2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題188 四邊形中的最值問題專項訓(xùn)練（30道）（舉一反三）（人教版）含解析

2023.2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊舉一反三系列專題專題18.8四邊形中

的最值問題專項訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強化學(xué)

生對四邊形中最值問題模型的記憶與理解！

一.選擇題（共10小題）

1.（2022春?重慶期末）如圖，矩形人8C。中，八8=275,BC=6,P為矩形內(nèi)一點，連接用，PB,PC,

2.（2022?流橋區(qū)校級模擬）如圖，平面內(nèi)三點A、B、C,AB=4,AC=3,以BC為對角線作正方形BOCE,

A.5B.7C.7V2D.鴻

3.（2022春?中山市期末）如圖.在邊長為〃的正方形人AU。中.E是對角線RQI?一點，且點

P是CE上一動點，則點尸到邊8。，8c的距離之和PM+PN的值（）

A.有最大值。B.有最小值爭z

C.是定值。D.是定值日a

4.（2022春?三門峽期末）如圖，在矩形A8CD中，AB=2,AD=1,E為A8的中點，產(chǎn)為EC上一動點,

P為DF中點,連接尸B,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.V2D.2A/2

5.（2022春?濱湖區(qū)期末）如圖，已知菱形A8CO的面積為20,邊長為5,點P、。分別是邊8C、上

的動點，且PC=CQ,連接力）、AQ,則尸O+AQ的最小值為（）

A.4V5B.V89C.10D.7或

6.（2022?泰山區(qū)一模）如圖，V、N是正方形4ACQ的邊CO上的兩個動點，滿足八M=0V.連接4。交

BN于點￡連接?！杲籄M于點八連接CR若正方形的邊長為2,則線段的最小值是（）

C.V5-1D.V5-2

7.（2022?龍華區(qū)二模）如圖，已知四邊形"CO是邊長為4的正方形，￡為C。上一點，且DE=1,F為

射線3c上一動點，過點E作EG_LA”于點P,交直線43于點G.則下列結(jié)論中：?AF=EG；②若N

BAF=NPCF,則PC=PE；③當(dāng)時，8F=1；④PC的最小值為VT5-2.其中正確的有（）

D

A.I個B.2個C.3個D.4個

8.（2022?南平校級自主招生）如圖，在△ABC中，A，=6,AC=S,BC=10,P為邊BC上一動點、（且點

P不與點4、C重合），PELAB于E,PF_L4C于E則E”的最小值為（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

9.（2022春?崇川區(qū)期末）如圖，正方形48C。邊長為1,點、E,尸分別是邊8C,C。上的兩個動點，且

BE=CF,連接BRDE,則的最小值為（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

10.（2022?泰州）如圖，正方形4BCZ）的邊長為2,E為與點D不重合的動點，以叱為一邊作正方形DEFG.設(shè)

DE=di,點、F、G與點C的距離分別為山、由，則4+公+為的最小值為（）

二.填空題（共10小題）

11.（2022春?江城區(qū)期末）如圖，/MON=9C,矩形A8CD的頂點A、3分別在邊OM、ON上，當(dāng)B

在邊。N上運動時，A隨之在0M上運動，矩形A8CQ的形狀保持不變，其中人4=6,BC=2.運動過

程中點D到點0的最大距離是.

12.（2022?東莞市校級一模）如圖，在矩形/WC。中，4B=6,AO=5,點P在人。上，點。在上,

且AP=CQ,連接CP,QD,則PC+OQ的最小值為

13.（2022?錢塘區(qū)一模）如圖，在矩形A8CO中，線段E廠在;48邊上，以￡尸為邊在矩形A8C。內(nèi)部作正

方形EFGH,連結(jié)4"，CG.若A8=10,40=6,EF=4,則A〃+CG的最小值為

14.（2022春?東城區(qū)期中）在正方形人BCD中，AB=5,點￡戶分別為人ZX人“上一點，￡LAE=AF,

連接4￡、CF,則4七+C”的最小值是

15.（2022春?虎林市期末）如圖，在□△A8C中，NBAC=90°,且加=⑵AC=16,點。是斜邊BC

上的一個動點，過點。分別作。E_L43于點七，于點E點G為四邊形。。/對角線交點，則

線段G*的最小值為

16.（2022?浦橋區(qū)校級三模）在菱形A8C。中，NO=60°,CO=4,E為菱形內(nèi)部一點，且AE=2,連

接CE,點尸為CE中點，連接8F,取B/中點G,連接4G,則AG的最大值為.

17.（2022春?靖江市校級期末）如圖，線段AB的長為10,點D在48上，△ACQ是邊長為3的等邊三角

形，過點。作與C。垂直的射線。P,過OP上一動點G（不與。重合）作矩形CDG”,記矩形CQG”

的對角線交點為。，連接OB,則線段BO的最小值為.

18.（2022春?鄲都區(qū)期末）如圖，在矩形48co中，A3=4,40=8,點E是3c邊上一動點，作點B關(guān)

于AE的對稱點R連接CR點尸為CF中點，則QP的最小值為.

19.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，矩形A8CO中，A8=4,AQ=2百，E為48的中點，F(xiàn)為EC上一動點、,

P為。尸中點，連接PB,則PB的最小值是.

20.（2022春?如東縣期中）如圖，已知4B=2a,C為線段A8上的一個動點，分別以AC,CB為邊在

4B的同側(cè)作菱形ACE。和菱形C8GF,點C,E,r在一條直線上，ZD=I2O°.P、Q分別是對角線

AE,8卜的中點，當(dāng)點C，化線段上移動時，點尸，。之間的距離最短為（結(jié)果保留根號）.

三.解答題（共10小題）

21.（2022?禹城市二模）（1）如圖①，已知正方形A8CO的邊長為4,點M和N分別是邊8C,CQ上兩

點，且BM=CN,連AM和交于點尸.猜想AM與8N的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

（2）如圖②，已知正方形ABC。的邊長為4.點M和N分別從點8、C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC、

CD方向向終點。和。運動，連接AM和8M交于點P.求△APB周長的最大值.

圖①圖②

22.（2022春?東坡區(qū)校級月考）正方形A8CO中，E、尸是A。上的兩個點，AE=DF,連CF交BD于點

M,連4M交BE于點M連接。M如果正方形的邊長為2.

（1）求證：BE_L4M；

（2）求ON的最小值.

23.（2022?黃埔區(qū)模擬）如圖，在邊長為4的菱形43C。中，8。=4,E、”分別是4。、CO上的動點（包

含端點），且4E+b=4,連接8E、EF、FB.

（1）試探究8E與8戶的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

24.（2022春?洪山區(qū)期中）如圖1,E,廠是正方形A/3c。的邊上兩個動點，滿足AE=DP,連接C/交

BD于G,連接6￡交月。于點”

（1）求證：AG^BEx

（2）如圖2,連DH,若正方形的邊長為4,則線段。“長度的最小值是.

圖1圖2

25.（2022?寧德）如圖，四邊形44co是正方形，ZVWE是等邊三角形，M為對角線4。（不含3點）上

任意?一點，將3M繞點3逆時升旋轉(zhuǎn)60°得至IJ8N,連接EMAM.CM.

（1）求證：4AMB公AENB；

（2）①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最小；

②當(dāng)M點在何處時，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；

（3）當(dāng)AM+/M7+CM的最小值為百+1時，求正方形的邊長.

26.（2022?南充模擬）如圖，M,N是正方形A8CO的邊CD上的兩個動點，滿足CM=OMAC,BM相

交于點E,OE與AN相交于點F,連接CF.

（1）求證：DELAN.

（2）若正方形A8CQ的邊長為4,求CF的最小值.

27.（2022春?思明區(qū)校級期中）己知：在矩形/WCD中，/W=8,BC=12,四邊形EFG”的三個頂點E、

F、”分別在矩形/14CO的邊八8、BC、DA上.

（1）如圖1,四邊形EPG〃為正方形，AE=2,求GC的長.

（2）如圖2,四邊形七FG”為菱形，設(shè)△GFC的面積為S,且S與x滿足函數(shù)關(guān)系S=6—%.在

自變量x的取值范圍內(nèi)，是否存在x，使菱形E尸G”的面積最大？若存在，求工的值，若不存在，請說

28.（2022?南崗區(qū)校級一模）已知菱形A8CO的對角線相交于O,點E、尸分別在邊A8、BC±,且8E

=BF,射線EO.FO分別交邊CD、AD于G、H.

（1）求證：四邊形EFG”為矩形；

（2）若。4=4,OB=3,求EG的最小值.

29.（2022春?戚堂堰區(qū)校級月考）如圖，已知/MON=90°,線段A8長為6（w,A8兩端分別在OM、

ON上滑動，以AB為邊作正方形ABCD,對角線AC、8。相交于點P,連接OC.

（1）求OC的最大值；

（2）求證：無論點A、點8怎樣運動，點P都在NAO4的平分線上;

（3）若OP=4岳街,求。4的長.

30.（2012秋?吳中區(qū)月考）如圖①，四邊形48C。是正方形，△A5E是等邊三角形，例為對角線3。（不

含3點）上任意一點，將4M繞:點4逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到連接EMAM、CM.

（1）連接MM△BMN是等邊三角形嗎？為什么？

（2）求證：/\AMB學(xué)4ENB；

（3）①當(dāng)M點在何處時，AM+CM的值最??；

②如圖②，當(dāng)M點在何處時，人M+8M+CM的值最小，請你畫出圖形，并說明理由.

專題18.8四邊形中的最值問題專項訓(xùn)練（30道）

【人教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，選擇10題，填空10題，解答10題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可強化學(xué)

生對四邊形中最值問題模型的記憶與理解！

一.選擇題（共10小題）

I.（2022春?重慶期末）如圖，矩形中，AB=2?BC=6,P為矩形內(nèi)一點，連接用，PB,PC,

則PA+PB+PC的最小值是（）

AK----------------------yD

A.4遮+3B.2V21C.2K+6D.4V5

【分析】將△8PC繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△￡人?,連接PF、AE.AC,則A￡的長即為所求.

【解答】解：將△8PC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到△EFC連接尸尸、AE.AC,則AE的長印為所求.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△/>/<是等邊三角形,

：.PC=PF

?:PB=EF,

???PA+PB+PC=R\+PF+EF,

???當(dāng)A、P、F、E共線時，B4+PB+PC的值最小,

???四邊形人8c。是矩形,

AZABC=9(r,

：.AC=y/AB2+BC2=473,

：.AC=2AB,

：.ZACT=30°,AC=2AB=4>/3,

VZBCE=60°,

AZACE=90°,

：,AE=J(4V3)2+62=2x/21,

故選：B.

2.(2022?淹橋區(qū)校級模擬)如圖，平面內(nèi)三點A、B、C,AB=4,AC=3,以8c為對角線作正方形8。?！?

A.5B.7C.142D.萍

【分析】如圖將△8D4繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CQM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=4,DA=

DM./AOM=90",推出△ADM是等腰直角三角形，推出AD=￥AM,推出當(dāng)A用的值最人時，的

值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題：

【解答】解：如圖將△8D4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM.

由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=4,DA=DM.NAOM=90°,

???△ADW是等腰直角三角形，

：.AD=與AM,

???當(dāng)AM的值最大時，AD的值最大，

???AMWAOCM,

???AMW7,

???AM的最大值為7,

：.AD的最大值為管，

故選：。.

3.（2022春?中山市期末）如圖，在邊長為〃的正方形4BCO中，E是對角線8。上一點，且BE=BC,點

產(chǎn)是CE上一動點，則點〃到邊出九的距離之和尸M+〃N的值（）

3

B.VC

A.有最大值。B.有最小值乎。

C.是定值。D.是定值學(xué)4

【分析】連接BP,作EF18C于點F,由正方形的性質(zhì)可知尸為等腰直角三角形，BE=a,可求石尸,

利用面積法得5ABP/T+5ABPC=S/BEC＞將面積公式代入即可.

【解答】解：如圖，連接BP,作EEL8C于點尸，則N￡7有=90°,

AD

區(qū)

BFNC

???正方形的性質(zhì)可知NE8”=45°,

???△BEF為等腰直角三角形，

???正方形的邊長為小

:?BE=BC=a,

:.BF=EF=曰BE=亭,

V?±BD,PN上BC,

SaBPmSaBPC=SaBEC，

：；EXPM+部XPN=,CXEF,

VBE=BC,

：,PM+PN=EF=—a.

2

則點P到邊BD,BC的距離之和PM+PN的值是定值今a.

故選：D.

4.（2022春?三門峽期末）如圖，在矩形ABCQ中，AB=2,AD=\,E為的中點，尸為EC上一動點,

P為。尸中點，連接P8,則PB的最小值是（）

A.2B.4C.V2D.2V2

【分析】根據(jù)中位線定理可得出點點尸的運動軌跡是線段BP2,再根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)8/<LP/2時,

PB取得最小值；由矩形的性質(zhì)以及已知的數(shù)據(jù)即可知BPJ_P/2,故8尸的最小值為8P的長，由勾股

定理求解即可.

【解答】解：如圖：

當(dāng)點尸與點C重合時，點。在Pl處，CP|=OP],

當(dāng)點尸與點E重合時，點P在P2處，EP2=DP2,

：.P\P2//CE^.P\P2=]CE.

當(dāng)點尸在EC上除點C、E的位置處時，有DP=FP.

由中位線定理可知：PiP〃CEH.PiP=：CF.

???點。的運動軌跡是線段外尸2，

???當(dāng)3P_LP|P2時，P8取得最小值.

???矩形48co中，AB=2,AD=\,E為A8的中點，

??.△CBE、△ADE、為等腰直角三角形，CPi=l.

:?NADE=NCDE=NCP[B=45°,ZDEC=90°.

???NQP2Pl=90°.

：.ZDP\P2=45°.

???NP2丹8=90°,即8Pl_L〃/2，

:,BP的最小值為BPi的長.

在等腰直角BCPi中，CPi=EC=l.

：.BP\=y/2.

???P3的最小值是或.

故選：C.

5.(2022春?濱湖區(qū)期末)如圖，已知菱形A3CO的面積為20,邊長為5,點P、。分別是邊3C、。。上

的動點，且PC=CQ,連接P。、AQ,則PQ+AQ的最小值為()

A.4V5B.V89C.10D.772

【分析】過點A作AMJ_8C于點M,延長AM到點A',使4'根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可

得BM=3,以點8為原點，3c為x軸，垂直于BC方向為,，軸，建立平面直角坐標系，可得8(0,0),

A(3,4),C(5,0),D(8,4),A'(3,-4),然后證明AA3Pg△AOQ(SAS),可得AP=

AQ=A'P,連接A'D,AP,A'P,由A'P+PD>A,D,可得A',P,。三點共線時，PD+A'〃取

最小值，所以尸D+4Q的最小值=PO+A'。的最小值=A'D,利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點A作4M_LBC于點M,延長AM到點4',使4'M=AM,

???四邊形4BCZ)是菱形，

：,AB=BC=AD=5,ZABC=ZADCt

???菱形ABCD的面積為20,邊長為5,

，AM=4,

在RtZ\A8M中，根據(jù)勾股定理得：

BM=\lAB2-AM2=3,

以點8為原點，8c為x軸，垂直于8c方向為)，軸，建立平面直角坐標系，

:?B(0,0),A(3,4),C(5,0)，D(8,4),A'(3,-4),

*：PC=CQ,BC=CD,

:.BP=DQ,

仁△ASF和△AOQ中，

AB=AD

/.ABC=Z.ADC,

BP=DQ

A^ABP^/XADQ(SAS),

：,AP=AQ=A'P,

連接A'D,AP,A'P,

\*A'P+PD>A'D,

???A‘，P,。三點共線時，PIHA,夕取最小值，

APD+AQ的最小值=PD+4'P的最小值=人,D=7(8-3)2+(4+4)2=V89.

故選:B.

6.(2022?泰山區(qū)一模)如圖，M、N是正方形48CO的邊CD上的兩個動點，滿足4M=BN，連接4。交

BN于點、E,連接。石交AM于點F,連接。凡若正方形的邊長為2,則線段C尸的最小值是()

A.2B.1C.V5-ID.V5-2

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=8C=C。，NADC=NBCD,NDCE=/BCE,然后利用“印產(chǎn)證

明RtZkAOM和RtZ\8CN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等用得N1=N2,利用“SAS”證明△QCE和

△BCE全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得N2=N3,從而得到N1=N3,然后求出NAFO=90°,

取A。的中點。，連接。尺0C,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得0/=今。=1,利用

勾股定理列式求出0C，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)0、F、C三點共線時，。尸的長度最小.

【解答】解：在正方形AAC"中，AD=BC=CD,NAOC—/8CO,ZDCE=Z?Cfc,

在RtZXAOM和RtABCN中,

fAD=BC

L4M=BN'

RtAADM^RtABCTV(HL),

AZ1=Z2,

在△QCE和△BCE中，

BC=CD

乙DCE=乙BCE,

CE=CE

.,.△DCE^ABCE(SAS),

???N2=N3,

AZ1=Z3,

VZADF+Z3=ZADC=9O0,

???Nl+N4OF=90°,

AZAFD=180°-90°=90°,

取A。的中點0，連接OF、OC,

則。尸=。。=/。=1,

在RtAODC中，OC=y/DO2+DC2=Vl2+22=V5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OF+CF>OC,

???當(dāng)0、F、C三點共線時，。尸的長度最小，

最小值=oc?0r=再—1.

故選：C.

7.（2022?龍華區(qū)二模）如圖，已知四邊形A8C。是邊長為4的正方形，E為C。上一點，且DE=1,F為

射線上一動點，過點E作EGJ_A/于點P,交直線AB于點G.則下列結(jié)論中：①4尸二氏7；②若/

BAF=NPCF,貝ljPC=PE；③當(dāng)/CP~=45°時，8/=1；④PC的最小值為—2.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【分析】連接4E,過E作曰于，，則EH=8C,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到4尸

=EG,故①正確；根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的判定和性質(zhì)即可得到PE=PC；故②正確；連接石凡

推出點從P、F、C四點共圓，根據(jù)圓周角定理得到N尸￡C=N尸PC=45°,于是得到“尸=OE=1,同

理當(dāng)廠運動到。點右側(cè)時，此時N￡'PC=45°,且￡。。/四點共圓，EC=FC=3,故此時3產(chǎn)=4C+C~

=4+3=7.因此或7,故③錯誤；取AE的中點O,連接PO,CO,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到

AO=PO=\AE,推出點P在以。為圓心，A￡為直徑的園上，當(dāng)。。最小時，CP的值最小，根據(jù)三角形

的三邊關(guān)系得到PC20C-0P,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接AE,過E作于〃，

則EH=BC,

*：AB=BC,

:?EH=AB,

VEG±AF,

AZBAF+ZAGP=ZBAF+ZAFB=90°,

：,ZEGH=ZAFB,

VZB=ZEWG=90°，

.,.△HEG^AA^FCAAS),

：.AF=EG,故①正確；

?:AB"CD,

???ZAGE=ZCEG,

??'NBA尸+NAGP=90°,/PCF+NPCE=90°,

■:NBAF=NPCF,

???ZAGE=ZPCE,

NPEC=NPCE,

：.PE=PC；故②正確；

連接E",

VZ￡P(guān)F=ZFCE=90°,

工點E、P、尸、C四點共圓,

：.ZFEC=ZFPC=45°,

:,EC=FC,

：.BF=DE=\,

同理當(dāng)廠運動到C點右側(cè)時，此時//夕。=45°,且石、P、C、/四點共圓，EC=FC=3,故此時〃尸

=4C+C尸=4+3=7.因此8/=1或7,故③錯誤；

取4E的中點。，連接P。，CO,

：.AO=PO=/￡,

VZ/4PE=90°,

???點P在以。為圓心，4七為直徑的圓上，

???當(dāng)。。最小時，CP的值最小，

":PC2OC-0P,

???PC的最小值=oc-OP=OC-YE,

0C=J22+(今2=苧，在RtA/\DE中，AE=V42+I2=V17,

???PC的最小值為苧-緣故④錯誤，

故選：B.

D

8.（2022?南平校級自主招生）如圖，在△ABC中，AB=6,AC=8,?C=IO,尸為邊BC上一動點（且點

p不與點仄。重合），PE上AB于E,于F.則石尸的最小值為（）

A.4B.4.8C.5.2D.6

【分析】先由矩形的判定定理推知四邊形PE4”是矩形；連接以，則以=后凡所以要使EF,即%最

短，只需用J_CB即可；然后根據(jù)三角形的等積轉(zhuǎn)換即可求得力的值.

【解答】解：如圖，連接必.

??,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,

:.BC2=AB2+AC2,

???NA=90°.

又???PE_LA8于點E,P凡LAC于點F.

AZAEP=ZAFP=90°,

???四邊形尸E4尸是矩形.

：,AP=EF.

???當(dāng)布最小時，E尸也最小,

即當(dāng)AP_LC8時,出最小，

：即

*2-AB*AC2=-BC*AP,APB=C10=—=4.8,

???線段科長的最小值為4.8：

故選：B.

F

9.（2022春?崇川區(qū)期末）如圖，正方形A8C。邊長為1,點E,尸分別是邊BC,CD上的兩個動點，且

BE=CF,連接B凡DE,則BF+OE的最小值為（）

A.V2B.V3C.V5D.V6

【分析】連接A￡,利用△48E0△BCr轉(zhuǎn)化線段"得到BP+O￡=AE+QE,則通過作A點關(guān)于8c對稱

點H,連接?！敖?C于E點，利用勾股定理求出DH長即可.

【解答】解：連接AE,如圖1,

???四邊形4BCO是正方形，

；?AB=BC,NABE=NBCF=90°.

又BE=CF,

:.MBE在MBCF（SAS）.

:?AE=BF.

所以4P+OE最小值等于AE+OE最小值.

作點A關(guān)于BC的對稱點H點，如圖2,

連接8月,則A、B、”三點共線，

連接?！芭c8c的交點即為所求的E點.

根據(jù)對稱性可知AE=HE,

所以4E+OE=OH.

在中，AD=\,AH=2,

:.DH=y/AH2+AD2=6

???8廣+OE最小值為百.

故選：C.

10.（2022?泰州）如圖，正方形A8CQ的邊長為2,E為與點。不重合的動點，以。E為一邊作正方形OEFG.設(shè)

DE=di，點F、G與點C的距離分別為山、為，則4+公+公的最小值為（）

【分析】連接AE，那么，AE=CG,所以這三個d的和就是4E+EF+FC,所以大于等于AC,故當(dāng)AEFC

四點共線有最小值，最后求解，即可求出答案.

【解答】解：如圖，連接人巴

???四邊形。石尸G是正方形，

AZEDG=90°,EF=DE=DG,

???四邊形A/3CO是正方形，

：,AD=CD,NAQC=90°,

ZADE=ZCDG,

/.^ADE^/XCDG(SAS),

：,AE=CG,

d?+42+(/3=EF+CF+AEf

.??點A,E,F,C在同一條線上時,EF+C尸+AE最小,即力+4+為最小,

連接AC

，4+小+小最小值為AC,

在RtZ\/WC中，AC=y/2AB=2>/2,

:.di+ch+ch最小=%。=2\/^,

故選：C.

二.填空題（共10小題）

11.（2022春?江城區(qū)期末）如圖，NMON=90°,矩形/WC7）的頂點4、8分別在邊OM、ON上,當(dāng)B

在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB=6,BC=2.運動過

【分析】取48的中點E,連接。。、。瓜。區(qū)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得OE=夕8,

利用勾股定理列式求出。區(qū)然后根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊可得0。過點E時最大.

【解答】解：如圖：取線段A8的中點E,連接0，DE,OD,

???/W=6,點七是48的中點，/408=90°,

：.AE=BE=3=OE,

???四邊形A6CQ是矩形，

：.AD=BC=2,ZDAB=90°,

：.DE=y/AE2+AD2=713,

?；ODWOE+DE,

??.當(dāng)點。，點E,點O共線時：0。的長度最大.

???點D到點0的最大距離=OE+OE=3+g,

故答案為：3+g.

12.（2022?東莞市校級一模）如圖，在矩形48C。中，AB=6,A￡>=5,點。在A。上，點。在3C上，

且AP=CQ,連接CP,QD,則PC+P。的最小值為13.

--------------1B

【分析】連接8P,在船的延長線上截取AE=AB=6,連接PE,CE,PC+QD=PC+PB,則PC+。。的

最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，在BA的延長線上截取AE=AB=6,則PC+QD=PC+PB=PC+PE^CE,

根據(jù)勾股定理可得結(jié)果.

【解答】解：如圖，連接AP.

???四邊形ABC。是矩形，

：.AD//BC,AD=BC,

'：AP=CQ,

：.AD-AP=BC-CQ,

:.DP=QB,DP//BQ,

???四邊形OP%是平行四邊形,

:.PB//DQ,PB=DQ,

:.PC+QD=PC+PB,

:,PC+QD的最小值轉(zhuǎn)化為PC+PB的最小值，

如圖，在3A的延長線上截取AE=4B=6,連接尸E,CE,

???弘是8E的垂直平分線，

:.PB=PE,

：.PC+PB=PC+PE,

:?PC+QD=PC+PB=PC+PE2CE,

BE=2AB=\2,8c=40=5：

:?CE=y/BE2+BC2=13.

JPC+PH的最小值為13.

???PC+OQ的最小值為13.

故答案為：13.

13.（2022?錢塘區(qū)一模）如圖，在矩形48CZ）中，線段E尸在力B邊上，以EF為邊在矩形48CD內(nèi)部作正

方形EFGH,連結(jié)A”,CG.若43=1（）,AQ=6,EF=4,則A〃+CG的最小值為―修

D,______________￡

AEFR

【分析】方法一：延長D4至A',使A'A=EH=EF=4,連接A'E,EG,可得四邊形兒4'是平

行四邊形，所以A'E=A",則AH+CG的最小值即為A'E+CG的最小值,根據(jù)勾股定理即可解決問題.方

法二：過點G作GA'〃AH交A產(chǎn)于點A',可得四邊形AHGA'是平行四邊形，進而可以解決問題.

【解答】解：方法一：如圖，延長。A至A',使A'A=EH=EF=4,連接4'E,EG,

D____________

H

r~

*：HELAB.AArLAB,

：,AAr//EH,

?.WA=EH,

???四邊形AA'EH是平行四邊形，

?/E=AH,

則A”+CG的最小值即為A'E+CG的最小值，

???四邊形E9GH是正方形，

:,EF=FG=4,

:?EG=A五,

VA,D=AD+AA,=6+4=10,

在RtZXA'OC中，DC=AB=10,

?/C=yjA'D24-DC2=10>/2,

???A'E+CG=A'C-EG=6V2.

則AH+CG的最小值為6V2.

方法二：如圖，過點G作GA'〃A”交A尸于點A',

，四邊形A"G4'是平行四邊形，

AA4，=HG=4,A'G=AH,

???A'B=AB-AAr=6,

?:BC=6,

?"'C=6V2,

：.AH+CG=ArG+CGNA'C,

則AH+CG的最小值為6V2.

故答案為：6V2.

14.（2022春?東城區(qū)期中）在正方形A3c。中，AB=5,點、E、F分別為A。、AB上一點，且AE=AF,

連接BE、CF,則BE+CF的最小值是

E

A

A

BC

【分析】連接OF,根據(jù)正方形的性質(zhì)證明尸(SAS),可得OF=8E,作點。關(guān)于AB的

對稱點Q'，連接CD'交AB于點尸，連接。'F,WODF=D'F,可得BE+CF=DF+CF=D'F+CF

2CD'，所以當(dāng)點尸與點尸重合時，D)產(chǎn)+C尸最小，最小值為C。’的長，然后根據(jù)勾股定理即可解

決問題.

【解答】解：如圖，連接。尸，

:四邊形ABC。是正方形，

：,AD=ABtNR4E=NOAr=90°,

在△A。/；和△AB￡中，

AD=AB

Z.FAD=Z.EAB,

AF=AE

A^ADF^AABE(SAS),

:?DF=BE,

作點。關(guān)于AB的對稱點。'，連接C。'交4B于點尸，連接尸，則。/=。'F,

：.BE+CF=DF+CF=D'F+CF^CD',

，當(dāng)點尸與點尸重合時，D'8最小，最小值為的長，

在RtZXCQ。'中，根據(jù)勾股定理得：

CD'=VCD2+DD，2=V524-102=575,

???8E+b的最小值是5遍.

故答案為：5V5.

15.(2022春?虎林市期末)如國，在RtZSABC中，Z5AC=90°，且3A=12,AC=16,點。是斜邊BC

上的一個動點，過點。分別作于點E,Q“_L4C于點尸，點G為四邊形。對角線交點，則

線段GF的最小值為

【分析】由勾股定理求出的長，再證明四邊形。以尸是矩形，可得根據(jù)垂線段最短和三角

形面積即可解決問題.

【解答】解：連接A。、EF,

VZBAC=90",且R4=9,AC=12,

:.BC=y/AB2+AC2=V122+162=20,

DELAB,DFLAC,

ZDEA=ZDFA=ZBAC=90°,

???四邊形。胡尸是矩形，

:,EF=AD,

???當(dāng)A/5_LBC時，4。的值最小，

此時，△人8c的面積=UBX4C=*BCXAO,

22

A12X16=2040,

：,AD=當(dāng)

???歷的最小值為？，

???點G為四邊形OE4/對角線交點，

：.GF=^EF=^

故答案為：y.

16.（2022?溺橋區(qū)校級三模）在菱形A8CO中，ZD=60°,€7）=4,E為菱形內(nèi)部一點，且4石=2,連

接CE,點尸為CE中點，連接8巴取B尸中點G,連接AG,則AG的最大值為夕

【分析】先根據(jù)題目條件中的中點可聯(lián)想中位線的性質(zhì)，構(gòu)造中位線將0〃和G"的長度先求出來，再

利用三角形的三邊關(guān)系判斷，當(dāng)AG=A”+HG時最大.

【解答】解：如圖所示；連接3D交AC于點O,連接/O,取O4的中點〃，連接〃G和4〃，

???在菱形48。中，

???0為4C中點，

???尸為CE中點，

：,OF=^AE=\,

當(dāng)C、F、E、A共線時，OF也為1,

???G為/中點、H為OB中點,

:?GH=-OF=

22

???在菱形A3c。中且NQ=60°,

/.ZABO=-ZABC=-ZADC=30°,N8OA=90°,

22

：.OA=^AB=2,

AOB=V42-22=2V3,

???OH=W，

：.AH=5+（百/=V7,

'/AG^AH+HG,

???4G.+V7,

???4G的最大值為g+V7.

故答案為：＜+夕.

17.（2022春?靖江市校級期末）如圖，線段A8的長為10,點D在48上，△ACO是邊長為3的等邊三角

形，過點。作與C。垂直的射線。尸，過?！ㄉ弦粍狱cG（不與。重合）作矩形CQG/7,記矩形COG”

的對角線交點為O,連接。B,則線段B0的最小值為5.

【分析】連接A。，根據(jù)矩形對角線相等且互相平分得：OC=OQ,再證明△AC。0ZVI。。，則N（M8=

30°；點0一定在NCA3的平分線上運動，根據(jù)垂線段最短得：當(dāng)OZkLAO時，03的長最小，根據(jù)直

角三角形30°角所對的直角邊是斜邊的一半得出結(jié)論.

【解答】解：連接A。，

?

:CG=DH,OC=-2CG,OD=-2DH,

:.OC=OD,

???△AC。是等邊三角形，

：.AC=AD,ZCA￡>=60°,

在△ACO和△A。。中,

AC=AD

AO=AO,

CO=DO

（SSS）,

???NO48=NCAO=30°,

???點。一定在NOB的平分線上運動，

，當(dāng)O8J_AO時，0B的長度最小，

???/048=30°,NAO8=90°,

OB=-2AB=-2x\（）=5,

即。3的最小值為5.

故答案為：5.

18.（2022春?鄲都區(qū)期末）如圖，在矩形A8CO中，A8=4,,4。=8,點E是BC邊上一動點，作點8關(guān)

于4E的對稱點凡連接b,點P為b中點，則。P的最小值為，的-2.

【分析】根據(jù)勾股定理和三角形中位線，可以得到OP的長和0。的長，然后再根據(jù)圖形可知當(dāng)點尸在

線段。。上時，QP取得最小值，然后計算即可.

【解答】解：連接AC、BD交于點0,連接AR0P,

???四邊形ABCD是矩形，NB4D=90°,4B=4,AD=8,

???點。為4c的中點，BD=，AB2+AD?=4^5,

又???點P是。尸的中點，

???0P是△CA廠的中位線，

???點B關(guān)于AE的對稱點F,A8=4,

???4尸=4,

：?0P=2,

???8。=4倔

???0D=2遙,

VOP+DP>OD,0P=2,00=26，

???當(dāng)點P在。。上時，。戶取得最小值，JiwDP=0D-OP=2V5-2,

故答案為：2V5-2.

19.（2022春?江都區(qū)期中）如圖，矩形48CO中，AB=4,AD=2y[3fE為（8的中點,F為EC上一動點,

P為DF中點,連接P8,則PB的最小值是」V5_.

【分析】取DE中點P',取DC中點P”,根據(jù)中位線定理可得出點P的運動軌跡是線段尸砂2，再根

據(jù)垂線段最短可得當(dāng)3P_LP/=時，出3取得最小值，由勾股定理求解即可.

【解答】解：如圖：取。石中點〃，

???P為。尸中點,

:.P'P//EC,

取。C中點尸'，

???/為DF中點,

:.P"P//EC,

AP,尸，尸'三點在同一條直線上，

???點P的運動軌跡是線段P'P",

???當(dāng)8P_LP'P"時，P8取得最小值.

過點B作BG±EC于點G,過P"作P"MLEC于點M,

的最小值=BG+P〃M,

???矩形ABC。中，A6=4,E為48的中點，

：,AE=BE=2,

,：BC=AD=2V3,

：.DE=CE=J22十（26尸=4,

*：AB=CD=4f

???△EDC是等邊三角形，

:.NP"CM=60°,

?：CP”=2,

???CM=1,

:?P"M=V5,

?:ED=EC,AE=BE,AD=BC,

:ACBE/AADECSSS）,

:?NDEA=NCEB,

VZDEC=60°.

AZBEG=60".

■;BE=2,

:.BP=P"M+BG=2瓜

工PB的最小值是2vs.

故答案是：2V3.

20.（2022春?如東縣期中）如圖，已知人8=2近，C為線段A8上的一個動點，分別以AC,CB為邊在

4B的同側(cè)作菱形ACEO和菱形CBGF,點C,E,尸在一條直線上，ZD=I2O°.P、Q分別是對角線

AE,/"?，的中點，當(dāng)點。在線段A8上移動時，點P,。之間的距離最短為_夸_（結(jié)果保留根號）.

FG

/

CB

【分析】連接QC、PC.首先證明NPCQ=90°,設(shè)AC=2a,則BC=2y/2-2a,PC=a,CQ=6（企一。）.構(gòu)

建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.

【解答】解：連接尸。、CQ.

G

CB

??四邊形ACEO,四邊形CBGF是菱形，ZD=120°,

\Z4CE=120°,NFCB=6（）°,

；P,Q分別是對角線4E,/好的中點，

,?NECP=\AACE,ZFCQ=3/BCF,

??NPCQ=90°,

殳4C=2a,則8c=2企-2a,PC=a,CQ=yBC=V3（V2-a）.

*-PQ=yJPC2+QC2=Ja2+3（V2-a）2=]?。一斗/+.

?.當(dāng)。=乎時，點尸，。之間的距離最短，最短距離是手.

解