中點四邊形 同步練習(xí)（含答案）-2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊

中點四邊形

一、知識梳理

1.四邊中點的連線

如圖6-1所示，在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點.

結(jié)論：四邊形EFGH為平行四邊形.

證明思路：???EH\\BD,EH=^BD,GF\\BD,GF=[BD,

；.EH〃GF,EH=GF.

四邊形EFGH為平行四邊形.

注意：若AC=BD,易證EH=EF,則四邊形EFGH為菱形.

若ACLBD,易證EH_LEF,則四邊形EFGH為矩形.

2.對邊中點+對角線中點

如圖6-2所示在四邊形ABCD中.點E,F,G,H分別為AD,BD,BC,AC的中點.

結(jié)論：四邊形EFGH為平行四邊形.

證明思路：???EF\\AB,EF=GH\\AB,GH=^AB,

；.EF〃GH,EF=GH.

四邊形EFGH為平行四邊形.

注意：若AB=CD,易證EF=EH,則四邊形EFGH為菱形.

若ABLCD,易證EFLEH,則四邊形EFGH為矩形.

二、分層練習(xí)

1.如圖6-3所示，已知ABCD為任意四邊形，點E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點.下列條件中，

不能判定四邊形EFGH為菱形的是（）.

A.EH=HG

B.EG±HF

C.AC=BD

D.AC±BD

2.如圖6-4所示，點口是4ABC內(nèi)一點，BD^\CD,AD=6,BD=8,-CD=6,點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,

BD的中點，則四邊形EFGH的周長是.

3.如圖6-5所示，在四邊形ABCD中，點P,M,N,Q分別是AC,AB,CD,MN的中點，4。=BC,則"QM的

度數(shù)為.

圖6-5

4.如圖6-6所示，在菱形ABCD中，點0為對角線的交點，點E,F,G,H是菱形ABCD各邊的中點.若.AC

=6,BD=8,,則四邊形EFGH的面積為,

5.某地籌建紅軍歷史博物館，為了更詳盡地再現(xiàn)歷史片斷，決定把博物館的平面設(shè)計圖擴(kuò)大.如圖6-7所示，已

知博物館原來的平面設(shè)計圖是平行四邊形ABCD，修改后博物館的平面設(shè)計圖是四邊形EFGH,其中點A,B,C,

D分別是邊EF,FG,GH,HE的中點.如果博物館原來的平面設(shè)計圖ABCD的占地面積為：300nl2,則修改后

博物館的平面設(shè)計圖EFGH的占地面積為mN

6.如圖6-8所示，在四邊形ABCD中，AC=BD=5,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點，連接E

G,HF相交于點O,則EG2+F”2的值為（）.

7.如圖6-9所示，在四邊形ABCD中，AB與CD不平行，點E,F,G,H分別是AD,BD,BC,AC的中點.

8.如圖6-10所示，兩個全等的直角三角形((R24BC和Rt△4DC)按照斜邊重合的方式擺放，點E,F,G,H

分別為AB,BC,CD,DA的中點

⑴判斷并證明四邊形EFGH的形狀；

(2)若ABAC=30。,4c=6,求四邊形EFGH的面積.

圖6-10

9.如圖6-11所示，在四邊形ABCD中，AC,BD是對角線，點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點,

依次連接點E,F,G,H.

⑴證明：四邊形EFGH是平行四邊形；

⑵在四邊形ABCD中，若再補(bǔ)充一個條件：則四邊形EFGH是矩形；

(3)連接EG,FH,求證：EG2+FH2=EF2+FG2+GH2+HE2.

D

B

圖6-11

1.解：如圖31所示，連接AC,BD.

?.?點E,F分別是AB,BC的中點,

；.EF〃AC且EF=|XC,

同理可證，HG\\AC,HG=

；.EF〃HG,EF=HG.

四邊形EFGH為平行四邊形.

若EH=HG,貝MEFGH為菱彩故選項A能判定四邊形EFGH為菱形.

若EGJ_HF,則口EFGH為菱形.故選項B能判定四邊形EFGH為菱形.

AC=BD,EH=^BD,HG=^AC,

AEH=HG.

CEFGH為菱形，故選項C能判定四邊形EFGH為菱形.

?.?若ACLBD,則EHLHG,口EFGH為矩形，不一定是菱形，

.??選項D不能判定四邊形EFGH為菱形.

故選D.

2.解：：BD_LCD,BD=8,CD=6,

BC=^JBD2+CD2=V82+62=10.

?..點E,F,G,H分別是AB,AC,CD,BD的中點，

EH=FG=-AD,EF=GH=-BC.

22

：.四邊形EFGH的周長=EH+GH+FG+EF=AD+BC.

,四邊形EFGH的周長=6+10=16.

故答案是16.

3.解：如圖32所示，連接PM,PN.

:點P,M是AC,AB的中點，

PM=-BC.

???2

同理，PN="D.

圖32

VAD=BCf

APM=PN.

??,點Q是MN的中點，

APQXMN.

ZPQM=90°.

故答案為90°.

4.解：:四邊形ABCD是菱形，

AACXBD.

??,點E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD和DA的中點,

AEHZ/BD,FG//BD,EF〃AC,HG〃AC.

???EH〃FG,EF〃HG.

???四邊形EFGH是平行四邊形.

VAC±BD,

???ZAOB=90°.

.*.ZBAO+ZABO=90°.

VZAEH=ZABO,ZBEF=ZEAO,

???ZAEH+ZBEF=90°.

JZHEF=90°.

???四邊形EFGH是矩形.

VAC=6,BD=8,

II

???EF=-AC=3,EH=-BD=4.

22

.??四邊形EFGH的面積為=3x4=12.

故答案是12.

5.解：如圖33所示，連接FH,EG,交于點O,連接OD,設(shè)CD與FH交于點M,AD與EG交于點N.

;點C,D分別是HG,EH的中點

；.CD是AEHG的中位線.

CD\\EG.

點M是OH的中點.

JL/

E-

SHHDM=S^ODM、

..同理可證，S^DEN=S^ODN，

",四邊形DNOM~^SAEOH.

:同理可證，四邊形

zS四邊形ABCD=-25J-”/EFGH

;平行四邊形ABCD的面積為300m2,

二四邊形EFGH的面積為（600m2.

故答案為600.

6.解：如圖34所示，連接EF,FG,GH,HE.

?.?點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點，

15151515

.?.EF=-AC=-,FG=-BD=-GH=-AC=-HE=-BD=

2222f22t22

???EF=FG=GH=HE.

???四邊形EFGH為菱形.

AEG±FH,OE=OG,OF=OH.

???OE2+OH2=EH2=—.

4

EG2+FH2=4OE2+40H2=25.

故選A.

7.⑴證明：：點E,F分別是AD,BD的中點，

；.EF是.△DAB的中彳立線.

1

??.EF=^AB,EF\\AB.

同理可證，GH=^AB,GH\\AB.

???EF=GH,EF\\GH.

；?四邊形EFGH是平行四邊形.

⑵解：四邊形EFGH是菱形.

???點G,F分別是BC,BD的中點

；.FG是ADCB的中位線.

FG=1CD,FG\\CD.

-1

又■：EF=\AB,

.?.當(dāng)4B=C。時，EF=FG.

平行四邊形EFGH是菱形.

8.解：⑴四邊形EFGH為矩形.

理由如下：連接BD,如圖35所示.

AABC^AADC,

；.AB=AD,CB=CD.

AAC垂直平分BD.

?.?點E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,

??.EF=^ACfEF\\ACfHGHG\\ACfEH\\BDfEH=沙圖35

AEF=HG,EF〃HG.

???四邊形EFGH為平行四邊形.

??，EF〃AC,EH/7BD,AC±BD,

AEFXEH.

???ZHEF=90°.

???四邊形EFGH為矩形.

(2),?,在R3ABC中，ZBAC=30°,

I

.?.BC=-AC=3.

2

AB=V3BC=3V3.

???LDAC=ABAC=30°MB=AD,

???△ABD為等邊三角形.

.?.BD=AB=3V3.

j-,1nn3^/3

EHTT=-BD=——.

22

???EF=-AC=3,

2

四邊形EFGH的面積=EH?EF=誓X3=第.

會當(dāng)凌絕頂，一覽眾山小

9.(1)證明：???點H,G是AD,CD的中點,

AHG是4ACD的中位線.

1

HG\\AC,HG=jXC.

同理可證，EF\\AC,EF=|/IC,

；.HG〃EF,HG=EF.

四邊形EFGH是平行四邊形.

⑵解：補(bǔ)充的條件是AC_LBD,證明如下.

如圖36所示,EF與BD相交于點M.

若AC_LBD,貝!!/DOC=90。.

：EF〃AC,

ZOMF=ZDOC=90°.

?.16是4BCD的中位線，

；.FG〃BD.

???乙GFE=180°-ZOMF=9