浙江省寧波某中學(xué)2024-2025學(xué)年高一年級(jí)下冊(cè)三月月考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024學(xué)年寧波中學(xué)高一下數(shù)學(xué)測(cè)試（一）

一、單選題

1.在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,如果。=2,4=45。，2=30。，那么b=（）

A.72B.與C.76D.當(dāng)

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)在△ABC中，a=2,A=45。，8=30。，直接利用正弦定理求解.

【詳解】因?yàn)樵贏ABC中，a=2,A=45°,8=30°,

2bb

所以由正弦定理得------=——=-------,

sin45sinBsin30

解得b=-^2，

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題在考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題》

2.若復(fù)數(shù)z滿足zi2025=2-i，則Z的實(shí)部與虛部之和為（）

A.-l+2iB.—1—2iC.1D.-3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)求得z=-l-2i，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.

【詳解】因?yàn)閕2°25=i，所以02O25=zi=2—i，則Z=2^=—1-2i,

i

所以z的實(shí)部為—1，虛部為-2,則z的實(shí)部與虛部之和為-3.

故選：D.

3.已知在VA3C中，ZC=90°,A5=2AC=4,點(diǎn)。沿AfC96運(yùn)動(dòng)，則A￡>-8。的最小值是

（）

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】A

【解析】

【分析】

當(dāng)點(diǎn)。在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD=；IAC，得到8=（彳—1）AC,根據(jù)向量的數(shù)量積，化簡(jiǎn)得到

AD-JBD=4^2-1j-1,求得A￡>.8。取得最小值；當(dāng)點(diǎn)。在3C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)BD=2BC，得到

CD=(/l—1)30,化簡(jiǎn)得到">.加=12(4——3,求得最小值.

【詳解】在VABC中，ZC=90°,AB=2AC=4,可得BC=2石，

當(dāng)點(diǎn)。在AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)Ar>=2AC(0424l),則CD=(/l—l)AC,所以

ADBD=AD(BC+CD)=ADBC+ADCD,

又因ZC=90°,所以AD/BC,所以4￡).8。=0，

所以4￡>.5￡>=4￡>.0）=；1（；1—1）402=4（；1—31-1,

當(dāng)X=g時(shí)，AD-AD取得最小值—L

當(dāng)點(diǎn)。在3C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)B￡>=4BC（0WXWl）,則C￡）=（X—1）3C,

所以ADBD=（AC+CD）BD=ACBD+CDBD,

又因?yàn)镹C=90°,所以AC1血，所以AC-8D=0,

所以4￡>.加=0).5￡)=；1(；1—1)§02=12(2—-3，

當(dāng)X=g時(shí)，AD?皮)取得最小值一3，

綜上可得，AZ>BD的最小值是-3.

故選：A.

【點(diǎn)睛】解決向量在平面幾何中的應(yīng)用問題的兩種方法：

(1)坐標(biāo)法，把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示出來，這樣就能進(jìn)行

相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算，從而使問題得到解決；

(2)基向量法，選取一組合適的基底，將未知向量用基底表示出來，然后根據(jù)向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律和

性質(zhì)求解.

a2+b~-c1

4.VA3C中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，若S

ABC4

ARAr

（E+^^>BC=°，則VABC的形狀是（）

IAB||AC|

jr

A.有一個(gè)角是一的等腰三角形

6

B.等邊三角形

C.三邊均不相等的直角三角形

D.等腰直角三角形

【答案】D

【解析】

4p

【分析】由（J+推導(dǎo)可得/B4C的平分線垂直于邊8C,進(jìn)而可得3=c,再由給定面

\AB\\AC\

積導(dǎo)出NB4C=90得解.

AR

【詳解】如圖所示，在邊A3、AC上分別取點(diǎn)。、E，使AD=-AE=--

\AB\|AC|

以AD、AE為鄰邊作平行四邊形ADEE，則AF=AD+AE，顯然IA。|=|AE1=1，

ABAC

因此平行四邊形ADEE為菱形，AF平分ZB4C,而（1^+二百＞2。=。，則有AP.BC=O，即

\AB\\AC\

AFIBC,

于是得VA3C是等腰三角形，即Z?=c,令直線AF交8c于點(diǎn)0,則。是8c邊的中點(diǎn)，

SABC=^a-AO,

2./22-iii

而s=a一C二!/，因此有A0=—a=—BC，從而得NR4C=9。，

ABC4422

所以VA3C是等腰直角三角形.

故選：D

5.某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量某建筑的高度。尸，選取了在同一水平面上的A,B,C三處，如圖.已知在A,

B,C處測(cè)得該建筑頂部尸的仰角分別為30°，45，60°.04=206—0。，A3=10米，則該建筑的高

度0P=(

p

A.10血米B.5?米C.5若米D.50米

【答案】B

【解析】

,，22

分析】設(shè)OF=x,由NOA4+/QBC=7i,結(jié)合余弦定理可得100+V—3爐1iU0U0+x--3JC八，求

------------------+-------------------=0

2xl0xx2xl0xx

解即可.

【詳解】設(shè)OP=x,則可得。4=瓜,08=%,0。=

3

由04=208—OC，可得5是AC的中點(diǎn)，所以AB=5C=10，

而/OBA+ZOBC=冗,則cosNOBA+cosNO5c=0,

ABO,CBO中，由余弦定理可得：100+/—3%2100+x2--x2

------------------+-------------------=0

2xl0xx2xl0xx

解得：x=5底,所以該建筑高度OP=5幾米.

故選：B.

二、多選題

6.已知向量a=（—2,1）,則下列說法正確的是（）

A.若。上匕，貝心的值為一2

B.若濟(jì)比，貝V的值為g

C.若0<r<2,則。與匕的夾角為銳角

D.若（2+方）_1_倒-肛則,+Z?卜卜_可

【答案】AB

【解析】

【分析】根據(jù)向量共線和垂直的坐標(biāo)表示，向量數(shù)量積和向量的模的坐標(biāo)表示及向量夾角的坐標(biāo)表示一一

判斷即可.

【詳解】對(duì)于A：若，貝必吆=—2x(—l)+lx/=O,解得/=—2,故A正確；

對(duì)于B：若川也，則—2r=—lxl,解得。=,，故B正確；

2

對(duì)于C：當(dāng)^=工時(shí)，。與Z?同向，此時(shí)a與b的夾角為0°,故C錯(cuò)誤；

2

對(duì)于D：若(a+b),(a—>)，貝+匕)=0,即即(_2了+/=(_]>+產(chǎn)，解得,

當(dāng)f=2時(shí)，a=(-2,1),b=(-l,2),&+〈=(-3,3),a-b=(-l,-l),顯然卜+可小一可，

當(dāng)」=—2時(shí),d=(—2,1),8=(—1,—2),?+&=(-3,-1),@"=(一1,3),此時(shí),+川=卜—耳，故D

錯(cuò)誤.

故選：AB.

7.在VABC中，C=45°,(AB+3AC)BC=0,則下列說法正確的是()

A.sinB=B.tanA=2

10

3uuo?“l(fā)

C.B4在8c方向上的投影向量為一5CD,若AC=&,則Ag.A?=2

411

【答案】AC

【解析】

【分析】A選項(xiàng)對(duì)題干條件直接根據(jù)數(shù)量積的定義，化簡(jiǎn)成38cosc=ccos8,然后根據(jù)邊角轉(zhuǎn)化求解；B

選項(xiàng)利用兩角和的正切公式求解；C選項(xiàng)結(jié)合正弦定理，投影向量公式求解；D選項(xiàng)根據(jù)正弦定理算出三邊

長(zhǎng)度之后根據(jù)數(shù)量積定義求解.

【詳解】A選項(xiàng)，對(duì)于(+3AC)?3C=0,根據(jù)數(shù)量積的定義展開可得,cacos(7i-B)+3bacosC=0,

即3〃Z?cosC=accost,即3Z?cosC=ccosB,由正弦定理，3sin_BcosC=sinCcos5,

sinB1

111____—_

即tan5=-tanC=-tan45=—，則3為銳角，由＜cosB3

333

sin2B+cos23=1

解得sin3=@°，COSBMMO,A選項(xiàng)正確，

1010

B選項(xiàng)：由A選項(xiàng)和題干可知，tanB=-,tanC=l,

3

tan(3+C)=tan3+tanC=2=tan(7i_A)=_tanA,故tanA=-2,B選項(xiàng)錯(cuò)誤.

1-tanBtanC

BC

c選項(xiàng)：BA在BC方向上的投影向量為15Aleos'

\BC\

包4=22巧

由B知，tanA=2,scosA,且。vAv兀,sinA＞。，解得sinA=-----，

sin2A+cos2A=15

BA_sinC_Vio叵.^HBC=3BC,C選項(xiàng)正確

由正弦定理，則|BA|cosB?B￡_-

BCsinA~T~\BC\4104

aA/2c

b

D選項(xiàng)：由正弦定理，上==sinC'即至眄y/2，解得a=4,c=,

sinAsinB

510~T

于是COSA=JMABAC=M@=-2,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

2bc

故選：AC

8.記ABC的內(nèi)角AB,C所對(duì)的邊分別為a,b已知

a(cosAcos5-sinCcosC)=(csinC-Z?cosA)cosA則下列說法正確的是()

A.。可能是最大邊B.Z?可能是最大邊

C.a可能是最小邊D.c可能是最小邊

【答案】BCD

【解析】

TT7T

【分析】應(yīng)用正弦定理及兩角和差公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合誘導(dǎo)公式得出。='或5=A+二計(jì)算判斷即可.

22

【詳解】由題意可得tzcosAcosB-6isinCcosC=csinCcosA-Z?cos2A,

所以tzcosAcosB+Z?COS2A=csinCcosA+asinCcosG

由正弦定理可得(sinAcos8+sinBcosA)cosA=(sinCcosA+sinAcosC)sinG

所以sin(A+5)cosA=sin(A+C)sinG

即sinCcosA=sinBsinG

即(sinB-cosA)sinC=0,

等價(jià)于sinB-sinfA+-^jsinC=0,

所以sinB=sin[A+'J,則3=A+]或5+A+]=TI(^|]C=5).

TT

若。=上，則。是最大邊，。，匕可能是最小邊；

2

JT

若3=A+—,則b是最大邊，a,c可能是最小邊.

2

綜上，選項(xiàng)B,C,D正確.

故選：BCD.

三、填空題

9.已知單位向量。，人的夾角為:，則|2。+目=.

【答案】幣

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的定義及運(yùn)算律計(jì)算即得.

【詳解】由單位向量。，匕的夾角為得aW=lxlxcos]=；,

所以|2a+。|=J(2a+b)2=d4a+b+4a為=S-

故答案為：

10.己知復(fù)數(shù)4，芍滿足4+2弓=—3—i,艮-zj=l,則區(qū)+2i|的最大值為.

【答案】癡+1##1+加

【解析】

【分析】設(shè)4=x+yi,根據(jù)題意求得4,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求得Z2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，再根據(jù)幾何意義求

目標(biāo)式的最大值.

【詳解】令復(fù)數(shù)4=X+M，X，yeR,則Z=x—yi,

所以Zi+2%=3x—yi=-3—i,所以x=—l,J=l,即z=—l+i.

又因?yàn)?—zj=l,即在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以(-1,1)為圓心，1為半徑的圓.

又點(diǎn)(-U)到點(diǎn)(0,-2)的距離為J(—1—0)2+(1+2)2=回，

所以卜+2胃的最大值為癡+1.

故答案為：710+1.

11.在△ABC中，AB^4,AC=3,N54C=90。,。在邊BC上，延長(zhǎng)A。到P,使得AP=9,若

3

PA=mPB+（一一m）PC（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是

2

io

【答案】二或0

5

【解析】

【分析】根據(jù)題設(shè)條件可設(shè)PA=/lPD（4>0）,結(jié)合PA=mPB+g-加卜C與氏Q,C三點(diǎn)共線，可求得

A,再根據(jù)勾股定理求出8C,然后根據(jù)余弦定理即可求解.

【詳解】：4,。記三點(diǎn)共線,

可設(shè)PA=4尸。（％>0）,

PA=mPB+”尸C,

3

3--m

APD=mPB+mpc

j'即加生如PC'

A2

3

若mw0且加w—,則民C三點(diǎn)共線,

2

3

—m

..m2?BP2=—

一+1

A22

AP=9,***AD=3,

VAB=4,AC=3,ZBAC=90°,

BC=5,

設(shè)CD=x,ZCDA=0,則80=5—x,NBDA=兀-e.

AD1+CD1-AC2_xAD2+BD2-AB2（5-M-7

根據(jù)余弦定理可得cos6=cos（萬一e）=

2ADCD-62ADBD6（5-x）

cos3+cos（笈-6）=0,

—+（5r匕0,

解得x=二,

66（5-x）

.??CD的長(zhǎng)度為二.

當(dāng)根=0時(shí)，PA=-PC,C,O重合，此時(shí)CD的長(zhǎng)度為0,

2

33

當(dāng)機(jī)=一時(shí)，PA=-PB,民。重合，此時(shí)R4=12,不合題意，舍去.

22

1Q

故答案為：?；?/p>

【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)的應(yīng)用、余弦定理的應(yīng)用以及求解運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是設(shè)出

PA=APD^>0）.

四、解答題

12.如圖，在等腰梯形ABCD中，2AD=2DC=2CB=AB=2a,E,E分別為AB,AO的中點(diǎn),

BF與DE交于點(diǎn)、M.

（1）用A￡>，4E表示8尸；

（2）求線段A"的長(zhǎng).

uim1uumUUQ

【答案】（1）BF=-AD-2AE

2

⑵—a

3

【解析】

【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算直接可得解；

（2）根據(jù)轉(zhuǎn)化法可得向量的模.

【小問1詳解】

由已知2AZ）=2DC=2CB=AB=2a,

且E為AB的中點(diǎn)，

則四邊形5CZ5E為平行四邊形，VADE為等邊三角形,

即/刃48=60°,

又E為AD的中點(diǎn)，

UUDUHuumUUD1UUU

則BF=BA+AF=-2AE+-AD,

2

UUB1UUHUUH

即BF=-AD-2AE；

2

【小問2詳解】

由已知3,M,尸三點(diǎn)共線，

則AM=4AB+(1—X)AF=2XAE+^-AD,

1-21

又因?yàn)?。，M,石三點(diǎn)共線，則有2X+-^=1,解得2=7，

23

uuur2uua1uu?

故有AM=—AE+—AD,

33

所以|AAf|=+=^a.

13.在VABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.且滿足也(sinBsinA-cosBcosA)=sin。.

(1)求角C的大??；

(2)若VABC的面積S=10百，內(nèi)切圓的半徑為廠=6,求c；

(3)若NACfi的平分線交AB于。，且CD=2,求VABC的面積S的最小值.

71

【答案】(1)c=-

3

(2)c=7

(3)

3

【解析】

【分析】(1)利用和角公式化簡(jiǎn)，借助于同角三角函數(shù)式和特殊角的函數(shù)值即得.

(2)由等面積得出a+/?+c=20,ab=40,利用余弦定理得出c?=(。+勾？一3^,,三式聯(lián)立即可求

得邊c.

(3)結(jié)合題設(shè)，分別在.ACD,△BCD和VA3C中，由正弦定理推出邊。，》的關(guān)系式工+,=3,

ab2

再利用基本不等式求得ab的最小值，繼而即得三角形面積最小值.

【小問1詳解】

由&(sinBsinA—cos5cosA)=sinC,得一百85(4+8)=5111。，則GcosC=sinC，即

tanC=A/3，

TT

而0＜。＜兀，所以c=—

3

【小問2詳解】

由等面積法得：S=g"sinC=g廠(a+Hc),即/行=餐.+萬+司二金"，

因此a+Z?+c=20,ab=40,在VABC中，由余弦定理得/=4+6