備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)(新高考專用)通關(guān)秘籍04三角函數(shù)之求ω歸類(易錯(cuò)點(diǎn)+五大題型)(學(xué)生版+解析)(新高考專用)

/秘籍04三角函數(shù)求歸類目錄【高考預(yù)測(cè)】概率預(yù)測(cè)+題型預(yù)測(cè)+考向預(yù)測(cè)【應(yīng)試秘籍】總結(jié)?？键c(diǎn)及應(yīng)對(duì)的策略【誤區(qū)點(diǎn)撥】點(diǎn)撥常見的易錯(cuò)點(diǎn)易錯(cuò)點(diǎn)：多個(gè)條件同時(shí)出現(xiàn)易弄混k的取值【搶分通關(guān)】精選名校模擬題，講解通關(guān)策略【題型一】利用單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心求ω【題型二】極（最）值點(diǎn)“恰有”型求ω【題型三】極（最）值點(diǎn)“沒有”型求ω【題型四】極（最）值點(diǎn)“至少、至多”型求ω【題型五】最值與恒成立型求ω概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)求的范圍和最值三角函數(shù)作為基礎(chǔ)題題型之一，在新結(jié)構(gòu)試卷中，原本第一道解答題的位置可能被替代，所以小題的三角函數(shù)問題就會(huì)突出，常考的齊次化切、范圍相關(guān)的問題都會(huì)是今年的重點(diǎn)題型，范圍相關(guān)的問題一般有整體法和卡根法兩種解法，根據(jù)學(xué)生掌握情況自主學(xué)習(xí)，這里用的大多是整體法，需要清晰的分清對(duì)于三角函數(shù)圖象的影響以及題干的條件從而用對(duì)應(yīng)的方法解決。易錯(cuò)點(diǎn)：多個(gè)條件同時(shí)出現(xiàn)易弄混k的取值易錯(cuò)提醒：涉及到對(duì)稱軸對(duì)稱中心以及單調(diào)性多個(gè)同時(shí)出現(xiàn)時(shí)，，不要把所有的都寫成一個(gè)k,因?yàn)樾枰鄠€(gè)式子，而這些式子的不一定一致，即它們本身不一定相等.實(shí)際上建議換成不同的字母較合適。例（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）若函數(shù)（，）的最小正周期為，且，若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為．變式1：（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【題型一】利用單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心求ω函數(shù)的性質(zhì)：由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.由求對(duì)稱軸.由求對(duì)稱中心.【例1】（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（

）A． B． C． D．【例2】（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則．【例3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）A．直線是的對(duì)稱軸B．點(diǎn)是的對(duì)稱中心C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤咀兪?】（多選）（2024·遼寧丹東·一模）已知函數(shù)（，）滿足，且在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．的對(duì)稱軸為， D．在上有3個(gè)零點(diǎn)【題型二】極（最）值點(diǎn)“恰有”型求ω【例1】（多選）（2024·全國(guó)·一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值可能是（

）A． B．2 C． D．【例2】（2024·廣西·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若，，且在上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式1】（多選）（2024·廣東·一模）已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（

）A．B．在上為增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)D．是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸【變式2】（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)最值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【變式3】（2024·山東煙臺(tái)·一模）若函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型三】極（最）值點(diǎn)“沒有”型求ω涉及到三角函數(shù)圖像性質(zhì)的運(yùn)用，在這里需注意：兩對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸心之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的距離為個(gè)周期．【例1】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為.【例3】（多選）（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是的一個(gè)周期B．的值域是C．若在區(qū)間上有最小值，沒有最大值，則的取值范圍是D．若方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是【變式1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式3】（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上沒有最小值，則的值為（

）A． B． C． D．【題型四】極（最）值點(diǎn)“至少、至多”型求ω求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令(或)，即可求出.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對(duì)，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸螅瑒t可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【例1】（2022·安徽黃山·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，需將函數(shù)的圖象至少向右平移（

）個(gè)單位長(zhǎng)度.A． B． C． D．【例2】（2023·全國(guó)·三模）已知函數(shù)，（）的圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【例3】（多選）（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知某游樂場(chǎng)循環(huán)觀光車路線近似為一個(gè)半徑為的圓，觀光車從起始站點(diǎn)出發(fā)，沿圖中順時(shí)針方向行駛，記觀光者從某次出發(fā)開始，行駛的時(shí)間為小時(shí).、是沿途兩個(gè)站點(diǎn)，是終點(diǎn)站，是該游樂場(chǎng)的觀景點(diǎn)之一.已知該觀光車?yán)@行一圈的時(shí)間是固定的，且，，.若要求起始站點(diǎn)無(wú)論位于站臺(tái)、之間的任何位置（異于、），觀光車在的時(shí)間內(nèi)，都要至少經(jīng)過兩次終點(diǎn)站，則下列說法正確的是（

）A．該觀光車?yán)@行一周的時(shí)間小于B．該觀光車在內(nèi)不一定會(huì)經(jīng)過終點(diǎn)站C．該觀光車的行駛速度一定大于D．該觀光車在內(nèi)一定會(huì)經(jīng)過一次觀景點(diǎn)【變式1】（多選）（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上至少能取到兩次最大值，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期小于B．函數(shù)在內(nèi)不一定取到最大值C．D．函數(shù)在內(nèi)一定會(huì)取到最小值【變式2】（多選）已知將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，且的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)在上至多存在兩個(gè)極大值點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C． D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【變式3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【題型五】最值與恒成立型求ω函數(shù)的圖象求解析式.【例1】（2024·湖北·二模）已知函數(shù)滿足恒成立，且在區(qū)間上無(wú)最小值，則．【例2】（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，），滿足：，恒成立，且在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．，B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的對(duì)稱中心為D．函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，【例3】（多選）（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·一模）已知函數(shù)（），則下列說法正確的是（

）A．若，則是的圖像的對(duì)稱中心B．若恒成立，則的最小值為2C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則【變式1】（多選）（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則函數(shù)的對(duì)稱中心為C．若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為D．若函數(shù)在內(nèi)沒有最值，則的取值范圍為【變式2】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）已知為偶函數(shù)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為（

）①；②若的最小正周期為，則；③若在區(qū)間上有且僅有3個(gè)最值點(diǎn)，則的取值范圍為；④若，則的最小值為2．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式3】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上恰好有兩個(gè)最值，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．

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）A． B． C． D．【答案】A【詳解】令得，因?yàn)椋?，令，解得或，從小到大將的正根寫出如下：，，，，，……，因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，，解得，此時(shí)無(wú)解，當(dāng)，即時(shí)，，解得，故，當(dāng)，即時(shí)，，解得，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上至少有兩個(gè)不同零點(diǎn)，綜上，的取值范圍是.故選：A【題型一】利用單調(diào)性、對(duì)稱軸、對(duì)稱中心求ω函數(shù)的性質(zhì)：由求增區(qū)間；由求減區(qū)間.由求對(duì)稱軸.由求對(duì)稱中心.【例1】（多選）（2024·遼寧葫蘆島·一模）已知在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值可能在（

）A． B． C． D．【答案】AC【詳解】，當(dāng)，由，則，則有，，解得，，即，，有，，即，即或，當(dāng)時(shí)，有，時(shí)，有，故的取值可能在或.故選：AC.【例2】（2024·安徽蕪湖·二模）已知偶函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在區(qū)間上單調(diào)，則．【答案】/1.5【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，，即或，又的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，即，所以，因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，符合條件.故答案為：【例3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上只有1個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，即有，解得.故選：C.【變式1】（2024·陜西榆林·二模）已知函數(shù)在上單調(diào)，的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，則的取值個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】由題意得的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱且關(guān)于直線對(duì)稱，故，則，即，由函數(shù)在上單調(diào)，得，即，即，解得，而，故或1，或2，當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由于在上不單調(diào)，故在上不單調(diào)，此時(shí)不合題意；當(dāng)時(shí)，，則，結(jié)合，得，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由于在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，滿足題意；綜上，或.故選：B【變式2】（2024·安徽池州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則（

）A．直線是的對(duì)稱軸B．點(diǎn)是的對(duì)稱中心C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椤敬鸢浮緼【詳解】由圖知，所以周期．又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，所以．又因?yàn)椋?，即．?duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，，所以直線是的對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，所以點(diǎn)不是的對(duì)稱中心，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)可知，在區(qū)間上不單調(diào)遞減，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤．故選：A.【變式3】（多選）（2024·遼寧丹東·一模）已知函數(shù)（，）滿足，且在上單調(diào)遞減，則（

）A． B．為奇函數(shù)C．的對(duì)稱軸為， D．在上有3個(gè)零點(diǎn)【答案】AC【詳解】由于在上單調(diào)遞減，，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是的對(duì)稱中心，即.同樣地由于在上單調(diào)遞減，故最小正周期.同時(shí)，由于對(duì)任意的實(shí)數(shù)，方程在一個(gè)形如的區(qū)間上至多有兩個(gè)根，且在有兩個(gè)根的情況下，這兩個(gè)根的平均值對(duì)應(yīng)的直線一定是的的對(duì)稱軸，而，，從而，故對(duì)應(yīng)的直線一定是的的對(duì)稱軸.現(xiàn)在，由于是的對(duì)稱中心，是的的對(duì)稱軸，故是的對(duì)稱軸.而在上單調(diào)遞減，，故，在上單調(diào)遞減.再由是的對(duì)稱中心，就知道，所以，故.此時(shí)得到，代入得，即.從而，由知，所以，即.經(jīng)驗(yàn)證，滿足條件.然后逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)：我們已經(jīng)推出，故A正確；由，知函數(shù)在處有定義但不過原點(diǎn)，從而不可能是奇函數(shù)，B錯(cuò)誤；由于當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，故的對(duì)稱軸是，C正確；由于當(dāng)且僅當(dāng)，即，即，故在上的全部零點(diǎn)是，只有2個(gè)，D錯(cuò)誤.故選：AC.【題型二】極（最）值點(diǎn)“恰有”型求ω【例1】（多選）（2024·全國(guó)·一模）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值可能是（

）A． B．2 C． D．【答案】AB【詳解】因?yàn)?令，則函數(shù)在上恰有兩個(gè)極值點(diǎn)，兩個(gè)零點(diǎn).結(jié)合的圖象，如圖：可得，所以.故選：AB【例2】（2024·廣西·二模）已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】，，因?yàn)楹瘮?shù)在上恰好有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.故選：D.【例3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若，，且在上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】令，得，，即，，所以．因?yàn)?，，所以．又在上恰?個(gè)極值點(diǎn)，所以解得；或（無(wú)解）；或（無(wú)解）．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C．【變式1】（多選）（2024·廣東·一模）已知函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后到函數(shù)的圖象（如圖所示），則（

）A．B．在上為增函數(shù)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)D．是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸【答案】BCD【詳解】根據(jù)平移性質(zhì)，可設(shè)，由圖象可得，即，解得，所以，又，所以，即，對(duì)于A，則，即，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)單調(diào)性知，在上為增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，顯然能取到，不能取到，所以函數(shù)在上恰有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最大值，所以是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故D正確.故選：BCD【變式2】（2024·遼寧撫順·一模）已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，且，若將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)最值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【詳解】由可得或；根據(jù)正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可知，解得；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后可得為偶函數(shù)，則，又可得；因此；當(dāng)時(shí)，可知，若函數(shù)在內(nèi)恰有2個(gè)最值點(diǎn)，可知，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式3】（2024·山東煙臺(tái)·一模）若函數(shù)在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，且在上單調(diào)遞增，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【詳解】依題意，函數(shù)，由，得，則或，由，得，由在上恰有5個(gè)零點(diǎn)，得，解得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，即，且，解得，所以正實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【題型三】極（最）值點(diǎn)“沒有”型求ω涉及到三角函數(shù)圖像性質(zhì)的運(yùn)用，在這里需注意：兩對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸心之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的距離為個(gè)周期．【例1】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)，若，，且在區(qū)間上沒有零點(diǎn)，則的一個(gè)取值為．【答案】（答案不唯一）.【詳解】由題意，在中，，∴,所以，兩式相減得，所以，即，，因?yàn)?，所以，令，，由題意知在上無(wú)零點(diǎn)，故，，所以，即，兩式相加得，所以，又，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以的取值有5個(gè)，取其中一個(gè)填寫即可.故答案為：（答案不唯一）.【例2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍為.【答案】【詳解】法一：因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，即解得.由，得，又，故只可取0，1，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故的取值范圍為.法二：，令，得，，所以.設(shè)的最小正周期為.因?yàn)樵趦?nèi)沒有零點(diǎn)，所以，解得.對(duì)，取，則，則或，解得或；取，則，則，解得.故或，即的取值范圍為.故答案為：.【例3】（多選）（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是的一個(gè)周期B．的值域是C．若在區(qū)間上有最小值，沒有最大值，則的取值范圍是D．若方程在區(qū)間上有3個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是【答案】BC【詳解】因?yàn)椋深}意可知：的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，可得為偶函數(shù)，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)?，可知不是的一個(gè)周期，又因?yàn)椋芍堑囊粋€(gè)周期，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)，則，可得，因?yàn)椋瑒t，可知：當(dāng)，即時(shí)，取到最小值；當(dāng)，即時(shí)，取到最大值1；所以，結(jié)合偶函數(shù)和周期性可知的值域是，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，由選項(xiàng)B可知：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：方程的實(shí)根即為與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，作出在的圖象，如圖所示：由題意結(jié)合圖象可知：，則，因?yàn)?，則，可得，所以，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【變式1】（2023·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】,若，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，解得；若，因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，解得；綜上，，故選:D.【變式2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象．若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到的圖象，再把所得函數(shù)圖象的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象．因?yàn)樵谏蠜]有零點(diǎn)，所以，解得，．因?yàn)?，所以時(shí)，可得；，可得，故或.故選:C．【變式3】（2024·安徽安慶·二模）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且在上沒有最小值，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，故，即，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，因?yàn)樵谏蠜]有最小值，所以，即，由解得，故，得.故選：B【題型四】極（最）值點(diǎn)“至少、至多”型求ω求待定系數(shù)和，常用如下兩種方法：(1)由即可求出；確定時(shí)，若能求出離原點(diǎn)最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點(diǎn)”橫坐標(biāo)，則令(或)，即可求出.(2)代入點(diǎn)的坐標(biāo)，利用一些已知點(diǎn)(最高點(diǎn)、最低點(diǎn)或“零點(diǎn)”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出和，若對(duì)，的符號(hào)或?qū)Φ姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【例1】（2022·安徽黃山·二模）函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到的圖象，需將函數(shù)的圖象至少向右平移（

）個(gè)單位長(zhǎng)度.A． B． C． D．【答案】A【詳解】由圖象可知：；最小正周期，解得：；，，解得：，又，，；，將至少向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可得.故選：A.【例2】（2023·全國(guó)·三模）已知函數(shù)，（）的圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，畫出的圖象，要想圖象在區(qū)間內(nèi)至多存在3條對(duì)稱軸，則，解得.故選：A【例3】（多選）（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知某游樂場(chǎng)循環(huán)觀光車路線近似為一個(gè)半徑為的圓，觀光車從起始站點(diǎn)出發(fā)，沿圖中順時(shí)針方向行駛，記觀光者從某次出發(fā)開始，行駛的時(shí)間為小時(shí).、是沿途兩個(gè)站點(diǎn)，是終點(diǎn)站，是該游樂場(chǎng)的觀景點(diǎn)之一.已知該觀光車?yán)@行一圈的時(shí)間是固定的，且，，.若要求起始站點(diǎn)無(wú)論位于站臺(tái)、之間的任何位置（異于、），觀光車在的時(shí)間內(nèi)，都要至少經(jīng)過兩次終點(diǎn)站，則下列說法正確的是（

）A．該觀光車?yán)@行一周的時(shí)間小于B．該觀光車在內(nèi)不一定會(huì)經(jīng)過終點(diǎn)站C．該觀光車的行駛速度一定大于D．該觀光車在內(nèi)一定會(huì)經(jīng)過一次觀景點(diǎn)【答案】ABD【詳解】對(duì)A，設(shè)該觀光車的速度為，構(gòu)造函數(shù)，則經(jīng)過時(shí)即為該函數(shù)的極大值點(diǎn)，經(jīng)過時(shí)即為該函數(shù)的極小值點(diǎn)，由題意可知，函數(shù)的最小正周期為，即A正確；對(duì)B，因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，則，所以函數(shù)在上不一定有極大值點(diǎn)，即B正確；對(duì)C，當(dāng)時(shí)，則，由題意可知，其中，整理得，由可得，時(shí)，；時(shí)，；，所以，該觀光車的行駛速度不一定大于，即C錯(cuò)誤；對(duì)D，則當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，，則，,所以函數(shù)在上一定有極小值點(diǎn)，即D正確.故選：ABD.【變式1】（多選）（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中.對(duì)于任意的，函數(shù)在區(qū)間上至少能取到兩次最大值，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的最小正周期小于B．函數(shù)在內(nèi)不一定取到最大值C．D．函數(shù)在內(nèi)一定會(huì)取到最小值【答案】AD【詳解】由題意可知，，即A正確；因?yàn)?，所以，則當(dāng)時(shí)，，又，，所以函數(shù)在上一定有最大值點(diǎn)，即B錯(cuò)誤；由題意可知，任意，總存在，使得：，故，整理得，可得，，即C錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，，故，所以函?shù)在上一定有最小值點(diǎn)，即D正確.故選：AD.【變式2】（多選）已知將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖像，且的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)在上至多存在兩個(gè)極大值點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A． B．在上單調(diào)遞增C． D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AD【詳解】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖像，因?yàn)榈膱D像關(guān)于軸對(duì)稱，所以，解得.又，所以.當(dāng)時(shí)，，在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，在上極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于2，所以當(dāng)時(shí)，在上極大值點(diǎn)的個(gè)數(shù)大于2，所以，故A正確，C錯(cuò)誤；又由，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，D正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)是單調(diào)遞減的，B錯(cuò)誤.故選：AD.【變式3】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【詳解】至少存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)，即時(shí)，必存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)滿足題意；當(dāng)，即時(shí)，，，；當(dāng)時(shí)，解集為，不合題意；令，則；令，則；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【題型五】最值與恒成立型求ω函數(shù)的圖象求解析式.【例1】（2024·湖北·二模）已知函數(shù)滿足恒成立，且在區(qū)間上無(wú)最小值，則．【答案】/【詳解】由題意可知，是函數(shù)的最大值，則，，得，且在區(qū)間上無(wú)最小值，所以，所以，所以.故答案為：【例2】（多選）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)（，，），滿足：，恒成立，且在上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則（

）A．，B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函