求得∠CBF＝80°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)求得∠BAO′＝80°，延長(zhǎng)MN交AO′于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AO′交NP于點(diǎn)G，先求得∠HGN＝70°，再由垂直的定義可得∠NHG【解答】解：直線點(diǎn)AB與水平地面MN的夾角是30°，BD平行水平地面MN交CE于點(diǎn)D，如圖2，延長(zhǎng)AC交MN于點(diǎn)G，∴∠AGN＝30°，BD∥MN，∴∠DBC＝∠AGN＝30°，∵CE⊥AO于點(diǎn)C，∴∠BDC＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBF∵AO′∥BF，∴∠BAO′＝∠CBF＝80°，如圖，延長(zhǎng)MN交AO′于點(diǎn)H，延長(zhǎng)AO′交NP于點(diǎn)G，∵∠BAO′＝80°，AO與NP的夾角為30°，∴∠HGN＝70°，由題意得：AO′⊥NH，∴∠NHG＝90°，∴∠MNP＝90°+70°＝160°，故答案為：80；160．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及垂直的定義，三角形外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)及垂直的定義．14．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E，P在直線AB上，點(diǎn)G，F(xiàn)在直線CD上，連接PF，EG，∠PFC的平分線與∠AEG的平分線交于點(diǎn)H，F(xiàn)H與EG交于點(diǎn)I，點(diǎn)J，K為平面內(nèi)的兩點(diǎn)，連接IJ，IK，KJ，直線FI與線段KJ交于點(diǎn)M，直線EH與直線PF交于點(diǎn)Q，若∠FIG：∠GIJ＝1：2，∠JKI=∠KIJ=32∠CFI，∠JMI【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】78．【分析】設(shè)∠CFI＝2x，則∠JKI＝∠KIJ＝3x，求出∠JIM＝6x﹣48°，設(shè)∠FIG＝y(tǒng)，則∠GIJ＝2y，進(jìn)一步得到y(tǒng)＝76°﹣2x，利用外角的定義得到∠NGI＝76°，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到∠PEQ＝52°，進(jìn)一步得到∠HFN＝∠PFH＝26°，即可求解．【解答】解：設(shè)∠CFI＝2x，由條件可知∠JKI＝∠KIJ＝3x，∠KJI＝180°﹣6x，∵∠JMI＝48°，∴∠JIM＝180°﹣∠JMI﹣∠KJM＝6x﹣48°，設(shè)∠FIG＝y(tǒng)，∵∠FIG：∠GIJ＝1：2，∴∠GIJ＝2y，∴∠FIJ＝∠FIG+∠GIJ＝y(tǒng)+2y＝3y，∵∠FIJ＝180°﹣∠JIM，即3y＝180°﹣（6x﹣48°），∴y＝76°﹣2x，即∠FIG＝76°﹣2x，∴∠NGI＝∠FIG+∠CFI＝76°﹣2x+2x＝76°，∵AB∥CD，∴∠AEN＝∠GNE，∠PEQ＝∠GNE，∠NFP＝∠QPE，∵EN是∠AEG的角平分線，∴∠GEN＝∠AEN，∴∠GEN∴∠PEQ＝52°，∵∠HQF＝76°，∴∠NFP＝∠QPE＝180°﹣∠PEQ﹣∠HQF＝180°﹣52°﹣76°＝52°，∵FH是∠PFC的角平分線，∴∠HFN∴∠EHF＝∠HFN+∠GNE＝26°+52°＝78°，故答案為：78．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．15．（2025?鋼城區(qū)一模）已知直線m∥n，將一塊含30°角的直角三角板ABC按如圖方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B兩點(diǎn)分別落在直線m，n上，若∠1＝20°，則∠2的度數(shù)為50°．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵直線m∥n，∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+20°＝50°，故答案為：50【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知線段AB，CD相交于點(diǎn)O，OE平分∠AOC交AC于點(diǎn)E，∠EOC＝∠B．（1）求證：OE∥BC；（2）若∠AEO＝70°，∠B＝55°，求∠ACD的度數(shù)．【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；推理能力．【答案】（1）見詳解；（2）15°．【分析】（1）由角平分線的定義得出∠EOC=∠AOE=12∠AOC（2）由平行線的性質(zhì)得出∠AEO＝∠ACB＝70°，∠EOC＝∠OCB，由已知條件可得出∠EOC＝∠OCB＝55°，最后根據(jù)角的和差關(guān)系即可得出答案．【解答】（1）證明：由條件可知∠EOC∵∠EOC＝∠B，∴∠AOE＝∠B，∴OE∥BC．（2）解：由條件可知∠AEO＝∠ACB＝70°，∠EOC＝∠OCB，∵∠AOE＝∠EOC＝∠B＝55°，∴∠EOC＝∠OCB＝55°，∴∠ACD＝∠ACB﹣∠OCB＝70°﹣55°＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了角平分線的定義，平行線的判定以及性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．17．（2025春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，直線AB，CD分別與直線AC相交于點(diǎn)A，C，與直線BD相交于點(diǎn)B，D．若∠1＝69°，∠2＝68°，∠3＝111°．求∠4的度數(shù)．【考點(diǎn)】對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角．【專題】運(yùn)算能力．【答案】112°．【分析】根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣69°＝111°＝∠3，根據(jù)平行線的判定得到AC∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠2+∠CDB＝180°，即可求解．【解答】解：∵∠1＝69°，∴∠BAC＝180°﹣∠1＝180°﹣69°＝111°＝∠3，∴AC∥BD（同位角相等，兩直線平行），∴∠2+∠CDB＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∴∠CDB＝180°﹣∠2＝112°，∴∠4＝∠CDB＝112°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握平行線的性質(zhì)與判定．18．（2025春?沈陽(yáng)月考）直線AB∥CD，∠ABC與∠DCB的角平分線交于點(diǎn)E，BE的延長(zhǎng)線交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BF，交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．（1）如圖1，求證：EC∥FG；（2）如圖2，點(diǎn)M在線段BC上，點(diǎn)N在線段FG上，且EM平分∠BEN，連接EG．若∠NEG＝∠NGE，求∠MEG的度數(shù)；（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)G為頂點(diǎn)，GM為邊，在GM下方作∠MGP＝∠MEG，交EM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫出∠EGM與∠MPG的關(guān)系．【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】（1）證明過(guò)程見解析部分；（2）∠MEG＝45°；（3）∠EGM與∠MPG的關(guān)系是互為余角．【分析】（1）根據(jù)角平分線，得到∠BEC＝90°，結(jié)合FG⊥BF，證得結(jié)論；（2）設(shè)∠MEC＝α，表示∠CEG＝45°﹣α，利用∠MEG＝∠MEC+∠CEG，得到結(jié)果；（3）根據(jù)題意，作出圖形，利用∠EMB＝∠GMP，得到∠EGM+∠MPG＝90°，得到結(jié)果．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠EBC=1∴∠EBC∴∠BEC＝90°，∵FG⊥BF，∴∠BFG＝90°，∴∠BEC＝∠BFG，∴EC∥FG；（2）解：設(shè)∠MEC＝α，∵EM平分∠BEN，∴∠BEM＝∠MEN＝90°﹣α，∴∠CEN＝∠MEN﹣∠MEC＝90°﹣2α，由（1）知EC∥FG，∴∠CEG＝∠NGE，∵∠NEG＝∠NGE，∴∠NEG＝∠CEG，∴∠CEG＝（90°﹣2α）÷2＝45°﹣α，∴∠MEG＝∠MEC+∠CEG＝α+（45°﹣α）＝45°；（3）解：∠EGM與∠MPG的關(guān)系是互為余角，理由如下：如圖3，∵∠EMB是△EMG的外角，∴∠EMB＝∠MEG+∠EGM，∵∠EMB＝∠GMP，在△MGP中，∠GMP＝180°﹣∠MGP﹣∠MPG，∴∠MEG+∠EGM＝180°﹣∠MGP﹣∠MPG，∵∠MGP＝∠MEG＝45°，∴45°+∠EGM＝180°﹣45°﹣∠MPG，∴∠EGM+∠MPG＝90°，∴∠EGM與∠MPG的關(guān)系是互為余角．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，角的計(jì)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．19．（2025春?禪城區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD∥BC，求證：∠1＝∠2．【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見解析．【分析】根據(jù)AB＝AC得出∠B＝∠C，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出∠1＝∠B，∠2＝∠C，等量代換，即可得證．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等邊對(duì)等角），∵AD∥BC，∴∠1＝∠B（兩直線平行，同位角相等），∠2＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠1＝∠2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是相關(guān)性質(zhì)的熟練掌握．20．（2025春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AE⊥FC于點(diǎn)E，∠3＝∠4，∠1+∠2＝90°，求證：∠F+∠BAF＝180°．（把下列推理過(guò)程補(bǔ)充完整，并在括號(hào)里填上推理依據(jù)）證明：∵AE⊥FC，∴∠AEC＝90°，（垂直的定義），∴∠1+∠AEB＝90°，∵∠1+∠2＝90°．∴∠2＝∠AEB，（等量代換）），∴AD∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），∴∠4+∠BAD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠3＝∠4，∴∠3+∠BAD＝180°，∴AB∥CF，∴∠F+∠BAF＝180°．【考點(diǎn)】平行線的判定與性質(zhì)；垂線．【專題】線段、角、相交線與平行線；運(yùn)算能力．【答案】垂直的定義；等量代換；AD、BE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠BAD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；∠BAD；AB、CF．【分析】根據(jù)題意得到∠AEC＝90°（垂直的定義），得到∠2＝∠AEB，（等量代換），可證明AD∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），得到∠4+∠BAD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），即可得到結(jié)論．【解答】證明：∵AE⊥FC，∴∠AEC＝90°，（垂直的定義），∴∠1+∠AEB＝90°．∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝∠AEB，（等量代換）．∴AD∥BE（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．∴∠4+∠BAD＝180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），∵∠3＝∠4，∴∠3+∠BAD＝180°．∴AB∥CF．∴∠F+∠BAF＝180°．故答案為：垂直的定義；等量代換；AD、BE；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；∠BAD；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；∠BAD；AB、CF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂直的定義，平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．2．對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角（1）對(duì)頂角：有一個(gè)公共頂點(diǎn)，并且一個(gè)角的兩邊分別是另一個(gè)角的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角．（2）鄰補(bǔ)角：只有一條公共邊，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角．（3）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（4）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（5）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．3．垂線（1）垂線的定義當(dāng)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．（2）垂線的性質(zhì)在平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一”“過(guò)一點(diǎn)”的點(diǎn)在直線上或直線外都可以．4．同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角（1）同位角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的同側(cè)，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同位角．（2）內(nèi)錯(cuò)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的兩旁，則這樣一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．（3）同旁內(nèi)角：兩條直線被第三條直線所截形成的角中，若兩個(gè)角都在兩直線的之間，并且在第三條直線（截線）的同旁，則這樣一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．（4）三線八角中的某兩個(gè)角是不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，完全由那兩個(gè)角在圖形中的相對(duì)位置決定．在復(fù)雜的圖形中判別三類角時(shí)，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為被截的線．同位角的邊構(gòu)成“F“形，內(nèi)錯(cuò)角的邊構(gòu)成“Z“形，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”形．5．平行線在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有兩種：平行和相交（重合除外）．（1）平行線的定義：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫平行線．記作：a∥b；讀作：直線a平行于直線b．（2