山西省呂梁市孝義市2025年中考第一次模擬數(shù)學(xué)試卷（解析版）

2025年孝義市第一次中考模擬考試題（卷）數(shù)學(xué)

注意事項：

1、本試卷分第I卷和第n卷兩部分.全卷共8頁，滿分120分，考試時間120分鐘.

2、答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效.

3、考試結(jié)束后，只收回答題卡.

第I卷選擇題（共30分）

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該選項涂黑）

1.如圖，太原市某天的氣溫是一5℃~n℃,則這天的溫差（最高氣溫減最低氣溫）是（）

A.6℃B.-16℃C.16℃D.-6℃

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用.根據(jù)題意利用最高氣溫減最低氣溫，并計算即可.

【詳解】解：：太原市某天的氣溫是—5°。?11℃,

這天的溫差：11—（一5）=16℃,

故選：C.

2.近年來，我國大力開發(fā)新能源產(chǎn)業(yè)，下面是四張新能源圖標(biāo)，其文字上方的圖案既是軸對稱圖形，又是

中心對稱圖形的是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查軸對稱圖形與中心對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形與軸對稱圖形的定義是解題的關(guān)

鍵.如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一

個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖

形，這個點就是它的對稱中心.根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義逐一判斷即可.

【詳解】解：A、它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形；

B、它是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形；

C、它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形；

D、它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形.

故選：B

3.下列運算正確的是（）

A.X2-X5-X10B.（必）5=9C.（x-l）2=X2-1D.（-孫2J=-尤3y6

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查同底數(shù)幕相乘，幕的乘方，完全平方公式，積的乘方等.根據(jù)題意逐一對選項進(jìn)行計算即

可.

【詳解】解：x2.x5=必+5=%7,即A選項不對，

（X2）5=?%即B選項不對，

（x-1）2=X2-2X+1,即C選項不對，

3

36

（-孫2）=_Xy,即D選項對，

故選：D.

4.月壤磚是一種未來可能用于月球蓋房子的建筑材料，呈梯卯結(jié)構(gòu).2024年11月13日，我國設(shè)計的“月

壤磚”搭乘“天舟八號”貨用飛船飛往天宮空間站開展太空暴露試驗.圖2是一塊月壤磚的示意圖，則它

的左視圖為（）

*?*三

圖1圖2

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】

【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖，根據(jù)左視圖是從左面看到的圖形即可得到答案.

【詳解】解：從左邊看，看到的圖形是一個長方形，中間有一條橫著的虛線，即看到的圖形如下:

故選：C.

2%+4<0

5.不等式組°「的解集是（）

2-x>5

A.x<—2B.x<—3C.—3<X<—2D.龍〉—3

【答案】B

【解析】

【分析】本題考查解一元一次不等式組.根據(jù)題意分別解出兩個一元一次不等式，繼而得到解集即可.

2x+4<0①

【詳解】解:

2—x〉5②

解不等式①得：x<—2,

解不等式②得：x<-3,

不等式組的解集：%<-3,

故選：B.

6.約公元820年，中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家阿爾一花拉子米寫了一本代數(shù)書，重點論述怎樣解方程.這本書的拉丁

文譯本取名為《對消與還原》，其中，“對消”指的是“合并同類項“，“還原”指的是“移項”.我國古代數(shù)學(xué)著作

《九章算術(shù)》的“方程”章，更早使用了“對消”和“還原”的方法，體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.分類思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.轉(zhuǎn)化思想D.公理化思想

【答案】C

【解析】

【分析】本題考查了一元一次方程，理解一元一次方程的解法是解答關(guān)鍵.

根據(jù)題中的材料，結(jié)合一元一次方程的解法來進(jìn)行求解.

【詳解】解：約公元820年，中亞細(xì)亞數(shù)學(xué)家阿爾一花拉子米寫了一本代數(shù)書，重點論述怎樣解方程.這

本書的拉丁文譯本取名為《對消與還原》，其中，“對消”指的是“合并同類項”，“還原”指的是“移

項”.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》的“方程”章，更早使用了“對消”和“還原”的方法，體現(xiàn)的數(shù)

學(xué)思想是：轉(zhuǎn)化思想.

故選：C.

2

7.已知點3（%2，、2），。（毛，為）都在反比例函數(shù)丁=―一的圖象上，且西<。<々W，則/，

為，>3的大小關(guān)系是（）

A.當(dāng)<%</B.%<%<%C.%<%<乂D.%<%<%

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征.

先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式判斷出函數(shù)圖象所在的象限，再根據(jù)石<0<々<當(dāng)即可得出結(jié)論.

【詳解】解：：反比例函數(shù)y=—2中左=—2<0,

x

.?.函數(shù)圖象兩個分支分別位于二、四象限，且在每一象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.

'/%；<0<x2<x3

...點A在第二象限，點2、C在第四象限，

0<x2<^,

?'->2<%<%?

故選：A

8.自行車尾燈內(nèi)部的角反射器是由許多垂直的平面鏡組成，其工作原理如圖2所示，平面鏡

當(dāng)光線射向鏡面05時，經(jīng)過兩次反射后，光線所沿平行于的方向射出，若4=50°,則N2的

度數(shù)是（）

圖1

A.20°D.50°

【答案】c

【解析】

【分析】本題考查平行線性質(zhì)，垂直定義等.根據(jù)題意先作。及〃￡/，再利用平行線性質(zhì)得NHOr>=50。,

繼而再利用平行線性質(zhì)即可得到答案.

OHIIEF\\CD,

VZ1=5O°,

/.ZHOD=50°,

,：AOLBO,

/.ZAOB^90°,

：.ZEOH=90°-50°=40°,

：.Z2=40°,

故選：C.

9.研究人員發(fā)現(xiàn)，在20℃?25℃時蟋蟀每分鐘鳴叫次數(shù)y（單位：次）是溫度M單位：。C）的一次函數(shù),

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則y與f之間的關(guān)系式為（）

溫度r℃）212325

每分鐘鳴叫次數(shù)y

112126140

（次）

A.y=7t-35B.y=7/+35C.y=14fD.y=14f+112

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查了求一次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵.設(shè)y與r之間的

關(guān)系式為y^kt+b,代入表格中的數(shù)據(jù)求出左，。的值即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)y與，之間的關(guān)系式為y=H+b,

代入⑵,112）和（23,126）,得Gj56'

%=7

解得：｛,

b=-35

??.y與/之間的關(guān)系式為y=71-35.

故選：A.

10.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=4,點E,尸分別為AD,6C的中點，分別以點及廠為圓

心，跖長為半徑作半圓，兩半圓交于點G,H,連接石尸，EG,EH,FG,FH,則圖中陰影部分的

面積為（）

.4F.D

BFC

A.百音B.氣C.衛(wèi)D.4尺”

33

【答案】D

【解析】

【分析】本題考查等邊三角形判定及性質(zhì)，扇形面積公式，圓面積公式等.根據(jù)題意作尸Q，GE,由題意

可得△GEF為等邊三角形，繼而求出面積再求出扇形GEE的面積，繼而求出陰影部分面積等.

【詳解】解：作FQLGE,

BFC

:矩形ABCD中，AB=2,AD=4,點E,尸分別為AD，5C的中點，

/.AE=DE=2,

/.△GEF和AEHF為等邊三角形，

/.GQ=EQ=\,AGFE=60°,

，F(xiàn)Q=B

...△GEF的面積為：-x2x^=V3,

2

.小;nz「LL不工n60°7tx222

..扇形GEE的1Vt面積：---------=—7T,

36003

1,

■半圓BEC面積為：一兀義2~=2兀，

2

???下方兩塊陰影面積：2兀一（2義工兀）一2x（2兀一/）=2G—2兀，

333

???總的陰影面積為：2x（26—2兀）=4百—±兀，

33

故選：D.

第II卷非選擇題（共90分）

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.化簡：2-+-^的結(jié)果是.

m-33-m

【答案】m+3

【解析】

HZ?9

【詳解】分析：首先將原式變?yōu)橥帜傅姆质剑骸?.....—，然后利用同分母的分式相加減的運算法則

m-3m-3

求解即可答案，注意運算結(jié)果需化為最簡.

加29

詳解：+

m—33—m

m29

m-3m-3

m2-9

m-3

(m+3)?！?3)

m-3

=m+3.

故答案為m+3.

點睛：此題考查了分式的加減運算法則.此題比較簡單，注意運算要細(xì)心，注意運算結(jié)果需化為最簡.

12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。。，A3為。。的直徑，點C為80的中點，若NO=125。，則NDW

【解析】

【分析】本題考查圓內(nèi)接四邊形對角互補，等腰三角形性質(zhì)，外角和定理等.根據(jù)題意連接CO,利用

圓內(nèi)接四邊形對角互補，得4=180?！?25°=55°,繼而得NCOS=180?！?10。=70。，再利用圓周角

定理得NCOB=NZ)OC=70。，再利用外角和定理即可得到本題答案.

【詳解】解：連接C。,。。，

:四邊形4BCD內(nèi)接于0。，NADC=125°,

/.ZADC+ZB=180°,

Zfi=180°-125°=55°,

OB=OC,

ZOCB=ZOBC=55°,

：.ZCOB=180°-55°-55°=70°,

?點C為BD的中點，，

DC=BC，

：.NCOB=NDOC=70°,

Z."06=140°,

0D=0A，

：.ZDAB=ZADO=70°,

故答案為：70.

13.為進(jìn)一步激發(fā)家電市場活力，某市總工會攜手家電商場共同舉辦“政企雙補”家電以舊換新活動.活動

期間，該工會會員小李購買一臺原價為4200元的冰箱，除享受政府600元的以舊換新補貼外，還獲得一定

金額的廠商補貼，若小李實際支付金額不低于2970元，則廠家給予的補貼最多不超過原價的%.

【答案】15

【解析】

【分析】本題主要考查了一元一次不等式的實際應(yīng)用，設(shè)廠家給予的補貼不超過原價的X%,根據(jù)題意可得

出4200-4200%%-600>2970,解出x的取值范圍即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)廠家給予的補貼不超過原價的九％,

根據(jù)題意：4200—4200%%-600>2970

解得：x<15,

則廠家給予的補貼最多不超過原價的15%,

故答案為：15

14.晉劇，作為山西的傳統(tǒng)戲曲形式，承載著豐富的歷史與文化底蘊.如圖所示的兩張圖片正面印有晉劇經(jīng)

典劇目人物，它們除正面外完全相同，現(xiàn)將兩張圖片從中間剪斷，再把得到的四張形狀相同的小圖片混合在

一起，隨機(jī)抽取兩張小圖片，則恰好合成一張完整圖片的概率是.

【答案】-

3

【解析】

【分析】本題考查利用樹狀圖求概率等.四張形狀相同的小圖片分別用3力表示，其中A和。合成一

張完整圖片，B和6合成一張完整圖片，繼而再畫出樹狀圖，計算即可.

【詳解】解：四張形狀相同的小圖片分別用Aa,5b表示，其中A和。合成一張完整圖片，8和。合成一

張完整圖片，畫樹狀圖如下:

開始

AaBb

aBbABbAabAaB

共有12種等可能結(jié)果，其中兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果為4,

41

兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為：—

123

15.如圖，在Rt^ABC中，NACB=90°,AC=6,BC=8,點D是AB的中點，點E在上，且

ZCEA=ZCDA,AE與CD交于點R則線段。下的長為.

【解析】

【分析】延長5c至點H使5C=CH,連接AH,作CGLA5,勾股定理求出A3的長，斜邊上的中線

求出的長，等積法求出CG的長，等角的正弦值相等，求出AE的長，進(jìn)而求出CE的長，三角形的中

位線定理，得到CD〃AH,AH=2CD,證明求出。尸的值，即可.

詳解】解：延長5C至點〃使5。=。/=8,連接作

VZACB=9Q°,AC=6,BC=8,

,,AB=V62+82=10,

:點。是A3的中點，

/.AD^BD=5,CD=-AB=5,

2

VCG±AB,

SVMC=5AC?BC=萬CG,即：6x8=1OCG,

24

CG=—

5

；ZCEA=ZCDA,

：.sinZCEA=sinZCDA,

24

CGAC—/

---=----，即un：56,

CDAE-7-=—

5AE

AE=—,

4

：.CE=yjAE--AC2=-,

4

739

^￡=8+-=—,

44

???BC=CH,BD=AD,

：,CD//AH,AH=2CD=10,

：.AAEHsAFEC,

7

4

扁5即：W39

CF=—；

39

70

故答案為：—

39

【點睛】本題考查解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，斜邊上的中

線等知識點，熟練掌握相關(guān)知識點，添加輔助線構(gòu)造三角形的中位線和相似三角形，是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共8個小題，共75分.解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

16.(1)計算：(―iy+|T|x2-2+(_3+2).

x-2y=3①

解方程組:

(2)[3x+2y=5②

x=2

【答案】(1)-1;(2)原方程組的解為11

y=——

1一2

【解析】

【分析】本題考查實數(shù)混合計算，二元一次方程組計算等.

(1)先計算乘法，在計算加法即可；

(2)先①+②，再將％=2代入①，繼而得到y(tǒng)=—；即可.

【詳解】解：⑴計算：(—1)3+|-4|義2-2+(—3+2),

原式=—1+4」-1,

4

=-1+1-1,

=-1；

x—2y=3①

(2)\?

[3x+2y=5②

解：①+②，得4%=8,

將x=2代入①，得2—2y=3,

解，得y=-5.

x=2

...原方程組的解為＜1.

y=——

U2

17.如圖，AB//CD,CE平分NACD,交AB于點￡.

(1)實踐與操作：利用尺規(guī)作/C4B的平分線，交CE于點。，交CD于點F,連接所(要求：尺規(guī)

作圖并保留作圖痕跡，不寫作法，標(biāo)明字母)；

(2)猜想與證明：試猜想四邊形ACFE的形狀，并加以證明.

【答案】(1)見解析(2)猜想：四邊形ACEE是菱形，理由見解析

【解析】

【分析】本題考查角平分線畫法，菱形的判定，平行四邊形判定及性質(zhì)等.

(1)以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，交于兩點，再分別以為圓心，大于=MN

2

的長為半徑畫弧，兩弧交于一點，連接A與這點即為/C46的平分線，即可得到本題答案；

(2)根據(jù)題意先證明四邊形ACEE是平行四邊形，后繼而證明出四邊形ACFE是菱形.

【小問1詳解】

解：以點A為圓心，任意長為半徑畫弧，交AC,A3于兩點，再分別以為圓心，大于工MN

2

的長為半徑畫弧，兩弧交于一點，連接點A與這點交于點尸，即為NC46的平分線，作圖如

下：

解：猜想：四邊形ACFE是菱形，證明如下:

■：AB//CD,

：.ZAEC=ZECD,

■：CE平分NACO,

ZACE=NECD,

：.ZACE=ZAEC,

AC=AE，

同理可得：AC^CF,

：.AE=CF,

又?；AE||b,

四邊形ACEE是平行四邊形,

VAC=AE,

...四邊形ACFE是菱形.

18.隨著人工智能技術(shù)的快速發(fā)展，A/+已成為推動全球創(chuàng)新和經(jīng)濟(jì)增長的重要力量.某校為了培養(yǎng)能夠適

應(yīng)未來社會的創(chuàng)新人才，擬開設(shè)“4交互設(shè)計”“A/工程實踐”“A/綜合技能”“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”“A/軌跡

普及”五項人工智能社團(tuán)課程.為了解學(xué)生對上述五項社團(tuán)課程的興趣情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷

調(diào)查（調(diào)查問卷如圖所示），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下所示的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖（均不完整）.

人工智能社團(tuán)參加意向調(diào)查問卷

請在下列選項中選擇一項您最有意

向參加的社團(tuán)課程，在（）內(nèi)打'V”,

非常感謝您的合作。

A.AI交互設(shè)計（）

B.AIH程實踐（）

C.AI綜合技能（）

D.AI創(chuàng)新挑戰(zhàn)（）

E.AI軌跡普及（）

（1）請將條形統(tǒng)計圖補充完整.

（2）在扇形統(tǒng)計圖中，“A/軌跡普及”的百分比是—，表示“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)為一

度.

（3）學(xué)校對有意向參加“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生進(jìn)行了現(xiàn)場測試（滿分100分），并將成績統(tǒng)計如

則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是一分，中位數(shù)是—分，眾數(shù)是—分.

(4)若該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，請你估計最有意向參加“4創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有多少人?

【答案】(1)見解析(2)15%,144

(3)90.5,91,92

(4)估計最有意向參加“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人

【解析】

【分析】本題考查條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖數(shù)據(jù)統(tǒng)計問題，補全條形統(tǒng)計圖，求圓心角度數(shù)，平均數(shù)，眾數(shù)，

中位數(shù)定義，根據(jù)樣本估算總體等.

(1)根據(jù)條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖先求出總?cè)藬?shù)，再利用占比計算出“A/綜合技能”數(shù)據(jù)，繼而補全圖形

即可；

(2)利用“A/軌跡普及”的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)即為占比，先求出“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的占比后再乘以360。即可；

(3)先計算總分?jǐn)?shù)再除以總?cè)藬?shù)即可為平均分，先將分?jǐn)?shù)進(jìn)行排序后即可求出中位數(shù)，觀察表格人數(shù)最多

的即為分?jǐn)?shù)的眾數(shù)；

(4)根據(jù)“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的占比，再乘以總?cè)藬?shù)即為答案.

【小問1詳解】

解：???總?cè)藬?shù)為：-9—=60(人)，

由(1)知：總?cè)藬?shù)為60人,

9

“A/軌跡普及”的百分比：一義100%=15%,

60

：“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”人數(shù)為24人，

24

”A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”的扇形的圓心角度數(shù)：—X360°=144°,

60

故答案為：15%,144；

【小問3詳解】

解：???根據(jù)圖表可得:

83x2+87x4+90x6+92x8+95x3+97x1

平均數(shù)為:=90.5（分）,

2+4+6+8+3+1

:共有人數(shù)：2+4+6+8+3+1=24,

90+92

中位數(shù)為第12和13分?jǐn)?shù)的平均數(shù)，即：絲2=91（分）,

2

：92分人數(shù)最多，即92分為眾數(shù),

故答案為：90.5,91,92；

【小問4詳解】

解：???該校學(xué)生的總?cè)藬?shù)是1200人，

24

二參加“A/創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生:—x100%x1200=480（人），

60

答：估計最有意向參加“4創(chuàng)新挑戰(zhàn)”社團(tuán)課程的學(xué)生有480人.

19.保護(hù)森林資源是每個公民義不容辭的責(zé)任，加大廢紙的回收再利用可以有效減少人類對森林資源的破

壞.據(jù)統(tǒng)計，生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張，所用木材的質(zhì)量比廢紙的質(zhì)量多0.15噸.已知用750噸廢紙生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)

紙張的質(zhì)量是用700噸木材生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)紙張質(zhì)量的1.2倍，求生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量.

【答案】生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為1.4噸

【解析】

【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用.根據(jù)題意先設(shè)生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為x噸，根據(jù)題意

列式計算即可.

【詳解】解：設(shè)生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為尤噸.

根據(jù)題意，得-75。=].2x%.

x-0.15x

解，得x=1.4.

經(jīng)檢驗，x=1.4是原分式方程的解.

答：生產(chǎn)一噸優(yōu)質(zhì)紙張需要的木材質(zhì)量為1.4噸.

20.學(xué)科實踐：南中環(huán)橋是連接太原南部汾河兩岸的一條重要通道，其主橋橋型設(shè)計構(gòu)思源于“太原古八景”

之一的“蒙山曉月”，從橋的兩端看，形如“展翅鴻雁”.某?！熬C合與實踐”活動小組的同學(xué)對南中環(huán)橋

的結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)查.

數(shù)據(jù)采集：圖2是調(diào)查得到的南中環(huán)橋的截面示意圖，整個示意圖關(guān)于中央隔離帶A3成軸對稱，通過測量

得知：中央隔離帶A3的高度為5米，主吊桿EC與地面MC的傾角NECM=63.5°,底端C點到B點的

距離為15米，斜拉桿E4與E4的夾角NE4尸=90°.

問題解決：請根據(jù)上述數(shù)據(jù)，計算主拱到地面的距離（即點E到地面MC的距離）.（參考數(shù)據(jù)：

sin63.5°?0.89；cos63.5°?0.45,tan63.5°?2.00)

圖1圖2

【答案】主拱到地面的距離為40米

【解析】

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，軸對稱圖形，解題的關(guān)鍵構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角

函數(shù)解直角三角形.過點E作肱V于點P,過點A作AQLEP于點Q,根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)得出

PQ=AB^5,AQ=BP,根據(jù)軸對稱性得出NEAQ=45。.設(shè)EQ=x,則EP=EQ+PQ=x+5.在

中，可求NWQudS。，根據(jù)等角對等邊得出AQ=EQ=九，則3P=AQ=x,

CP=BP—BC=x—15.在RtAECP中，根據(jù)正切定義得出

EP=CP-tanZECP=CP-tan63.5°=2（x-15）,則x+5=2（x—15）.

解方程即可求解.

【詳解】解：過點E作EPLJW于點P,過點A作AQLEP于點Q,

則四邊形A3PQ為矩形.

PQ=AB=5,AQ=BP.

V整個示意圖關(guān)于中央隔離帶AB成軸對稱，且ZEAF=90°.

Z￡42=45°.

設(shè)EQ=x,則EP=EQ+PQ=x+5.

在Rt^AEQ中，ZAQE=90°,ZEAQ=45°,

：.ZAEQ=45°.

AQ=EQ=x.

5P=AQ=x,CP=BP-BC=x-15.

在Rt2XECP中，NCPE=90。,ZECP=63.5°,

EP

VtanZECP=—,

CP

：.EP=CP-tanZECP=CP-tan63.5°=2（x-15）.

x+5=2（x-15）.

解，得x=35.

.?.EQ=35,EP=EQ+PQ=35+5=40（米）.

答：主拱到地面的距離為40米.

21.閱讀與思考：

閱讀下列材料，并完成相應(yīng)學(xué)習(xí)任務(wù).

倍角三角形

在三角形中，如果一個角是另一個角的二倍，那么這樣的三角形叫做倍角三角形.如圖1,

在VA3C中，/A,NB,2C的對邊分別為a,b,c.ZC=2ZA,VA3C是倍角

三角形.

C

b

AcB

圖1

下面類比等腰三角形的研究思路，對圖1所示的倍角三角形的性質(zhì)進(jìn)行探究.

角：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，在圖1所示的VABC中，/A的取值范圍是.

邊：二倍角的對邊與單倍角的對邊的平方差，等于單倍角的對邊與第三邊的乘積.即

c2-a2-ab-

如圖2,延長AC到點H,使CH=CB=a.連接.則NH=NCBH=ZA,

BH=AB=c.

圖2

所以ACBHsABAH.

BHBCcam「9

所以---------，即Rn—?所以C2—a2=〃/??

AHABa+bc

特殊線段：過點B作AC邊上的高BE,

若點尸為AC的中點，則跖=」3C.理由如下:

2

如圖3,取AB的中點P,連接尸產(chǎn)，PE.

學(xué)習(xí)任務(wù)：

(1)材料中的取值范圍是.

(2)如圖4,在VABC中，AB=AC=2,ZB=2ZA,則5C的長是

A

圖4

(3)請根據(jù)材料提供的方法，利用圖3證明“EF」BC”.

2

【答案】(1)00<ZA<60°；(2)V5-1；(3)見詳解

【解析】

【分析】本題考查三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形性質(zhì)，解一元二次方程，外角和定理等.

(1)根據(jù)倍角三角形定義及三角形內(nèi)角和定理即可得到本題答案；

(2)根據(jù)題意列式解一元二次方程即可；

(3)取A3的中點尸，連接PRPE,利用中位線性質(zhì)得PF=-PC,再得

2

ZAFP=2ZAEP,再利用外角和定理得=NEFF,繼而得到本題答案.

【詳解】解：(1)根據(jù)倍角三角形定義，可知/C=2/4,

AZA+2ZA+ZB=180°,即：3ZA+ZB=180°,

,：ZB>0°,

.1.ZA<60°,

.??/A的取值范圍：0°<ZA<60°,

故答案為：00<ZA<60°；

(2)-：AB=AC=2,二倍角的對邊與單倍角的對邊的平方差，等于單倍角的對邊與第三邊的乘積,

AAC2-BC2=ACBC^即：*-BC?=2BC，解得：5。=布一1，

故答案為：、后-1；

(3)取AB的中點P，連接PRPE,

:點P是AB的中點，點產(chǎn)是AC中點,

。尸是VA3C的中位線，

PF//BC,PF=-PC,

2

???ZAFP=NC=2ZA,

???跖，AC,點尸是AB的中點，

PF=-AB=AP,

2

：.ZAEP=ZA，

/.ZAFP=2ZAEP,

,/ZAFP是△EFP的外角，

/.ZAFP=ZAEP+ZEPF,

：.ZAEP=ZEPF,

/.EF=PF,

：.EF=-BC.

2

22.綜合與實踐

項目主題：圖1所示是某學(xué)校植物園的一部分，現(xiàn)要對植物種植區(qū)域加裝圍欄，學(xué)校面向全體同學(xué)征集圍欄

設(shè)計方案.

方案設(shè)計：圖2是小慧設(shè)計的圍欄的一部分，說明如下：

①圍欄下部是等腰三角形ABC,且AC=BC,CG±AB,垂足為G；

②圍欄上部由兩段形狀相同的拋物線ED和組成(點。在GC的延長線上)，且拋物線ED和ED關(guān)于

直線。G對稱；

③AG=3G=3米，CG=1.5米，CD=0.25米，AE=5產(chǎn)=1米(AE,族均與A5垂直).

1

④拋物線。E的函數(shù)表達(dá)式為y=--x9'+bx+c.…

-4

請你根據(jù)小慧的設(shè)計方案，以A3所在直線為無軸，DG所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，解決下列問

題:

(1)求拋物線。產(chǎn)的函數(shù)表達(dá)式;

(2)如圖3,小慧想在設(shè)計的圍欄上加裝一塊社會主義核心價值觀宣傳展板QNMP,展板QNMP是扇形

的一部分、展板整體關(guān)于DG對稱.點P,。分別在拋物線FE),ED上,點、M,N分別在BC,AC±,

線段QN,PM是QP所在圓的半徑的一部分，且QNLAC,PM±BC.

①請求出線段PM的最大值；

②當(dāng)線段取得最大值時，直接寫出PQ所在圓的半徑長.

【答案】(1)拋物線OR的函數(shù)表達(dá)式為丁=—!好+工工+2(04%?3)；(2)①的最大值為逝；②

“424'，2

PQ所在圓的半徑長為2斯米

【解析】

【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)最值，勾股定理，相似三角形

判定及性質(zhì)等.

(1)先建立平面直角坐標(biāo)系，再由題意得出點。的坐標(biāo)為(0,0.75),繼而得到點尸(3,1),后將其代入二次

1,

函數(shù)解析式y(tǒng)=——r+Z?x+c中即可得出；

4

(2)①過點尸作垂足為點交BC于K,再勾股定理求出BC=432+(1.5)2=孚，再

11713

求出直線5C的解析式，后設(shè)點P(%——%2+—相+—),點K?！?—―7"+—),再利用二次函數(shù)最值即可，

42422

再利用相似三角形判定及性質(zhì)即可求出；②過點P作軸，軸，延長與V軸交于s即為

圓心，此時PS即為PQ所在圓的半徑，再利用相似即可求出.

【詳解】(1)解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

...點。的坐標(biāo)為(0,0.75),

VAG=BG=3,AE=BF=1，

，點F(3,1),

1/拋物線y=--x2+bx+c經(jīng)過F(3,l),D(0,0.75),

4

1,

——X3*12+*43Z?+C=1

4,解得:

7

c=1.75c=—

4

1,17

拋物線。尸的函數(shù)表達(dá)式為：y=——X2+-X+-(0<%<3)；

424

(2)解：①過點P作垂足為點交BC于K,

X

VAG=BG=3,CG=1.5,

...在RSBCG中，BC=舊+(1.5)2

?.?3(3,0),C(0,1.5),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+d(d^0),

?.?圖象經(jīng)過點3(3,0),C(0,1.5),

3左+d=02

,?廠，解得:

d=1.5

13

?,.直線的解析式為：y=-x—,

22

11713

設(shè)點P(/72,—加之—mH—),點KQn,—rn-\—),

42422

?，1217、，13、11I,“5

PK=(——m+—m+—)—(——m+—)=——m2+m+—=——(m—2)+—,

424224444

*.*ci——<0,

4

當(dāng)機(jī)=2時，PK有最大值，最大值為？，

4

VPMIBC,PH±AB，CGA.AB,

???NPMB=NPHB=NCGB=90。,

,/ZPKM=ZBKH，

???ZMPK=CBG,

：.小PMKSKBG,

PM3

,PMBG=

??—，即Bn：53y/5，

PKBCj—

42

.??PM的最大值為：—；

2

②過點尸作軸，軸，延長PH與y軸交于s即為圓心，此時PS即為PQ所在圓的半

徑，

AG/HBx

//

1//

1/

s

7

???線段PM取得最大值時，m=2,即P(2,—),

4

PW=2,

13

VPMIBC,直線5c的解析式為：y=——x+—,

22

...設(shè)PM所在直線解析式為：y^2x+m

79

將點P(2,—)代入得：加=一一，

44

y=2x—,

-4

‘9r3

y=2x——x=—

-42

；?<13,解得：J3，

y=——x+—y=—

[-22[-4

33

24

3