提優(yōu)點(diǎn)10　立體幾何中動(dòng)點(diǎn)及其軌跡問題 高三數(shù)學(xué)

板塊四立體幾何與空間向量提優(yōu)點(diǎn)10立體幾何中動(dòng)點(diǎn)及其軌跡 問題知識(shí)拓展立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)及其軌跡問題有兩個(gè)類型(1)研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡，主要方法有定義法(如圓錐曲線定義)、解析法、交軌法；(2)與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值、范圍問題，主要方法有幾何法、函數(shù)法.精準(zhǔn)強(qiáng)化練類型一動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題類型二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值、范圍問題類型突破類型一動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題考向1定性的研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡例1√(多選)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M為DD1的中點(diǎn)，N為ABCD所在平面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是√√如圖所示，對于A，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，MD⊥平面ABCD，所以點(diǎn)N的軌跡為以D為圓心，2為半徑的圓，故A正確；對于B，在Rt△MDN中，取MD的中點(diǎn)E，因?yàn)镻為MN的中點(diǎn)，DN⊥ED，所以PE⊥ED，即點(diǎn)P在過點(diǎn)E且與DD1垂直的平面內(nèi)，對于C，連接NB，因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，所以BB1⊥NB，所以點(diǎn)N到直線BB1的距離為NB，所以點(diǎn)N到點(diǎn)B的距離等于點(diǎn)N到定直線CD的距離，又B不在直線CD上，所以點(diǎn)N的軌跡為以B為焦點(diǎn)，CD為準(zhǔn)線的拋物線，故C正確；對于D，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(4，0，0)，B(4，4，0)，D1(0，0，4)，設(shè)N(x，y，0)，所以點(diǎn)N的軌跡為雙曲線，故D正確.定性的研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡要利用線面平行、垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合圓錐曲線等的定義，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡.規(guī)律方法已知在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，AA1與底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E為CC1的中點(diǎn)，P在對角面BB1D1D內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若EP與AC成30°角，則點(diǎn)P的軌跡為A.圓 B.拋物線

C.雙曲線

D.橢圓訓(xùn)練1√因?yàn)樵谄叫辛骟wABCD－A1B1C1D1中，AA1與底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以該平行六面體ABCD－A1B1C1D1是一個(gè)底面為菱形的直四棱柱，所以對角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥對角面BB1D1D.取AA1的中點(diǎn)F，連接EF，則EF∥AC.因?yàn)镋P與AC成30°角，所以EP與EF成30°角.設(shè)EF與對角面BB1D1D的交點(diǎn)為O，則EO⊥對角面BB1D1D，所以點(diǎn)P的軌跡是以EO為軸的一個(gè)圓錐的底面圓周，故選A.例2考向2定量的研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡(多選)(2024·河南名校聯(lián)考)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為棱BB1的中點(diǎn)，Q為正方形BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，則下列說法正確的是√√√對于A，如圖，取B1C1，C1C的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，連接D1E，D1F，EF，PF，則PF∥B1C1∥A1D1且PF＝B1C1＝A1D1，則四邊形A1PFD1是平行四邊形，∴D1F∥A1P，∵D1F?平面A1PD，A1P?平面A1PD，∴D1F∥平面A1PD，同理可得EF∥平面A1PD.∵EF∩D1F＝F，EF，D1F?平面D1EF，∴平面A1PD∥平面D1EF，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為線段

EF，故A正確；對于B，如圖，以D1為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Q(x，1，z)，0≤x≤1，0≤z≤1，設(shè)m＝(a，b，c)為平面A1PD的一個(gè)法向量，故不存在點(diǎn)Q使得D1Q⊥平面A1PD，故B錯(cuò)誤；對于C，∵△A1PD的面積為定值，∴當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)Q到平面A1PD的距離d最大時(shí)，三棱錐Q－A1PD的體積最大.則當(dāng)x＋z＝0時(shí)，d有最大值1；綜上，當(dāng)x＋z＝0，即Q和C1重合時(shí)，三棱錐Q－A1PD的體積最大，故C正確；對于D，由正方體的性質(zhì)知D1C1⊥平面

BB1C1C，當(dāng)涉及動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長度，圖形的面積與幾何體的體積以及體積的最值時(shí)，可借助于幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立空間直角坐標(biāo)系，用變量表示軌跡，然后用函數(shù)的性質(zhì)求解.規(guī)律方法(多選)(2024·西安調(diào)研)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為線段A1B上的動(dòng)點(diǎn)(不包含端點(diǎn))，若正方體棱長為1，則下列結(jié)論正確的有訓(xùn)練2√√對于A，如圖①，連接AC，D1P，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，D(0，0，0)，D1(0，0，1)，C(0，1，0).對于B，當(dāng)P為A1B的中點(diǎn)時(shí)，有AP∥C1D，AD1∥C1B，易證平面APD1∥平面C1BD，故B正確；圖①對于C，三棱錐D1－CDP的體積對于D，設(shè)A1B的中點(diǎn)為O，連接AP，AD1，D1P.當(dāng)P點(diǎn)在線段OB(不包含端點(diǎn))上時(shí)，此時(shí)平面APD1截正方體所得的截面為梯形AEFD1，如圖②；當(dāng)P點(diǎn)在O點(diǎn)時(shí)，此時(shí)平面APD1截正方體所得的截面為正三角形AB1D1；當(dāng)P點(diǎn)在線段OA1(不包含端點(diǎn))上時(shí)，此時(shí)平面APD1截正方體所得的截面為等腰三角形AD1G，如圖③，且AG2＋D1G2≠AD，所以該三角形不可能為直角三角形，故D錯(cuò)誤.類型二與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最值、范圍問題例3√√√如圖所示，對于A，對于C，∵點(diǎn)D是三角形PAB內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，AD⊥CD，取AB的中點(diǎn)G，連接FG，GI，則根據(jù)題意易知FG⊥平面PAB，又易知△GIB為邊長為1的正三角形，∴C正確；對于B，由選項(xiàng)C知，當(dāng)DG⊥AB時(shí)，D點(diǎn)到平面ABC距離最大，最大距離為1，因此三棱錐C－ABD的體積對于D，將底面直角三角形ABC對稱補(bǔ)全成正方形ABCE，建立如圖所示的坐標(biāo)系.而A(0，0，0)，B(0，2，0)，C(2，2，0)，設(shè)異面直線CD與AB所成的角大小為φ，在動(dòng)態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小)、角的范圍等問題，常用的解題思路是(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值.規(guī)律方法在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，CC1的中點(diǎn)，P是側(cè)面四邊形BCC1B1內(nèi)(不含邊界)一點(diǎn).若A1P∥平面AEF，則線段A1P長度的取值范圍是______________.訓(xùn)練3 如圖所示，分別取棱BB1，B1C1的中點(diǎn)M，N，連接MN，NE，A1N，A1M.因?yàn)镸，N，E，F(xiàn)分別為BB1，B1C1，BC，CC1的中點(diǎn)，所以MN∥EF.因?yàn)镸N?平面AEF，EF?平面AEF，所以MN∥平面AEF.因?yàn)锳A1∥NE，AA1＝NE，所以四邊形AA1NE為平行四邊形，所以A1N∥AE.因?yàn)锳1N?平面AEF，AE?平面AEF，所以A1N∥平面AEF.因?yàn)锳1N∩MN＝N，A1N，MN?平面A1MN，所以平面A1MN∥平面AEF.因?yàn)镻是側(cè)面四邊形BCC1B1內(nèi)(不含邊界)一點(diǎn)，且A1P∥平面AEF，所以點(diǎn)P必在線段MN上(不含點(diǎn)M，N).所以△A1MN為等腰三角形，當(dāng)點(diǎn)P在MN的中點(diǎn)O時(shí)，A1P⊥MN，此時(shí)A1P最短，當(dāng)點(diǎn)P在M或N處時(shí)，A1P最長，【精準(zhǔn)強(qiáng)化練】√1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若P到直線BC與到直線C1D1的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為點(diǎn)P到直線C1D1的距離即為點(diǎn)P到點(diǎn)C1的距離，A.直線

B.圓

C.雙曲線

D.拋物線所以在平面BB1C1C中，點(diǎn)P到定點(diǎn)C1的距離與到定直線BC的距離相等，由拋物線的定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為拋物線，故選D.√2.(2024·無錫調(diào)研)如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)為AA1，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C1M∥平面CD1E，則點(diǎn)M的軌跡長度為如圖所示，取A1B1的中點(diǎn)H，B1B的中點(diǎn)G，連接EF，F(xiàn)C，GH，C1H，C1G，EG，HF可得四邊形EGC1D1是平行四邊形，∴C1G∥D1E，又D1E?平面CD1E，C1G?平面CD1E，∴C1G∥平面CD1E，同理可得C1H∥CF，又CF?平面CD1E，C1H?平面CD1E，∴C1H∥平面CD1E，又C1H∩C1G＝C1，C1H，C1G?平面C1GH，∴平面C1GH∥平面CD1E，又M點(diǎn)是正方形ABB1A1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，若C1M∥平面CD1E，∴點(diǎn)M在線段GH上，√如圖，連接D1A，AC，D1C，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別為AB，BC，C1D1的中點(diǎn)，所以AC∥EF，又EF?平面ACD1，AC?平面ACD1，所以EF∥平面ACD1，易知EG∥AD1，所以同理可得EG∥平面ACD1，又EF∩EG＝E，EF，EG?平面EFG，所以平面ACD1∥平面EFG.因?yàn)橹本€D1P∥平面EFG，所以點(diǎn)P在直線AC上.當(dāng)D1P⊥AC時(shí)，線段D1P的長度最小，√4.如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，長為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱DD1上運(yùn)動(dòng)，另一端點(diǎn)N在正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則MN中點(diǎn)軌跡的面積為易知DD1⊥平面ABCD，∠MDN＝90°，取線段MN的中點(diǎn)P，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，√故DR⊥AQ，CD⊥AQ，又DR∩CD＝D，DR，CD?平面CDRH，故AQ⊥平面CDRH，故當(dāng)P位于平面CDRH與內(nèi)切球O的交線上時(shí)，滿足CP⊥AQ，其中r為平面CDRH截正方體內(nèi)切球所得截面圓的半徑，√√√所以F為B1D1的中點(diǎn)，連接BD，記BD中點(diǎn)為O，連接D1O，AO，由正方體性質(zhì)可知，BO∥D1F，BO＝D1F，所以四邊形BOD1F為平行四邊形，所以D1O∥BF，所以直線AE與BF所成角即為直線D1O與AD1所成角，對于B，VB－AEF＝VA－BEF，易知點(diǎn)A到平面BB1D1D的距離和點(diǎn)B到直線B1D1的距離均為定值，所以三棱錐A－BEF的體積為定值，故B正確；對于D，二面角A－EF－B的平面角即為二面角A－B1D1－B的平面角，顯然其平面角不變，故D正確.故選BCD.√√√如圖1，因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC?平面ABC，圖1所以PA⊥BC，由勾股定理得AB2＋BC2＝AC2，所以BC⊥AB，因?yàn)镻A∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，所以BC⊥平面PAB，當(dāng)E在線段AB上時(shí)，PE?平面PAB，所以PE⊥BC，故A正確；圖2則可以將三棱錐P－ABC放入正方體中，點(diǎn)F是球O表面任意一點(diǎn)，所以EF的最大值為球的直徑，因?yàn)镻A⊥平面ABC，則點(diǎn)D在底面上的射影為AB的中點(diǎn)D′，則DE2＝D′D2＋D′E2，由圖3知，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，D′E取到最大值，DE2＝D′D2＋D′E2＝1＋5＝6，圖3記經(jīng)過DE的平面為α，當(dāng)OD⊥α?xí)r，平面α與球O的截面面積最小，8.如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足_____________________時(shí)，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)DM⊥PC(或BM⊥PC)連接AC，BD，則AC⊥BD，因?yàn)镻A⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA⊥BD.又PA∩AC＝A，PA，AC?平面PAC，所以BD⊥平面PAC，PC?平面PAC，所以BD⊥PC，所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時(shí)，有PC⊥平面MBD，PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.BP＝A1P＝DP＝1，所