2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列（蘇科版）專題31 勾股定理-重難點(diǎn)題型（舉一反三）含解析

2023.2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)舉一反三系列專題3.1勾股定理.重難

點(diǎn)題型

【蘇科版】

”娠區(qū)初

*呼1交三

【知識(shí)點(diǎn)1勾股定理】

在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的—.如果直角三角形的兩條直角

邊長(zhǎng)分別是a，b,斜邊長(zhǎng)為c,那么.

【題型1勾股定理的認(rèn)識(shí)】

【例I】（2021春?路南區(qū)校級(jí)月考）在RlZ\ABC中，ZC=90°.

（1）已知。：b=3：4,c=10,則a=,b=；

（2）已知。=6,0=8,則斜邊c上的高/?=.

【變式1-1]（2020秋?本溪期末）在RtZ\A8C中，斜邊A8=3,則.

【變式1-2]（2021春?廣州期中）在△ABC中,NA=25°,NB=65；則下列式子成立的是（）

4.AC2+AB2=RC1B.AR2+BC2=AC2

C.AC1-8（^=AB2D.AC2+BC2=AB2

【變式1-3]（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，ZC=90°,兩直角邊長(zhǎng)及斜邊上的高分別為

a,b,/?,則下列關(guān)系式成立的是（）

c

111

A。/+瓦=於B./+記=延

C.h2=ahD.h2=a2+b2

【總結(jié)】

【題型2利用勾股定理解勾股樹問題】

【例2】（2020秋?惠來縣期末）如圖，由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積

是（）

C.144D.169

【變式2-1]（2021春?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,

其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為80〃，則圖中所有正方形的面積的和是（）

C.128c4D.192cw2

【變式2-2]（2021春?漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三

角形都是直角三角形，若正方形A，B,C,D的面積分別為6,10,4,6,則最大正方形E的面積是（）

C.22D.16

【變式2-3]（2021春?天津期中）如圖，已知在RlAABC中，/4CB=90°,分別以AC,BC,48為直徑

作半圓，面枳分別記為Si,S2,S3,若S3=9TT,則S1+S2等于

【總結(jié)】

【題型3利用勾股定理求線段長(zhǎng)度】

[例3]（2020秋?新吳區(qū)期中）己知△A3C中，A4=17,AC=10,3C邊上的高A〃=8,則4c的長(zhǎng)是（）

A.21B.15C.6D.21或9

【變式3-1]（2021春?慶云縣月考）在RtZXABC中,ZC=90°,AB=25cm,AC=15cmtCH_L4B垂足

【變式3-2]（2021春?天津期中）如圖，已知在RtZ\A8C中，NAC8=90°,AC=9,8C=12,AB的垂

直平分線交A8于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,則8E的長(zhǎng)為

【變式4-3］（2020秋?中原區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在△A8C中，點(diǎn)。是BC上的一點(diǎn)，已知AC=CO=5,

)

C.72D.125

【總結(jié)】

【知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證】

勾股定理的驗(yàn)證主要通過完成，這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，圖形拼補(bǔ)為手段，各部分面積

之間的關(guān)系為依據(jù)來實(shí)現(xiàn)的.用面枳方法證明勾股定理是最常見的一種方法.

【題型5勾股定理的驗(yàn)證】

［ft11（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第

一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

【變式5-1］（2020秋?中牟縣期中）1876年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其

中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE,石6在一條直線上，證明一用到的面積相等關(guān)系是（）

A.S&EDA=SdCEB

B.S^EDA+SACDE+S^CEB=Spqn形ABCD

C.SA.EDA+S^CEB=S^CDE

D.S四邊形AECD=S四邊形。仍c

【變式5-2］（2020秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（I）驗(yàn)證它的正確性.圖

中大正方形的面積可表示為（〃+力）2,也可表示為C44X）仇即（a+b>2=?+4X^ab.由此推出勾股

定埋。2+廬=。2這種方法可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證出數(shù)學(xué)規(guī)律和公式.

（1）請(qǐng)你用圖（II）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形/18CQ,

中間的部分是一個(gè)小正方形E/G",AE=a,BE=b,AB=c）；

（2）請(qǐng)你用圖（川）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+y）2=X2-+2AW.

【變式5-3］（2020春?包河區(qū)校級(jí)期中）教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法除了可以幫助我

們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其

中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為m較小的直角邊長(zhǎng)都為從斜邊長(zhǎng)都為，大正方■形的面積可

以表示為c）,也可以表示為4x/〃+（a-b）2,由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直

角邊長(zhǎng)為&九斜邊長(zhǎng)為C,則J+從=°2.

（1）圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.

（2）如圖③，在△A8C中，A。是8c邊上的高，AB=4,AC=5,BC=6,設(shè)BD=x,求x的值.

（3）試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）Ca+2b）=d+3血2射,畫在如圖4的網(wǎng)格中，并

標(biāo)出字母小〃所表示的線段.

【知識(shí)點(diǎn)3勾股定理的應(yīng)用】

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常得到直角三角形.

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與_的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽

象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

【題型6勾股定理的應(yīng)用】

【例6】（2021春?涪城區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一直立標(biāo)桿，它的上部被風(fēng)從8處吹折，桿頂。著地，離桿

W2小，修好后又被風(fēng)吹折，因新斷處。比前一次低0.5/77,故桿頂E著地比前次遠(yuǎn)1M，求原標(biāo)桿的高度.

【變式6-1］（2021春?7人定區(qū)期中）如圖，木工師傅將一根長(zhǎng)2.5米的梯子（A8）,斜靠在與地面（OM）

垂直的墻（ON）上，這時(shí)梯足B到墻底端O的距離?是0.7米，如果梯子的頂端4沿墻下滑0.4米到點(diǎn)A'

時(shí)，梯足將外移多少米？

【變式6-2]（2020秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，工作

人員告訴小敏，該項(xiàng)目AB段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長(zhǎng)度為26米，長(zhǎng)方形CDEF為一木質(zhì)平

臺(tái)的主視圖.小敏經(jīng)過現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量得知：米，AO=15米，于是小敏大膽猜想立柱A8段的長(zhǎng)為10

米，請(qǐng)判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請(qǐng)寫出理由，如果錯(cuò)誤，請(qǐng)求出立柱43段的正確長(zhǎng)度.

【變式6-3]（2021春?南川區(qū)期中）為了積極宣傳防疫，南川區(qū)政府采用了移動(dòng)車進(jìn)行廣播，如圖，小明

家在南大街這條筆直的公路A/N的一側(cè)點(diǎn)人處，小明家到公路的距離為600米，假使廣播車戶周圍

100（）米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，廣播車P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，若小明此時(shí)

在家，他是否能聽到？若能，請(qǐng)求出他總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的廣播？

MPBQN

【總結(jié)】

專題3.1勾股定理■重難點(diǎn)題型

【蘇科版】

”娠區(qū)初

*呼1交三

【知識(shí)點(diǎn)1勾股定理】

在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方.如果直角三角形的兩條直角

邊長(zhǎng)分別是a,b,斜邊長(zhǎng)為C,那么M+爐”2.

【題型1勾股定理的認(rèn)識(shí)】

【例1】(2021春?路南區(qū)校級(jí)月考)在RtZXABC中,ZC=90°.

(1)已知a：b=3：4,c=10,貝lja=,b=；

(2)已知a=6,b=8,則斜邊c上的高/?=.

【分析】⑴設(shè)。=33貝股=軟，由勾股定理求出。=5匕再根據(jù)c=10求出火的值，進(jìn)而得到。與b

的值;

(2)首先根據(jù)勾股定理求得斜邊c=10；然后由面積法來求斜邊上的高線.

【解答】解：(1)設(shè)4=3匕則6=4匕

???在中，ZC=90°,

c=yJa2+b2=J(3k)2+(4左產(chǎn)=5k,

Vc=10,

/.5^=10,

解得k=2,

.*.67=3X2=6,2=4X2=8：

(2)???在RtZ\A8C中，ZC=90°,a=6,b=8,

/.c=y/a24-b2=V62+82=10.

設(shè)斜邊上的高為h，貝ij二aZ?=于力,

故答案是:6>8；4.8.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，直角三角形面枳的求法，需同學(xué)們靈活掌握.注意：

（1）中可根據(jù)勾股定理求出已知邊所占的份數(shù)，進(jìn)一步求解；

（2）中掌握直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊.

【變式1-1]（2020秋?本溪期末）在RtZ\ABC中，斜邊A8=3,則.

【分析】由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理得到斜力的平方等于兩直角邊的平方和，根據(jù)斜邊

4K的長(zhǎng)，可得出兩直角邊的平方和，然后將所求式子的后兩項(xiàng)結(jié)合，將各自的值代入即可求出值.

【解答】解：??.△ABC為直角三角形，為斜邊，

：.AC2+BC2=AB2,又A8=3,

：.AC2+BC2=AB2=9,

則A^+BC^+G^MAB、（BC2+CA2）=9+9=18.

故答案為：18

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了勾股定理，是一道基本題型.熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2021春?廣州期中）在aABC中，NA=25°,ZB=65°,則下列式子成立的是（）

A.AC2+AB2=BC2B.AB2+BC2=AC2

22222

C.AC2-BC=ABD.AC+BC=AB

【分析】根據(jù)在△48C中，NA=25。，N8=65°,可以得到NC的度數(shù)，然后根據(jù)勾股定理，即可判

斷各個(gè)選項(xiàng)中的說法是否正確.

【解答】解：在△A3C中，ZA=25°,ZB=65°,

Z.ZC=1800-ZA-N4=9（T,

???△ABC是宜角三角形,

：.AC1+BC2=AB2,故選項(xiàng)。正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、三角形內(nèi)角和，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的知識(shí)解答.

【變式1-3］（2020春?靈山縣期末）在直角三角形ABC中，NC=90°,兩直角邊長(zhǎng)及斜邊上的高分別為

.7,b,/?,則下列關(guān)系式成立的是（)

1_1____1_

A-/+記=后B.了十正=亞

C.Ir=abD.li1=a2+b2

【分析［設(shè)斜邊為c,根據(jù)勾股定理得出c=后不"，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：設(shè)斜邊為c,根據(jù)勾股定理得出不正,

11

■:-ab=刊2,

22

/.ab=y/a24-b2?h,即crb2=a2h2+b2h2，

a2b2a2h2b2h

222

*abh。2匕2h2+Q2b2尼'

.111

即F+/1=/?

a*-b-九“

故選:故

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，熱知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜

邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵.

【題型2利用勾股定理解勾股梃問題】

【例2】（2020秋?惠來縣期末）如圖，由兩個(gè)直角三角形和三個(gè)大正方形組成的圖形，其中陰影部分面積

是（)

C.144D.169

【分析［根據(jù)勾股定理解答即可.

【解答】解:

根據(jù)勾股定理得出：AB=7AU-8c2=V132-122=5,

：,EF=AB=5,

???陰影部分面積是25,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考杳勾股定理，關(guān)健是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是小b,斜邊長(zhǎng)為c,那

么J+/P=c2解答.

【變式2-1](2021春?海淀區(qū)校級(jí)月考)如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形,

其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為8G〃，則圖中所有正方形的面積的和足()

A.64(7?2B.81c渥C.128c/D.192c病

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，連續(xù)運(yùn)用勾股定理，利用四個(gè)小正方形的面積和等于最大正方形的面

積進(jìn)而求出即可.

【解答】解：???所有的三角形都是直角三角形，所有的四邊形都是正方形，

???正方形A的面積=/,正方形B的面積=從，

正方形C的面積=d,正方形。的面積=32,

又,：a2+b1=x2,。2+屋=),2,

，正方形A、B、C、。的面積和=(a2+b2)+(c2+d2)=x2+y2=82=64(cm2),

則所有正方形的面積的和是:64X3=192(cm2).

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了勾股定理，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出正方形之間面積關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式2-2]（2021春?漢陽(yáng)區(qū)期中）如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三

角形都是宜角三角形，若正方形人，B,C,D的面積分別為6,10,4,6,則最大正方形E的面積是（）

C.22D.16

【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫?,C,。的面積和即為最大正方

形的面積.

【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si,C、。的面積和為S2,51+52=53,

故選:B..

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了勾股定理的應(yīng)用.能夠發(fā)現(xiàn)正方形A,B,C,O的邊長(zhǎng)正好是兩個(gè)直角三角形的四

條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，從C,。的面積和即是最大正方形的面積.

【變式2-3]（2021春?天津期中）如圖，已知在RtZkABC中，/AC8=90°,分別以AC,BC,A8為直徑

作半圓，面積分別記為Si,S2,S3,若S3=9TT,貝1JS1+S2等于.

c

【分析】根據(jù)勾股定理和圓的面積公式，可以得到SI+S2的值，從而可以解答本題.

【解答】解：???NACB=90°,

:,AC2+BC2=AB2,

ACi1BC91AB91

VS|=TT（—）2X,S2=n（-）~x5，S3=n（h2叼

2222

AC1BCAB2

.?S+S2=n（3）7丁LX9i=Tl（T"）x1=S3,

2

V53=9TC,

；?Si+S2=9n,

故答案為：9n.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【題型3利用勾股定理求線段長(zhǎng)度】

[例3]（2020秋?新吳區(qū)期中）已如△44。中，八"=17.4C=10,4C邊上的高4H=8,則AC的長(zhǎng)是（）

A.21B.15C.6D.21或9

【分析】高線4”可能在三角形的內(nèi)部也可能在三角形的外部，本題應(yīng)分兩種情況進(jìn)行討論.分別依據(jù)

勾股定理即可求解.

【解答】解：如圖所示，在RtZXABH中，

???3〃=V172-02=15：

在RtZXAC”中,

VAC=10,A，=8,

:.CH=V102-82=6,

???當(dāng)AH在三角形的內(nèi)部時(shí),如圖1,8c=15+6=21；

當(dāng)AH在三角形的外部時(shí)，如圖2,BC=15-6=9.

?8C的長(zhǎng)是21或9.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，在解答此題時(shí)要進(jìn)行分類討論，不要漏解.

【變式3-1]（2021春?慶云縣月考）在中，NC=90°,A8=25"〃，AC=15cm,垂足

【分析】利用勾股定理得出的長(zhǎng)，再利用三角形面積求法得出HC的長(zhǎng).

【解答】解：在RtZXABC中，NAC8=90°,

根據(jù)勾股定理可得：BC=yjAB^-AC2=V252-152=20,

???RtA/lBC的面積=\xBCXAC=|xABXCH,

???20X15=25XC”，

解得,CH=\2Cem）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+戶

=c2.

【變式3-2]（2021春?天津期中）如圖，已知在Rt/XABC中，ZACB=90°,AC=9,BC=12,A8的垂

宜平分線交A3于點(diǎn)。，交BC于點(diǎn)E,則BE的長(zhǎng)為

【分析】根據(jù)線段垂直平分線n勺性質(zhì)，可以得到A￡=8從再根據(jù)勾股定理，即可求得的長(zhǎng).

【解答】解：連接AE，

???石。是人8的垂直平分線，

:.AE=BE,

設(shè)AE=8E=x,

VAC=9,8C=12,

：.CE=\2-x,

???NACE=90°,

:.AC1+CE2=AE1,

即92+(12?x)2=/，

解得x=笄，

75

故答案為：

o

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思

想解答.

【變式3-3](2020秋?上海期末)如圖，在△A4C中，NAC"90",CQ_LA4于點(diǎn)。，如果4c=6,AD

=3,那么BD=.

c-

【分析】根據(jù)勾股定理求出CD，再根據(jù)勾股定理用B。表示出8C,根據(jù)題意列出方程，解方程得到答

案.

【解答】解：在RtZXACO中，CD=7Al-4A=*-3々=3百,

在RtABCD中，BC=VQ+8"=V27+^D2,

在R5BC中，BC=yjAB2-AC2=V（3+FD）2-62,

：.yJ27+BD2=V（3+FD）2-62,

解得，BD=9,

故答案為：9.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是4,b,斜邊長(zhǎng)為C,那

么a2+h2=c2.

【題型4利用勾股定理求面積】

【例4】（2020秋?青羊區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△A8C中，NB=90°,人8=6,BC=8,人。為NMC的角

平分線，則三角形AQC的面積為（）

【分析】作D”_LAC于從如圖，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=10,再利用角平分線的性質(zhì)得到。8=。從

進(jìn)行利用面積法得到xABXCD=；DHXAC,則可求出DH,然后根據(jù)三角形面積公式計(jì)算S~u）c.

【解答】解：作O，_LAC于凡如圖，

在Rt/^44c中，N8=90",AB=6,4C=8,

：.AC=V62+82=10,

TA。為N8AC的角平分線，

:.DB=DH,

11

V-XAI3XCD=^DHXAC,

22

???6（8?。“）=\ODH,解得DH=3,

S.\ADC=iX1OX3=15.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長(zhǎng)度.也考杳了角

平分線的性質(zhì).

【變式4-1］（2020秋?肥西縣期末）如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,A。平分NBAC交8c于點(diǎn)O.若

BC=3,且BD：DC=5：4,A8=5,則△48。的面積是.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可以得到/*=OC,然后根據(jù)BC=3,且BQ：DC=5：4,可以得到OC

的長(zhǎng)，從而可以得到?！甑拈L(zhǎng)，再根據(jù)的長(zhǎng)，即可計(jì)算出△A3。的面積.

【解答】解：作。E_LA8于點(diǎn)E,

??N。平分N8AC,ZC=90°,DELAB,

:.DC=DE,

???BC=3,且BD：OC=5：4,

44

"C=3Xk于

4

-

3

:"=5,DEA.AB.

4

48力￡_5X^_10

???/XAB。的面積是:

2~2~3

故答案為：y

B噓

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、角平分線的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是求出QE的長(zhǎng)，利用數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

【變式4-2］（2。2。秋?錦江區(qū)校級(jí)期中）已知中，AH=\1,8C=21,CA=1U,求8c邊上的高及

△A8c的面積、

【分析】作AOJLBC于D,設(shè)CO=x,根據(jù)勾股定理列出方程，解方程求出x,根據(jù)勾股定理求出4D,

根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【解答】解：作AQ_L8c于

設(shè)CQ=x,則3Q=21?x,

在RlZSACO中，AD2=AC2-CD1,

在中，AD1=AB2-BD2,

AAC2-CD2=AB2-BD1,BP102-X2=172-(21-x)2,

解得，x=6,即CD=6,

則AD=yjAC2-CD2=V102-62=8,

XABC的面積=1xBCXAD=1x21X8=84.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+必

=c2.

【變式4-3］（2020秋?中原區(qū)校級(jí)月考）如圖所示，在△48C中，點(diǎn)力是BC上的一點(diǎn),已知AC=CO=5,

AD=6,BD=5,則的面積是（）

A.18B.36C.72D.125

【分析】先作輔助線，AE_LCZ）于點(diǎn)E,Cr_LA。于點(diǎn)尸，然后根據(jù)勾股定理，可以得到CF的長(zhǎng)，再根

據(jù)等積法可以得到4E的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出△ABC的面積.

【解答】解：作A凡LC。于點(diǎn)4作CFLAD于點(diǎn)F,

VAC=CD=5,40=6,CFA-AD,

：.AF=3fNA~C=9()0,

CF=y/AC2-AF2

??_C_D__A__E_A_D__C__F

22

SAE6X4

22

解得.

VBD=|,CD=5,

15

:?BC=T*

1524

一X—

BCAE25

???△48C的面積是:=18,

22

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查勾股定理、等腰三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

【知識(shí)點(diǎn)2勾股定理的驗(yàn)證】

勾股定理的驗(yàn)證主要通過推圖法完成，這種方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導(dǎo)思想，圖形拼補(bǔ)為手段，各部分面積

之間的關(guān)系為依據(jù)來實(shí)現(xiàn)的.用面積方法證明勾股定理是最常見的一種方法.

【題型5勾股定理的驗(yàn)證】

［例I］（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是歷史上第

一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）

【分析】先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可.

I111

【解答】解：A、*.*—cib+-^c~+-^ab=5（a+匕）（a+b），

???整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

B、'Fx劫+9=（。+〃）2,

???整理得：〃2+/‘2=C.2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

C、V4x^ab+（b-a）2=c2,

???整理得：M+〃2=。2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意;

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個(gè)部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2020秋?中牟縣期中）1976年，美國(guó)總統(tǒng)伽菲爾德利用如圖所示的方法驗(yàn)證了勾股定理，其

中兩個(gè)全等的直角三角形的邊AE,仍在一條直線上，證明I用到的面積相等關(guān)系是（）

A.S^EDA=S^CEB

B.S^EDA+S^CDE+S^CEB=S四邊影ABCD

C.S^EDA+SACEB=S^CDE

D.S四邊形AECO=S四邊形。七BC

【分析】用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個(gè)圖形的面積，從而證明勾股定理.

【解答】解：根據(jù)勾股定理可得：S.EDA+S&CDE+S&CEB=S四邊形ABCD.

故選:B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明依據(jù).此類證明要轉(zhuǎn)化成該圖形面積的兩種表示方法，從而轉(zhuǎn)化成

方程達(dá)到證明的結(jié)果.

【變式5-2]（2020秋?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期末）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（I）驗(yàn)證它的正確性.圖

中大正方形的面積可表示為（〃+。）2,也可表示為?+4x即（〃+力）2=?+4X^ab.由此推出勾股

定埋。2+廬=。2這種方法可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證出數(shù)學(xué)規(guī)律和公式.

（1）請(qǐng)你用圖（II）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形/18CQ,

中間的部分是一個(gè)小正方形E/G",AE=a,BE=b,AB=c）；

（2）請(qǐng)你用圖（川）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證：（x+y）2=7+2A

【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積-小正方形的面積=4個(gè)直角三角形的面積，即可證明；

（2）可以拼成一個(gè)邊長(zhǎng)是X+y的正方形，它由兩個(gè)邊長(zhǎng)分別是人y的正方形和兩個(gè)長(zhǎng)、寬分別是1、y

的長(zhǎng)方形組成：

【解答】解：（1）大正方形的面積為：c4中間小正方形面積為：（…）2；

四個(gè)直角三角形面積和為：4xLb；

由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=小正方形面積+四直角三角形面積,

卻有：（?=（b-a）2+4X^ab=b2-lab+cr+lal^c^+b1；

（2）如圖示：

大正方形邊長(zhǎng)為（x+y）所以面積為：（x+y）2,它的面積也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為x,y和兩個(gè)長(zhǎng)為x寬為

y的矩形面積之和，即/+2^+),2

所以有：(x+y)2=x2+2xy+y2成立；

【點(diǎn)評(píng)】此題考查勾股定理問題，注意熟練掌握通過不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積來證明一些公式

的方法.

【變式5-3](2020春?包河區(qū)校級(jí)期中)教材在探索平方差公式時(shí)利用了面積法，面積法除了可以幫助我

們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗(yàn)證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖(如圖①，其

中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長(zhǎng)都為較小的直角邊長(zhǎng)都為人，斜邊長(zhǎng)都為。)，大正方形的面積可

以表示為c),也可以表示為4x3必+(a-b)2,由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直

角邊長(zhǎng)為。，b,斜邊長(zhǎng)為c,Ma2+b2=c2.

(1)圖②為美國(guó)第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖②推導(dǎo)勾股定理.

(2)如圖③，在△A8C中，4Q是8c邊上的高，48=4,AC=5,BC=6,設(shè)8。=%,求x的值.

(3)試構(gòu)造一個(gè)圖形，使它的面積能夠解釋(〃+/?)(a+2b)=a2+3ab+2h2,畫在如圖4的網(wǎng)格中，并

標(biāo)出字母小〃所表示的線段.

【分析】(1)梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可.利用三個(gè)直角三角形面枳求出，兩次求出的

面積相等列出關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可得證；

(2)運(yùn)用勾股定理在RlZVlBD和RtZ\4OC中求出4D2,列出方程求解即可；

(3)畫出邊長(zhǎng)為什人和。+28的矩形即可.

111,

【解答】解：（1）梯形/1BC7）的面積為；（Q+b）（Q+b）=-a92+ab+-b\

11111111

也可以表示為一ab+-ab+-c2,ab+-ab+-c2=-a2+ab+-b2,

22222222

即a2+/?2=c2；

（2）在R【Z\A8O中，AD2=AB2-/?D2=42-x1=16-x2；

在RtZ\4OC中，AD2=AC2-DC2=52-（6-x）2=-ll+Hv-x2；

所以16-W=-11+12A--x2,

解得x=*

（3）如圖,

由此可得（。+〃）Ca+2b）=a2+3ab+2b2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵.

【知識(shí)點(diǎn)3勾股定理的應(yīng)用】

（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形.

（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與龍程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽

象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

【題型6勾股定理的應(yīng)用】

【例6】（2021春?涪城區(qū)校級(jí)期中）如圖，有一直立標(biāo)桿，它的上部被風(fēng)從8處吹折，桿頂C著地，離桿

S2〃?，修好后又被風(fēng)吹折，因新斷處D比前一次低0.5〃?，故桿頂E著地比前次遠(yuǎn)\m,求原標(biāo)桿的高度.

【分析】由題中條件，可設(shè)原標(biāo)桿A8的高為x,進(jìn)而再依據(jù)勾股定理建立平衡方程，進(jìn)而求解即可.

【解答】解；依題意得AC=2,AE=3,

設(shè)原標(biāo)桿的高為X,

VZA=90°,

???由題中條件可得即4解+2?=（X-AB）2,

整理，得/-2人以=4,

同理，得（AB-0.5）2+32=（x-AB+0.5）2,

整理，得/-2A8x+x=9,

解得x=5.

.??原來標(biāo)桿的高度為5米.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考杳了簡(jiǎn)單的勾股定理的應(yīng)用問題，能夠熟練掌握.

【變式6-1]（2021春?永定區(qū)期中）如圖，木工師傅將一根長(zhǎng)2.5米的梯子（AB）,斜靠在與地面（OM）

垂直的墻（ON）上，這時(shí)梯足B到墻底端。的距離是0.7米，如果梯子的頂端A沿墻下滑0.4米到點(diǎn)A'

時(shí)，梯足將外移多少米？

【分析】在直角△A8O中，已知A/L40可以求AO,在O夕中，再利用勾股定理計(jì)算出"。的

長(zhǎng)，進(jìn)而可得8"的長(zhǎng).

【解答】解：在直.角△AB。中，A8為斜邊，已知A8=2.5米，8。=0.7米,

則根據(jù)勾股定理求得AO=VAB2—BO?=]2.52-0.72=2.4（米），

??S點(diǎn)下移0.4米，

?/0=2米，

在RtZVVOB'中，已知A'B'=2.5米，A'。=2米，

則根據(jù)勾股定理B'0=VA42-AO?」2.52-22=1.5（米），

:.BB'=OB'-80=1.5-0.7=0.8（米），

所以梯子向外平移0.8米.

N

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定埋在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了勾股定理的靈活運(yùn)用，本題中找到AA=A'

B'的等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2020秋?沙坪壩區(qū)期末)如圖是某“K越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，工作

人員告訴小敏，該項(xiàng)目段和5c段均由不銹鋼管材打造，總長(zhǎng)度為26米，長(zhǎng)方形COE尸為一木質(zhì)平

臺(tái)的主視圖.小敏經(jīng)過現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量得知：CQ=1米，AQ=15米，于是小敏大膽猜想立柱A4段的長(zhǎng)為10

米，請(qǐng)判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請(qǐng)寫出理由，如果錯(cuò)誤，請(qǐng)求出立柱48段的正確長(zhǎng)度.

【分析】如答圖，延長(zhǎng)“'交'A于點(diǎn)G,貝UCGJ"人從人G=CD=I米，GC=/A￡)=I5米，設(shè)2G=x米,

則BC=(26-1-X)米，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論.

【解答】解：不正確：

理由：如答圖，延長(zhǎng)尸。交48于點(diǎn)G,

則CG_LA8,4G=。。=1米，GC=AO=15米，

設(shè)BG=x米，則BC=(26-1-x)米，

在RIZX6GC?中，

*：BG2+CG2=CB2,

???/+152=(26-1-x)2,

解得x=8,

：.BA=BG+GA=S+\=9(米)，

???小敏的猜想錯(cuò)誤，立柱A8段的正確長(zhǎng)度長(zhǎng)為9米.

B

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3]（2021春?南川區(qū)期中）為了積極宣傳防疫，南川區(qū)政府采用了移動(dòng)車進(jìn)行廣播，如圖，小明

家在南大街這條筆直的公路MN的一側(cè)點(diǎn)八處，小明家到公路MN的距離為600米，假使廣播車P周圍

100（）米以內(nèi)能聽到廣播宣傳，廣播車P以250米/分的速度在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，若小明此時(shí)

在家，他是否能聽到？若能，請(qǐng)求出他總共能聽到多長(zhǎng)時(shí)間的廣播？

MPBQN

【分析】根據(jù)小明4到公路MN的距離為600米V1000米，可以判斷能否聽到；根據(jù)勾股定理得到

=BQ=800米，求得PQ=160。米，于是得到結(jié)論.

【解答】解：小明能聽到宣傳，

理由：：村莊A到公路MN的距離為600米V10（）0米，

???小明能聽到宣傳；

如圖：假設(shè)當(dāng)宣講車行駛到P點(diǎn)開始小明聽到廣播，行駛到。點(diǎn)小明聽不到廣播，

則AP=AQ=1000米，A8=600米，

：,BP=BQ=V10002-6002=800（米），

:.PQ=1600米，

，小明聽到廣播的時(shí)間為：1600+250=6.4（分鐘），

，他總共能聽到6.4分鐘的廣播.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題時(shí)結(jié)合生活實(shí)際，便于更好的理解題意.

專題3.2勾股定理的逆定理?重難點(diǎn)題型

【蘇科版】

”20否興

【知識(shí)點(diǎn)1勾股定理的逆定理】

如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足M+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直角三角形.

【題型1直角三角形判別的條件】

【例1】（2021春?蜀山區(qū)校級(jí)期中）下列條件中，不能判定A8C為直角三角形的是（）

A.atb；c=5i12；13

B.ZA：NB：ZC=2：3：5

C.a=9k,8=40匕c=4\k（A>0）

D.?=32,b=42,c=52

【變式1-1]（2021春?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）AABC的三邊為“，b,c且（a+b）（a-b）=c2,則該三角形是

（）

A.銳角三角形

B.以c為斜邊的直角三角形

C.以。為斜邊的直角三角形

D.以〃為斜邊的直角三角形

【變式1-2]（2020秋?天寧區(qū)校汲期中）AABC中，NA、NB、NC的對(duì)邊分別是a、b、c,下列條件中

能判定是直角三角形的是.（填寫序號(hào)）

（1）a：b：c=5：12：13,（2）a=1.5,b=2.5,c=2,（3）（?-/?）2+2ab=c1,（4）NA：/B：

ZC=3：4：5,（5）a=n2-bb=2n,c=M+1（〃為大于1的正整數(shù)）

【變式1-3]（2021春?漢陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）如圖，在單位為1的正方形網(wǎng)格圖中有a,b,c,1四條線段，從

中任取三條線段所構(gòu)成的三角形中恰好是直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

"z-z

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【知識(shí)點(diǎn)2勾股數(shù)】

滿足。2+￡>2“2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足02+/-。2,但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù).

②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù).

【題型2勾股數(shù)】

【例2】（2020秋?岐山縣期中）下列四組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）

A.0.3,0.4,0.5B.32,42,52

111

C.30,40,50D.一,-

345

【變式2-1]（2021春?武昌區(qū)期中）在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，愛動(dòng)腦的小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股

數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中.則當(dāng)。=24時(shí)，>c的值為（）

a68101214…

h815243548???

c1017263750…

A.250B.288C.30（）D.574

【變式2?2】（2021春?肥鄉(xiāng)區(qū)月考）我們學(xué)習(xí)了勾股定理后,都知道“勾三、股四、弦五”.

觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就

沒有間斷過.

（1）請(qǐng)你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：_________;

（2）若第一個(gè)數(shù)用字母〃（〃為奇數(shù)，且〃23）表示，那么后兩個(gè)數(shù)用含〃的代數(shù)式分別表示為

和.

【變式2-3］（2020秋?蕉城區(qū)期中）滿足/+從=c?2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

（1）請(qǐng)把下列三組勾股數(shù)補(bǔ)充完整：

①,8,10②5,,13③8,15,.

（2）小敏發(fā)現(xiàn)，很多已經(jīng)約去公因數(shù)的勾股數(shù)組中，都有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，如果將它寫成2〃，〃，那么另外

兩個(gè)數(shù)可以寫成〃尸+M,"2,如4=2X2X1,5=22+12,3=22?12.請(qǐng)你幫小敏證明這三個(gè)數(shù)27MzI,

:n2+n2,in2-層是勾股數(shù)組.

（3）如果21,72,75是滿足上述小敏發(fā)現(xiàn)的規(guī)律的勾股數(shù)組，求機(jī)+〃的值.

【題型3格點(diǎn)圖中求角度】

【例3】（2020秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則NA3C的度數(shù)為45°.

.4

【變式3-1］（2020秋?朝陽(yáng)區(qū)期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A,B,C,。，P是網(wǎng)格線交點(diǎn).若NAPB

【變式3?3】（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖所示的是正方形網(wǎng)格，則NMOC-NM48=°（點(diǎn)A,

B,C,。，M.網(wǎng)格線交點(diǎn)）.

A/

【題型4勾股定理及逆定理的應(yīng)用（求線段長(zhǎng)度）】

【例4】（2020秋?淮安期末）如圖，△ABC中，48的垂直平分線。上分別交人C、AB于點(diǎn)。、E,且人

-DKBC2,AC=16,CD：AD=3：5,求8c的長(zhǎng).

【變式4-1]（2021春?江岸區(qū)校級(jí)月考）已知中，ZC=90°,4”=3,CH=4,AC=5,求BH

的長(zhǎng).

【變式4-2]（2020秋?沙縣期末）如圖，在△A8C中，A4=4C,8C=15,。是A4上一點(diǎn)，BD=9,CD

=12.求4c長(zhǎng).

【變式4-3]（2021春?蓮湖區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=3,BC=5,。七是8c的垂直平分

【題型5勾股定理及逆定理的應(yīng)用（求面積）】

【例5】（2020秋?槐蔭區(qū)校級(jí)月考）如圖△A4C的三邊長(zhǎng)為5,12,13,分別以三邊為直徑向上作三個(gè)半

圓，則陰影部分的面積為（）

60

A.30B.24C.60D.—

13

【變式5-1]（2021春?東城區(qū)校級(jí)期中）如圖，四邊形A/3C。中，A8=3,8