山東省部分學(xué)校2023−2024學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題含答案

/山東省部分學(xué)校2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)合教學(xué)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．“”是“是純虛數(shù)”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．既不充分也不必要 D．充要2．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．3．空間向量在上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．已知數(shù)列滿足，則的前100項和為（

）A．2475 B．2500 C．2525 D．50505．已知在中，滿足，點在邊上，且平分，，則的最大值為（

）A．3 B．1 C． D．46．已知隨機變量服從正態(tài)分布，設(shè)，則服從正態(tài)分布（

）A． B． C． D．7．函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（

）A． B．C． D．8．如圖，在直三棱柱中，側(cè)棱長為，，，點在上底面（包含邊界）上運動，則三棱錐外接球半徑的取值范圍為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)分別為，下列結(jié)論正確的是（

）A．若為純虛數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線10．已知，則（

）A．展開式各項的二項式系數(shù)的和為B．展開式各項的系數(shù)的和為C．D．11．在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4三、填空題（本大題共3小題）12．設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則．13．設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對于任意的實數(shù)，有，當時，.若，則實數(shù)的取值范圍是.14．2023年中國成功舉辦了第31屆世界大學(xué)生夏季運動會和第19屆亞運會，某市積極響應(yīng)全民鍛煉的號召，組織村級足球聯(lián)賽，其中組有甲、乙、丙、丁4支足球隊，每支球隊都要跟組內(nèi)其他球隊進行一場比賽，最后按各隊的積分排列名次（積分多者名次靠前，積分同者名次并列），積分規(guī)則為每隊勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分.若每場比賽中兩隊勝、平、負的概率都為，比賽結(jié)束時，在甲隊輸給乙隊的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．某校為普及安全知識，舉辦了安全知識競賽，從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六組：，，…，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求頻率分布直方圖中的值，并估計這次競賽的平均成績；(2)按照成績從高到低選出樣本中前的學(xué)生組成安全宣傳隊，請估計進入宣傳隊的學(xué)生成績至少需要多少分？(3)在（2）的條件下，按成績采用樣本量比例分配的分層抽樣從宣傳隊中抽取6名學(xué)生擔(dān)任宣傳隊骨干，再從這6人中隨機選取2人擔(dān)任正副隊長，求正副隊長中至少有1名學(xué)生成績在的概率．16．已知為等差數(shù)列，且，．(1)求的通項公式；(2)若恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．(1)求角A的大?。?2)D在邊上（?。┤鬌是邊的中點，，，求a；（ⅱ）若，，，求a．18．某技術(shù)部門需研發(fā)新型材料，研發(fā)過程中發(fā)現(xiàn)每次實驗會得到型材料和型材料之一．為測試新型材料是否能夠穩(wěn)定投產(chǎn)，制定了以下測試規(guī)則：每一輪測試都會進行兩次實驗，若兩次實驗均得到型材料，則測試成功并停止測試；否則將加大催化劑的劑量并進行新一輪的測試．已知第輪測試中每次實驗得到型材料的概率為．(1)如果最多進行3輪測試（第三輪測試不成功也停止測試），記測試輪數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)如果最多可進行輪測試（第輪測試不成功也停止測試），記為在第，2，，輪測試成功的概率，則測試成功的概率為．（i）求的值；（ii）求證：．19．設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點處的切線方程；(2)若在時恒成立，求的值；(3)若，證明．

參考答案1．【答案】D【分析】依題意得，即可求解．【詳解】解：是純虛數(shù)，則，得，則“”是“是純虛數(shù)”的充要條件，故選D.2．【答案】C【分析】把集合B中的元素代入集合A檢驗，再結(jié)合交集運算求解.【詳解】因為，可知，所以.故選C.3．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量公式計算即可.【詳解】，，由投影向量的定義和公式可知在的投影向量為，故選C.4．【答案】A【分析】由題可得，令，將問題轉(zhuǎn)化求，由等差數(shù)列的求和公式計算可得.【詳解】由，可得，，所以，令，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，由于，所以的前100項和為2475，故選A.5．【答案】A【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系式中的商關(guān)系，結(jié)合兩角和的正弦公式、正弦定理進行求解可得角；根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式、余弦定理、基本不等式進行求解即可.【詳解】因為，由正弦定理，得，由，得，所以，即.因為，所以，又，所以，因為，所以.

由，得，所以，在中，由余弦定理得，所以，從而，當且僅當取等號.則，當且僅當取等號，則長的最大值為3.故選A.6．【答案】C【分析】根據(jù)隨機變量的均值、方差的性質(zhì)計算即可.【詳解】因為隨機變量服從正態(tài)分布，所以均值,方差為，又因為，所以隨機變量的均值為，方差為，所以隨機變量服從正態(tài)分布.故選C.7．【答案】B【分析】利用函數(shù)的奇偶性可排除A，C，代入可得，可排除D.【詳解】，又函數(shù)定義域為，故該函數(shù)為偶函數(shù)，可排除A，C，又，故可排除D.故選B.8．【答案】B【分析】由條件確定球心位置，建立關(guān)于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.【詳解】因為為等腰直角三角形，，所以的外接圓的圓心為的中點，且，設(shè)的中點為，連接，則，平面，設(shè)三棱錐外接球的球心為，由球的性質(zhì)可得點在上，設(shè)，，外接球的半徑為，因為，所以，即，又，則，因為，所以，則，故選.

【方法總結(jié)】常見幾何體的外接球半徑求法：（1）棱長為的正方體的外接球半徑為；（2）長方體的長，寬，高分別為，，，則其外接球的半徑為；（3）直棱柱的高為，底面多邊形的外接圓半徑為，則其外接球半徑為.9．【答案】ACD【分析】設(shè)出對應(yīng)的復(fù)數(shù)，依據(jù)復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和運算性質(zhì)判斷A，C，D，舉反例否定B即可.【詳解】對于A，設(shè)，，故成立，故A正確，對于B，設(shè)，，則滿足，但，故B錯誤，對于C，設(shè)，，則，，故，，解得，，則，故C正確，對于D，設(shè)，因為，，，所以，化簡得，故在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線，故D正確.故選ACD.10．【答案】AC【分析】根據(jù)給定條件，利用二項式定理及性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】對于A項，的展開式各項的二項式系數(shù)的和為，A正確；對于B項，令，得，即的展開式各項的系數(shù)的和為1，B錯誤；對于C項，令，得，則，，即有，C正確；對于D項，對兩邊求導(dǎo)，得，令，得，D錯誤.故選AC.11．【答案】BD【分析】根據(jù)三點公式求得，結(jié)合基本不等式判斷即可.【詳解】因為，所以，又，因為,,三點共線，所以，又，為正實數(shù)，所以，當且僅當，即，時取等號，故A錯誤，B正確；，當且僅當，即，時取等號，故C錯誤，D正確.故選BD.12．【答案】【分析】由題意結(jié)合概率運算性質(zhì)可得答案.【詳解】由概率的性質(zhì)得，所以，所以．故答案為：.13．【答案】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意和導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上單調(diào)遞減，再由，得到為偶函數(shù)，結(jié)合對稱性得到在上單調(diào)遞增，把不等式，轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】令函數(shù)，因為，時，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，又因為，所以函數(shù)，所以為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，可得在上單調(diào)遞增，若則，整理得，所以，兩邊平方可得，解得，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.14．【答案】【分析】根據(jù)甲是最高分可得甲余下兩場比賽全贏，再就甲乙、甲丁的輸贏（丙的第一場對手若為甲）分類討論后可得正確的選項.【詳解】若甲與丙、丁的兩場比賽一贏一平，則甲只得4分，這時乙丙、乙丁兩場比賽中乙只能輸，否則乙的分數(shù)不小于4分，不合題意，在乙輸?shù)那闆r下，丙、丁已有3分，那么它們之間的比賽無論什么情況，丙、丁中有一隊得分不小于4分，不合題意；若甲與丙、丁的兩場比賽全贏（概率為）時，甲得6分，其他3隊分數(shù)最高為5分，這時乙丙，乙丁兩場比賽中乙不能贏，否則乙的分數(shù)不小于6分，只有乙平或乙輸；若乙一平一輸，概率為.如乙平丙，乙輸丁，則丙丁比賽時，丁不能贏，概率為；若乙兩場均平，概率為，丙丁這場比賽無論結(jié)果如何均符合題意；若乙兩場都輸，概率為，丙丁這場比賽只能平，概率為.綜上所述，在甲隊輸給乙隊的情況下，其積分仍超過其余三支球隊的積分的概率為.故答案為：.15．【答案】(1)；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖每組小矩形的面積之和為1，列出方程，求得，再由平均數(shù)的計算公式，即可求解；（2）根據(jù)題意，成績從高到低選出樣本中前的學(xué)生，即為分位數(shù)，結(jié)合百分位數(shù)的計算方法，即可求解；（3）根據(jù)題意，得到成績在的學(xué)生有2人，在的學(xué)生有4人，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所求事件中包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合概型的概率計算公式，即可求解.【詳解】（1）解：因為頻率分布直方圖每組小矩形的面積之和為1，可得，解得，競賽的平均成績：.（2）解：由頻率分別直方圖的數(shù)據(jù)，可得：成績在內(nèi)的頻率為：，成績在內(nèi)的頻率為：，所以成績從高到低選出樣本中前的學(xué)生，即為分位數(shù)，設(shè)為，可得分，即估計進入宣傳隊的學(xué)生成績至少需要分.（3）由題意得，樣本中宣傳隊學(xué)生的人生為，其中成績在的學(xué)生人數(shù)為，成績在的學(xué)生人數(shù)為，從樣本中按分層抽樣的的方法抽取6人，則成績在的學(xué)生有2人，記為，在的學(xué)生有4人，記為，從中選2人擔(dān)任正副隊長的樣本空間為：,，記事件“正副隊長中至少有1名學(xué)生成績在”，則：，由古典概型的概率計算公式，可得.16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意建立方程求出等差數(shù)列的首項與公差，從而可求解；（2）先求出等差數(shù)列的前n項和，再將恒成立問題參變分離，接著利用數(shù)列的單調(diào)性求出最值，從而得解．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，則根據(jù)題意可得，解得，則．（2）由（1）可知運用等差數(shù)列求和公式，得到，又恒成立，則恒成立，設(shè)，則，當時，，即；當時，，則，則；則，故，故實數(shù)λ的取值范圍為．17．【答案】(1)(2)（?。唬áⅲ痉治觥浚?）利用正弦定理將邊、角關(guān)系轉(zhuǎn)化成角的關(guān)系，再運算三角形的內(nèi)角和定理和兩角和的正弦公式轉(zhuǎn)化，從而化簡得到，即可得解.（2）（ⅰ）利用余弦定理求得，然后再次用余弦定理就可求解；（ⅱ）利用正弦定理求得，然后利用余弦定理就可以求解.【詳解】（1）由及正弦定理，得，又，則，∴，又，∴，又，∴，（2）（?。┰谥?，由余弦定理有，∵，，D是邊的中點，，∴，整理得：，解得：（舍去）或，∴．（ⅱ）由，，∴，∴．在中由正弦定理，得，又，，可得，在中由余弦定理，∴．18．【答案】(1)分布列見解析，；(2)（i）；（ii）證明見解析【分析】（1）由題意得，的可能取值為1，2，3，利用獨立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進而得到的分布列，再結(jié)合期望公式求解；（2）（i）利用獨立事件的概率乘法公式求出，，，進而求出；（ii）易證當時，，先證得當時，，進而證得當時，．【詳解】（1）由題意得，的可能取值為1，2，3，在第一輪測試中，每次實驗得到型材料的概率為，所以，第二輪測試中，每次實驗得到型材料的概率為，，第三輪測試中，每次實驗得到型材料的概率為，，所以的分布列為：123所以的數(shù)學(xué)期望；（2）（i）由題意可知，，所以；（ii）當時，，當時，，所以當時，，當時，．綜上所述，．19．【答案】(1)(2)2(3)證明過程見解析【分析】（1）直接使用導(dǎo)數(shù)的幾何意義；（2）先由題設(shè)條件得到，再證明時條件滿足；（3）先確定的單調(diào)性，再對分類討論.【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當時，當時.所以在上遞減，在上遞增，這就說明，即，且等號成立當且僅當.設(shè)，則.當時，的取值范圍是，所以命題等價于對任意，都有.一方面，若對任意，都有，則對有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對任意都有，滿足條件.綜合以上兩個方面，知的值是2.（3）先證明一個結(jié)論：對，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當時，當時.所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種情況