內(nèi)蒙古包頭市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

/內(nèi)蒙古包頭市2025屆高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，若，且，則（

）A． B． C． D．2．已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．3．已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)的積為（

）A． B． C．2 D．44．已知向量，則（

）A．2 B． C． D．15．直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．6．已知在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為．半徑為的球與該圓臺(tái)的上、下底面及母線均相切，圓臺(tái)的側(cè)面積為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．8．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石．簡單來說就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．若存在個(gè)點(diǎn)，滿足，則稱為“型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，過的焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，分別過兩點(diǎn)作的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．拋物線的準(zhǔn)線方程為B．以線段為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切C．以線段為直徑的圓與軸相交D．以線段為直徑的圓過定點(diǎn)10．一組樣本數(shù)據(jù)．其中，，求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為：，殘差為．對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理：，得到新的數(shù)據(jù)，求得其經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其殘差為分布如圖所示，且，，則（

）A．樣本正相關(guān) B．C． D．處理后的決定系數(shù)變大11．已知如圖為方格，挖去左上角的一個(gè)方格后，可以用個(gè)下列圖形完全覆蓋?。梢孕D(zhuǎn)，翻折但不能重疊）的有（

）（注：題中每個(gè)方格都是邊長為1的正方形）A． B． C． D．三、解答題（本大題共5小題）12．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的離心率為，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1．(1)求的方程；(2)過點(diǎn)作的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于兩點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值；(3)是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最小值．13．高三某班為緩解學(xué)生高考壓力，班委會(huì)決定在周班會(huì)課上進(jìn)行“聽音樂，猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學(xué)生分為9組，每組5人，剩余的學(xué)生做裁判．比賽規(guī)則如下：比賽共分為兩輪，第一輪比賽中9個(gè)小組分三場進(jìn)行比賽，每場比賽有3個(gè)小組參加，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)猜對歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個(gè)小組進(jìn)入第二輪比賽；第二輪進(jìn)行一場比賽，選出獲勝隊(duì)伍．已知甲、乙、丙3個(gè)小組的學(xué)生能成功猜對歌名的概率分別為．(1)現(xiàn)從甲組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜，記5首歌曲中猜對的歌曲數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；(2)若從甲、乙、丙3個(gè)小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲，求該學(xué)生猜對歌曲的概率；(3)若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊小組中任選一名代表，從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的不透明的盒子中有放回地隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出白球記分，摸出紅球記分，以0分開始計(jì)分，恰好獲得分或分則結(jié)束摸球．若該代表獲得分，則該代表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利．若該代表來自戊組，試估計(jì)戊組獲勝的概率．14．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)在有最小值4，求的值．15．如圖，在四棱錐中，平面，，點(diǎn)在棱上，且不與和重合，平面交棱于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若為棱的中點(diǎn)，求二面角的正弦值；(3)記點(diǎn)到平面的距離分別為，求的最大值．16．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且對任意的正整數(shù)都有成立，(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，是否存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列？若存在，求出滿足要求的和的所有值；若不存在，請說明理由．四、填空題（本大題共3小題）17．在中，角所對的邊分別為，若，則的最大值為．18．已知是數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)，若，則．19．若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．

參考答案1．【答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，?故選B.2．【答案】D【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過點(diǎn)，可得，由三角函數(shù)的定義，可得，故A，B，C錯(cuò)誤，D正確.故選D.3．【答案】A【詳解】∵復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，∴，即∴，解得，故選A.4．【答案】C【詳解】已知向量所以，即，即，故選C.5．【答案】A【詳解】設(shè)，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，，所以，兩式相減可得：，即，所以，即，所以直線的斜率為，所以直線的方程為：，化簡為：，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故選A.6．【答案】B【詳解】由題意可知，則，因，則，則，，因在上單調(diào)遞增，結(jié)合正弦函數(shù)圖象性質(zhì)可得，解得，故的取值范圍是.故選B.

7．【答案】C【詳解】如圖，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，設(shè)圓臺(tái)上、下底面圓心分別為，則圓臺(tái)內(nèi)切球的球心一定在的中點(diǎn)處，設(shè)球與母線切于點(diǎn)，所以，所以，所以與全等，所以，同理，圓臺(tái)的母線長，而，因此，所以，過作，垂足為，則，所以，所以球的表面積為.故選C.8．【答案】D【分析】結(jié)合“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程有根或?qū)?yīng)函數(shù)有零點(diǎn)的問題，依次求解判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】對于A，令，即．因?yàn)闈M足，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對于B，令，即．易判斷在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以不可能為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對于C，由，得，易知當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．令，得，解得，此時(shí)，所以直線與曲線相切于點(diǎn)．所以直線與曲線共有兩個(gè)交點(diǎn)，所以為“2型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對于D，，作出的圖象，如圖所示．易知其與直線有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn)，即有三個(gè)不同的解，所以為“3型不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故D正確．故選D.9．【答案】ABD【詳解】對于A，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以，所以拋物線，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A正確；對于B，設(shè)的中點(diǎn)為D點(diǎn)，過D點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，可得，所以B正確；對于C，設(shè)、，則由拋物線的定義可得：,，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)到軸的距離為，所以以線段為直徑的圓與軸相切，故C正確；對于D，、，所以的中點(diǎn)，，設(shè)直線為，所以聯(lián)立，所以，所以，因?yàn)?，所以，以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，故D正確.故選ABD.10．【答案】BD【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)樵紨?shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，斜率為負(fù)數(shù)，所以樣本負(fù)相關(guān)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，所以，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由圖可知處理后的數(shù)據(jù)的殘差分布更集中，說明處理后的數(shù)據(jù)的殘差方差更小，所以，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，處理后的數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)回歸方程的斜率絕對值更大，這表明處理后的數(shù)據(jù)的線性關(guān)系更強(qiáng)，因此決定系數(shù)變大，D選項(xiàng)正確.故選BD.11．【答案】ACD【詳解】由題意，假設(shè)每種不同的顏色代表選項(xiàng)給出的一個(gè)基本圖形A項(xiàng)，∴能夠用12個(gè)圖形完全覆蓋住剩余部分，A正確；C項(xiàng)，∴能夠用6個(gè)圖形完全覆蓋住剩余部分，C正確；D項(xiàng)，∴能夠用8個(gè)圖形完全覆蓋住剩余部分，D正確；而B項(xiàng)則無法不重疊地將剩余部分覆蓋住，故選ACD.12．【答案】(1)的方程為；的方程為(2)證明見解析(3)【詳解】（1）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，又因?yàn)殡x心率為，所以，代入得，解得，所以雙曲線的方程為．因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以，所以拋物線的方程為．（2）設(shè)雙曲線的半焦距為，則，又因?yàn)殡x心率為，所以，代入得，解得，所以雙曲線的方程為．因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，所以，所以拋物線的方程為．（3）設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以直線的方程為，由于在直線上，則，同理，所以均滿足方程，所以直線的方程為，聯(lián)立方程，得，所以，則，又因?yàn)榈街本€的距離，所以面積，又因?yàn)?，所以，?dāng)為時(shí)取最小值，所以面積最小值為．13．【答案】(1)4(2)(3)【詳解】（1）由題意可知，，由二項(xiàng)分布的期望公式可得．（2）記事件分別表示該學(xué)生來自甲，乙，丙組，事件B表示該同學(xué)能猜對，所以，，由全概率公式可得．所以，該學(xué)生能猜對的概率為．（3）由題意可知，積分增加1分的概率為，增加2分的概率為，記得分為的概率為，且，，所以，，且，所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，則，由累加法可得．因此，戊組獲勝的概率為．14．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2），①當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，此時(shí)在無最小值；②當(dāng)時(shí)，（i）若，則在上，，所以在上單調(diào)遞增，無最小值．（ii）若，則時(shí)，有在上單調(diào)遞減，時(shí)，有在上單調(diào)遞增，故在上的最小值為，即，整理得，解得或（舍去）．綜上，得．15．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）因?yàn)?，且平面平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以；?）取的中點(diǎn)，連接，則，又，所以四邊形為平行四邊形，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，故四邊形為矩形，在中，，又，所以在中，，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)槠矫妫?，所以平面，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則．，設(shè)平面的法向量為，則，即，可取．設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。O(shè)二面角的大小為，則則二面角的正弦值為；（3）設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，可?。?yàn)椋?，故，設(shè)，則，令，得，解得（舍去），，故時(shí)，時(shí)，，所以，故的最大值為．16．【答案】(1)證明見解析(2)存在；或或或或或【詳解】（1）由，得，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，則，所以，又，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）得，于是，假設(shè)存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列，則，即，即，整理得，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以的正整數(shù)解為：或或或或或所以存在正整數(shù)，使得成等比數(shù)列．17．【答案】【詳解】∵，∴,.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.又，∴，∴.故答案為：18．【答案】80【詳解】將數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為：，因?yàn)?，所以?shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為第5個(gè)數(shù)