(人教版)九年級數(shù)學(xué)上冊教案(全冊)

第二H^一章一元二次方程

21.1一元二次方程

教學(xué)目標(biāo)：?<

1?通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(aW0)，分清二次項及其系數(shù)、

一次項及其系數(shù)與常數(shù)項等概念.

2?了解一元二次方程的解的概念，會檢驗一個數(shù)是不是一元二次方程的解.

重后難后：?<

重點

通過類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2+bx+c=0(aW0)和一元二次方程的解等概

念，并能用這些概念解決簡單問題.

娃點

一元二次方程及其二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項的識別.

教學(xué)設(shè)計：?<

活動1復(fù)習(xí)舊知

I?什么是方程？你能舉一個方程的例子嗎？

2?下列哪些方程是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一股形式.

(l)2x-l(2)mx+n=0(34+1=0(4)x2=1

3?下列哪個實數(shù)是方程2x—1=3的解？并給出方程的解的概念.

A-0B.1C.2D.3

活動2探究新知

根據(jù)題意列方程.

1?教材第2頁問題1.

提出問題：

(1)正方形的大小由什么量決定？本題應(yīng)該設(shè)哪個量為未知數(shù)？

(2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？

(3)這個方程能整理為比較簡單的形式嗎？請說出整理之后的方程.

2?教材第2頁問題2.

提出問題：

(I)本題中有哪些量？由這些量可以得到什么？

(2)比賽隊伍的數(shù)量與比賽的場次有什么關(guān)系？如果有5個隊參賽，每個隊比賽幾場？一共有20場比賽嗎？

如果不是20場比賽，那么究竟比賽多少場？

(3)如果有x個隊參賽，一共比賽多少場呢？

3?一個數(shù)比另一個數(shù)大3，且兩個數(shù)之積為0，求這兩個數(shù).

提出問題：

本題需要設(shè)兩個未知數(shù)嗎？如果可以設(shè)一個未知數(shù)，那么方程應(yīng)該怎么列？

4?一個正方形的面積的2倍等于25，這個正方形的邊長是多少？

活動3歸納概念

提出問題：

(I)上述方程與一元一次方程有什么相同點和不同點？

(2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個什么名字？

(3)歸納一元二次方程的概念.

I?一元二次方程：只含有個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是，這樣的方程，

叫做一元二次方程.

2?一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(aW())，其中ax?是二次項*a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b

是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.

提出問題：

(I)一元二次方程的一般形式有什么特點？等號的左、右分別是什么？

(2)為什么要限制aWO，b，c可以為0嗎？

(3)2x2—x+1=0的一次項系數(shù)是?嗎?為什么？

3?一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根).

活動4例題與練習(xí)

例1在下列方程中，屬于一元二次方程的是.

(1)4x2=81；(2)2x2—l=3y；(3)±+：=2；

AA

(4)2X2-2X(X+7)=0.

總結(jié)：判斷一個方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項

的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡前含有二次項，但是化簡后二次項系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程.

例2教材第3頁例題.

例3以一2為根的一元二次方程是()

A-X2+2X-1=0B.X2-X-2=0

C-X2+X+2=0D.X2+X-2=0

總結(jié)：判斷一個數(shù)是否為方程的解，可以將這個數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的值是否相等.

練習(xí)：

1?若(a—l)x2+3ax—1=0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是.

2?將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

(1)4x2=81；(2)(3x-2)(x+l)=8x-3.

3?教材第4頁練習(xí)第2題.

4?若一4是關(guān)于x的一元二次方程2x2+7x-k=0的一個根，則k的值為.

答案：l.aHl：2.略：3.略：4.k=4.

活動5課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解

一元二次方程嗎？

作業(yè)布置

教材第4頁習(xí)題21.1第1?7題.21.2解一元二次方程

21.2.1配方法(3課時)

第1課時直接開平方法

教與目標(biāo)：?<

理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題.

提出問題，列出缺一次項的一元二次方程ax2+c=0，根據(jù)平方根的意義解出這個方程，然后知識遷移到解

2

a(ex4-f)+c=O型的一元二次方程.：?<

重點

運用開平方法解形如(x+m)2=n(n20)的方程，領(lǐng)會降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

娃點

通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，將知識遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x+mF=n(n20)的方

程.

教學(xué)設(shè)計：?<

一、復(fù)習(xí)引入

學(xué)生活動：請同學(xué)們完成下列冬題.

問題1：填空

(1)X2-8X+=(x-)2；(2)9X2+12X+=(3x+)2；(3)x2+px+

(x+)2.

解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)164；(2)42；⑶物￡

問題2：目前我們都學(xué)過哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次

如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過哪些降次的方法？

二、探索新知

上面我們已經(jīng)講了X2=9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x=±3，如果x換元為2l+l，即(21+1)2=9，

能否也用直接開平方的方法求解呢？

(學(xué)生分組討論)

老師點評：回答是肯定的，把2t+l變?yōu)樯厦娴膞，那么2t+l=±3

即2t+l=3，2t+l=-3

方程的兩根為t】=l，t2=-2

例1解方程：(1)「十4x十4=1(2)『十6x十9=2

分析：(1)X2+4X+4是一個完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(X+2)2=1.

(2)由已知，得：(X+3)2=2

直接開平方，得：X+3=4

即x+3=V2，x+3=-也

所以*方程的兩根xi=-3+就?X2=-3—地

解：略.

例2市政府計劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的IO/"提高到］4.4〃戶，求每年人均住房面積增長率.

分析：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，一年后人均住房面積就應(yīng)該是10+10x=10(l+x)；二年后人均住

房面積就應(yīng)該是10(1+x)+10(l+x)x=10(l+乂尸

解：設(shè)每年人均住房面積增長率為x，

則：10(1+x)2=14.4

(H-X)2=1.44

直接開平方，得l+x=±L2

即l+x=1.2，l+x=-1.2

所以?方程的兩根是xi=0.2=20%，X2=-2.2

因為每年人均住房面積的增長率應(yīng)為正的，因此，X2=—2.2應(yīng)舍去.

所以，每年人均住房面積增長率應(yīng)為20%.

(學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問：解一元二次方程，它們的共同特點是什么？

共同特點：把一個一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思

想”.

三、鞏固練習(xí)

教材第6頁練習(xí).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2=p(p20)的方程，那么x=轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形

如(mx+n)2=p(p20)的方程，那么mx+n=4，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的.若p<0則方程無解.

五、作業(yè)布置

教材第16頁復(fù)習(xí)鞏固1.

第2課時配方法的基本形式

教學(xué)目標(biāo)：?<

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問題.

通過復(fù)習(xí)可直接化成x2=p(p20)或(mx+n)2=p(p20)的?元二次方程的解法，引入不能直接化成上面兩種

形式的一元二次方程的解題步驟.

重后難后：?<

教學(xué)設(shè)計:?<

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程：

(1)X2-4X+7=0(2)2X2-8X4-I=0

老師點評：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接

開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題.

解：略.(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？

二、探索新知

討論：配方法解一元二次方程的一般步驟：

(I)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項系數(shù)為I；

(3)常數(shù)項移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q20?方程的根是x=-p±y/q；如果q<0?方程無實根.

例1解F列方程：

(l)2x2+l=3x(2)3X2-6X+4=0(3)(1+x)2+2(l+x)-4=0

分析?：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方

式.

解：略.

三、鞏固練習(xí)

教材第9頁練習(xí)2.(3)(4)(5)(6).

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1?配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟.

2?配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過配方，

利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷代數(shù)式的正負(fù)性.在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時，還將經(jīng)常用到.

五、作業(yè)布置

教材第17頁復(fù)習(xí)鞏固3.(3)(4).

補充：(1)已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，求x+y+z的值.

(2)求證：無論x，y取任何實數(shù)，多項式x2+y2—2x—4y+16的值總是正數(shù).

21.2.2公式法

教學(xué)目標(biāo)：?<

理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程，了解公式法的概念，會熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程.

復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=0(aW0)的求根公式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式

法解一元二次方程.

重用難點：?<

重點：求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用.

旌點：一元二次方程求根公式的推導(dǎo).

教學(xué)設(shè)計：?<

一、復(fù)習(xí)引入

I?前面我們學(xué)習(xí)過解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程

(I)x2=4(2)(X-2)2=7

提問I這種解法的(理論)依據(jù)是什么？

提問2這種解法的局限性是什么？(只對那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效不能實施于一般

形式的二次方程.)

2?面對這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式.)

(學(xué)生活動)用配方法解方程2X2+3=7X

(老師點評)略

總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點評).

(I)先將已知方程化為一般形式；

(2)化二次項系數(shù)為1；

(3)常數(shù)項移到右邊；

(4)方程兩邊都加上一次項系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；

(5)變形為(x+p)2=q的形式，如果q20，方程的根是x=-p±^;如果q<0，方程無實根.

二、探索新知

月配方法解方程：

(l)ax2-7x+3=0(2)ax2+bx+3=0

如果這個一元一次方程是一般形式ax2+bx+c=0(aW0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請同

學(xué)獨立完成下面這個問題.

2

-b+Ab2-4ac-b-^/b-4acz,^,人一工口

問題:已知ax2+bx+c=O(aW0)，試推導(dǎo)它的兩個根xi=x=---------2a--------(這個方程一

2a2

定有解嗎？什么情況下有解？)

分析：因為前面具體數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不妨把a，b，c也當(dāng)成一個具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟

就可以一直推下去.

解：移項，得：ax2+bx=-c

二次項系數(shù)化為1，得x2+m=.

配方’得：*2+聲+碌)2=-；+(方)2

.b.b2—4ac

n即r1（zx+五

b~-4ac

V4a2>0，當(dāng)b2-4ac>0時，「20

4a

.?+景=（亭2

宜接開平方，得：x+為樂還

—b±\/b2-4ac

—b+db?-4ac_b_{b2_4ac

Ax,=2a'*2=2a

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此：

⑴解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當(dāng)b2-4ac^0時，將a，b，c代入式子

也里亞就得到方程的根.

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

⑶利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

公式的理解

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數(shù)根.

例1用公式法解下列方程：

(I)2x2-*一]=o(2、2+?.5=-3x

(3)x2—巾x+2=0(4)4x2—3x+2=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可.

補：(5)(x-2)(3x-5)=O

三、鞏固練習(xí)

教材第12頁練習(xí)1.⑴(3)⑸或⑵⑷⑹.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課應(yīng)掌握：

(I)求根公式的概念及其推導(dǎo)過程；

(2)公式法的概念；

(3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1)將所給的方程變成一般形式，注意移項要變號，盡量讓a>0；2)找

出系數(shù)a，b，c，注意各項的系數(shù)包括符號；3)計算b2-4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無解；4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代

入求根公式，算出結(jié)果.

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

五、作業(yè)布置

教材第17頁習(xí)題4，5

21.2.3因式分解法

教學(xué)目標(biāo)：?<

掌握用因式分解法解一元二次方程.

通過復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會和探尋用更簡單的方法一因式分解法解一元二次方程，

并應(yīng)月因式分解法解決一些具體問題.

重后難Q：?<

重點：用因式分解法解一元二次方程.

旌點：讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的司必疆曜饕々解法使解題更簡便.

教學(xué)設(shè)計

一、復(fù)習(xí)引入

(學(xué)生活動)解下列方程：(1)2x2—x=0(用配方法)(2)3x2+6x=0(用公式法)

老師點評：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為/，3的?半應(yīng)為:，因此，應(yīng)加上(5,，同時

減去(%(2)直接用公式求解.

二、探索新知

(學(xué)生活動)請同學(xué)們口答下面各題.

(老師提問)(1)上面兩個方程中有沒有常數(shù)項？

(2)等式左邊的各項有沒有共同因式？

(學(xué)生先答，老師解答)上面兩個方程中都沒有常數(shù)項：左邊都可以因式分解.

因此，上面兩個方程都可以寫成：(l)x(2x+l)=0(2)3x(x+2)=0

因為兩個因式乘積要等于0，至少其中一個因式要等于0，也就是(l)x=O或2x+l=0，所

以X1=O，X2=一；.

J

(2)3x=()或x+2=0，所以xi=O，X2=-2.(以上解法是如何實現(xiàn)降次的？)

因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個一次

式的乘枳等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法.

例1解方程：

(l)IOx_4.9X2=0(2)x(x—2)+x—2=0(3)5x2—2x—^=x2—2x+^(4)(x—1)2=(3—2x)2

思考：使用囚式分解法解一元二次方程的條件是H么？

解：略(方程一邊為0，另一邊可分解為兩個一次因式乘積.)

練習(xí)：下面一元二次方程解法中，正確的是()

A-(x—3)(x—5)=10X2?Ax—3=10?x—5=2?x)=13?x2=7

23

B?(2—5x)+(5x—2尸=0?/.(5x—2)(5x-3)=0，，X2=^

C?(x+2尸+4x=0，???xi=2，m2=—2

D-x2=x，兩邊同除以x，得x=l

三、鞏固練習(xí)

教材第14頁練習(xí)I，2.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課要掌握：

(I)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用.

(2)因式分解法要使方程一邊為兩個一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0.

五、作業(yè)布置：教材第17頁習(xí)題6，8，10，II.

21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)：?<

I?掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會初步應(yīng)用.

2?培養(yǎng)學(xué)生分析?、觀察、歸納的能力和推理論證的能力.

3?滲透由特殊到一般，再由一股到特殊的認(rèn)識事物的規(guī)律.

4?培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神.：?<

重點

根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)

旌點

E確理解根與系數(shù)的關(guān)系.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關(guān)

系.

教學(xué)設(shè)計：?<

一、復(fù)習(xí)引入

1?已知方程X?—ax-3a=0的一個根是6?則求a及另一個根的值.

2-由上題可知一元二次方程的系數(shù)與根有著密切的關(guān)系.其實我們己學(xué)過的求根公式也反映了根與系數(shù)的

關(guān)系?這種關(guān)系比較復(fù)雜，是否有更簡潔的關(guān)系？

-b+Ab2-4ac-b-Jb」一4ac

3?由求根公式可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)的兩根為x,

2a'X2=2a

觀察西式右邊，分母相同，分子是一b+，i?F與一b一產(chǎn)不?兩根之間通過什么計算才能得到更簡潔的關(guān)

系？

二、探索新知

解下列方程，并填寫表格:

方程X|X2X1+X2X|?X2

X2-2x=0

X2+3X-4=0

X2-5X+6=0

觀察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？

⑴關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p，q為常數(shù)?p?-4q20)的兩根\\>X2與系數(shù)p?q之間有什么關(guān)系？

(2)關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(aK0)的兩根X］，x?與系數(shù)a?b?c之間又有何關(guān)系呢?你能證明你的猜想

嗎？

解下列方程，并填寫表格:

方程

X|X2X1+X2X|,X2

2x2-7x-4=0

3X2+2X-5=0

5x2-17x+6=0

小結(jié)：根與系數(shù)關(guān)系：

2

(I)關(guān)于x的方程x+px+q=O(p，q為常數(shù)，p?—4q20)的兩根X)?x2與系數(shù)p，q的關(guān)系是：X|+x2=-p，

xi-xz=q(注意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零.)

(2)形如ax2+bx+c=0(aW0)的方程，可以先將二次項系數(shù)化為1，再利用上面的結(jié)論.

即：對于方程ax2+bx4-c=0(a^0)

■WO，?*+皋+5=0，xi+x2=-§'x><X2=.

cld<l<1

(可以利用求根公式給出證明)

例1不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積：

(3)1x2—2x=0

(1)X2-3X-1=0(2)2X2+3X-5=0

(4)V2X24-^/6X=V3(5)x2—1=0(6)X2-2X+I=0

例2不解方程，檢驗下列方程的解是否正確？

(l)x2—2A/2X+1=0(xi=-\/24-1，X2=&-1)

(2)2x-3x-8=0(xi=-J—，x2=-—)

例3已知一元二次方程的兩個根是一1和2,請你寫出一個符合蕓件的方程.(你有幾種方法？)

例4已知方程2x2+kx-9=0的一個根是一3，求另一根及k的值.

變式一：已知方程X?-2kx-9=0的兩根互為相反數(shù)，求k；

變式二：已知方程2x2-5x+k=0的兩根互為倒數(shù)，求k.

三、課堂小結(jié)

1?根與系數(shù)的關(guān)系.

2?根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：(1)是一元二次方程：(2)判別式大于等于零.

四、作業(yè)布置

1?不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積.

(l)x2-5x-3=()(2)9X+2=X2(3)6x2-3x+2=0(4)3x?十x十1=0

2?已知方程x2-3x+m=0的一個根為1，求另一根及m的值.

3?已知方程x2+bx+6=0的一個根為一2，求另一根及b的值.

21.3實際問題與一元二次方程(2課時)

第1課時解決代數(shù)問題

教學(xué)目標(biāo)：?<

1?經(jīng)歷用元二次方程解決實際問題的過程，總結(jié)列元二次方程解決實際問題的般步驟.

2?通過學(xué)生自主探究，會根據(jù)傳播問題、百分率問題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解，熟悉解題的具

體步驟.

3?通過實際問題的解答，讓學(xué)生認(rèn)識到對方程的解必須要進行檢驗，方程的解是否舍去要以是否符合問題

的實際意義為標(biāo)準(zhǔn).

重后難后：?<

重點

利用一元二次方程解決傳播問題、百分率問題.

甦點

如果理解傳播問題的傳播過程和百分率問題中的增長(降低)過程，找到傳播問題和百分率問題中的數(shù)量關(guān)

系.

敦與設(shè)計

一、引入新課

1?列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？

2?科學(xué)家在細(xì)胞研究過程中發(fā)現(xiàn)：

(I)一個細(xì)胞一次可分裂成2個，經(jīng)過3次分裂后共有多少個細(xì)胞？

(2)一個細(xì)胞一次可分裂成x個、經(jīng)過3次分裂后共有多少個細(xì)胞？

(3)如是?個細(xì)胞?次可分裂成2個，分裂后原有細(xì)胞仍然存在并能再次分裂，試問經(jīng)過3次分裂后共有多

少個細(xì)胞？

二、教學(xué)活動

活動1：自學(xué)教材第19頁探究I，思考教師所提問題.

有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

(1)如何理解“兩輪傳染”？如臭設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，第一輪傳染后共有人患

流感.第二輪傳染后共有人患流感.

(2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？

(3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？

解答：設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人，則依題意第一輪傳染后有(x+1)人患了流感，第二輪有x(l

+x)人被傳染上了流感.于是可列方程：

l+x+x(l+x)=121

解方程得Xi=IO，X2=—12(不合題意舍去)

因此每輪傳染中平均一個人傳染了10個人.

變式練習(xí)：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？

活動2：自學(xué)教材第19頁?第20頁探究2，思考老師所提問題.

兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)

在生產(chǎn)I噸甲種藥品的成本是3000元生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元哪種藥品成本的年平均下降率較大？

(I)如何理解年平均下降額與年立均下降率？它們相等嗎？

(2)若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了元，此時成本為

元；兩年后，甲種藥品下降了元，此時成本為元.

(3)增長率(下降率)公式的歸納：設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a，增長率為x，則一月(或一年)后產(chǎn)量為a(l±x)：

二月(或二年)后產(chǎn)量為a(l土x＞；

n月(或n年)后產(chǎn)量為a(l±x)n；

如果已知n月(n年)后總產(chǎn)量為M，則有下面等式:M=a(l±x)n.

(4)對甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為：.

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1?列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、歹U、解、答.最后要檢驗根是否符合實際.

2?傳播問題解決的關(guān)鍵是傳播源的確定和等量關(guān)系的建立.

3?若平均增長(降低)率為x，增長(或降低)前的基準(zhǔn)數(shù)是a，增長(或降低)n次后的星是b，則有：a(l±x)n-

b(常見n=2).

4?成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品，它的下降率不一定也較小.

作業(yè)布置：教材第21—22頁習(xí)題21.3第2—7題.

第2課時解決幾何問題

教學(xué)目標(biāo):?<

1?通過探究，學(xué)會分析幾何問題中蘊含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決幾何問題.

2?通過探究，使學(xué)生認(rèn)識在幾何問題中可以將圖形進行適當(dāng)變換，使列方程更容易.

3?通過實際問題的解答，再次讓學(xué)生認(rèn)識到對方程的解必須要進行檢驗，方程的解是否舍去要以是否符合

問題的實際意義為標(biāo)準(zhǔn).

重后難Q:?<

重點

通過實際圖形問題，培養(yǎng)學(xué)生運用一元二次方程分析和解決幾何問題的能力.

旌點

在探究幾何問題的過程中，找出數(shù)量關(guān)系，正確地建立一元二次方程.

教學(xué)設(shè)計:?<

活動1創(chuàng)設(shè)情境

1?長方形的周長________，面積，長方體的體積公式

2?如圖所示:

(I)一塊長方形鐵皮的長是10an，寬是8cm，四角各截去一個邊長為2的小正方形，制成一個長方體容

器，這個長方體容器的底面積是，高是，體積是.

(2)一塊長方形鐵皮的長是10cm，寬是8cm?四角各截去一個邊長為xcm的小正方形，制成一個長方體容

器，這個長力體容器的底面積是，高是，體枳是.

活動2自學(xué)教材第20頁?第21頁探究3，思考老師所提問題

要設(shè)計一本書的封面，封面長27cm＞寬21cm，正中央是一個與整個封面長寬比例相同的矩形，如果要使

四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計四周邊襯的寬度(精

確到0.1cm).

(I)要設(shè)計書本封面的長與寬的比是，則正中央矩形的長與寬的比是.

(2)為什么說上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9：7?試與同伴交流一下.

(3)若設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm?左、右邊襯的寬均為7xcm?則中央矩形的長為cm＞寬為

an，面積為cm2.

(4)根據(jù)等量關(guān)系：，可列方程為：.

(5)你能寫出解題過程嗎？(注意對結(jié)果是否合理進行檢驗.)

(6)思考如果設(shè)正中央矩形的長與寬分別為9xc〃?和7xcm，你又怎樣去求上下、左右邊襯的寬？

活動3變式練習(xí)

如圖所示，在一個長為50米，寬為30米的矩形空地上，建造一個花園，要求花園的面積占整塊面積的75%，

等寬且互相垂直的兩條路的面積占25%，求路的寬度.

答案：路的寬度為5米.SS

活動4課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

I?利用己學(xué)的特殊圖形的面積（或體積）公式建立?元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并運用它解決實際問題的關(guān)鍵

是弄清題目中的數(shù)量關(guān)系.

2?根據(jù)面積與面積（或體積）之間的等量關(guān)系建立一元二次方程，并能正確解方程，最后對所得結(jié)果是否合

理要進行檢驗.

作業(yè)布置

教材第22頁習(xí)題21.3第8，10題.

第二十二章二次函數(shù)

22.1二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

22.1.1二次函數(shù)

教學(xué)目標(biāo)：?<

I?從實際情景中讓學(xué)生經(jīng)歷探索分析和建立兩個變量之間的二次函數(shù)關(guān)系的過程，進一步體驗如何用數(shù)學(xué)

的方法去描述變量之間的數(shù)量關(guān)系.

2?理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的形式.

3?會建立簡單的二次函數(shù)的模型，并能根據(jù)實際問題確定自變量的取值范圍.

重點難Q：?<

重點

二次函數(shù)的概念和解析式.

姓點

本節(jié)“合作學(xué)習(xí)”涉及的實際問題有的較為更雜，要求學(xué)生有較強的概括能力.

教學(xué)設(shè)計：?<

一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

問題1現(xiàn)有一根12/〃長的繩子，用它圍成一個矩形，如何圍法，才使矩形的面積最大？小明同學(xué)認(rèn)為當(dāng)

圍成的矩形是正方形時，它的面積最大，他說的有道理嗎？

問題2很多同學(xué)都喜歡打籃球，你知道嗎：投籃時，籃球運動的路線是什么曲線？怎樣計算籃球達(dá)到最高

點時的高度？

這些問題都可以通過學(xué)習(xí)一次留數(shù)的數(shù)學(xué)模型米解決，今天我們學(xué)習(xí)“一次函數(shù)”(板書課時).

二、合作學(xué)習(xí)，探索新知

請用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)解析式表示下列情景中的兩個變量y與x之間的關(guān)系：

⑴圓的半徑x(c/n)與面積y(oiP)；

(2)王先生存入銀行2萬元，先存一個一年定期，一年后銀行將本息自動轉(zhuǎn)存為又一個一年定期，設(shè)一年定

期的在存款利率為x，兩年后王先生共得本息y元；

(3)擬建中的一個溫室的平面圖如圖，如果溫室外圍是一個矩形，周長為120加，室內(nèi)通道的尺寸如圖，設(shè)一

條邊長為x(m),種植面積為y(/n2).

H----------X----------H

(一)教師組織合作學(xué)習(xí)活動：

1?先個體探求，嘗試寫出y與x之間的函數(shù)解析式.

2?上述三個問題先易后難，在個體探求的基礎(chǔ)上，小組進行合作交流，共同探討.

(I)y=〃X?(2)y=20000(1+x)2=20000x2+40000x+20000(3)y=(60—x—4)(x-2)=-x2-F58x-112

(二)上述三個函數(shù)解析式具有哪些共同特征？

讓學(xué)生充分發(fā)表意見，提出各自看法.

教師歸納總結(jié)：上述三個函數(shù)解析式經(jīng)化簡后都具有y=ax2+bx+c(a，b，c是常數(shù)，a*0)的形式.

板書：我們把形如y=ax?+bx+c(其中a，b，c是常數(shù)，aHO)的函數(shù)叫做二次函數(shù)加〃c而〃)，稱a

為二次項系數(shù)，b為一次項系數(shù)，c為常數(shù)項.

請講出上述三個函數(shù)解析式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.

三、做一做

I?下列函數(shù)中，哪些是二次函數(shù)？

(Dy=x2⑵y=T(3)y=2x2-x-l

(4)y=x(l—x)(5)y=(x—I)2—(x+l)(x—1)

2?分別說出下列二次函數(shù)的二次項系數(shù)、?次項系數(shù)和常數(shù)項：

22

(|)y=x+1(2)y=3x+7x—12(3)y=2x(l—x)

3?若函數(shù)y=(m2-l)xm2-m為二次函數(shù)，則m的值為.

四、課堂小結(jié)

反思提高，本節(jié)課你有什么收獲？

五、作業(yè)布置

教材第41頁第1，2題.

22.1.2二次函數(shù)丫=2*2的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：?<

通過畫圖，了解二次函數(shù)y=ax2(aW0)的圖象是一條拋物線，理解其頂點為何是原點，對稱軸為何是y軸，

開口方向為何向上(或向下)，掌握其頂點、對稱軸、開口方向、最值和增減性與解析式的內(nèi)在關(guān)系，能運用相關(guān)

性質(zhì)解決有關(guān)問題.

：?<

重點：從“數(shù)”(解析式)和“形"(圖象)的角度理解二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax?與

函數(shù)圖象的內(nèi)在關(guān)系.

姓點：畫二次函數(shù)y=ax?的圖象.

教學(xué)設(shè)計：?<

一、引入新課

1-下列哪些函數(shù)是二次函數(shù)？哪些是一次函數(shù)？

(l)y=3x-l(2)y=2x?+7(3iy=x-2

(4)y=3(x-l)2+l

2?一次函數(shù)的圖象，正比例函數(shù)的圖象各是怎樣的呢？它們各有什么特點，又有哪些性質(zhì)呢？

3?上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的概念，掌握了它的一般形式，這節(jié)課我們先來探究二次函數(shù)中最簡單的y

=ax?的圖象和性質(zhì).

二、教學(xué)活動

活動1：畫函數(shù)y=-X?的圖象.

(I)多媒體展示畫法(列表，描點，連線).

(2)提出問題：它的形狀類似于什么？

(3)引出一般概念：拋物線，拋物線的對稱軸、頂點.

活動2：在坐標(biāo)紙上畫函數(shù)y=-0.5x2，y=-2x2的圖象.

(I)教師巡視，展示學(xué)生的作品并進行點撥；教師再用多媒體課件展示正確的畫圖過程.

(2)引導(dǎo)學(xué)生觀察二次函數(shù)y=-0.5x2，y=-2x2與函數(shù)y=-x2的圖象，提出問題：它們有什么共同點和不

同點？

(3)歸納總結(jié)：

共同點：①它們都是拋物線：②除頂點外都處于x軸的下方；③開口向下；④對稱軸是y軸；⑤頂點都是原

點(0，0).

不同點：開口大小不同.

(4)教師強調(diào)指出：這三個特殊的二次函數(shù)丫=2*2是當(dāng)aVO時的情況.系數(shù)a越大，拋物線開口越大.

活動3：在同一個直角坐標(biāo)系中畫函數(shù)y=x2，y=().5x2，y=2x?的圖象.

類似活動2：讓學(xué)生歸納總結(jié)出這些圖象的共同點和不同點，再進一步提煉出二次函數(shù)y=ax2(aK0)的圖象

和性質(zhì).

二次函數(shù)y=ax2(aN0)的圖象和性質(zhì)

圖象開口頂最高或

對稱軸最值

(草圖)方向點最低點

a>0當(dāng)x=___時，

y有最值，

是________.

a<0當(dāng)x=___時，

y有最____偉，

是________.

活動4：達(dá)標(biāo)檢測

⑴函數(shù)y=-8x2的圖象開口向，頂點是________，對稱軸是，當(dāng)x時，y隨x的

增大而減小.

⑵二次函數(shù)y=(2k—5)x2的圖象如圖所示，則卜的取值范圍為.

(3)如圖*?y=ax2；?y=bx2；?y=cx2；@y=dx?.比較a，b，c，d的大小，用連接

答案：(1)下，(0'0)，x=0，>0；(2)k>2.5；(3)a>b>d>c.

三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置

課堂小結(jié)

1?二次函數(shù)的圖象都是拋物線.

2?二次函數(shù)y=ax?的圖象性質(zhì)：

⑴拋物線丫=2*2的對稱軸是y軸，頂點是原點.

⑵當(dāng)a>0時，拋物線的開口向上，頂點是拋物線的最低點；當(dāng)aVO時，拋物線的開口向下，頂點是拋物線

的最高點；|a|越大，拋物線的開口越小.

作業(yè)布置：教材第32頁練習(xí).

22-1.3二次函數(shù)y=a(x-h)2-|-k的圖象和性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：?<

1?經(jīng)歷二次函數(shù)圖象平移的過程；理解函數(shù)圖象平移的意義.

2?了解y=ax?，y=a(x—h)2?y=a(x—h)?+k三類二次函數(shù)圖象之間的關(guān)系.

3-會從圖象的平移變換的角度.認(rèn)識y=a(x-h)2+k型二次函數(shù)的圖象特征.

：?<

重點：從圖象的平移變換的角度認(rèn)識y=a(x-h)2+k型二次函數(shù)的圖象特征.

娃點：對于平移變換的理解和確定，學(xué)生較難理解.

教學(xué)設(shè)計：?<

一、復(fù)習(xí)引入

二次函數(shù)丫=2*2的圖象和特征：

1?名稱;2.頂點坐標(biāo)：3.對稱軸：4.當(dāng)a>0時，拋物線的開口向，頂

點是拋物線卜的最點，圖象在x軸的(除頂點外)：當(dāng)a<0時，拋物線的開口向，頂點

是拋物線上的最點，圖象在x軸的(除頂點外).

二、合作學(xué)習(xí)

在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=%2,y=；(x+2)2,y=；(x—2)2的圖象.

(I)請比較這三個函數(shù)圖象有什么共同特征？

(2)頂點和對稱軸有什么關(guān)系？

(3)圖象之間的位置能否通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到？

(4)由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？

三、探究二次函數(shù)y=ax?和y=a(x—h)2圖象之間的關(guān)系

I?結(jié)合學(xué)生所畫圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察y=g(x+2)2與y=1x2的圖象位置關(guān)系，直觀得出y=1x2的圖象

向左3、單位y斗x+2A的圖象.

教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個對應(yīng)點的位置關(guān)系，如:

向在平移兩個單■位，向左但單位，；

(0，0)——(-2，0)；(22)(02)

(-2，2)向左g單位(一4，2).

②也可以把這些對應(yīng)點在圖象上用彩色粉筆標(biāo)出，并用帶箭頭的線段表示平移過程.

2?用同樣的方法得出丫=我的圖象向"、3*y=*x—2)2的圖象.

3?請你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x—h)2的圖象和性質(zhì).

y=ax-(aH0)的圖象當(dāng)h<°時，訴飾?個單位丫=小一h),的圖象.

函數(shù)y=a(x—h)2的圖象的頂點坐標(biāo)是(h，0)、對稱軸是直線x=h.

4?做一做

(1)

拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)

y=2(x+3)2

y=-3(x—I)2

y=-4(x—3)2

⑵填空：

①拋物線y=2x2向平移個單位可得到y(tǒng)=2(x+1產(chǎn)；

②函數(shù)y=-5(x-4)2的圖象可以由拋物線向平移個單位而得到.

四、探究二次函數(shù)y=a(x-h)2+k和y=ax2圖象之間的關(guān)系

1?在上面的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)y=*x+2)2+3的圖象.

首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較y=/x+2)2與y=*+2)2+3的圖象關(guān)系，直觀得出:y=/x+2)2的圖象向上上四單位

y=/x+2)2+3的圖象.(結(jié)合多媒體演示)

再引導(dǎo)學(xué)生觀察剛才得到的y=，x2的圖象與y=/x+2)2的圖象之間的位置關(guān)系，由此得出：只要把拋物線

y=52先向左平移2個單位，在