陜西省西安市長安區(qū)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題含答案

/陜西省西安市長安區(qū)2025屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則的子集的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．8 D．162．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則等于（

）A． B． C． D．3．如圖，向量，，若，，，為線段AB的5等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．4．某學(xué)生的QQ密碼是由前兩位是大寫字母，第三位是小寫字母，后六位是數(shù)字共九個(gè)符號(hào)組成．該生在登錄QQ時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，如果該生記住密碼的最后一位是奇數(shù)，則不超過兩次就輸對(duì)密碼的概率為（

）A． B． C． D．5．定義“等方差數(shù)列”：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都是實(shí)數(shù)，且從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的平方差是相同的常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等方差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做該數(shù)列的公方差．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為，，則數(shù)列的前33項(xiàng)的和為（

）A．3 B．6 C．2 D．46．已知曲線，，其中．點(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)．若是等腰直角三角形，則（

）A． B． C． D．7．已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，（

）A．1 B．2C． D．8．函數(shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，且的圖像關(guān)于對(duì)稱．若曲線在處的切線斜率為，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若，則下列結(jié)論正確的有（）A．B．?dāng)?shù)據(jù)的30%分位數(shù)為5C．?dāng)?shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為3D．若，隨機(jī)變量，則10．已知曲線，則（

）A．不是封閉圖形B．有4條對(duì)稱軸C．與坐標(biāo)軸有4個(gè)交點(diǎn)D．與直線有4個(gè)交點(diǎn)11．隨著時(shí)代與科技的發(fā)展，信號(hào)處理以各種方式被廣泛應(yīng)用于醫(yī)學(xué)、聲學(xué)、密碼學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、量子力學(xué)等領(lǐng)域，而信號(hào)處理背后的“功臣”就是正弦型函數(shù).已知某種信號(hào)的波形可以利用函數(shù)的圖象近似模擬，則（

）A．是非奇非偶函數(shù)B．的值域?yàn)镃．當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程在區(qū)間上所有不等實(shí)根的和為D．的圖象與的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量滿足，則向量在向量方向上的投影向量的坐標(biāo)為，則．13．已知拋物線，其中AC，BD是過拋物線焦點(diǎn)F的兩條互相垂直的弦，直線AC的傾斜角為，當(dāng)時(shí)，如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”的面積為．14．小明參加一項(xiàng)籃球投籃測試，測試規(guī)則如下：若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃命中，則通過測式；若出現(xiàn)連續(xù)兩次投籃不中，則不通過測試.已知小明每次投籃命中的概率均為，則小明通過測試的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知分別為三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，.(1)求；(2)若.求的面積.16．用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率.(1)若曲線與在處的曲率分別為，，比較，大?。?2)求正弦曲線（）曲率的平方的最大值.17．如圖，在四棱錐中，，底面是邊長為的菱形，.(1)證明：平面平面；(2)若平面與平面所成角的正切值為2，點(diǎn)滿足，求直線與平面所成角的余弦值.18．對(duì)于二次曲線，我們有：若是曲線上的一點(diǎn)，則過點(diǎn)與曲線相切的直線方程為．已知橢圓，，動(dòng)圓，點(diǎn)是與在第一象限的交點(diǎn)．(1)求橢圓的離心率；(2)過點(diǎn)作動(dòng)圓的切線，經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，求與滿足的關(guān)系式；(3)若，直線與，均相切，切點(diǎn)在上，切點(diǎn)在上，求的最大值．19．定義1：若數(shù)列滿足①，②，則稱為“兩點(diǎn)數(shù)列”；定義2：對(duì)于給定的數(shù)列，若數(shù)列滿足①，②，則稱為的“生成數(shù)列”.已知為“兩點(diǎn)數(shù)列”，為的“生成數(shù)列”.(1)若，求的前項(xiàng)和；(2)設(shè)為常數(shù)列，為等比數(shù)列，從充分性和必要性上判斷是的什么條件；(3)求的最大值，并寫出使得取到最大值的的一個(gè)通項(xiàng)公式.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?，，所以，所以的子集個(gè)數(shù)為．故選D．2．【答案】D【詳解】，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，因?yàn)閺?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，故選D.3．【答案】C【詳解】取的中點(diǎn)為，則也是，的中點(diǎn)，故，因此.故選C.4．【答案】C【詳解】設(shè)為“第次按對(duì)密碼”（），則事件“不超過2次就按對(duì)”可表示為，記“密碼的最后一位數(shù)字是奇數(shù)”為事件，由條件概率的性質(zhì)可得..故選C.5．【答案】A【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列是等方差數(shù)列，且公方差為3，所以，又，所以，又?jǐn)?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，，所以，，故選A．6．【答案】D【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，，是曲線與依次相鄰的三個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)為曲線與在軸上的交點(diǎn)，如圖所示，為的中點(diǎn)，連接,易知，,與軸平行，所以又因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，所以又因?yàn)樵谇€上，所以，又因?yàn)樗裕杭此?故選D.7．【答案】D【詳解】設(shè)圓錐的母線長為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長，即圓錐底面的周長，因此，，．記，，則，因?yàn)樵谏线f減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．此時(shí)．故選D.8．【答案】A【詳解】解：因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，即，所以，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，因?yàn)榈膱D像關(guān)于對(duì)稱，所以的圖像關(guān)于對(duì)稱，即，所以，，所以，即函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以曲線在處的切線斜率等于曲線在處的切線斜率，因?yàn)榍€在處的切線斜率為，圖像關(guān)于對(duì)稱，所以，曲線在處的切線斜率為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以曲線在處的切線方程為，即.故選A.【方法總結(jié)】由題意可以求得周期性與對(duì)稱性，然后求出該點(diǎn)的斜率，再用點(diǎn)斜式方程求即可.9．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，令，則，故A正確，對(duì)于B,將其從小到大排列為，且，故30%分位數(shù)為第2個(gè)數(shù)1，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，分別為，則平均數(shù)為，故方差為，故標(biāo)準(zhǔn)差為3，C正確，對(duì)于D，，故，故D正確，故選ACD.10．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋曰?，所以E是由單位圓M和實(shí)軸長為2，焦點(diǎn)為的等軸雙曲線構(gòu)成，故A正確；對(duì)于B，由A項(xiàng)分析知，E只關(guān)于軸，軸對(duì)稱，所以E只有兩條對(duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A項(xiàng)分析可知，曲線E與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镃的一條漸近線方程為且，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可知，直線與雙曲線有2個(gè)交點(diǎn)，又直線與圓M有2個(gè)交點(diǎn)，故直線與有4個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選ACD.11．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，由于，所以是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，是一個(gè)周期函數(shù)，其中一個(gè)周期為，故只需考察這個(gè)函數(shù)在內(nèi)的情況.當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故，綜上可得時(shí)，的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C，作出在上的圖象，故當(dāng)，時(shí)，由圖可知直線與的圖象有個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，由圖可知，，和，分別關(guān)于直線，對(duì)稱，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由圖可知的圖象與的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有個(gè)交點(diǎn)，又為偶函數(shù)，故的圖象與的圖象恰有個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選BD.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)交點(diǎn)問題常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．12．【答案】【詳解】由得，，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄康淖鴺?biāo)為，所以，即，所以，所以.13．【答案】8【詳解】由題意知，直線的傾斜角，則直線的方程為，聯(lián)立，消去可得：，解得，，，由拋物線的定義可得，，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性結(jié)合是過拋物線焦點(diǎn)的兩條互相垂直的弦，可知，故，故“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”的面積為．14．【答案】【詳解】設(shè)第一次投籃成功為事件B，通過測試為事件A，則，所以，所以.15．【答案】(1)(2).【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，，即，又，故，?（2），所以，，,又,即,,或（舍）,故.16．【答案】(1)；(2)1.【詳解】（1）由，，則，由，，則，所以；（2）由，，則，，令，則，故，設(shè)，則，在時(shí)，遞減，所以，最大值為1.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭橇庑?，所以，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，又面，且，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）過作交于點(diǎn)，面面，面面面，所以面，因?yàn)槊?，所以面，又面，所以，所以為的交點(diǎn)，為等邊三角形，所以H為的重心，設(shè)DH與AB交點(diǎn)為M，連接，則為二面角的平面角，因?yàn)?，在中，解得，因?yàn)?，所以，所以平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立如圖坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得：即，又，設(shè)平面和直線所成的角為，則，所以.18．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）在橢圓中，由，得，所以橢圓的離心率.（2）橢圓，由，解得，而，則，圓在處切線方程為，又過焦點(diǎn)，則，所以.（3）當(dāng)時(shí)，橢圓，，設(shè)，橢圓在處切線為，圓在處切線為，由直線與均相切，得，即，由，得，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即的最大值為，所以的最大值為.19．【答案】(1)(2)是的充要條件.(3)的最大值為，【詳解】（1）依題意故因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列.故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，（2）充分性：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以是?為首項(xiàng)，1