炎德·英才大聯(lián)考雅禮中學(xué) 2025 屆模擬試卷（一）數(shù)學(xué)試題及答案

命題人：劉暉周芳芳常君屈檢嗣李斑郝楠楠注意事項：2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合A={x||x—2|<2},則A∩Z=A.B.{1,2}C.{2,3}2.記復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為z,若z=4+i,則i(z+z)=A.8iB.2iA.0.2“<logo.2a<a?.2B.logo.2a<0.2a<a?.2C.logo.2a<a?.2<0.245.已知平面內(nèi)三點(diǎn)A(1,0),B(O,1),C(2,3),AA 則向量AB在A?上的投影向量為D6.當(dāng)x∈[0,2π]時，曲線y=sinx與的交點(diǎn)個數(shù)為A.3B.47.已知函數(shù),若xo∈(1.5,2),則A.f(xo)>f(5—xo)B.f(xo)<f(5—xo)C.f(xo)+f(5—xo)<f(4)D.以上都不對數(shù)學(xué)試題(雅禮版)第1頁(共5頁)數(shù)學(xué)試題(雅禮版)第2頁(共5頁)8.已知雙曲線C:的上焦點(diǎn)為F,過F的直線l與C的兩條漸近線l?,l2分別交于第一、四象限的P,Q兩點(diǎn)，滿足lLl?,|PQ|=4,則雙曲線的離心率為A.√2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.拋物線C:的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B為C上兩個動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有B.準(zhǔn)線l的方程為D.以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線l最多有1個公共點(diǎn)10.已知函數(shù)f(x)定義域為R,且f(2x—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，曲線y=f(x+1)關(guān)于直線x=1對稱，則下列說法正確的是A.f(x)為奇函數(shù)B.f(x+4)=f(x)C.f(2+x)=f(2—x)D.f(x)+f(1—x)=011.球面三角學(xué)是研究球面三角形的邊、角關(guān)系的一門學(xué)科.如圖，球O的半徑為R,A,B,C為球面上三點(diǎn)，設(shè)Oa表示以O(shè)為圓心，且過B,C的圓，劣弧BC的弧長記為a,同理，圓O,O.的劣弧AC,AB的弧長分別記為b,c,曲面ABC(陰影部分)叫做球面三角形，若a=b=c,則稱其為球面等邊三角形.線段OA,OB,OC與球面△ABC圍成的封閉幾何體叫做球面三棱錐，記為球面O-ABC.設(shè)∠BOC=a,∠AOC=β,∠AOB=y,則下列結(jié)論正確的是A.若平面△ABC是面積為的等邊三角形，則a=b=c=RC.若,則球面O-ABC的體積三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的圖象在點(diǎn)(3,f(3))處的切線方程為數(shù)學(xué)試題(雅禮版)第3頁(共5頁)四、解答題：本題共5小題，共77分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分13分)(1)求角B的大??；(2)若AD+CD=0,且|,求△ABC的周長.16.(本小題滿分15分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，P(√2,√2),Q(2,1)為C上兩點(diǎn)，A,B,D為橢圓上三個動點(diǎn).(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在點(diǎn)A,B,D使O為△ABD的重心?若存在，請?zhí)骄俊鱋AB的面積是否為定值；若不存在，請說明理由.17.(本小題滿分15分)(2)記該運(yùn)動員前兩次投籃命中的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；18.(本小題滿分17分)AD=2AB=2BC=2.(2)若PA=2,動點(diǎn)M在△PAD內(nèi)(含邊界)且MB2+MD2=5.(ii)設(shè)直線CM與平面PBD所成角為θ,求sinθ的取值范圍.數(shù)學(xué)試題(雅禮版)第4頁(共5頁)19.(本小題滿分17分)數(shù)學(xué)參考答案123456789DABBACBB1.D【解析】因為A={x||x—2|<2}={x|0<x<4},故2.A【解析】由z=4+i,得=4—i,所[0,2π]上有1個周期的圖象，因為函數(shù)的最小正周期為,所以函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上有3個周期的圖象，在平面直角坐標(biāo)系中，作出兩函數(shù)在區(qū)間[0,2π]上的圖象，由圖可知，曲線y=sinx與7.B【解析】,易得：f(x)在區(qū)間(0,e)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(e,+∞)上單調(diào)遞減，且f(2)=f(4)<f(3.5),故f(x?)<f(5—x?).又f(xo)>0,f(5—z?)>f(4),8.B【解析】由條件易得|FP|=b=2,|OP|=a,,由tan_POQ=tan2∠POx→由焦點(diǎn)弦結(jié)論知，當(dāng)ABLy軸時，|AB|最小，最小值為,C正確；設(shè)AB中別為r?,r?,d,則r?+r?=2d.由拋物線定義知，r?+r?則10.BC【解析】由曲線y=f(x+1)關(guān)于直線x=1對稱，可得f((1+x)+1)=f((1-x)+1正確。則曲線y=f(x)關(guān)于直線x=2對稱，故選項C正確；由f(2x—1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，可得f(2x—1)+點(diǎn)(1,0)對稱，可得f(x)+f(2—x)=0,即f(2—x)=—f(x),結(jié)合f(x+2)=f(2—x)可得f(x+2)=—f(x),所以f(x+4)=f[(x+2)+2]=—f(x+2)=-[一f(x)]=f(x),故選項B正確.所以f(x)是周期函數(shù)，且周期為4,其圖象不僅關(guān)于直線x=2對稱還關(guān)于點(diǎn)(1,0)對稱，所以不一定關(guān)于點(diǎn)(0,0)和對稱，所以f(x)不一定是11.BC【解析】對于A,若平面△ABC是面積為2的等邊三角形，則AB對于B,若a2+b2=c2,則(aR)2+(βR)2=(yR)2,則α2+β=γ2,故B正確；對于C,若R,則,AB=BC=AC=R,則平面△ABC到平面ABC的距離/,則三棱錐O-ABC的體積O-ABC的體積,故C正確；數(shù)學(xué)參考答案(雅禮版)-1四為對于D,由余弦定理可,所以BC2+AC2=AB2,則cosa+cosβ—cosy=1,取α四為,則*,則,故D錯誤.12.y=16x—36【解析】f'(x)=2x2—2,則f(3)=16,f(3)=12,得切線方程y=16x—36.13.15【解析】二項式,令6—3r=0,得r=2,所以展開式中的常數(shù)項為,即.由等差數(shù)列的性質(zhì)得14.【解析】i,j∈{1,2,3,…,n}且i≠j知a(,=i2—j2=(i-j)(i+j),由i-j與i+j具有相同的奇偶性知要使ac(,)的值為奇數(shù)，需使j—i與j+i都是奇數(shù)，即i與j必定一奇一偶，當(dāng)n=3時，(i,j)的取值情況有4種，故P?;當(dāng)n=4時，(i,j)的取值情況有8種，故;當(dāng)n=5時，(i,j)的取值情況有12種，故;當(dāng)n≥3且n為奇數(shù)時，{1,2,3,…,n}中個奇數(shù)，個偶數(shù)，故(i,j)的取值情況有所以原式可化為sin2A—sin2B+sin2C=sinA·sinC,由正弦定理得a2+c2—b2=ac,由余弦定理得∵B∈(0,π)∴…………………5分兩邊同時平方得4BD2=BA2+BC+2BA·BC·cosB,∴129=c2+a2+ac,①又由余弦定理得b2=a2+c2—2ac·cosB,即49=a2+c2—ac,②由①②得a2+c2=89,ac=40,解得a=8,c=5或a=5,c=8;故△ABC的周長為a+b+c=20.…………………13分由題意得解得,故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為…………………6分(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時，取,D(—√6,0)符合題意，故存在點(diǎn)A,B,D使O為△ABD的重心，且此時△OAB的面積為.………………………9分當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)lAB:y=kx+m,聯(lián)立LAB,C得(1+2k2)x2+4kmx+(2m2—6)=0,…………………13分綜上，△OAB的面積為定值，其值為…………15分?jǐn)?shù)學(xué)參考答案(雅禮版)-217.【解析】(1)設(shè)事件A,=“第i次投籃命中”,則A=“第i次投籃未命中”,i=1,2,…,易知A?=A?A?+A?A?,A?A?與A?A?是互斥事件，所以由全概率公式得P(A?)=P(A?A?+A?A?)=P(A?A?)+P(A?A?)=P(A?)P(A?IA?)+P(A?)P(A?|A?)該運(yùn)動員第二次投籃命中的概率為………………4分(2)X的所有取值為0,1,2,所以X的分布列為X012P(3)由題意得，即變形為),所以數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，又,于是,所以…………………15分18.【解析】(1)因為PA_平面ABCD,CDC平面ABCD,則PA_CD,所以AC=√AB2+BC=√2,CD=√AB2+(AD-BC)2=√2(2)(i)因為PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AB,AD,AP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2可知動點(diǎn)M的軌跡是以(0,1,0)為圓心，半徑為1的圓的四分之一部分和點(diǎn)D,線段