預(yù)備知識：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（原卷版）

專題08預(yù)備知識八：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

_____學(xué)__習(xí)__目__標(biāo)___

1、經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義

2、借助二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)的整體性

3、能夠借助二次函數(shù)，求解一元二次不等式，并利用一元二次不等式解決一些實際應(yīng)用問題，提升數(shù)學(xué)

運算素養(yǎng)

知識點一：一元二次不等式的有關(guān)概念

1、一元二次不等式

只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式，一元二次不等式的一般形

式：

@OJC2+Z?x+c>0（?*0）（其中a,dc均為常數(shù)）

②ax?+bx+c<0（aW0）（其中a,dc均為常數(shù)）

（3）ax2+Z?x+c>0（6Z*0）（其中a,dc均為常數(shù)）

④以2+法+（?<0（0/0）（其中a,dc均為常數(shù)）

2、一元二次不等式的解與解集

使某一個一元二次不等式成立的x的值，叫作這個一元二次不等式的解，其解的集合，稱為這個一元二次

不等式的解集.

將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形.

知識點二：四個二次的關(guān)系

2.1一元二次函數(shù)的零點

一般地，對于二次函數(shù)y=奴？+6x+c,我們把使ax?+Zzr+c=O的實數(shù)％叫做二次函數(shù)y=af+6x+c

的零點.

2.2次函數(shù)與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對應(yīng)關(guān)系

對于一元二次方程以2+6x+c=0（?！?）的兩根為玉、%且占<%2，設(shè)A=Z?2—4ac，它的解按照

A>0,A=0,△<€）可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)y=ax2+6x+c（a>0）的圖象與x軸的位置關(guān)

系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式cue+Zzr+c>0（">。）或ax?+bx+c<0

（a>0）的解集.

判別式A=人2—4公A>0A=0A<0

二次函數(shù)y=ax2+Z?x+c(6!>0Lw

的圖象

aX

有兩個相等的實數(shù)根

一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)

b沒有實數(shù)根

2

ax+Z?x+c=0(a>。)的根根X],x2(Xj<x2)w一五

,b、

2f—

ax+bx+c>0(〃>0)的解集[x\x<x^x>x2}{x|%w—}R

2a

2

ax+Z?x+c<0(6Z>0)的解集{x\<x<x2}00

知識點三：一元二次不等式的解法

1:先看二次項系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項系數(shù)化為正數(shù);

2：寫出相應(yīng)的方程4f+法+°=09>0),計算判別式A：

①A〉0時，求出兩根為、x2,且王<々(注意靈活運用十字相乘法)；

b

②A=0時，求根X]=x2=----；

2a

③A<0時，方程無解

3：根據(jù)不等式，寫出解集.

知識點四：解分式不等式

4.11、分式不等式

4.1.1定義：

與分式方程類似，分母中含有未知數(shù)的不等式稱為分式不等式，如：形如44<?；蚨?>。(其中/(左),

g(x)g(x)

g(x)為整式且g(x)豐0的不等式稱為分式不等式。

4.1.2分式不等式的解法

①移項化零：將分式不等式右邊化為0：

②斗?<oO/(X)?g(x)<0

g(x)

③〉0o/(x)?g(x)〉0

g(x)

/(X)?g(x)<0

g(x)g(x)H0

了(%)?g(x)>0

g(x)g(x)H0

對點特訓(xùn)一：一元二次不等式（不含參）的求解

典型例題

例題1.（2024高一.全國.專題練習(xí)）不等式（2+x）（2-x）>0的解集是（）

A.{x\x>2}B.{x\x<—2}

C.{Xl%<-2或%>2}D.{x\—2<x<2}

例題2.（23-24高一上?北京?期中）求下列關(guān)于X的不等式的解集.

（1）X2-3X<0

（2）—x2+x+6>0

精練

1.（2024高三,全國?專題練習(xí)）不等式-N-2x+3,0的解集為（）

A.{x\x^-3}B.{x\x^l}

C.{x|xW2}D.{x|-

.（23-24高一上?北京?期中）解關(guān)于X的不等式.

（Df+%—6<0；

（2）—2x2-x<-6

對點特訓(xùn)二：一元二次不等式（含參）的求解

角度1:二次項系數(shù)不含參數(shù)

典型例題

例題1.（23-24高一上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：％2_（優(yōu)一3卜-3機>0.

例題2.（2024高三?全國,專題練習(xí)）（1）解關(guān)于實數(shù)x的不等式：V一（0+1口+。<0.

（2）解關(guān)于實數(shù)x的不等式：f一衣+1<。.

精練

1.（23-24高一上?安徽馬鞍山?階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式f-（2-a）x-2a<0的解集中，恰有3個整數(shù),

則實數(shù)。的取值集合是（）

A.{o|5<a<6}B.{a|-6<a<-5}

C.{<?|—2<A<—1<a<6}D.{a|-64a<-5或l<aV2}

2.（23-24高一下?四川成都?開學(xué)考試）已知函數(shù)”了六％2-依+3.

⑴若關(guān)于X的不等式7（x）20的解集為R,求實數(shù)。的取值范圍；

⑵解關(guān)于X的不等式〃%）<0.

角度2：二次項系數(shù)含參

典型例題

例題1.（多選）（23-24高三上?浙江紹興?期末）已知aeR,關(guān)于x的一元二次不等式（依-2）（x+2）>0的

解集可能是（）

B.{小>-2}

C.2<x<一D.<x一<%<—2

a

例題2.（23-24高一上?北京期中）⑴若命題"3xeR,丁+2依+a+2V0”是真命題，求實數(shù)”的取值

范圍；

（2）求關(guān)于x的不等式加+（a+2）x+2N0（aeR）的解集.

精練

1.（23-24高一上?江蘇無錫階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式?2_（2a+i）x+2w0.（只需結(jié)果，不需過程）

ax?_（2a+l）x+2可因式分解為.

當(dāng)______________時,解集為_________________

當(dāng)______________時,解集為_________________

當(dāng)______________時,解集為_________________

當(dāng)______________時,解集為_________________

當(dāng)______________時，解集為_________________

2.（2024高三?全國專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（x）=ax2+（i-a）x+a-2（aeR）

⑴若不等式/（無）2-2對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；

⑵解關(guān)于x的不等式：f（x）＜a-l.

對點特訓(xùn)三：一元二次不等式與對應(yīng)函數(shù)、方程的關(guān)系

典型例題

2

例題1.（多選）（2023高一上,江蘇,專題練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax+bx+c>0的解集為{x|xV-3或x1},

則下列說法正確的是（）

A.。>0

B.不等式樂+oO的解集為

C.不等式c/—Zzx+a<0的解集為1；或xjg>

D.a+b+c>Q

例題2.（23-24高一上?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知關(guān)于x的不等式辦2+法+0。的解集為何―3<尤<4},則

不等式ex?-Zzr+a<0的解集為.

精練

1.（23-24高一上,四川成都,期中）一兀二次不等式依2+6x+c>o的解為{無卜2<尤<3},那么加―6x+c>0

的解集為（）

A.?>3或￥<-2}B.{司x>2或x<-3}

C.{尤卜2<尤<3}D,{天卜3Vx<2}

2.（23-24高一上?湖南岳陽?期中）已知關(guān)于x的不等式依2+弧+心0的解集為{x|xW-3或x1},不等

式bx+c>0的解集為.

對點特訓(xùn)四：分式不等式的解法

典型例題

例題1.（23-24高一下,河南許昌?開學(xué)考試）不等式”5x4-1<3的解集為（）

x+1

A.{x|-lvxvl}B.|x|—l<x<31C.|x|l<x<31D.|x|—3<x<-ij

x—3

例題2.（2024?吉林長春,模擬預(yù)測）已知集合4=口|-1<尤<2},3={x|「<0}.則

x-1

A^B=.

精練

1.（23-24高三下?河南?階段練習(xí)）已知集合4=1|已|>。},則第4=（）

A.{x|-3<x<2}"B.{x|-2<x<3}

C.{x|xv-2或%>3}：D.{x|x<—3或x〉2}

2.（23-24高三下.北京.開學(xué)考試）不等式生二<0的解集是_____.

x+4

對點特訓(xùn)五：不等式恒成立問題

角度1：八判別法

典型例題

例題1.（23-24高二下?浙江?期中）關(guān)于x的不等式（0-1）/-辦+O+1N0的解集為R,則實數(shù)。的取值范

圍是（）

A.a>lB.a>^-

一3

02+<<2出口一2白優(yōu)2白

C.-------<a<------0■a<-----取〃2------

3333

例題2.（2024高三?全國?專題練習(xí)）若不等式（。-2）_?+2（4-2.-4<0對一切xeR恒成立，則實數(shù)a

的取值范圍是（）

A.（z<2B.-2<a<2

C.—2<QW2D.a<—2

精練

1.（2024.浙江.模擬預(yù)測）若不等式依2+化—6）x+2>0的解為全體實數(shù)，則實數(shù)上的取值范圍是（）

A.2<^<18B.-18<^<-2

C.2<女<18D.0<k<2

2.（多選）（23-24高一下?黑龍江綏化?開學(xué)考試）若對于VxeR,M^2-2/nx+m>0,則機的值可以

是（）

A.0B.1C.2D.3

角度2：分離變量法

典型例題

例題1.（23-24高一上?廣東東莞?期中）已知函數(shù)/（x）=V+（a-2）x-3,若函數(shù)在［-2,3］上是單調(diào)函

數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍為；當(dāng)。=5,xe［-U］時，不等式/（尤）>，力+2彳-4恒成立，則實數(shù)加的

取值范圍為.

例題2.（23-24高一上湖南張家界?期中）⑴若關(guān)于x的不等式必+痛+相+3<0在x<-l上有解，求

實數(shù)加的取值范圍；

（2）若-24x41｝不等式,〃（Y—x+l）<2恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

精練

1.（2024?遼寧?三模）若“上>0,使f-奴+4<0”是假命題，則實數(shù)“的取值范圍為.

2.（22-23高一上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=f+2ax+2.

⑴若xe｛x|l〈xW5｝時，不等式y(tǒng)>3◎恒成立，求實數(shù)。的取值范圍；

（2）解關(guān)于x的不等式+x>y（其中。<0）.

對點特訓(xùn)六：一元二次不等式的實際問題

典型例題

例題1.（23-24高一上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）2022年2月24日，俄烏爆發(fā)戰(zhàn)爭，至今戰(zhàn)火未熄.2023年

10月7日巴以又爆發(fā)沖突與以往戰(zhàn)爭不同的是，無人機在戰(zhàn)場中起到了偵察和情報收集，攻擊敵方目標(biāo)

和反偵察等多種功能，扮演了重要的角色.某無人機企業(yè)原有200名科技人員，年人均工資a萬元

（?>0）,現(xiàn)加大對無人機研發(fā)的投入，該企業(yè)把原有科技人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員x

名（xeN且50<%<100）,調(diào)整后研發(fā)人員的年人均工資增加（2%）%，技術(shù)人員的年人均工資調(diào)整為

萬元.

⑴若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總工資不低于調(diào)整前200名科技人員的年總工資，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人

數(shù)最少為多少人？

⑵為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在工資方面要同時滿足以下兩個

條件：①研發(fā)人員的年總工資始終不低于技術(shù)人員的年總工資;②技術(shù)人員的年人均工資始終不減少.請問

是否存在這樣的實數(shù)滿足以上兩個條件，若存在，求出機的范圍；若不存在，說明理由.

例題2.（23-24高一上?上海?期中）近幾年來，“盲盒文化”廣為流行，這種文化已經(jīng)在中國落地生根，

并發(fā)展處具有中國特色的盲盒經(jīng)濟(jì)，某盲盒生產(chǎn)及銷售公司今年初用98萬購進(jìn)一批盲盒生產(chǎn)線，每年可有

50萬的總收入，已知生產(chǎn)此盲盒x年（x為正整數(shù)）所用的各種費用總計為2/+10x萬元.

⑴該公司第幾年首次盈利（總收入超過總支出，今年為第一年）？

（2）該公司幾年后年平均利潤最大，最大是多少？

精練

1.（23-24高一下?河南,開學(xué)考試）河南是華夏文明的主要發(fā)祥地之一，眾多的文物古跡和著名的黃河等自

然風(fēng)光構(gòu)成了河南豐富的旅游資源，在旅游業(yè)蓬勃發(fā)展的帶動下，餐飲、酒店、工藝品等行業(yè)持續(xù)發(fā)展.某

連鎖酒店共有500間客房，若每間客房每天的定價是200元，則均可被租出；若每間客房每天的定價在200

元的基礎(chǔ)上提高10x元（l<x<10,xeZ）,則被租出的客房會減少15x套.若要使該連鎖酒店每天租賃

客房的收入超過106600元，則該連鎖酒店每間客房每天的定價應(yīng)為（）

A.250元B.260元C.270元D.280元

2.（23-24高一上廣東江門.期中）為擺脫美國政府針對中國高科技企業(yè)的封鎖，加強自主性，某企業(yè)計劃

加大對芯片研發(fā)部的投入，據(jù)了解，該企業(yè)研發(fā)部原有100名技術(shù)人員，年人均投入。萬元，現(xiàn)把原有技

術(shù)人員分成兩部分：技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員x名（xeN且45VXV75）,調(diào)整后研發(fā)人員的

年人均投入增加4x%,技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為彳川-||）萬元.

⑴要使這100-8名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前10。名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的技術(shù)人員的

人數(shù)最多多少人？

（2）是否存在這樣的實數(shù)肛使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，同時滿足以下兩個條件：①技術(shù)人員的年

均投入始終不減少；②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入.

箍合演年

一、單選題

1.（23-24高一下?云南?期中）設(shè)“eR,則“2<”3”是"（a+1）（。一6）<0”的（）

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（2024高三,全國,專題練習(xí)）若命題“天°eR,x：-2x°+根<?！睘檎婷}，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.m<\B.m<l

C.0<m<lD.m>l

3.（2024?陜西?二模）g2efx|ax2+3x+a2-3>0},則。的取值范圍為（）

A.—3vav—1B.—34a4—1

C.a<—3a之一1D.a<—3或^a>一1

4.（23-24高一上?安徽馬鞍山,階段練習(xí)）命題：“玉目0,4]使得不等式/一2犬-3+420成立”是真命題,

則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.{a\a<-A\B,（a|?>4}C.{o|a>-5}D.{a|a>3}

5.（23-24高一下?湖南株洲?階段練習(xí)）關(guān)于x的不等式：口21的解集為（）

2-x

13

A.—<x<2B.一<％<2

34

13

C.x<—^x>2D.x<—^x>2

34

6.（23-24高三下?山東荷澤?階段練習(xí)）已知條件q：“不等式（片-4片+（°+2）%-120的解集是空集”，

則條件P：u-2<a<r是條件4的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

7.（23-24高一上?云南昆明?期中）若不等式2h?+依-]<0的解集為R,則實數(shù)上的取值范圍是（）

O

A.k<-3^k>0B.一3〈左v0

C.-3"<0