轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用 （學生版）-2025年中考數(shù)學壓軸訓練

專題16轉(zhuǎn)化思想在兩種題型中的應(yīng)用

壓軸題密押

通用的解題思路：

轉(zhuǎn)化思想方法包含三個基本要素：

1、把什么東西轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的對象；

2、轉(zhuǎn)化到何處去，即轉(zhuǎn)化的目標；

3、如何進行轉(zhuǎn)化，即轉(zhuǎn)化的方法。

轉(zhuǎn)化思想方法應(yīng)遵循以下五條原則：

1、熟悉化原則:將陌生的問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題，以利于我們運用熟悉的知識、經(jīng)驗和問題來解決；

2、簡單化原則:將復雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復雜問題的目的，或獲得某

種解題的啟示和依據(jù)：3、和諧化原則:轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示和諧

統(tǒng)的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們的思維規(guī)律：4、直觀化原則:將比

較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決;5、正難則反原則:當問題正面討論遇到困難時，應(yīng)想到考慮問

題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲得解決或證明的可能性。

壓軸題預測

題型一：圓中的轉(zhuǎn)化思想

1.(2023?齊齊哈爾)綜合與實踐：

數(shù)學模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學應(yīng)用的基本途徑.通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學知

識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學天地.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖1,在A48c和A4Eb中，AB=AC,AE=AF,NBAC=NEAF=,連接BE,CF,

延長BE交C尸于點。.則與CF的數(shù)量關(guān)系：,ZBDC=0;

(2)類比探究：如圖2,在AA8C和AAE1尸中，AB=AC,AE=AF,NA4C=NE/尸=120。，連接BE,CF,

延長BE,尸C交于點D.請猜想與CF的數(shù)量關(guān)系及NADC的度數(shù)，并說明理由；

(3)拓展延伸：如圖3,A42c和A4EF均為等腰直角三角形，ABAC=ZEAF=90°,連接BE,CF,且

點、B,E,F在一條直線上，過點/作,垂足為點M.則BF,CF,AM之間的數(shù)量關(guān)系：；

(4)實踐應(yīng)用：正方形中，48=2,若平面內(nèi)存在點尸滿足90。，PD=\,貝！1sA^>=.

備用圖

2.(2024?介休市模擬)閱讀與思考

如圖是小強同學的數(shù)學課堂筆記本，請仔細閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù).

平面直角坐標系與直角三角形

x年x月x日星期三

原理：根據(jù)直角三角形的定義，性質(zhì)，判定，以直角三角形頂點分三種情況進行分類討論.口

訣：“兩線一圓”

作圖：舉例如下：已知/(3,0)、3(0,4),在直線x=l上求點C,使得A43C為直角三角形.以

下分三種情況討論：

情況一：當/為直角頂點時，過點/作的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

c.如圖①，有G一個點；

情況二：當8為直角頂點時，過點3作的垂線/交直線x=l于點C,則交點即為所求點

C.如圖②，有一個點；

情況三：當。為直角頂點時，以N3為直徑作圓，則該圓與直線x=l的交點即為所求點C.如

圖③，有C3，Q兩個點；

方法：一、幾何法：構(gòu)造“K型”或“一線三垂直”相似；

二、代數(shù)法：兩點間的距離公式，列方程，解方程，檢驗根;

三、解析法：求垂線解析式，聯(lián)立方程組求交點.

任務(wù)：（1）上面課堂筆記中的分析過程，主要運用的數(shù)學思想是—（從下面選項中選出兩個即可）；

A.數(shù)形結(jié)合

B.統(tǒng)計思想

C.分類討論

D.轉(zhuǎn)化思想

（2）選擇一種課堂筆記本中記載的方法，求出“情況一”中G的坐標.

（3）直接寫出“情況二”中C2的坐標―；

（4）請你寫出在“情況三”中，確定C3、C’的坐標位置及求坐標過程中，所依據(jù)的數(shù)學定理或原理（寫

出一個即可）.

3.（2023?吳川市二模）已知：的直徑48=10,。是A5的中點，。是。。上的一個動點（不與點/、

B、C重合），射線CD交射線于點E.

（圖2）

（1）如圖1,當=時，求線段的長;

（2）如圖2,當點。在3C上運動時，連接2C、BD,ABCO中是否存在度數(shù)保持不變的角？如果存在,

請指出這個角并求其度數(shù)；如果不存在，請說明理由;

（3）聯(lián)結(jié)OD,當AOOE是以。E為腰的等腰三角形時，求AODE與AC2E面積的比值.

4.（2023?微山縣二模）如圖，AA8c中，ZC=90°,/48C的平分線交/C于點。，點。在N8上，以點。

為圓心，以為半徑的圓經(jīng)過點。，交BC于點、E,交N3于點尸.

（1）求證：NC與O。相切;

3

⑵若BD=10,sinZDBC=-,求4/的長.

5

A

CEB

5.（2023?花都區(qū)一模）如圖，。。是A48c的外接圓，直徑N8=10,BC=8,AE平分NCAB交BC于點、

E.

（1）尺規(guī)作圖：在NE的延長線上取一點尸，4吏得BF=BE,連接2尸；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）在（1）所作的圖中：

①證明：BF是。。的切線；

②求理的值.

EF

6.（2023?阿城區(qū)模擬）已知：48、。9是OO的直徑，弦CD_L4B,垂足為E,過點F的切線與。C的

延長線交于點G,連接3C.

(1)如圖1,求證：ZFGD=2ZBCD；

（2）如圖2,過點N作尸交O。于點“，垂足為〃，求證40=CO；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接MC并延長與。3的延長線交于點K,連接8C,若NHDC=2NMHC,

MK=6,求/G的長.

7.（2023?松江區(qū)二模）如圖1,是半圓。的直徑，C是半圓。上一點，點。與點。關(guān)于直線/C對稱,

射線/O,交半圓。于點。，弦NC交（7。于點￡、交。。于點歹.

（1）如圖2,。恰好落在半圓。上，求證：0'4=BC；

（2）如果4048=30。，求——的值:

O'D

（備用圖）

8.（2023?碑林區(qū)校級模擬）如圖①，已知線段與直線/,過/、8兩點，作0。使其與直線/相切，切

點為P,易證N4PB=N4HB>N4QB,可知點P對線段AS的視角最大.

問題提出

（1）如圖②，已知AAS尸的外接圓為。。，P。與。。相切于點尸，交N8的延長線于點。.

①請判斷48P。與乙4的大小關(guān)系，并說明理由.

②若02=2,AB=6,求P。的長.

問題解決

（2）如圖③，一大型游樂場入口設(shè)在道路DN邊上，在“雪亮工程”中，為了加強安全管理，結(jié)合現(xiàn)

實情況，相關(guān)部門準備在與地面道路。N夾角為60。的射線?！狈较蛏希ㄎ挥诖怪庇诘孛娴钠矫鎯?nèi)）確定一

個位置C,并架設(shè)斜桿/C,在斜桿/C的中點尸處安裝一攝像頭，對入口N8實施監(jiān)控（其中點4、B、

D、P、C、M、N在同一平面內(nèi)），已知04=40米，48=25米，調(diào)研發(fā)現(xiàn)，當ZAP3最大時監(jiān)控效果

最好，請問在射線DM上是否存在一點C,使得N4P2達到最大？若存在，請確定點C在DM上的位置及

斜桿NC的長度；若不存在，請說明理由.

A

A

圖②

9.（2021?濱城區(qū)一模）如圖，在RtAABC中，AB=90°,ED=D尸，點E在/C上，以/E為直徑的。。經(jīng)

過點。.

（1）求證：①3C是OO的切線;

②CD?=CE-CA；

（2）若點尸是劣弧4D的中點，且C￡=3,試求陰影部分的面積.

10.（2022?雁塔區(qū)校級四模）（1）如圖①，在A43c中，AB=AC,ZBAC=120°,BC=12,求A48c外

接圓的半徑廠；

（2）如圖②，。。是一個半徑為200米的圓形廣場，弦48是廣場上一個長為2006米的納涼演繹舞臺，

現(xiàn)計劃在廣場上建一個長為200米的手工藝集市CD,并在舞臺AB和集市CD之間修建兩個休閑長廊AD和

BC,規(guī)劃長廊、舞臺、集市圍成四邊形N8CD為活動區(qū)域，那么能否在優(yōu)弧上確定兩點C、D,使得

長廊/D+8C最長？若能，請求出/D+8C的最大值，并計算此時N84D的度數(shù)及四邊形的面積；

若不能，請說明理由.

AAZ------------XB

圖①

圖②

11.（2022?青秀區(qū)校級一模）如圖，48是OO的直徑，/C是弦，點E在圓外，于點。，BE交

于點尸，連接B。、BC、CF,ZBFC=ZAED.

（1）求證：/E是。。的切線；

（2）求證：OB'=ODOE；

（3）設(shè)AB/。的面積為H，m的面積為$2，若tan/ODB=—,求」的值.

B

題型二：函數(shù)中的轉(zhuǎn)化思想

1.（2021?南岸區(qū)校級模擬）初中階段的函數(shù)學習中，我們經(jīng)理了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，并結(jié)合圖

象研究函數(shù)性質(zhì)的過程，以下我們研究函數(shù)＞=|31-2性質(zhì)及應(yīng)用的部分過程，請按要求完成下列各小題.

x-2

（1）下表是X與y的幾組值，請在表格中的空白處填上恰當?shù)臄?shù)字；

X-4-3-10j_1345

~22

y24484044

353533

（2）在平面直角坐標系中，補全描出表格中數(shù)據(jù)對應(yīng)的各點，補全函數(shù)圖象;

0Y

（3）觀察函數(shù)歹=|*|_2的圖象，請寫出函數(shù)的一條性質(zhì)：—.

x-2

（4）若方程＞+=改為常數(shù)）有三個實數(shù)解，則,的取值范圍為—.

TJ

r

I

ur

i-

44

J

n

1

1

A一

7X

一)-L一§-2—q>:LI、（

1

n

Lu

-8-

2.（2021?望奎縣模擬）自主學習，請閱讀下列解題過程.

解一元二次不等式：x2-5x>Q.

解：設(shè)f-5x=0,解得：X1=0,%=5，則拋物線了=x?-5x與x軸的交點坐標為（0,0）和（5,0）.畫出二

次函數(shù)y=f-5x的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當x<0,或x>5時函數(shù)圖象位于x軸上方，此時

y>0,BPx2-5x>0,所以，一元二次不等式x?-5x>0的解集為：x<0,或x>5.

通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題：

（1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的—和—.（只填序號）

①轉(zhuǎn)化思想②分類討論思想③數(shù)形結(jié)合思想

（2）一元二次不等式f-5x<0的解集為—.

（3）用類似的方法解一元二次不等式：X2-2X-3>0.

y=W-5x

5x

3.（2024?全椒縣一模）如圖1,拋物線y=x?