整式的乘除化簡求值解答題（4大題型提分練）-2024-2025學年北師大版七年級數(shù)學下冊

(北師大版)七年級下冊數(shù)學《第1章整式的乘除》

專題整式的乘除化簡求值解答題

題型歸納

題型一先化簡再直接代入求值

1.(2024秋?豐臺區(qū)期末)求值：(x+1)2-(x+1)(x-2),其中％=-1

【分析】根據(jù)完全平方公式、多項式乘多項式、合并同類項把原式化簡，把x的值代入計算即可.

【解答】解：原式=/+2%+1-(/-2x+x-2)

=/+2]+1-/+2x-x+2

=3x+3,

11

當x=—耳時，原式=3X(―耳)+3=2.

【點評】本題考查的是整式的混合運算-化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵.

2.(2023春?舞鋼市期末)運用整式乘法公式先化簡，再求值：(°-36)2-(26-a)(a+26),其中，a=l,

b=-1.

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項把原式化簡，把。、b的值代入計算即可.

【解答】解：原式=/-6〃/?+9層-(4廿-/)

=〃2-6ab+9b2-4/+〃2

=2a2-6〃b+5b2,

當a=l,-1時，原式=2XM-6X1X(_1)+5X(-1)2=13.

【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵.

3.(2024秋?涼州區(qū)期末)先化簡，再求值：(x+y)2+(3y+x)(3y-x),其中x=2,y=-1.

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項法則把原式化簡，把小y的值代入計算即可.

【解答】解：原式=/+2xy+y2+9y2-f

=2xy+10y2,

當兀=2,y=-1時，原式=2義2義(-1)+10X(-1)2=-4+10=6.

【點評】本題的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵.

4.(2024秋?寧鄉(xiāng)市期末)先化簡，再求值：(x+3y)2-2xG+2y)+(x-3y)(x+3y),其中％=-1,y=2.

【分析】原式利用完全平方公式，平方差公式，以及單項式乘多項式法則計算，去括號合并得到最簡結

果，把x與y的值代入計算即可求出值.

【解答】解：(x+3y)2-2x(x+2y)+(x-3y)(x+3y)

=/+6xy+9y2-2?-4%y+/-9y2

=2盯，

當x=-l,y=2時，原式=2X(-1)X2=-4.

【點評】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

5.(2024秋?紅河縣期末)先化簡，再求值：(2x-3y)(3x+4y)-(6x^y-2xy2+3y3)4-y,其中x=-9,y

=-1.

【分析】直接利用整式的混合運算法則化簡進而合并同類項，再把已知數(shù)據(jù)可得答案.

【解答】解：原式=6小+8孫-9xy-12y2-6^+2xy-3y2

=孫-15y2,

當x=-9,y=-1時,

原式=孫-15y2

=-9X(-1)-15X(-1)2

=9-15

=-6.

【點評】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵.

6.(2024秋?渭源縣期末)先化簡，再求值：(1+〃)(1-〃)+(〃-2)2+(4a2-2a)+(-2〃)，其中〃=

-2.

【分析】根據(jù)平方差公式、完全平方公式、多項式除以單項式的運算法則、合并同類項把原式化簡，把

a的值代入計算即可.

【解答】解：原式=1-14〃+4-2〃+1

=-6〃+6,

當a=-2時，原式=-6X(-2)+6=18.

【點評】本題考查的是整式的混合運算-化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵.

7.(2024?鹽都區(qū)三模)先化簡，再求值：(x-2y)2+(2x-y)(2x+y)-x(x-4y),其中％=-1,y=2.

【分析】先根據(jù)完全平方公式、平方差公式將多項式展開，再去括號、合并同類項，最后代入值計算即

可.

【解答】解：(x-2y)2+(2x-y)(2x+y)-x(x-4y)

原式=W-4xy+4y2+4^-y2-x1+4xy

=4f+3y2,

當x=-1,y=2時，

原式=4X(-1)2+3X22

=4+12

=16.

【點評】本題主要考查整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是關鍵.

8.(2024春?淮安區(qū)期末)先化簡，再求值：(x-3)2+(犬+4)(x-4)+2x(2-x),其中汽=—J.

【分析】先計算乘法，再合并同類項，然后把乂=-2代入，即可求解.

【解答】解：(%-3)2+(x+4)(x-4)+2x(2-x)

=￡-6x+9+/-16+4x-2x?

=-2x~7,

i

當％=—a時,

原式=—2x(一引—7=-6.

【點評】本題主要考查了整式的化簡求值，完全平方公式，與平方差公式，熟練掌握完全平方公式，與

平方差公式是解題的關鍵.

9.(2024春?慈利縣期末)先化簡，再求值：a(a-2b)+(〃+/?)2-(〃+/?)(〃-b),其中a=1,b=—

【分析】原式利用單項式乘多項式法則，完全平方公式，以及平方差公式化簡，去括號合并得到最簡結

果，把〃與。的值代入計算即可求出值.

【解答】解：原式=(〃2-2ab)+(cP+2ab+b^)-(/-廿)

=7-lab+c^+lab+b1-/+/

=/+2。2,

當a=l,b=一^時，

原式=1+2X(--i)2

【點評】此題考查了整式的混合運算-化簡求值，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關鍵.

10.(2024春?臨淄區(qū)期中)化簡求值：

(1)2(%-5)(x+2)-(%-1)(2x+l),其中x=-2；

(2)[(a+3Z?)(-Q+3Z?)-12a-3b)2-5a(〃-4b)]4-(2〃)，其中a=2,b=—

【分析】(1)先去括號，再合并同類項，然后把x的值代入化簡后的式子，進行計算即可解答；

(2)利用平方差公式，完全平方公式，單項式乘多項式的法則計算括號里，再算括號外，然后把a,b

的值代入化簡后的式子進行計算，即可解答.

【解答】解：⑴2(x-5)(x+2)-(x-1)(2x+l),

=2(f-3x~10)-(27-x-1)

=2x2-6x-20-2X2+X+1

=-5x~19,

當x=-2時，原式=-5義(-2)-19

=10-19

=-9；

(2)[(〃+3Z?)(-。+3萬)-(2〃-3b)2-5a(a-4。)]4-(2〃)

=[9b2-a2-(4/-12"+9。2)-5?2+20^/?)+(2〃)

=(9/?2-a2-^\2ab-9b2-Sc^+lOab)+(2a)

=(-IO/+32")+2。

=-5a+16b,

當〃=2,b——2時，原式=-5義2+16X(—2)

=-10+(-8)

=-18.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

題型二先化簡再整體代入求值

1.(2024春?深圳期中)已知x2-2x-1=0,求代數(shù)式2(x+1)(x-1)-(x+1)2的值.

【分析】先根據(jù)完全平方公式和平方差公式進行計算，合并同類項，求出最后代入求出答案

即可.

【解答】解：原式=2(f-1)-(/+2]+1)

=2/-2-W-2x-1

=W-2%-3

-2x-l=0,

??~1,

原式=/-2x-3=1-3=-2.

【點評】本題考查了整式的化簡求值，能正確根據(jù)整式的運算法則進行計算是解此題的關鍵.

2.(2024秋?大興區(qū)期末)已知〃2+〃=1,求代數(shù)式(〃+1)2+(。+2)(〃-2)的值.

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項把原式化簡，整體代入計算即可.

【解答】解：(〃+1)^+(。+2)(〃-2)

=〃2+2[+1+〃2-4

=2屋+2〃-3,

*.*c^+a=\,

/.2a2+2a=2,

則原式=2-3=7.

【點評】本題考查的是整式的混合運算-化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關鍵.

3.(2024秋?海淀區(qū)期末)已知機2-2機-1=0,求(m+2)(m-2)-2m(3-m)的值.

【分析】先利用平方差公式，單項式乘多項式的法則進行計算，然后把m2—2m=1代入化簡后的式子中

進行計算，即可解答.

【解答】解：(m+2)(m-2)-2m(3-m)

=m2-4-6m+2m2

=3m-6m-4,

Vm2-2m-1=0,

??~2m~~1,

???當m2-2m=l時，原式=3(m2-2m)-4=3X1-4=3-4=-1.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

4.(2024秋?朝陽區(qū)期末)已知/+2%-2=0,求x(%-2)+(x+3)2的值.

【分析】先化簡，再利用整體代入的思想解決問題.

【解答】解：原式=/-2]+/+6%+9

=2X2+4X+9,

*.*X2+2X-2=0,

.??/+2^=2,

.\2X2+4X=4,

，原式=4+9=13.

【點評】本題考查整式的混合運算-化簡求值，解題的關鍵是掌握整式的混合運算法則.

5.(2024秋?順義區(qū)期末)已知2?+/-3=0,求代數(shù)式(x+y)2+x(x-2y)的值.

【分析】先利用完全平方公式，單項式乘多項式的法則進行計算，然后把2f+y2=3代入化簡后的式子

中進行計算，即可解答.

【解答】解：(x+y)2+xG-2y)

=/+2盯+/2+7-2xy

=2/+/，

V2?+y2-3=0,

.*.2?+/=3,

當2/+y2=3時，原式=3.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

6.(2024春?重慶期中)先化簡，再求值：[(X+2y)(x-2y)-(2x-y)2-(x2-5y2)]4-(-2x),其中

x,y滿足

【分析】先利用完全平方公式，平方差公式計算括號里，再算括號外，然后把羽y的值代入化簡后的式

子進行計算，即可解答.

【解答】解：[(x+2y)(x-2y)-(2x-y)2-Cx2-5y2)]-r(-2x)

=[(x2-4y2)-(4x2-4xy+y2)-(x2-5y2)]4-(-2x)

=(x2-4y2-4/+4孫-J-/+5>2)+(_2x)

=(-4x2+4xy)4-(-2x)

=(-4-)4-(-2x)+4xy+(-2x)

'='2x~2y,

當x-y=-1時，原式=2(x-y)=2X(-1)=-2.

【點評】本題考查了整式的混合運算-化簡求值，完全平方公式，平方差公式，準確熟練地進行計算是

解題的關鍵.

7.己矢口，X2+4X-4=0,求3(%-2)2-6(x+1)(尤-1)的值.

【分析】根據(jù)完全平方公式、平方差公式可以化簡題目中的式子，然后對式子尤2+?-4=0變形，即可

解答.

【解答】解：3(x-2)2-6(x+1)(x-1)

=3/-12x+12-6X2+6

=-3X2-12x+18,

'."X2+4X-4—0,

.,.X2+4X=4,

.?.原式=-3(/+4x)+18=-3X4+18=6.

【點評】本題考查整式的混合運算-化簡求值，解答本題的關鍵是明確整式的化簡求值的方法.

8.先化簡，再求值：(x+3y)(x-3j)-(2x-y)2-y(3x-7y),其中尤，y滿足x+y=3,xy=1.

【分析】利用完全平方公式計算乘方，利用平方差公式和單項式乘多項式的運算法則計算乘法，然后去

括號，合并同類項進行化簡，最后利用整體思想代入求值.

【解答】解：原式=(%2-9/)-(4?-4xy+y2)-3xy+ly2

=/-9y2-4x2+4xy-y2-3xy+7y2

=-3jr+xy-3y2,

：x+y=3,xy=l,

；./+y2=(x+y)2-2xy=32-2x1=9-2=7,

原式=-3(7+y2)+xy

=-3x7+1

=-20.

【點評】本題考查整式的混合運算，掌握完全平方公式(研b)2=/±2必+廿和平方差公式(q+6)(a-m

是解題關鍵.

題型三運用完全平方公式的變形求值

1.己知(元+y)2=12,(尤-y)2=4,求尤?+y2和孫的值.

【分析】直接利用完全平方公式計算，進而將/+/和盯看作整體求出即可.

【解答】解：；(x+y)2=12,(x-y)2=4,

^+y2+2xy=12,/+/-2xy=4,

故2(7+;/)=16,

解得：/+『=8,

故4孫=8,

解得xy=2.

綜上所述，/+y2=8；xy—2.

【點評】此題主要考查了完全平方公式的應用，熟練應用完全平方公式是解題關鍵.

2.(2024秋?十堰期末)已知實數(shù)打，“滿足機+〃=6,mn=-3.

(1)求(m-2)(7?-2)的值；

(2)求相?+/的值.

【分析】(1)將原式展開后，再將根+小相〃代入即可求出答案.

(2)根據(jù)完全平方公式即可求出答案.

【解答】解：(1)因為m+九=6,-3,

所以(m-2)(n-2)—mn-2m-2n+4—mn-2(zn+n)+4=-3-2X6+4=-11.

(2)m2+t^=(s+〃)2-2mn=62-2X(-3)=36+6=42.

【點評】本題考查整式的乘法，涉及多項式乘以多項式，完全平方公式，屬于基礎題型.

3.(2024秋?江安縣期中)已知x+y=3,孫=-10,求：

(1)(3-%)(3-y)的值.

(2)求/+3盯+/的值.

【分析】(1)原式利用多項式乘多項式法則計算，把各自的值代入計算即可求出值；

(2)原式利用完全平方公式化簡，把各自的值代入計算即可求出值.

【解答】解：(1)'."x+y=3,xy=-10,

，原式=9-3y-3x+xy

=9-3(x+y)+xy

=9-3X3-10

=9-9-10

=-10；

(2)?.?%+y=3,xy=-10,

，原式=(x+y)2+xy

=9-10

=-1.

【點評】此題考查了完全平方公式，以及多項式乘多項式，熟練掌握運算法則及公式是解本題的關鍵.

4.(2024秋?青浦區(qū)校級月考)己知(x+y)2=4,(尤-y)2=16,求下列各式的值：

(1)/+/；

(2)/+/.

【分析】利用完全平方公式解答各題即可.

【解答】解：(1),/(x+y)2=4,(x-y)2=16,

^r+Txy+y2=4①,x2-2xy+y1=16②,

①+②得：2/+2/=20,

則？+/=10；

(2)由(1)得①-②得：4xy=-12,

則xy=-3,

那么x4+y4

=(7+y2)2-2x2y2

=($+/)2-2(xy)2

=1。2-2X(-3)2

=100-18

=82.

【點評】本題考查完全平方公式，熟練掌握該公式是解題的關鍵.

5.(2024秋?浦東新區(qū)校級月考)已知(a+6)2=17,(a-b)2=13,求：

(1)/+戶的值；

(2)4a2-3ab+4b2的值.

22

【分析】(1)由題意易得a?+爐=S+b)；(。一力)，然后代入求解即可；

22

(2)由題意可得ab=9+b)不。一幼，然后根據(jù)(1)中的值可進行求解.

【解答】解：(1)(a+b)2=c^+lab+b1=17,(a-b)2=a2-2aZ?+Z;2=13,

兩式相加可得2(/+戶)=30,

則a1+b1=15；

(2)兩式相減可得4必=4,

則ab=l,

那么4a2-3。6+4廬=4(屋+/)-3ab=4X15-3Xl=57.

【點評】本題主要考查完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

6.(2024春?婁星區(qū)校級期中)已知a-b=6,ab=-7.求：

(1)^+廬的值；

(2)(.a+b)2+2(a-b)2的值.

【分析】(1)由(a-b)2=a2-2ab+b2,給等式兩邊同時加2a6,根據(jù)已知條件即可得出答案；

(2)由(a-b)2—a2-lab+b1,給等式兩邊同時加4a6,右邊為c^+2ab+儼,即(a+6)2,根據(jù)已知條

件即可得出答案.

【解答】解：(1)'：a-b=6,ab=-7,

：.a2+b2=(a-6)2+2ab=62+2X(-7)=22；

(2)(a+6)2=(a-b)2+4ab,a-b=6,ab=-7,

(a+6)2=62+4X(-7)=8,

(a+6)2+2(a-b)2=8+2X62=80.

【點評】本題主要考查了完全平方公式的變式應用，熟練應用完全平方公式的變式進行計算是解決本題

的關鍵.

7.(2024秋?泉州期中)已知代數(shù)式Q+6)2,心+伊,浦之間存在這樣的等量關系：

(a+b)~=cr'+b~+2ab；

根據(jù)這個等量關系，解決下列問題；

(1)已知a+6=4,a2+b2—10,求的值；

(2)已知(x-2021)2+(%-2019)2=52,求x-2020的值.

【分析】(1)將已知代入完全平方公式，即可解得答案；

(2)設x-2020=a,代入已知可得/=25,即得x-2020的值為±5.

【解答】解：(1)(a+b)2—a1+b2+2ab,a+b—4,a2+Z?2=10,

：.42=10+2ab,

次?=3；

(2)設％-2020=〃，貝！Jx-2021=〃-1,%-2019=〃+1,

???Ca-1)2+(〃+1)2=52,

-2〃+1+〃2+24+1=52,

/.“2=25,

??±5,

即x-2020的值為±5.

【點評】本題考查完全平方公式的應用，解題的關鍵是掌握完全平方公式，能熟練運用換元法解決問題.

8.(2023秋?東坡區(qū)校級期中)己知a+6=3,ab=^,求下列各式的值：

(1)〃2+廿；

(2)a-b；

(3)2-2廿+64

【分析】(1)依據(jù)/+廬=(〃+。)2,2ab,進行計算即可；

(2)依據(jù)｛a-Z?)2=a2+b2-lab,進行計算即可；

(3)依據(jù)〃+。=3,即可得到廿-6b+9=/,再根據(jù)2-2廬+6。=2-b2-(Z?2-6。+9)+9進行計算即可.

【解答】解：(1)a2+tr=(a+b)2-2ab=32-2x|

4ZZ

(2)(a-b)2=cr+b2-2ab=孕-2x7=4；

(3)原式=2-2bCb-3)=2-2Z?(-a)=2+2a6=4.5.

【點評】本題考查了完全平方公式，解決本題的關鍵是熟記完全平方公式.

9.(2024秋?普陀區(qū)期中)閱讀理解.

已知(a-12)2+€14-a)2—6,求(a-13)的值.

解：由(a-12)~+(14-41)2=6,可得](a-13)+1]~+[(a-13)-1]2—6.

整理得(a-13)，+2(a-13)+1+(a-13)'-2(a-13)+1=6.

2(A-13)2+2=6

得(a-13)2=2.

請仿照上述方法，完成下列問題：

(1)已知(a-98)2+(96-a)2=10,求(a-97)2的值.

(2)已知(a-2024)2=8,求(a-2025)2+(2023-a)2的值.

【分析】(1)將(a-98)2+(96-a)2=10變形為[(a-97)-1]2+[(a-97)+1]2=10,然后利用完

全平方公式展開并整理成2(a-97)2+2=10,即可求出(a-97)2的值；

(2)將(a-2025)2+(2023-a)2變形為[(0-2024)-1]2+[(a-2024)+1]2,然后利用完全平方公

式展開并整理成2(a-2024)2+2,然后將已知條件代入求值即可.

【解答】解:(1)由(a-98)2+(96-a)2=10,可得[(a-97)-1]2+[(a-97)+1]2=10,

整理得(a-97)2-2(a-97)+1+(a-97)2+2(a-97)+1=10,

2(a-97)2+2=10,

得(a-97)2=4；

(2)(a-2025)2+(2023-a)2

=[(a-2024)-l]2+[(a-2024)+1]2

=(a-2024)2-2(a-2024)+1+(a-2024)2+2(a-2024)+1

=2(a-2024)2+2,

當(a-2024)2=8時,

原式=2X8+2=18.

【點評】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關鍵.

10.(2024春?江都區(qū)校級期中)完全平方公式經(jīng)過適當?shù)淖冃?，可以解決很多數(shù)學問題.

例如：若a+6=3,a6=l求/+/的值.

解：因為a+6=3,ab=l所以(a+b)2—9,2ab=2所以q2+b2+2ab=9,所以/+必=7.

根據(jù)上面的解題思路與方法解決下列問題：

(1)若a-b=-5,ab=3,則次+廿二.

(2)若(〃+/?)2=17,(a-b)2=13求〃2+房的值.

(3)已知-1=0,求％2+斗的值.

x乙

【分析】(1)根據(jù)完全平方公式變形即可求解；

(2)由題意得到(。+。)2+(.a-b')2=30,根據(jù)完全平方公式得出-2而+4=30,化簡即

可求解.

(3)兩邊同時除以x得，x—]=—3,兩邊平方得(萬一白？=(—3)2,化簡即可求解.

【解答】解：(1)9*a-b—-5,ab=3,

/.(a-b)2=25,2ab=6,

：?)-2ab/=25,即〃2-6+房=25,

/.a2+b2=31.

故答案為：31；

(2)?.?(。+。)2=17,Qa-b)2=13,

??.(〃+/?)2+(a-b)2=30,

4Z2+2?Z?+Z?2+4Z2-2〃。+/=30,

2〃2+2廿=30,

/./+廬=15；

(3)???%2+3x-1=0,

1

?二%+3=0,

x

r1

即％—=一3,

x

=(-3)2，

,1

%2+下-2=9,

XL

o1

?,?％24---n=11.

XL

【點評】本題考查了完全平方公式變形求值，正確完全平方公式是解題的關鍵.

題型四結合幾何圖形進行計算求值

1.(2023秋?端州區(qū)期末)很多同學在學習整式乘法及乘法公式時，都是死記硬背計算公式.為了讓學生們

能更直觀地理解公式，李老師上了一節(jié)拼圖實驗課,她用四張長為。、寬為6的小長方形(如圖1),拼

成了一個邊長為的正方形(如圖2).觀察圖形，解答下列問題:

(1)圖2中，陰影部分的面積是；

(2)觀察圖1、圖2,請你寫出三個代數(shù)式：(a+b)2,(a-b)2,"之間的關系

(3)應用：己知x+y=7,肛=10,求值：

①(x-y)2

@x-y.

【分析】(1)表示出陰影部分的邊長即可得答案;

(2)用兩種方法表示四個長方形面積可得答案；

(3)應用(2)的結論，可得答案.

【解答】解：(1)陰影部分是邊長為(a-b)的正方形，

陰影部分的面積是Q-6)2,

故答案為：(a-6)2；

(2)由圖可得(a+6)2-(a-b)2=4",

故答案為：(a+b)2-(a-)2=4出

(3)①?；x+y=7,孫=10,

(x-y)2=(x+y)2-4孫=72-4義10=9；

②尤-y=±3.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，完全平方式，掌握相應的運算法則是解題的關鍵.

2.(2024秋?東城區(qū)期中)如圖1有三種紙片，A種紙片是邊長為。的正方形，B種紙片是邊長為6的正方

形，C種紙片是長為6,寬為。的長方形，老師用A種紙片一張，8種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖

2的大正方形.

（1）觀察圖2的面積關系，寫出一個數(shù)學公式；

（2）根據(jù)數(shù)學公式，解決問題：已知a+b=7,/+必=29,求（a-6）2的值.

【分析】（1）觀察圖形可知圖2的面積可以看作邊長為（a+b）的正方形面積，也可以看成一個邊長為b

的正方形的面積+一個邊長為a的正方形的面積+2個長為6,寬的。的長方形的面積，然后根據(jù)正方形和

長方形的面積公式進行解答即可；

（2）先根據(jù)（1）中所求公式和已知條件，求出2",再根據(jù)完全平方公式進行解答即可.

【解答】解：（1）圖2的面積可以看作邊長為（a+b）的正方形面積，也可以看成一個邊長為b的正方形

的面積+一個邊長為a的正方形的面積+2個長為b,寬的a的長方形的面積，

（a+b）2=a1+2ab+b2,

故答案為：（a+b）~=a^+2ab+b~；

（2）Va+b=7,c^+b2=29,（a+b）2=a2+2ab+b1,

.?.29+2"=72,

2ab=49-29=20,

(a-b)2

—a2+b2-2ab

=29-20

=9.

【點評】本題主要考查了完全平方公式和它的幾何背景，解題關鍵是熟練掌握完全平方公式和靈活應用

數(shù)形結合的數(shù)學思想.

3.（2023春?鄭縣期中）【閱讀材料】

我們知道，圖形也是一種重要的數(shù)學語言，它直觀形象，能有效地表現(xiàn)一些代數(shù)中的數(shù)量關系，而運用

代數(shù)思想也能巧妙地解決一些圖形問題.

在一次數(shù)學活動課上，張老師準備了若干張如圖1所示的甲、乙、丙三種紙片，其中甲種紙片是邊長為

尤的正方形，乙種紙片是邊長為y的正方形，丙種紙片是長為y,寬為尤的長方形，并用甲種紙片一張，

乙種紙片一張，丙種紙片兩張拼成了如圖2所示的一個大正方形.

【理解應用】

（1）觀察圖2,請用兩種不同方式計算陰影部分的面積，并把得到的等式寫出來.

【拓展升華】

（2）利用（1）中的等式解決下列問題.

已知。2+62=]0,a+b=6,求的值；

（3）若用圖一中的卡片拼成一個邊長為y+3x的正方形，則需要甲型卡片張、乙型卡片張、

丙型卡片張.

圖1圖2

【分析】（1）陰影部分面積可以用大正方形的面積減去兩空白長方形的面積，也利用直接用兩個小正方

形面積之和來求，列出等式即可；

（2）把。+6=6兩邊平方，利用完全平方公式化簡，把/+/=10代入計算即可求出油的值；

（3）表示出正方形的面積，利用完全平方公式化簡，即可確定出甲、乙、丙三種型號的卡片數(shù).

2

【解答】解：（1）根據(jù)題意得：（x+y）-2xy=?+/;

（2）把a+6=6兩邊平方得:（a+6）2=36,

整理得：a2+b2+2ab=36,

把/+/=10代入得：10+2ab=36,

解得：而=13；

（3）根據(jù)題意得：（y+3x）2—y2+6xy+9x2,

則需要甲型卡片9張、乙型卡片1張、丙型卡片6張.

故答案為：9,1,6.

【點評】此題考查了完全平方式，以及完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式是解本題的關

鍵.

4.（2023秋?龍南市月考）圖1是一個長為2x、寬為2y的長方形，沿虛線將圖1裁剪成四個大小相同的長

方形，然后按圖2的方式無縫隙地拼成一個正方形.

XX

y

y

圖1圖2圖3

（1）請你用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積

方法1：.

方法2：.

（2）①（x+y）2,（尤-y）孫之間的數(shù)量關系是；

②當機+”=10,%〃=15時，求（m-ri'）2的值.

（3）如圖3,將大小不一的長方形和正方形無縫隙地拼成一個邊長為（x+y+z）的正方形，根據(jù)面積的

等量關系，可列式子：.

【分析】（1）根據(jù)題意可知，圖2中的陰影部分為正方形，表示出這個正方形的邊長，利用正方形的面

積公式表示出陰影部分面積即可；圖2中的陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個小長方形的面

積，由此即可求解；

（2）①根據(jù)（1）中陰影部分面積的不同表示方法可得等式；

②利用①中得出的公式直接代入計算；

（3）圖3的面積可以表示為大正方形邊長的平方，也可以表示為九部分的面積和，據(jù)此得出等式.

【解答】解：（1）由圖可得：

方法1：（x-y'）2；

方法2：（x+y）之-4印

故答案為：（x-y）2,（x+y）2-4孫；

（2）①由（1）可得：（x-y）2=（x+y）2-4xy；

故答案為：（x-y）2=G+y）2-4xy；

②■.,，"+〃=10,mn=15,

由①可得：（m-〃）2=（m+n）2-4mn=102-4X15=40；

（3）根據(jù)面積的不同計算方法可得：（x+y+z）2=x2+xy+xz+xy+j2+yz+xz+yz+z2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz,

故答案為：(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz.

【點評】本題考查了完全平方公式的幾何背景，運用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導過程，通

過幾何圖形之間的數(shù)量關系對完全平方公式做出幾何解釋.

5.(2023秋?韶關期末)如圖1,有A型、B型、C型三種不同形狀的紙板，A型是邊長為a的正方形，B

型是邊長為。的正方形，C型是長為b,寬為。的長方形.現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板

兩張拼成如圖2的大正方形.

(1)觀察圖2,請你用兩種方法表示出圖2的總面積：

方法1：，

方法2：,

根據(jù)上面兩種面積表示方法，寫出一個關于a,6的公式：；

(2)已知圖2的總面積為100,一張A型紙板和一張8型紙板的面積之和為58,求ab的值；

(3)用一張A型紙板和一張8型紙板，拼成圖3所示的圖形，如果6-a=3,ab=28,求圖3陰影部分

的面積.

【分析】(1)由觀察圖2可得兩種方法表示出圖2的總面積為(a+6)2和/+2"+后，關于公匕的等式

(a+b)-=cr+2ab+b^；

(2)由題意得，a2+2ab+b2=100,a2+b2=5S,兩個等式作差可求得此題結果；

(3)由題意得好+/一嗎也=(a—bj+叫從而可解得此題結果.

【解答】解：(1)用兩種方法表示出圖2的總面積為(a+b)2和〃2+2〃6+廿，

222

關于a,弓的等式(a+b)=a+2ab+bf

故答案為：(a+b)，a^+2cib+b^；(a+b)=；

(2)由題意得，(a+b)2=c^^ab+b2=100,?2+Z?2=58,

；."=(a+少二3+2

_100-58

=-2-

_42

=T

=21；

（3）由題意得圖3中陰影部分的面積為：

弓|g（a+b）

22

_b2+2a2,—a2—ab

二2

2

_（a—b）+ab

二2'

把=3,ab=28,代入得：

圖3中陰影部分的面積為：

（-3）2+2837

22,

【點評】本題考查了完全平方公式幾何背景的應用能力，掌握根據(jù)圖形準確列式，并靈活運用完全平方

公式進行變式應用是關鍵.

6.（2024春?拱墅區(qū)月考）用1張邊長為a的正方形紙片，1張邊長為。的正方形紙片，2張長和寬分別為

mb的長方形紙片拼成如圖1所示的大正方形.

（1）觀察圖1,試用兩種不同的方法表示圖1中兩個陰影圖形面積的和（用含。，6的代數(shù)式表示）.

代數(shù)式1：;

代數(shù)式2：；

（2）從（1）中你能發(fā)現(xiàn)什么結論？請用等式表示出來;

（3）利用（2）中得出的結論解決下面的問題：

①若q+b=5,a2+b2—l3,求功的值；

②如圖2,點C是線段上的一點，以AC,BC為邊向兩邊作正方形AC￡)E與正方形CFGB,若AB=7,

兩正方形的面積和為SI+S2=25.求圖2中陰影部分的面積.

【分析】(1)代數(shù)式1：直接用代數(shù)式表示兩個正方形的面積和即可；代數(shù)式2：從大正方形中減去兩個

長方形的面積即可；

(2)由(1)中兩個代數(shù)式相等可得答案；

(3)①a+6=5,a2+b2=13,a1+b2=(a+6)2-lab,代入即可求出的值；

②設正方形ACOE的邊長為他，正方形CFGB的邊長為w,由題意可得機+〃=7,mW=25,根據(jù)，層+層

=(m+n)2-2m〃,求出mn的值，進而求出一加〃的值即可.

2

【解答】解：(1)圖1中兩個陰影部分的面積和，也就是邊長為。，邊長為。的正方形的面積和，即/+廿，

圖1中陰影部分的面積和也可以看作從邊長為a+b的正方形面積減去兩個長為〃，寬為b的長方形的面

積，即Ca+b)2-2ab,

故答案為：辦戶,(]+。)2.血

(2)由(1)中兩個代數(shù)式所表示的面積相等可得，/+廿=(a+b)2-2處；

(3)?Va+b=5,?2+Z?2=13,a2+b2=Qa+b)2-lab,

A13=25-lab,

??ab=6；

②設正方形ACDE的邊長為m,正方形CFGB的邊長為n,由于AB=7,兩正方形的面積和為51+52=25,

即m+n=7,m2+n2=25,

*.*m2+n2=(m+n)2-2nln,即25=49-2mn,

??run~~12,

.1_

?tS陰影部分=2mn~6.

【點評】本題主要考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結構特征是正確解答的關鍵.

7.(2024春?雅安期末)所謂完全平方式，就是對于一個整式A,如果存在另一個整式8,使4=/,則稱

1221222

A是完全平方式，例如：cr+2ab+b=(a+b),a-2ab+b=(a-b~),所以/+2a6+b2,a-2ab+b

就是完全平方式.

請解決下列問題：

(1)已知。2+廿=8,(a+b)2=20,則ab=；

(2)如果/-(A+1)龍+9是一個完全平方式，則上的值為；

(3)若無滿足(2024-尤)2+(x-2007)2=169,求(2024-x)(x-2007)的值；

(4)如圖，在長方形4BCZ)中，AB=10,AO=6,點E,尸分別是BC,C。上的點，MBE=DF=x,

分別以FC,CE為邊在長方形ABCD外側作正方形CFGH和CEMN.

①CF=,CE=；(用含尤的式子表示)

②若長方形CE;*的面積為32,求圖中陰影部分的面積和.

【分析】(1)根據(jù)公式進行變形即可求得到答案；

(2)利用完全平方公式的結構特征判斷即可確定出人的值；

(3)將(2024-x)和(x-2007)看成一個整體，利用公式進行計算即可得到答案；

(3)①根據(jù)圖形可以直接得到答案；

②根據(jù)長方形CEPF的面積為32即可得到(10-x)(6-尤)=32,將(10-x)和(6-尤)看成一個整

2

體可求得(10-x)+(6-%)2,再根據(jù)S陰影=s正方形CFGH+S正方形CEMN即可得到答案.

【解答】解：(1)Va2+b2=8,(a+b)2=20,a2+2ab+b2=(a+b)2,

8+2次?=20,

??ab=6,

故答案為：6；

(2)Vx2-(4+l)x+9是一個完全平方式，

；.H4=±2X3,

.'.k=5或-7.

故答案為：5或-7；

(3)(2024-x)2+(%-2007)2=169,