山西大同某校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題含答案

/山西大同某校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)等于，則的值為（

）A． B． C． D．2．骰子是質(zhì)地均勻的正方體，各面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6．現(xiàn)在擲一枚骰子兩次，記事件“兩次點(diǎn)數(shù)的最小值為3”，事件“兩次點(diǎn)數(shù)的最大值為6”，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線.若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，則的離心率的范圍為（

）A． B． C． D．4．在中，是的中點(diǎn)，，若，則的值分別為（）A．， B．，C．， D．，5．函數(shù)的部分圖象大致形狀是（

）A． B．C． D．6．若點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的最小距離為（

）．A． B． C．2 D．7．展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A． B． C．30 D．908．已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，則當(dāng)取得最小值時(shí)，的面積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．甲罐中有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙罐中有5個(gè)紅球，3個(gè)白球．整個(gè)取球過(guò)程分為兩步：（1）先從甲罐中隨機(jī)取出一個(gè)球放入乙罐，記事件為“取出的是紅球”，事件為“取出的是白球”；（2）再?gòu)囊夜拗须S機(jī)取出兩個(gè)球，記事件B為“取出的兩球都是紅球”，事件C為“取出的兩球?yàn)橐患t一白”，則（

）A． B．C． D．10．對(duì)任意實(shí)數(shù)，有.則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．D．11．已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．在等比數(shù)列中，，，則．13．某電視臺(tái)計(jì)劃在春節(jié)期間某段時(shí)間連續(xù)播放6個(gè)廣告，其中3個(gè)不同的商業(yè)廣告和3個(gè)不同的公益廣告，要求第一個(gè)和最后一個(gè)播放的必須是公益廣告，且商業(yè)廣告不能3個(gè)連續(xù)播放，則不同的播放方式有.14．函數(shù)．若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的展開(kāi)式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等．(1)求n的值；(2)求展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和；(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．16．如圖，在三棱柱中，平面平面，平面平面．(1)求證：平面；(2)若，，，求二面角的余弦值．17．DeepSeek是由中國(guó)杭州的DeepSeek公司開(kāi)發(fā)的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度學(xué)習(xí)的決心．DeepSeek主要功能為內(nèi)容生成、數(shù)據(jù)分析與可視化、代碼輔助、多模態(tài)融合、自主智能體等，在金融領(lǐng)域、醫(yī)療健康、智能制造、教育領(lǐng)域等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景．為提高DeepSeek的應(yīng)用能力，某公司組織A，B兩部門(mén)的50名員工參加DeepSeek培訓(xùn)．(1)此次DeepSeek培訓(xùn)的員工中共有6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)參加，恰有3人來(lái)自部門(mén)．從這6名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)中隨機(jī)選取2人，記表示選取的2人中來(lái)自部門(mén)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)此次DeepSeek培訓(xùn)分三輪進(jìn)行，每位員工第一輪至第三輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的概率分別為，每輪培訓(xùn)結(jié)果相互獨(dú)立，至少兩輪培訓(xùn)達(dá)到“優(yōu)秀”的員工才能合格．（ⅰ）求每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率；（ⅱ）經(jīng)過(guò)預(yù)測(cè)，開(kāi)展DeepSeek培訓(xùn)后，合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)30萬(wàn)元，不合格的員工每人每年平均為公司創(chuàng)造利潤(rùn)20萬(wàn)元，且公司需每年平均為每位參加培訓(xùn)的員工支付3萬(wàn)元的其他成本和費(fèi)用．試估計(jì)該公司兩部門(mén)培訓(xùn)后的年利潤(rùn)（公司年利潤(rùn)員工創(chuàng)造的利潤(rùn)-其他成本和費(fèi)用）．18．已知直線經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及離心率；(2)與直線平行的直線交于兩點(diǎn)（均不與的頂點(diǎn)重合），設(shè)直線，的斜率分別為，證明：為定值．19．設(shè)函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于x的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（參考數(shù)據(jù)：）

參考答案1．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用導(dǎo)數(shù)的定義直接計(jì)算作答.【詳解】由已知得．故選D．2．【答案】C【詳解】事件表示兩次點(diǎn)數(shù)的最小值為3，最大值為6，有，共2種情況，事件包含，共7種情況，所以.故選C3．【答案】C【詳解】雙曲線的一條漸近線為，因?yàn)橹本€與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)，故有，即，，所以，所以.所以的范圍為.故選C.4．【答案】B【詳解】如圖，因?yàn)?，所以點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則有,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，所以.所以，.故選B.5．【答案】C【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)镽.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，所以是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故排除選項(xiàng)B、D，當(dāng)時(shí)，令可得或，所以時(shí)，兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)為和，當(dāng)時(shí)，，，，故排除選項(xiàng)A，故選C.6．【答案】A【詳解】∵，設(shè)為所求的點(diǎn)，則得，，則點(diǎn)P到直線的最小距離為．故選:A.7．【答案】D【詳解】，的通項(xiàng)公式為，令，則，則，令，則，則，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選D.8．【答案】A【詳解】由過(guò)點(diǎn)的直線可設(shè)為，與拋物線，聯(lián)立消去x得：，設(shè)交點(diǎn)，則，由，取等號(hào)條件是，此時(shí).故選A.9．【答案】AD【詳解】由題意知，，，，，，，.故選.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)任意實(shí)數(shù)x有，所以，故A正確；令，可得，故B不正確；令，可得，故C正確；令，可得，故D正確．故選ACD．11．【答案】ACD【詳解】解：因?yàn)?，即，所以，，解得，故A正確；由此可得，，，，……所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，所以，故B錯(cuò)誤；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2，所以，所以，所以，故C正確；對(duì)于D，==，故D正確.故選ACD.12．【答案】【詳解】在等比數(shù)列中，，則，設(shè)，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，所以，，同號(hào)，又，所以．13．【答案】72【詳解】先從3個(gè)不同的公益廣告中選兩個(gè)安排到第一個(gè)和最后一個(gè)播放有種方法，然后將3個(gè)不同的商業(yè)廣告排成一列有種方法，3個(gè)不同的商業(yè)廣告之間有兩個(gè)空，選擇一個(gè)將剩下的一個(gè)公益廣告安排進(jìn)去即可，所以總共有：種方式.14．【答案】【詳解】由題意，，設(shè)，則問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為.因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)（增+增），所以恒成立.設(shè)，則，時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，所以，于是.15．【答案】(1)5(2)32(3)答案見(jiàn)解析【詳解】（1）的展開(kāi)式的通項(xiàng)為（r＝0，1，2，…，n），∵展開(kāi)式中的第二項(xiàng)和第三項(xiàng)的系數(shù)相等，∴，即，∴n2－5n＝0，解得n＝5或n＝0（舍）；（2）展開(kāi)式中所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為；（3）二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（r＝0，1，2，…，5），當(dāng)r＝0，2，4時(shí)，對(duì)應(yīng)項(xiàng)是有理項(xiàng)，所以展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)為，，．16．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)．【詳解】（1）如圖，取為內(nèi)一點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)．因?yàn)槠矫嫫矫媲移矫嫫矫?，平面，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以，同理得．因?yàn)椋移矫?，所以平面．?）因?yàn)椋?，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．由題意，得，，，，則，，，．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以．設(shè)平面的法向量為，則令，則，，所以．設(shè)二面角的平面角為，則由圖可得．故二面角的余弦值為．17．【答案】(1)分布列見(jiàn)解析，1(2)（ⅰ）；（ⅱ）1100【詳解】（1）的所有可能取值為0，1，2，且服從超幾何分布．的分布列為012的數(shù)學(xué)期望．（2）（ⅰ）記“每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格”，“每位員工第輪培訓(xùn)達(dá)到優(yōu)秀”（），，根據(jù)概率加法公式和事件相互獨(dú)立定義得，．即每位員工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)合格的概率為．（ⅱ）記兩部門(mén)開(kāi)展DeepSeek培訓(xùn)后合格的人數(shù)為，則，，則（萬(wàn)元）即估計(jì)兩部門(mén)的員工參加DeepSeek培訓(xùn)后為公司創(chuàng)造的年利潤(rùn)為1100萬(wàn)元．18．【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．因?yàn)?，所以橢圓的離心率為．（2）由（1）知直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，Mx1,y1聯(lián)立方程組，消去得，則．因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，且，所以，所以，即為定值?9．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)存在，的最小值為0【詳解】（1）因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，由，解得；②當(dāng)時(shí)，由，