湖南省部分校2024～2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題含答案

/湖南省高一年級(jí)四月考試數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊第一章至必修第二冊第八章8.3。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.一個(gè)幾何體由5個(gè)面圍成，則該幾何體可能是（）A.三棱錐 B.四棱柱 C.三棱臺(tái) D.五棱錐2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.3.已知向量與單位向量的夾角為，且，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.4.已知復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限5.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.6.已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊，且，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)，則使成立的的取值范圍是（）A. B. C. D.8.如圖，在四邊形中，，分別是，的中點(diǎn)，，，與的夾角為，則（）A.3 B. C.4 D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.將函數(shù)圖象上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則（）A.的值域?yàn)锽.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D.在上單調(diào)遞減10.的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若滿足，的有兩解，則的值可能為（）A.5 B.6 C.7 D.811.如圖，正方體的棱長為6，是的中點(diǎn)，是正方體的表面及其內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.正方體內(nèi)切球的表面積為B.若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡與該正方體圍成的較小部分的體積為C.若點(diǎn)是的外心，則D.若動(dòng)點(diǎn)滿足，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點(diǎn)，，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為________.13.如圖，這是用斜二測畫法畫出的水平放置的梯形的直觀圖，其中，，梯形的面積為30，則梯形的高為________.14.某日中午甲船以的速度沿北偏東的方向駛離碼頭，下午乙船沿東偏南的方向勻速駛離碼頭，下午甲船到達(dá)地，乙船到達(dá)地，且在的西偏南的方向上，則乙船的航行速度是________.（取，）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.（13分）已知復(fù)數(shù)，.（1）若為實(shí)數(shù)，求；（2）若為虛數(shù)，求的取值范圍；（3）若為純虛數(shù)，求.16.（15分）如圖，在中，，，為的邊上的高所在的直線，延長與相交于點(diǎn)，且，將繞著旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)幾何體.（1）求該幾何體的體積；（2）求該幾何體的表面積.17.（15分）如圖，在平行四邊形中，，，.（1）用，表示，；（2）若，判斷的形狀，并用向量的方法證明你的結(jié)論.18.（17分）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）已知外接圓的面積為.①求；②求的最大值.（2）若是銳角三角形，為的垂心，為的高，且，求.19.（17分）設(shè)為非空數(shù)集，實(shí)數(shù)滿足以下兩個(gè)條件：（ⅰ），；（ⅱ）對(duì)任意給定的，總存在，使得.這時(shí)，稱為集合的上確界.（1）直接寫出集合的上確界.（2）在函數(shù)與（，）的圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為.①求；②求集合的上確界，并證明你的結(jié)論.

湖南省高一年級(jí)四月考試數(shù)學(xué)參考答案1．C三棱錐由4個(gè)面圍成，四棱柱和五棱錐均由6個(gè)面圍成，三棱臺(tái)由5個(gè)面圍成．2．A因?yàn)?，所以?．B在上的投影向量為．4．A由題意得，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限．5．D因?yàn)椋?，，所以?．C由正弦定理得，設(shè)，則，，得，，，所以．7．D易知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，令，則可轉(zhuǎn)化為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)是上的增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增．由，得，解得．8．A由題意得兩式相加得，即，所以．9．AC依題意可得，A正確．，，B錯(cuò)誤，C正確．由，得，則在上先增后減，D錯(cuò)誤．10．BC由滿足，的有兩解，可得，即．11．ACD因?yàn)檎襟w的棱長為6，所以該正方體內(nèi)切球的半徑為3，表面積為，A正確．由，可知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是以為球心，3為半徑的球面在該正方體內(nèi)部的部分，其與該正方體圍成的較小部分的體積為，B不正確．是邊長為的正三角形，點(diǎn)是的外心，則，，C正確．由，可知在線段上，如圖，將翻折至與共面，可知當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小．在中，，，，則，則，D正確．12．由題意得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．13．因?yàn)椋?，梯形的面積為30，所以梯形的高為，則梯形的高為．14．20如圖，由題意得，，則．由正弦定理，得，所以乙船的航行速度是．15．解：（1）由題意得，2分得或5．4分（2）由題意得，6分得且．8分（3）由題意得10分得故，．13分16．解：由，，可得，1分則，，，3分則該幾何體是由一個(gè)底面半徑為3，高為的圓錐體內(nèi)挖去一個(gè)底面半徑為1，高為的圓錐后所得的．4分（1）該幾何體的體積為．9分（2）由題可得，10分則該幾何體的表面積為．15分17．解：（1）由題意得，，1分則．3分．6分（2）是直角三角形．7分證明如下：由題意得，9分，11分則，14分所以．故是直角三角形．15分18．解：（1）①設(shè)外接圓的半徑為，由，得．2分由正弦定理得，得．4分②由余弦定理得，得，6分得，得，8分當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．9分故的最大值為．10分（2）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則，，．11分由，得，12分則，，13分由，得，14分得．15分由余弦定理得，得，16分得，即．17分19．解：（1）的上確界為3．3分（2）①由，得